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10, 30, 90, 270...

等比数列の分母を見つける必要があります。
解決：

オプション 1。 数列の任意の項 (たとえば 90) を取り、それを前の項 (30) で割ってみましょう: 90/30=3。

等比数列のいくつかの項の合計、または逓減等比数列のすべての項の合計がわかっている場合、数列の分母を見つけるには、適切な公式を使用します。
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q)、ここで Sn は等比数列の最初の n 項の合計であり、
S = b1/(1-q)。ここで、S は無限に減少する等比数列の合計 (分母が 1 より小さい数列のすべての項の合計) です。
例。

逓減等比数列の最初の項は 1 に等しく、そのすべての項の合計は 2 に等しくなります。

この数列の分母を決定する必要があります。
解決：

問題のデータを式に代入します。 次のことがわかります。
2=1/(1-q)、したがって – q=1/2。

プログレッションとは、一連の数字のことです。 等比数列では、後続の各項は、前の項に、数列の分母と呼ばれる特定の数 q を乗算することによって取得されます。

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2 つの隣接する幾何項 b(n+1) と b(n) がわかっている場合、分母を求めるには、大きい方の数をその前の数字で割る必要があります: q=b(n+1)/b (n)。 これは、進行とその​​分母の定義から導き出されます。 重要な条件は最初の項の不等式であり、ゼロへの累進の分母です。それ以外の場合は不定とみなされます。

したがって、数列の項間には、b2=b1 q、b3=b2 q、...、b(n)=b(n-1) qの関係が成立します。 式 b(n)=b1 q^(n-1) を使用すると、分母 q と項 b1 がわかっている等比数列の項を計算できます。 また、各数列は、その隣接するメンバーの平均と係数が等しくなります: |b(n)|=√。ここで数列は を取得します。

等比数列の類似物は、最も単純な指数関数 y=a^x です。ここで、x は指数、a は特定の数です。 この場合、数列の分母は最初の項と一致し、数値 a に等しくなります。 関数 y の値は次のように理解できます。 第n期引数 x が自然数 n (カウンター) である場合の数列。

等比数列の最初の n 項の和が存在します: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q)。 この式はq≠1の場合に成り立ちます。 q=1 の場合、最初の n 項の合計は式 S(n)=n b1 によって計算されます。 ちなみに、qが1より大きく、b1が正のときの数列を増加といいます。 数列の分母が絶対値で 1 を超えない場合、その数列は減少すると呼ばれます。

等比数列の特殊なケースは、無限減少等比数列 (無限減少等比数列) です。 実際のところ、減少等比数列の項は何度も減少しますが、決してゼロにはなりません。 それにもかかわらず、このような数列のすべての項の合計を求めることは可能です。 これは、式 S=b1/(1-q) によって決定されます。 項の総数 n は無限です。

無限を得ることなく、無限の数の数値を加算する方法を視覚化するには、ケーキを焼きます。 半分を切り落とします。 次に、半分から1/2を切り取ります。 得られるピースは、分母が 1/2 の無限に減少する等比数列のメンバーにすぎません。 これらのピースをすべて足すと、オリジナルのケーキが完成します。

幾何学問題は、空間的思考を必要とする特別なタイプの演習です。 幾何学問題が解けない場合 タスク, 以下のルールに従ってみてください。

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タスクの条件を注意深く読み、何かを覚えていない場合や理解していない場合は、もう一度読み直してください。

たとえば、何らかの値を見つける必要がある計算問題、論理的な推論の連鎖が必要な を伴う問題、コンパスと定規を使用した作図を伴う問題など、幾何学的問題がどのタイプであるかを判断してください。 混合タイプのタスクが増えました。 問題の種類を把握したら、論理的に考えるようにしてください。

特定のタスクに必要な定理を適用しますが、疑問がある場合、またはまったく選択肢がない場合は、関連するトピックについて勉強した理論を思い出してください。

また、問題の解決策を下書き形式で書き留めます。 既知の方法を使用して、解決策が正しいかどうかを確認してください。

問題の解決策を、消したり取り消し線を付けたりせずにノートに注意深く記入してください。そして最も重要なことは、最初の幾何学的問題を解くのに時間と労力がかかることです。 ただし、このプロセスをマスターするとすぐに、ナッツのようにタスクをクリックして楽しむことができるようになります。

幾何級数は、b1、b2、b3、...、b(n-1)、b(n) のシーケンスであり、b2=b1*q、b3=b2*q、...、b(n)= となります。 b (n-1)*q、b1≠0、q≠0。 言い換えれば、数列の各項は、数列 q のゼロ以外の分母を乗算することによって、前の項から取得されます。

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数列の問題は、数列 b1 の第 1 項と数列 q の分母に関する系を作成し、それに従うことで解決されることがほとんどです。 方程式を作成するには、いくつかの公式を覚えておくと便利です。

数列の第 1 項と数列の分母を介して数列の n 番目の項を表現する方法: b(n)=b1*q^(n-1)。

|q| の場合を個別に考えてみましょう。<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

エントリーレベル

幾何学的な進行。 例を含む包括的なガイド (2019)

数列

それでは、座って数字を書き始めましょう。 例えば：

任意の数字を書くことができ、好きなだけ数字を書くことができます (この場合は数字があります)。 どれだけ数字を書いても、どれが 1 番目でどれが 2 番目というように最後まで言うことができ、つまり番号を付けることができます。 これは数値シーケンスの例です。

数列は一連の番号であり、それぞれに一意の番号を割り当てることができます。

たとえば、私たちのシーケンスの場合:

割り当てられた番号は、シーケンス内の 1 つの番号にのみ固有です。 言い換えれば、シーケンス内に 3 番目の数字は存在しません。 2 番目の数字 (th 番目の数字など) は常に同じです。

番号が付いた番号は、シーケンスの n 番目のメンバーと呼ばれます。

通常、シーケンス全体を何らかの文字 (たとえば、) で呼びます。このシーケンスの各メンバーは、このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字です: 。

私たちの場合:

最も一般的なタイプの数列は、算術数列と幾何数列です。 このトピックでは、2 番目のタイプについて説明します。 等比数列.

等比数列が必要な理由とその歴史?

古代においてさえ、イタリアの数学者修道士ピサのレオナルド (フィボナッチとしてよく知られている) は貿易の実際的なニーズに取り組んでいました。 僧侶は、製品の重さを量るのに使用できる最小の重りの数を決定するという課題に直面しました。 フィボナッチは著書の中で、このような重み付けシステムが最適であることを証明しています。これは、人々が等比数列に対処しなければならなかった最初の状況の 1 つであり、おそらくすでに聞いたことがあるでしょうし、少なくとも一般的な理解はあるでしょう。 このテーマを十分に理解したら、なぜそのようなシステムが最適なのかを考えてみましょう。

現在、生活習慣の中で、銀行にお金を投資する際、前期間に口座に蓄積された金額に利息が発生するとき、等比数列が現れます。 言い換えれば、貯蓄銀行に定期預金にお金を預けると、1 年後には元の金額、つまり 1 年後に預金額が増加します。 新しい金額は寄付金を乗じた額となります。 もう 1 年で、この金額はさらに増加し​​ます。 その時点で得られた金額が再び乗算され、以下同様になります。 同様の状況は、いわゆる計算問題でも説明されています。 複利- パーセンテージは、以前の利息を考慮して、アカウント内の金額から毎回計算されます。 これらのタスクについては後ほど説明します。

等比数列が適用される単純なケースは他にもたくさんあります。 たとえば、インフルエンザの蔓延: ある人が別の人に感染し、その人がまた別の人に感染し、感染の第 2 波が人に発生し、その人がまた別の人に感染した...というように続きます。 。

ちなみに、同じMMMである金融ピラミッドは等比数列の性質に基づいたシンプルかつドライな計算です。 面白い？ それを理解しましょう。

幾何学的な進行。

数値シーケンスがあるとします。

あなたは、これは簡単であり、そのような数列の名前は、項の違いを伴う等差数列であるとすぐに答えるでしょう。 これはどうでしょうか:

後続の数値から前の数値を減算すると、毎回新しい差が得られることがわかりますが (以下同様)、その順序は確実に存在しており、簡単に気づくことができます。後続の各数値は前の数値よりも何倍も大きいのです。

このタイプの数列は次のように呼ばれます。 等比数列と指定されています。

等比数列 () は、最初の項が 0 以外の数列であり、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものと等しくなります。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。

最初の項 ( ) は等しくなく、ランダムではないという制限があります。 それらが存在せず、最初の項が依然として等しく、q が等しいと仮定しましょう。うーん、そのままにしておきます。すると、次のようになります。

これはもはや進歩ではないことに同意します。

ご存知のとおり、ゼロ、a 以外の数値がある場合でも同じ結果が得られます。 このような場合、数値系列全体がすべてゼロか 1 つの数値で残りはすべてゼロになるため、単純に数列は存在しません。

ここで、等比数列の分母、つまり o について詳しく説明します。

繰り返しましょう: - これは番号です その後の各用語は何回変更されますか?幾何級数。

それは何だと思いますか? そうです、プラスとマイナスはありますが、ゼロではありません（これについてはもう少し上で話しました）。

私たちの値が陽性であると仮定しましょう。 私たちの場合、次のようにしましょう。 2期の価値は何ですか？ 次のように簡単に答えることができます。

それは正しい。 したがって、次の場合、数列の後続の項はすべて同じ符号を持ちます。 ポジティブです.

マイナスの場合はどうなりますか? たとえば、a. 2期の価値は何ですか？

これは全く別の話です

この進行の項を数えてみてください。 いくらもらいましたか？ 私は持っている。 したがって、if、then 等比数列の項の符号は交互になります。 つまり、メンバーの符号が交互に変化する進行が見られる場合、その分母は負になります。 この知識は、このトピックに関する問題を解決するときに自分自身をテストするのに役立ちます。

それでは、少し練習してみましょう。どの数列が等差数列で、どの数列が等差数列であるかを判断してください。

わかった？ 答えを比較してみましょう。

• 幾何級数 - 3、6。
• 等差数列 - 2、4。
• それは算術でも等比数列でもありません - 1、5、7。

前回の進行に戻って、算術の場合と同じように、その項を見つけてみましょう。 ご想像のとおり、それを見つけるには 2 つの方法があります。

各項を順番に乗算します。

したがって、記述された等比数列の第 3 項は次のようになります。

すでにご想像のとおり、今度はあなた自身が等比数列の要素を見つけるのに役立つ式を導き出します。 それとも、すでに自分で開発して、メンバーを見つける方法を段階的に説明していますか? そうであれば、自分の推論が正しいかどうかを確認してください。

この数列の第 3 項を見つける例でこれを説明してみましょう。

言い換えると：

与えられた等比数列の項の値を自分で見つけてください。

うまくいきましたか？ 答えを比較してみましょう。

等比数列の前の各項を順番に乗算すると、前の方法とまったく同じ数値が得られることに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう。一般的な形式にすると次のようになります。

導出された式は、正と負の両方のすべての値に当てはまります。 次の条件で等比数列の項を計算して、これを自分で確認してください。

数えましたか？ 結果を比較してみましょう。

項と同じ方法で数列の項を見つけることは可能ですが、正しく計算されない可能性があることに同意します。 そして、等比数列の第 3 項がすでに見つかっている場合、式の「切り捨てられた」部分を使用するよりも簡単なことはありません。

無限に減少する等比数列。

最近では、ゼロより大きくても小さくてもよいという事実について話しましたが、等比数列と呼ばれる特別な値が存在します。 無限に減少する.

なぜこの名前が付けられたと思いますか?
まず、項から構成される等比数列をいくつか書き留めてみましょう。
それでは、次のように言ってみましょう。

後続の各項は前の項よりも係数が小さいことがわかりますが、何か数値があるのでしょうか? あなたはすぐに「いいえ」と答えるでしょう。 だからこそ、それは無限に減少していくのです。どんどん減少していきますが、決してゼロになることはありません。

これが視覚的にどのように見えるかを明確に理解するために、進行状況のグラフを描いてみましょう。 したがって、この場合、式は次の形式になります。

したがって、グラフでは依存関係をプロットすることに慣れています。

式の本質は変わっていません。最初のエントリでは等比数列のメンバーの値がその序数に依存することを示し、2 番目のエントリでは単純に等比数列のメンバーの値を次のように取得しました。 、としてではなく、として序数を指定します。 あとはグラフを作成するだけです。
何が得られたか見てみましょう。 私が思いついたグラフは次のとおりです。

わかりますか？ 関数は減少し、ゼロに向かう傾向がありますが、それを横切ることはなく、無限に減少します。 グラフ上の点をマークし、同時にその座標が何を意味するかをマークしましょう。

第一項も等しい場合の等比数列のグラフを模式的に描いてみます。 前のグラフとの違いを分析してください。

なんとかなりましたか？ 私が思いついたグラフは次のとおりです。

等比数列のトピックの基本を完全に理解したので、等比数列が何であるか、その項を見つける方法がわかり、無限減少等比数列が何であるかも知ったので、その主な性質に移りましょう。

等比数列の性質。

メンバーの財産を覚えていますか 等差数列? はい、はい、この数列の項の前後の値がある場合に、数列の特定の数値の値を見つける方法です。 覚えていますか？ ここにあります：

さて、私たちは等比数列の項に関して全く同じ問題に直面しています。 このような公式を導き出すために、図を描いて推論してみましょう。 ご覧のとおり、非常に簡単で、忘れた場合でも自分で取り出すことができます。

別の単純な等比数列を考えてみましょう。 どうやって見つけますか？ 等差数列なら簡単で簡単ですが、ここではどうでしょうか？ 実際、幾何学的にも複雑なことは何もありません。式に従って与えられた各値を書き留めるだけです。

あなたは、それについて今何をすべきなのかと尋ねるかもしれません。 はい、とてもシンプルです。 まず、これらの式を図で表し、値を求めるためにさまざまな操作を行ってみましょう。

与えられた数字を抽象化し、式による表現だけに焦点を当てましょう。 隣接する用語を知って、オレンジ色で強調表示された値を見つける必要があります。 それらを使用してさまざまなアクションを実行して、その結果として得られるものを試してみましょう。

追加。
2 つの式を追加してみましょう。次のようになります。

この式からわかるように、どのような方法でも表現できないため、別のオプションである減算を試します。

引き算。

ご覧のとおり、これも表現できないので、これらの式を掛け合わせてみましょう。

乗算。

ここで、与えられた等比数列の項を乗算して何が得られるかを、求めるべきものと比較して注意深く見てください。

私が何を言っているのかわかりますか？ 正しくは、求めるには、目的の値に隣接する等比数列の数を掛け合わせた平方根を求める必要があります。

どうぞ。 あなた自身が等比数列の性質を導き出しました。 この式を一般的な形式で書いてみてください。 うまくいきましたか？

条件を忘れましたか? 自分で計算してみるなど、なぜそれが重要なのかを考えてみましょう。 この場合はどうなるのでしょうか？ そうです、まったくナンセンスです。式は次のようになります。

したがって、この制限を忘れないでください。

では、それが何に等しいかを計算してみましょう

正解は ! 計算中に 2 番目の可能な値を忘れていなければ、あなたは素晴らしいので、すぐにトレーニングに移ることができます。忘れた場合は、以下で説明する内容を読み、両方のルートを答え。

両方の等比数列を描画してみましょう。一方は値を持ち、もう一方は値を持ち、両方が存在する権利があるかどうかを確認してください。

このような等比数列が存在するかどうかを確認するには、その与えられた項がすべて同じかどうかを確認する必要があります。 最初と 2 番目のケースについて q を計算します。

なぜ 2 つの答えを書かなければならないかわかりますか? なぜなら、探している用語の符号は、それが正であるか負であるかによって異なるからです。 そして、それが何であるかわからないので、プラスとマイナスの両方の答えを書く必要があります。

主要なポイントをマスターし、等比数列の性質の式を導き出したので、見つけて、知り、

自分の答えと正しい答えを比較してください。

希望する数値に隣接する等比数列の項の値ではなく、そこから等距離にある項の値が与えられたらどうなるでしょうか。 たとえば、検索して与える必要があります。 この場合、私たちが導き出した公式を使用できますか? 最初に式を導出したときと同じように、各値が何で構成されているかを説明して、この可能性を確認または反論してみてください。
何を手に入れましたか？

もう一度注意深く見てください。
したがって、次のようになります。

これから、公式が機能すると結論付けることができます 隣同士だけでなく等比数列の目的の項を使用するだけでなく、 等距離メンバーが求めているものから。

したがって、最初の式は次の形式になります。

つまり、最初の場合にそう言った場合、今度はそれより小さい任意の自然数と等しくあり得ると言います。 重要なことは、与えられた両方の数値が同じであるということです。

具体的な例を使って練習してください。ただし、細心の注意を払ってください。

1. 、。 探す。
2. 、。 探す。
3. 、。 探す。

決めた？ あなたが非常に注意深く、小さな落とし穴に気づいてくれたことを願っています。

結果を比較してみましょう。

最初の 2 つのケースでは、上記の式を落ち着いて適用し、次の値を取得します。

3 番目のケースでは、与えられた番号のシリアル番号を注意深く調べると、探している番号から等距離にないことがわかります。これは前の番号ですが、ある位置で削除されているため、公式を適用することはできません。

どうやって解決すればいいでしょうか？ 実際は思っているほど難しくありません。 与えられたそれぞれの数字と探している数字が何で構成されているかを書き留めてみましょう。

したがって、 と があります。 彼らを使って何ができるか見てみましょう? で割ることをお勧めします。 得られるものは次のとおりです。

データを次の式に代入します。

次のステップは、結果の数値の立方根を求める必要があることです。

さて、私たちが持っているものをもう一度見てみましょう。 私たちはそれを持っていますが、それを見つける必要があります。そして、それは次と等しくなります。

計算に必要なデータはすべて見つかりました。 式に代入します。

私たちの答え: .

別の同様の問題を自分で解決してみてください。
与えられた: 、
探す：

いくらもらいましたか？ 私は持っている - 。

ご覧のとおり、基本的に必要なのは 公式を1つだけ覚えておいてください- 。 残りはすべて、いつでも簡単に自分で引き出すことができます。 これを行うには、最も単純な等比数列を紙に書き、上で説明した公式に従って、その各数値が何に等しいかを書き留めるだけです。

等比数列の項の合計。

ここで、指定された区間における等比数列の項の合計をすばやく計算できる数式を見てみましょう。

有限等比数列の項の和の公式を導出するには、上記の方程式のすべての部分に を掛けます。 得られるものは次のとおりです。

よく見てください。最後の 2 つの式に共通するものは何でしょうか? そうです、最初と最後のメンバーを除く、たとえば共通のメンバーなどです。 2 番目の式から 1 番目の値を引いてみましょう。 何を手に入れましたか？

次に等比数列の項を式で表し、結果の式を最後の式に代入します。

式をグループ化します。 以下を取得する必要があります:

あとは次のように表現するだけです。

したがって、この場合は。

もしも？ それではどのような公式が機能するのでしょうか？ の等比数列を想像してください。 彼女はどんな人ですか？ 正しい行 同じ数字したがって、式は次のようになります。

等差数列と等差数列の両方については多くの伝説があります。 その1つは、チェスの創始者であるセトの伝説です。

チェスのゲームがインドで発明されたことは多くの人が知っています。 ヒンドゥー教の王は彼女に会ったとき、彼女の機知と彼女の多様な立場に喜びました。 それが臣下の一人によって発明されたことを知った王は、彼に個人的に褒美を与えることに決めました。 彼は発明家を自分自身に呼び出し、彼に望むものはすべて尋ねるように命じ、最も巧みな欲望さえも満たすことを約束しました。

セタは考える時間をくれと頼み、翌日セタが王の前に現れたとき、前例のない謙虚な要求で王を驚かせた。 彼は、チェス盤の最初のマス目に小麦一粒、二番目に小麦一粒、三番目、四番目に小麦一粒というように与えるように頼みました。

王は怒って、召使いの要求は王の寛大さに値しないと言ってセツを追い返しましたが、召使いには盤のすべてのマス分の穀物を受け取ると約束しました。

ここで質問です。等比数列の項の和の公式を使用して、セスが受け取るべき穀物の数を計算しますか?

推理を始めましょう。 条件に従って、セスはチェス盤の最初のマス目、二番目、三番目、四番目などに小麦一粒を要求したので、問題は等比級数に関するものであることがわかります。 この場合、それは何に等しいでしょうか?
右。

チェス盤の合計正方形。 それぞれ、 。 データはすべて揃っているので、あとはそれを式に当てはめて計算するだけです。

特定の数値の少なくともおおよその「スケール」を想像するには、次の次のプロパティを使用して変換します。

もちろん、必要に応じて電卓を使って最終的な数値を計算することもできます。そうでない場合は、私の言葉をそのまま信じてください。式の最終値は次のようになります。
つまり:

京、京、兆、億。

ふー）この数の巨大さを想像したい場合は、穀物の全量を収容するためにどのくらいの大きさの納屋が必要になるかを見積もってください。
納屋の高さが m、幅が m の場合、その長さは km、つまり 1 km 伸びる必要があります。 地球から太陽までの2倍の距離。

もし王が数学に強いなら、科学者自身を招いて穀物を数えることもできただろう。なぜなら、100万粒を数えるには、少なくとも1日は精力的に数え続ける必要があり、また、京の穀物を数える必要があることを考えると、彼の生涯を通して数えられなければならないでしょう。

次に、等比数列の項の和に関する簡単な問題を解いてみましょう。
クラス5Aのヴァシャの生徒はインフルエンザにかかりましたが、学校に通い続けています。 毎日、Vasya は 2 人に感染させ、その人がさらに 2 人に感染させ、というように続きます。 クラスには人しかいません。 何日以内にクラス全員がインフルエンザに罹りますか?

したがって、等比数列の最初の項はヴァシャ、つまり人です。 等比数列の第 3 項は、彼が到着初日に感染させた 2 人です。 進級期間の合計は 5A の生徒の数と同じになります。 したがって、次のような進歩について話します。

データを等比数列の項の和の式に代入してみましょう。

数日以内にクラス全員が病気になるでしょう。 公式や数字を信じていませんか? 生徒たちの「感染」を自分自身で描いてみてください。 うまくいきましたか？ 私にとってそれがどのように見えるか見てください：

クラスに一人しかいなかった場合、各生徒が人に感染した場合、生徒がインフルエンザにかかるまでに何日かかるかを自分で計算してください。

どのような価値が得られましたか? 1日後には全員が体調を崩し始めたことが判明した。

ご覧のとおり、そのようなタスクとそのための図はピラミッドに似ており、後続のタスクが新しい人々を「連れてきます」。 しかし、遅かれ早かれ、後者が誰も惹きつけられなくなる瞬間が来ます。 私たちの場合、クラスが孤立していると想像すると、からの人がチェーンを閉じます()。 したがって、ある人が他の2人の参加者を連れてきた場合にお金が与えられるという金融ピラミッドに巻き込まれた場合、その人（または一般的に）は誰も連れてこないため、この金融詐欺に投資したすべてを失うことになります。

上で述べたことはすべて、減少または増加する等比数列を指しますが、覚えているように、無限に減少する等比数列という特別なタイプがあります。 メンバーの合計を計算するにはどうすればよいですか? そして、なぜこのタイプの進行には特定の特徴があるのでしょうか? 一緒に考えてみましょう。

そこで、最初に、この例の無限減少等比数列の図をもう一度見てみましょう。

ここで、少し前に導出した等比数列の和の公式を見てみましょう。
または

私たちは何のために努力しているのでしょうか？ そうです、グラフを見るとゼロに向かう傾向があることがわかります。 つまり、ほぼ得られる式を計算すると、at はそれぞれほぼ等しくなります。 この点に関して、無限に減少する等比数列の合計を計算する場合、この括弧は等しいため無視できると考えられます。

- 式は、無限に減少する等比数列の項の合計です。

重要！無限減少等比数列の項の和の公式を使用するのは、和を求める必要があることが条件で明示されている場合に限られます。 無限会員数。

特定の数 n が指定されている場合は、or であっても、n 項の合計の公式を使用します。

さあ、練習しましょう。

1. と を使用して等比数列の最初の項の和を求めます。
2. と を使用して、無限減少する等比数列の項の和を求めます。

細心の注意を払っていただければ幸いです。 答えを比較してみましょう。

これで等比数列についてすべてを理解できたので、理論から実践に移りましょう。 試験で遭遇する最も一般的な等比数列の問題は、複利を計算する問題です。 これらについてお話します。

複利の計算に関する問題。

いわゆる複利計算式について聞いたことがあるでしょう。 それが何を意味するか理解していますか？ そうでない場合は、それを理解しましょう。プロセス自体を理解すれば、等比数列がそれにどのような関係があるかをすぐに理解できるからです。

誰もが銀行に行くと、預金にはさまざまな条件があることを知っています。これには、期間、追加サービス、利息が含まれており、単純な計算方法と複雑な計算方法の 2 つの異なる計算方法があります。

と 単利すべては多かれ少なかれ明らかです。利息は預金期間の終了時に 1 回発生します。 つまり、1年間100ルーブルを入金した場合、それらは年末にのみ入金されます。 したがって、預金の終わりまでにルーブルを受け取ることになります。

複利- これはそれが発生するオプションです 利息の資本化、つまり 入金額への追加とその後の収入の計算は、最初の入金額ではなく、累積入金額から行われます。 大文字化は常に発生するわけではありませんが、ある程度の頻度で発生します。 原則として、このような期間は均等であり、銀行は月、四半期、または年を使用することがほとんどです。

同じルーブルを毎年預けるが、毎月の資本化が行われると仮定しましょう。 私たちは何をしているのでしょうか？

ここですべて理解できますか？ そうでない場合は、段階的に解決してみましょう。

私たちは銀行にルーブルを持っていきました。 月末までに、ルーブルとその利息からなる金額が口座に入金されるはずです。つまり、次のとおりです。

同意する？

それを括弧から取り出すと、次のようになります。

同意します。この式はすでに最初に書いたものにより似ています。 残っているのはパーセンテージを計算することだけです

問題文では年率について説明されています。 ご存知のとおり、乗算はしません。パーセンテージを小数に変換します。つまり、次のようになります。

右？ さて、その数字はどこから来たのかと疑問に思うかもしれません。 とてもシンプルです！
繰り返しますが、問題文には次のようなことが書かれています 年間発生する利息 毎月。 ご存知のとおり、1 年後、銀行は月ごとに年利の一部を請求します。

分かりましたか？ ここで、利息が毎日計算されると言ったら、式のこの部分はどうなるかを書いてみてください。
なんとかなりましたか？ 結果を比較してみましょう。

よくやった！ タスクに戻りましょう。蓄積された入金額に利息が発生することを考慮して、2 か月目にアカウントにいくら入金されるかを書きます。
私が得たものは次のとおりです。

言い換えれば、次のようになります。

あなたはすでに、このすべてのパターンに気づき、等比数列を見たことがあると思います。 そのメンバーがいくらになるのか、言い換えれば、月末にどのくらいの金額を受け取るのかを書きます。
した？ チェックしてみよう！

ご覧のとおり、単利で 1 年間銀行にお金を預けるとルーブルが得られ、複利ではルーブルが得られます。 利益は小さいですが、これは 1 年目にのみ発生しますが、長期的には資本化の方がはるかに収益性が高くなります。

複利に関係する別のタイプの問題を見てみましょう。 理解した後は、それはあなたにとって初歩的なものになります。 したがって、タスクは次のとおりです。

Zvezda 社は 2000 年にドルを資金として業界への投資を開始しました。 2001 年以来、毎年、前年の資本金と同額の利益を得ています。 利益が流通から引き出されなかった場合、ズベズダ社は 2003 年末にどのくらいの利益を得るでしょうか?

2000年にズベズダ社の資本となった。
- 2001年にZvezda社の資本となりました。
- 2002年にZvezda社の資本となりました。
- 2003年にZvezda社の資本となりました。

または、簡単に次のように書くこともできます。

私たちの場合:

2000年、2001年、2002年、2003年。

それぞれ：
ルーブル
この問題では、パーセンテージが毎年与えられ、毎年計算されるため、by または by による除算がないことに注意してください。 つまり、複利の問題を読むときは、何パーセントが与えられ、どの期間で計算されるかに注意してから計算に進みます。
これで等比数列についてすべて理解できました。

トレーニング。

1. 等比数列の項がわかっている場合は、その項を見つけます。
2. 等比数列の最初の項の和がわかっている場合はそれを求めます。
3. MDM Capital 社は 2003 年にドル建ての資本で業界への投資を開始しました。 2004 年以来、毎年、前年の資本金と同額の利益を得ています。 MSK キャッシュ フロー社は、2005 年に業界に 10,000 ドルの投資を開始し、2006 年には 10,000 ドルの利益を上げ始めました。 利益が流通から引き出されなかった場合、2007 年末時点で、一方の企業の資本金は他方の企業より何ドル大きくなりますか?

答え:

1. 問題文では、数列が無限であるとは述べておらず、その項の特定数の合計を求める必要があるため、計算は次の式に従って実行されます。
2. 
   MDMキャピタル会社:

   2003、2004、2005、2006、2007。
   - 100%、つまり 2 倍に増加します。
   それぞれ：
   ルーブル
   MSKキャッシュフロー会社:

   2005、2006、2007。
   - 倍、つまり倍になります。
   それぞれ：
   ルーブル
   ルーブル

要約しましょう。

1) 等比数列 ( ) は、最初の項がゼロではなく、2 番目から始まる各項が前の項と同じ数を掛けた数列です。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。

2) 等比数列の項の方程式は です。

3) およびを除く任意の値を取ることができます。

• 場合、数列の後続の項はすべて同じ符号を持ちます。 ポジティブです;
• if、その後の進行のすべての項 代替標識。
• when - 進行は無限減少と呼ばれます。

4) , at - 等比数列の性質 (隣接項)

または
、（等距離項）

見つけたら忘れずに 答えは2つあるはずです.

例えば、

5) 等比数列の項の合計は、次の式で計算されます。
または

進行状況が無限に減少している場合は、次のようになります。
または

重要！条件で無限数の項の和を求める必要があることが明示されている場合にのみ、無限減少等比数列の項の和の公式を使用します。

6) 複利の問題も、資金が流通から引き出されていなければ、等比数列の第 3 項の公式を使用して計算されます。

幾何学的進行。 主なものについて簡単に説明

幾何級数( ) は数値列で、最初の項はゼロではなく、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。 この番号はと呼ばれます 等比数列の分母。

等比数列の分母と を除く任意の値を取ることができます。

• 数列の後続のすべての項が同じ符号を持つ場合、それらは正になります。
• 場合は、進行のすべての後続のメンバーが交互の記号になります。
• when - 進行は無限減少と呼ばれます。

等比数列の項の方程式 - .

等比数列の項の和次の式で計算されます。
または

等比数列は、等差数列と並んで、9 年生の学校の代数学コースで学習される重要な数列です。 この記事では、等比数列の分母と、その値がそのプロパティにどのような影響を与えるかを見ていきます。

等比数列の定義

まず、この数列の定義を与えましょう。 等比数列は、最初の要素に分母と呼ばれる定数を順次乗算することによって形成される一連の有理数です。

たとえば、3、6、12、24、... という系列の数字は等比数列です。3 (最初の要素) に 2 を掛けると 6 になります。6 に 2 を掛けると、次のようになります。 12、など。

考慮中のシーケンスのメンバーは、通常、記号 ai で示されます。ここで、i は、シーケンス内の要素の番号を示す整数です。

上記の数列の定義は、数学言語で次のように書くことができます: an = bn-1 * a1 (b は分母)。 この式を確認するのは簡単です。n = 1 の場合、b1-1 = 1 となり、a1 = a1 が得られます。 n = 2 の場合、an = b * a1 となり、問題の一連の数値の定義に戻ります。 同様の推論は、n の値が大きい場合にも継続できます。

等比数列の分母

数値 b は、一連の数値全体がどのような文字を持つかを完全に決定します。 分母 b は、正、負、または 1 より大きいか小さい場合があります。 上記のオプションはすべて、異なるシーケンスになります。

• b > 1. 有理数の系列が増加しています。 たとえば、1、2、4、8、... 要素 a1 が負の場合、シーケンス全体は絶対値でのみ増加しますが、数値の符号に応じて減少します。
• b = 1。通常の一連の同一の有理数が存在するため、この場合は数列とは呼ばれません。 たとえば、-4、-4、-4。

金額の計算式

検討中の数列の種類の分母を使用して特定の問題の検討に移る前に、最初の n 要素の合計に関する重要な公式を与える必要があります。 式は次のようになります: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)。

進行の項の再帰シーケンスを考慮すれば、この式を自分で取得できます。 また、上記の式では、任意の数の項の合計を求めるには、最初の要素と分母だけがわかれば十分であることに注意してください。

無限減少シーケンス

それが何であるかについては上で説明しました。 Sn の公式がわかったので、それをこの数列に適用してみましょう。 法が 1 を超えない任意の数なので、次のように累積すると、 大きな度ゼロに向かう傾向があります。つまり、-1 の場合 b∞ => 0

分母の値に関係なく、差 (1 - b) は常に正となるため、無限減少等比数列 S∞ の和の符号は、その最初の要素 a1 の符号によって一意に決まります。

ここで、取得した知識を特定の数値に適用する方法を示すいくつかの問題を見てみましょう。

問題 No. 1. 数列と和の未知要素の計算

等比数列が与えられた場合、数列の分母は 2 で、その最初の要素は 3 です。その 7 番目と 10 番目の項は何に等しくなりますか、またその 7 つの最初の要素の合計は何ですか?

問題の条件は非常に単純で、上記の公式を直接使用する必要があります。 したがって、要素番号 n を計算するには、式 an = bn-1 * a1 を使用します。 7 番目の要素については、a7 = b6 * a1 が得られ、既知のデータを代入すると、a7 = 26 * 3 = 192 が得られます。10 番目の項についても同じことを行い、a10 = 29 * 3 = 1536 となります。

よく知られた合計の公式を使用して、系列の最初の 7 要素のこの値を決定してみましょう。 S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 となります。

問題 No. 2. 数列の任意の要素の合計を求める

-2 を等比数列 bn-1 * 4 の分母と等しくします (n は整数)。 この系列の 5 番目から 10 番目までの要素の合計を求める必要があります。

提起された問題は、既知の公式を使用して直接解決することはできません。 2つの方法で解決できます さまざまな方法。 トピックのプレゼンテーションを完了するために、両方を提示します。

方法 1. 考え方は簡単です。最初の項の対応する 2 つの合計を計算し、一方からもう一方を減算する必要があります。 小さい方の量を計算します: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364。 ここで、より大きな合計を計算します: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20。 問題の条件に従って計算する必要がある量には 5 番目の項がすでに含まれているため、最後の式では 4 つの項のみが合計されていることに注意してください。 最後に、差を計算します: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344。

方法 2. 数値を代入して数を数える前に、対象の級数の m 項と n 項の間の和の式を取得できます。 方法 1 とまったく同じ方法で進めますが、最初に金額のシンボル表現を扱う点のみが異なります。 Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) 。 結果の式に既知の数値を代入して、最終結果を計算できます: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344。

問題 No.3. 分母は何ですか?

a1 = 2 とし、その無限和が 3 であり、これが減少する一連の数であることがわかっているとして、等比数列の分母を求めます。

問題の状況に基づいて、どの公式を使用して問題を解決すべきかを推測することは難しくありません。 もちろん、進行の合計は無限に減少します。 S∞ = a1 / (1 - b) となります。 ここから分母を表します: b = 1 - a1 / S∞。 あとは代入するだけです 既知の値そして必要な数値を取得します: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 または -0.333(3)。 このタイプのシーケンスでは法 b が 1 を超えてはいけないことを覚えていれば、この結果を定性的に確認できます。

タスク No. 4. 一連の数値の復元

たとえば、数列の 2 つの要素が与えられたとします。たとえば、5 番目が 30 に等しく、10 番目が 60 に等しいとします。等比数列の特性を満たすことがわかっているので、これらのデータから系列全体を再構成する必要があります。

この問題を解決するには、まず既知の各用語に対応する表現を書き留める必要があります。 a5 = b4 * a1 および a10 = b9 * a1 となります。 2 番目の式を最初の式で割ると、a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 が得られます。 ここから、問題ステートメントから既知の項の比の 5 番目の根を取ることで分母を決定します (b = 1.148698)。 結果の数値を既知の要素の式の 1 つに代入すると、a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 が得られます。

したがって、数列 bn の分母と等比数列 bn-1 * 17.2304966 = an (b = 1.148698) が見つかりました。

等比数列はどこで使用されますか?

この数列の実際的な応用がなければ、その研究は純粋に理論的な興味に終わってしまいます。 しかし、そのようなアプリケーションは存在します。

以下に最も有名な 3 つの例を示します。

• 機敏なアキレスが遅いカメに追いつけないというゼノンのパラドックスは、無限に減少する数列の概念を使用して解決されます。
• チェス盤の各マス目に小麦粒を配置し、最初のマス目には 1 粒、2 番目には 2 粒、3 番目には 3 粒というように配置すると、ボードのすべてのマス目を埋めるには次のことが必要になります。 18446744073709551615粒！
• ゲーム「ハノイの塔」では、ディスクをあるロッドから別のロッドに移動するには、2n - 1 回の操作を実行する必要があります。つまり、使用されるディスクの数 n に応じて、その数は指数関数的に増加します。

幾何級数算数と比べて数学においても同様に重要です。 等比数列は、一連の数値 b1、b2、...、b[n] であり、次の各項は前の項に定数を乗じることによって得られます。 この数値は、進行の成長または減少の速度を特徴付けるものでもあり、 等比数列の分母と示します

等比数列を完全に指定するには、分母に加えて、その最初の項を知るか決定する必要があります。 分母の値が正の場合、この数列が単調減少である場合と単調増加である場合、数列は単調シーケンスになります。 分母が 1 に等しい場合は、実際には考慮されません。同一の数値のシーケンスがあり、それらの合計には実用的な意味がないからです。

等比数列の総称式で計算される

等比数列の最初の n 項の合計式によって決定される

古典的な等比数列の問題の解決策を見てみましょう。 理解しやすい最も単純なものから始めましょう。

例 1. 等比数列の第 1 項は 27 で、分母は 1/3 です。 等比数列の最初の 6 項を見つけます。

解決策: 問題の状況をフォームに書きましょう

計算には等比数列の n 項の公式を使用します。

それに基づいて、進行の未知の項を見つけます

ご覧のとおり、等比数列の項の計算は難しくありません。 進行自体は次のようになります

例 2. 等比数列の最初の 3 つの項は次のように与えられます。 -12; 24. 分母とその第 7 項を求めます。

解決策: 定義に基づいて幾何級数の分母を計算します。

分母が -2 に等しい交互等比数列が得られました。 第 7 項は次の式を使用して計算されます。

これで問題は解決します。

例 3. 等比数列は 2 つの項によって与えられます 。 進行の第 10 項を見つけます。

解決：

与えられた値を数式を使って書いてみましょう

ルールによれば、分母を見つけてから目的の値を探す必要がありますが、10 番目の項では次のようになります。

入力データの簡単な操作に基づいて同じ式を取得できます。 シリーズの 6 番目の項を別の項で割ると、結果として次のようになります。

結果の値に 6 番目の項を掛けると、10 番目の項が得られます。

したがって、そのようなタスクでは、単純な変換を使用して、 早い方法適切な解決策を見つけることができます。

例 4. 等比数列は漸化式によって与えられます

等比数列の分母と最初の 6 項の和を求めます。

解決：

与えられたデータを連立方程式の形で書いてみましょう

2 番目の式を最初の式で割って分母を表します。

最初の方程式から数列の第 1 項を求めてみましょう

次の 5 つの項を計算して等比数列の和を求めてみましょう

等比数列は、最初の項がゼロ以外の数値シーケンスであり、後続の各項は前の項に同じ非ゼロの数を乗算したものに等しくなります。

等比数列の概念

等比数列は、b1、b2、b3、…、bn、…と表されます。

幾何誤差の任意の項とその前の項の比率は同じ数値に等しくなります。つまり、 b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … 。 これは等差数列の定義から直接得られます。 この数は等比数列の分母と呼ばれます。 通常、等比数列の分母は文字 q で表されます。

|q| の無限等比数列の和<1

等比数列を指定する方法の 1 つは、その最初の項 b1 と幾何数列の分母 q を指定することです。 たとえば、b1=4、q=-2です。 これら 2 つの条件は等比数列 4、-8、16、-32、…を定義します。

q>0 (q が 1 に等しくない) の場合、進行は単調シーケンスになります。 たとえば、シーケンス 2、4、8、16、32、... は単調増加シーケンス (b1=2、q=2) です。

幾何誤差の分母が q=1 の場合、等比数列のすべての項は互いに等しくなります。 このような場合、進行は一定のシーケンスであると言われます。

数列 (bn) が等比数列であるためには、2 番目から始まるその各要素が、隣接する要素の幾何平均である必要があります。 つまり、次式を満たす必要があります。
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2)、n>0 の場合、n は自然数 N の集合に属します。

次に、(Xn) - 等比数列を入れてみましょう。 等比数列 q の分母、|q|∞)。
ここで、無限等比数列の和を S と表すと、次の式が適用されます。
S=x1/(1-q)。

簡単な例を見てみましょう。

無限等比数列 2、-2/3、2/9、-2/27、… の和を求めます。

S を求めるには、無限等差数列の和の公式を使用します。 |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.