Tema so premosorazmerne in obratno sorazmerne količine. Objave z oznako "direktna sorazmernost"

I. Premo sorazmerne vrednosti.

Naj vrednost l odvisno od velikosti X. Če s povečanjem X nekajkrat večji pri poveča za enak faktor, potem take vrednosti X in pri se imenujejo neposredno sorazmerni.

Primeri.

1 . Količina kupljenega blaga in stroški nakupa (po fiksni ceni ene enote blaga - 1 kos ali 1 kg itd.) Kolikokrat več blaga je bilo kupljeno, tolikokrat več in plačano.

2 . Prevožena razdalja in čas, porabljen za to (pri konstantni hitrosti). Kolikokrat daljša je pot, tolikokrat več časa bomo porabili zanjo.

3 . Prostornina telesa in njegova masa. ( Če je ena lubenica 2-krat večja od druge, bo njena masa 2-krat večja)

II. Lastnost preme sorazmernosti količin.

Če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem je razmerje dveh poljubnih vrednosti prve količine enako razmerju dveh ustreznih vrednosti druge količine.

Naloga 1. Za malinovo marmelado 12 kg maline in 8 kg Sahara. Koliko sladkorja bo potrebno, če ga vzamete 9 kg maline?

rešitev.

Trdimo takole: naj bo potrebno x kg sladkor na 9 kg maline. Masa malin in masa sladkorja sta premosorazmerni vrednosti: kolikokrat manj malin potrebujemo enako količino sladkorja. Zato je razmerje vzetih (po masi) malin ( 12:9 ) bo enako razmerju odvzetega sladkorja ( 8:x). Dobimo delež:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. odgovor: na 9 kg maline vzeti 6 kg Sahara.

Rešitev problema lahko bi naredili takole:

Naj naprej 9 kg maline vzeti x kg Sahara.

(Puščice na sliki so usmerjene v eno smer in ni pomembno navzgor ali navzdol. Pomen: kolikokrat število 12 več številk 9 , enako število 8 več številk X, tj. tukaj je neposredna odvisnost).

odgovor: na 9 kg maline vzeti 6 kg Sahara.

Naloga 2. avto za 3 ure prevožena razdalja 264 km. Kako dolgo mu bo vzelo 440 kmče potuje z enako hitrostjo?

rešitev.

Naj za x ur avto bo premagal razdaljo 440 km.

odgovor: avto bo šel mimo 440 km v 5 urah.

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam lahko vse to koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šolskih zidov.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Zato razmerje med količinami opisuje neposredno in obratno sorazmernost.

Neposredna sorazmernost- to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda kot boste vložili v priprave na izpite, višje bodo vaše ocene. Ali pa več stvari ko vzameš s seboj na pohod, težje je nositi nahrbtnik. Tisti. količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Inverzna sorazmernost- to je funkcionalna odvisnost, pri kateri se večkrat zmanjša ali poveča neodvisna vrednost(imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne vrednosti (imenuje se funkcija).

Ilustrirajte preprost primer. Želite kupiti jabolka na trgu. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta obratno sorazmerna. Tisti. več jabolk kot kupite, tem manj denarja ti bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V katerem x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima maksimalnih ali minimalnih vrednosti.
4. Je liho in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne prečka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (to pomeni, da argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne vrednosti pa v intervalu (0; +∞). Ko se argument zmanjšuje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcije obratne sorazmernosti imenujemo hiperbola. Upodobljen na naslednji način:

Obratno sorazmerni problemi

Da bo bolj jasno, si poglejmo nekaj nalog. Niso preveč zapleteni, njihova rešitev pa vam bo pomagala vizualizirati, kaj je obratno sorazmerje in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga številka 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel na cilj. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se giblje dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, zelo nas spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, obratno sorazmerna.

Da bi to preverili, poiščimo V 2, ki je po pogoju 2-krat višji: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoj problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: z 2-krat večjo hitrostjo od prvotne bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Zakaj ustvarimo tak diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice kažejo obratno razmerje. Predlagajo tudi, da je treba pri sestavljanju razmerja desno stran zapisa obrniti: 60/120 \u003d x / 6. Kje dobimo x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ure.

Naloga številka 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bo trajalo, da bodo preostali delavci opravili enako količino dela?

Pogoje problema zapišemo v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev - 4 ure

↓ 3 delavci - x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo ostali porabili 2-krat več časa za dokončanje vsega dela.

Naloga številka 3. Do bazena vodita dve cevi. Skozi eno cev doteka voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Po drugi cevi bo bazen napolnjen v 75 minutah. Kako hitro pride voda skozi to cev v bazen?

Za začetek bomo vse količine, ki so nam dane glede na pogoj problema, pripeljali do istih merskih enot. Da bi to naredili, izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Ker iz pogoja izhaja, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, pomeni, da je dotok vode manjši. Na obrazu obratno sorazmerje. Izrazimo nam neznano hitrost z x in sestavimo naslednjo shemo:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem bomo naredili razmerje: 120 / x \u003d 75/45, od koder x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

V nalogi je stopnja polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, pripeljimo naš odgovor v isto obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga številka 4. Vizitke tiskamo v manjši zasebni tiskarni. Zaposleni v tiskarni delajo s hitrostjo 42 vizitk na uro in delajo polni delovni čas - 8 ur. Če bi delal hitreje in natisnil 48 vizitk na uro, koliko prej bi lahko šel domov?

Gremo na preizkušen način in sestavimo shemo glede na pogoj problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/h – 8 h

↓ 48 vizitk/h – xh

Pred nami je obratno sorazmerno razmerje: kolikokrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, toliko časa bo porabil za isto delo. Če to vemo, lahko naredimo razmerje:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da jih zdaj tudi vi smatrate za takšne. In kar je najpomembneje, znanje o obratno sorazmerni odvisnosti količin vam lahko resnično koristi večkrat.

Ne le pri urah in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se boste odpravili na izlet, nakupovali, se odločili zaslužiti nekaj denarja med počitnicami ipd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratne in neposredne sorazmernosti opažate okoli sebe. Naj bo to igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka v socialnih omrežjih tako da se lahko igrajo tudi vaši prijatelji in sošolci.

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Poleg premo sorazmernih količin so v aritmetiki upoštevali tudi obratno sorazmerne količine.

Navedimo primere.

1) Dolžini osnove in višine pravokotnika s konstantno ploščino.

Naj bo za vrt potrebno dodeliti pravokotno površino s površino

Poljubno lahko nastavimo npr. dolžino odseka. Toda potem bo širina odseka odvisna od tega, kakšno dolžino smo izbrali. Različne (možne) dolžine in širine so prikazane v tabeli.

Na splošno, če dolžino odseka označimo skozi x in širino skozi y, potem lahko razmerje med njima izrazimo s formulo:

Če izrazimo y z x, dobimo:

Če damo x poljubne vrednosti, bomo dobili ustrezne vrednosti y.

2) Čas in hitrost enakomernega gibanja na določeni razdalji.

Naj bo razdalja med mestoma 200 km. Višja kot je hitrost, manj časa bo potrebno za premagovanje določene razdalje. To je razvidno iz naslednje tabele:

Na splošno, če označimo hitrost skozi x in čas gibanja skozi y, bo razmerje med njima izraženo s formulo:

Opredelitev. Razmerje med obema vrednostma, izraženo z enakostjo , kjer k - določeno število(ni enako nič) imenujemo obratno sorazmerno razmerje.

Število tukaj imenujemo tudi koeficient sorazmernosti.

Tako kot v primeru neposredne sorazmernosti lahko v enakosti vrednosti x in y v splošnem primeru sprejmeta pozitivne in negativne vrednosti.

Toda v vseh primerih obratne sorazmernosti nobena od količin ne more biti enaka nič. Dejansko, če je vsaj ena od vrednosti x ali y enaka nič, potem bo v enakosti leva stran enaka nič

In desno - na določeno število, ki ni enako nič (po definiciji), to pomeni, da bo pridobljena napačna enakost.

2. Graf obratnega sorazmerja.

Zgradimo graf odvisnosti

Če izrazimo y z x, dobimo:

Dali bomo poljubne (dovoljene) vrednosti x in izračunali ustrezne vrednosti y. Pripravimo mizo:

Konstruirajmo ustrezne točke (slika 28).

Če vzamemo vrednosti x v manjših intervalih, bodo točke nameščene bližje.

Za vse možne vrednosti x bodo ustrezne točke nameščene na dveh vejah grafa, simetričnih glede na izvor in potekajo v I in III četrtini koordinatne ravnine (slika 29).

Vidimo torej, da je graf obratne sorazmernosti ukrivljena črta. Ta linija ima dve veji.

Ena veja bo pridobljena s pozitivnimi, druga - z negativnimi vrednostmi x.

Obratno sorazmeren graf imenujemo hiperbola.

Če želite dobiti natančnejši graf, morate zgraditi čim več točk.

Z dovolj visoko natančnostjo je mogoče hiperbolo narisati na primer z vzorci.

Na risbi 30 je narisano obratno sorazmerno razmerje z negativnim koeficientom. Na primer, tako da naredite tabelo, kot je ta:

dobimo hiperbolo, katere veje se nahajajo v II in IV četrtini.

Vrste odvisnosti

Razmislite o polnjenju baterije. Kot prvo vrednost vzemimo čas polnjenja. Druga vrednost je čas, ko bo deloval po polnjenju. Dlje ko se baterija polni, dlje bo zdržala. Postopek se bo nadaljeval, dokler baterija ni popolnoma napolnjena.

Odvisnost življenjske dobe baterije od časa polnjenja

Opomba 1

Ta odvisnost se imenuje naravnost:

Ko ena vrednost narašča, se povečuje tudi druga. Ko se ena vrednost zmanjša, se zmanjša tudi druga vrednost.

Poglejmo še en primer.

Več knjig kot učenec prebere, manj napak bo naredil pri nareku. Ali višje ko se povzpnete v gore, nižji bo atmosferski tlak.

Opomba 2

Ta odvisnost se imenuje vzvratno:

Ko ena vrednost narašča, se druga zmanjšuje. Ko se ena vrednost zmanjša, se druga vrednost poveča.

Tako v primeru neposredna odvisnost obe količini se spreminjata na enak način (obe bodisi naraščata ali padata), in v primeru inverzno razmerje- nasprotno (ena se povečuje, druga zmanjšuje ali obratno).

Ugotavljanje odvisnosti med količinami

Primer 1

Čas, potreben za obisk prijatelja, je 20 $ minut. S povečanjem hitrosti (prve vrednosti) za $2$-krat bomo ugotovili, kako se bo spremenil čas (druga vrednost), ki ga bomo porabili za pot do prijatelja.

Očitno se bo čas zmanjšal za $2$-krat.

Opomba 3

Ta odvisnost se imenuje sorazmerno:

Kolikokrat se spremeni ena vrednost, tolikokrat se bo spremenila druga.

Primer 2

Za štruco kruha v trgovini za 2 dolarja morate odšteti 80 rubljev. Če morate kupiti štruce kruha za 4$ (količina kruha se poveča za 2$-krat), koliko več boste morali plačati?

Očitno se bodo tudi stroški povečali za 2$-krat. Imamo primer proporcionalne odvisnosti.

V obeh primerih so bile upoštevane proporcionalne odvisnosti. Toda v primeru s štrucami kruha se vrednosti spremenijo v eno smer, zato je odvisnost naravnost. In v primeru potovanja k prijatelju je razmerje med hitrostjo in časom vzvratno. Tako obstaja neposredno sorazmerno razmerje in obratno sorazmerno razmerje.

Neposredna sorazmernost

Upoštevajte sorazmerne količine 2 $: število štruc kruha in njihovo ceno. Naj 2$ kruha stane 80$ rubljev. S povečanjem števila zvitkov za 4$-krat (8$ zvitkov) bo njihov skupni strošek znašal 320$ rubljev.

Razmerje med številom zvitkov: $\frac(8)(2)=4$.

Razmerje med stroški zvitka: $\frac(320)(80)=4$.

Kot lahko vidite, so ta razmerja med seboj enaka:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicija 1

Enakost dveh odnosov se imenuje delež.

Z neposredno sorazmernim razmerjem dobimo razmerje, ko je sprememba prve in druge vrednosti enaka:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicija 2

Ti dve količini se imenujeta neposredno sorazmernače se ob spremembi (povečanju ali zmanjšanju) ene od njiju druga vrednost spremeni (ustrezno poveča ali zmanjša) za enako vrednost.

Primer 3

Avto je v 2$ urah prevozil 180$ km. Poiščite čas, ki ga potrebuje, da premaga 2$-kratnik razdalje z enako hitrostjo.

rešitev.

Čas je neposredno sorazmeren z razdaljo:

$t=\frac(S)(v)$.

Kolikokrat se bo razdalja povečala, pri konstantni hitrosti se bo čas povečal za enako količino:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Avto je prevozil 180$ km - v času 2$ uri

Avto prevozi $180 \cdot 2=360$ km - v času $x$ ur

Večjo razdaljo kot avto prevozi, več časa bo potreboval. Zato je razmerje med količinama premosorazmerno.

Naredimo razmerje:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odgovori: Avto bo potreboval 4$ ure.

Inverzna sorazmernost

Definicija 3

rešitev.

Čas je obratno sorazmeren s hitrostjo:

$t=\frac(S)(v)$.

Za kolikokrat se hitrost poveča, se pri enaki poti čas za enako zmanjša:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapišimo pogoj problema v obliki tabele:

Avto je prevozil 60$ km - v času 6$ ur

Avto prevozi 120$ km - v času $x$ ur

Hitrejši kot je avto, manj časa bo potreboval. Zato je razmerje med količinama obratno sorazmerno.

Naredimo razmerje.

Ker sorazmernost je obratna, drugo razmerje obrnemo v sorazmerju:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odgovori: Avto bo potreboval 3$ ure.

Dopolnil: Chepkasov Rodion

učenec 6. "B" razreda

MBOU "Srednja šola št. 53"

Barnaul

Vodja: Bulykina O.G.

učiteljica matematike

MBOU "Srednja šola št. 53"

Barnaul

Uvod. 1

Razmerja in razmerja. 3

Neposredna in obratna razmerja. 4

Uporaba neposredne in obratne sorazmernosti 6

odvisnosti pri reševanju različnih problemov.

Zaključek. enajst

Literatura. 12

Uvod.

Beseda proporcija izhaja iz latinske besede proporcije, ki pomeni na splošno sorazmernost, enakomernost delov (določeno razmerje delov med seboj). Pitagorejci so v starih časih zelo cenili nauk o proporcih. S proporci so povezovali misli o redu in lepoti v naravi, o sozvočnih akordih v glasbi in harmoniji v vesolju. Nekatere vrste razmerij so imenovali glasbene ali harmonične.

Človek je že v pradavnini ugotovil, da so vsi pojavi v naravi med seboj povezani, da je vse v nenehnem gibanju, spreminjanju in, če se izrazi v številkah, razkriva neverjetne vzorce.

Pitagorejci in njihovi privrženci so iskali številski izraz za vse, kar obstaja na svetu. Našli so; da so matematična razmerja osnova glasbe (razmerje med dolžino strune in višino, razmerje med intervali, razmerje zvokov v akordih, ki dajejo harmonski zvok). Pitagorejci so poskušali matematično utemeljiti idejo o enotnosti sveta, trdili so, da je osnova vesolja simetrična geometrijske oblike. Pitagorejci so iskali matematično utemeljitev lepote.

Po pitagorejcih je srednjeveški učenjak Avguštin lepoto imenoval »številčna enakost«. Sholastični filozof Bonaventura je zapisal: "Ni lepote in užitka brez sorazmernosti, vendar sorazmernost obstaja predvsem v številkah. Treba je, da je vse preračunljivo." O uporabi proporcev v umetnosti je Leonardo da Vinci v svoji razpravi o slikarstvu zapisal: "Slikar v obliki sorazmerja uteleša iste vzorce, ki se skrivajo v naravi, in jih znanstvenik pozna v obliki numeričnega zakona."

Proporcije so uporabljali pri reševanju različnih problemov tako v antiki kot v srednjem veku. Določene vrste problemov se zdaj enostavno in hitro rešijo z uporabo razmerij. Proporcije in sorazmernost so uporabljali in se uporabljajo ne samo v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in umetnosti. Sorazmernost v arhitekturi in umetnosti pomeni ohranjanje določenih razmerij med velikostmi. različne dele zgradbe, figure, skulpture ali druga umetniška dela. Proporcionalnost je v takih primerih pogoj za pravilno in lepo konstrukcijo in podobo

Pri svojem delu sem poskušal razmisliti o uporabi neposredne in obratno sorazmerne odvisnosti na različnih področjih okoliško življenje, skozi naloge zaslediti povezavo z učnimi predmeti.

Razmerja in razmerja.

Kvocient dveh števil se imenuje odnos te številke.

Attitude Shows, kolikokrat je prvo število večje od drugega ali kolikšen del je prvo število od drugega.

Naloga.

V trgovino so pripeljali 2,4 tone hrušk in 3,6 tone jabolk. Kolikšen del uvoženega sadja so hruške?

rešitev . Ugotovite, koliko sadja je bilo skupaj prinesenega: 2,4 + 3,6 = 6 (t). Da ugotovimo, kolikšen del prinesenega sadja predstavljajo hruške, naredimo razmerje 2,4:6 =. Odgovor lahko zapišemo tudi kot decimalni ulomek ali kot odstotek: = 0,4 = 40 %.

medsebojno obratno klical številke, katerih produkti so enaki 1. Zato razmerje se imenuje inverzno razmerje.

Upoštevajte dve enaki razmerji: 4,5:3 in 6:4. Mednje postavimo enačaj in dobimo razmerje: 4,5:3=6:4.

Razmerje je enakost dveh relacij: a : b =c :d ali = , kjer sta a in d ekstremni pogoji sorazmernosti, c in b srednji pogoji(vsi členi deleža so različni od nič).

Osnovna lastnost sorazmerja:

v pravem razmerju je produkt skrajnih členov enak produktu srednjih členov.

Z uporabo komutativne lastnosti množenja dobimo, da lahko v pravem razmerju zamenjate skrajne ali srednje člene. Pravilna bodo tudi dobljena razmerja.

Z uporabo osnovne lastnosti proporca lahko poiščemo njegov neznani člen, če so znani vsi ostali členi.

Da bi našli neznani skrajni člen deleža, je treba srednje člene pomnožiti in deliti z znanim skrajnim členom. x : b = c : d , x =

Da bi našli neznan srednji člen razmerja, je treba pomnožiti skrajne člene in deliti z znanim srednjim členom. a : b = x : d , x = .

Neposredna in obratna razmerja.

Vrednosti dveh različnih količin so lahko medsebojno odvisne druga od druge. Torej je površina kvadrata odvisna od dolžine njegove stranice in obratno - dolžina stranice kvadrata je odvisna od njegove površine.

Za dve količini pravimo, da sta sorazmerni, če z naraščanjem

(zmanjšanje) enega od njih za večkrat, drugi se poveča (zmanjša) za enako količino.

Če sta dve količini neposredno sorazmerni, potem sta razmerja ustreznih vrednosti teh količin enaka.

Primer premo sorazmerno razmerje .

Na bencinski črpalki 2 litra bencina tehtata 1,6 kg. Koliko bodo tehtali 5 litrov bencina?

rešitev:

Teža kerozina je sorazmerna z njegovo prostornino.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x \u003d 5 * 1,6 x \u003d 4

Odgovor: 4 kg.

Pri tem razmerje med težo in prostornino ostane nespremenjeno.

Dve količini se imenujeta obratno sorazmerni, če se pri večkratnem povečanju (zmanjšanju) ene od njiju druga zmanjša (poveča) za enako količino.

Če so količine obratno sorazmerne, potem je razmerje vrednosti ene količine enako obratnemu razmerju ustreznih vrednosti druge količine.

p primerobratno sorazmerno razmerje.

Oba pravokotnika imata enako ploščino. Dolžina prvega pravokotnika je 3,6 m, širina pa 2,4 m.Dolžina drugega pravokotnika je 4,8 m. Poišči širino drugega pravokotnika.

rešitev:

1 pravokotnik 3,6 m 2,4 m

2 pravokotnik 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x \u003d 3,6 * 2,4 \u003d 1,8 m

Odgovor: 1,8 m.

Kot lahko vidite, lahko težave s sorazmernimi količinami rešimo z uporabo razmerij.

Vsaki dve količini nista premo sorazmerni ali obratno sorazmerni. Na primer, višina otroka narašča s starostjo, vendar te vrednosti niso sorazmerne, saj se pri podvojitvi starosti otrokova višina ne podvoji.

Praktična uporaba premo in obratno sorazmernost.

Naloga #1

IN šolska knjižnica 210 učbenikov za matematiko, kar je 15 % celotne knjižnične zaloge. Koliko knjig je v knjižničnem fondu?

rešitev:

Skupaj učbenikov - ? - 100 %

Matematiki - 210 -15%

15 % 210 računov

X \u003d 100 * 210 \u003d 1400 učbenikov

100% x račun. 15

Odgovor: 1400 učbenikov.

Naloga št. 2

Kolesar prevozi 75 km v 3 urah. V kolikšnem času bo kolesar z isto hitrostjo prevozil 125 km?

rešitev:

3 h – 75 km

H - 125 km

Čas in razdalja sta premo sorazmerna, torej

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Odgovor: 5 ur.

Naloga #3

8 enakih cevi napolni bazen v 25 minutah. V koliko minutah bo 10 takšnih cevi napolnilo bazen?

rešitev:

8 cevi - 25 minut

10 cevi - ? minut

Število cevi je obratno sorazmerno s časom, torej

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Odgovor: 20 minut.

Naloga št. 4

Ekipa 8 delavcev opravi nalogo v 15 dneh. Koliko delavcev lahko opravi nalogo v 10 dneh ob enaki produktivnosti?

rešitev:

8 delovnih - 15 dni

Delo - 10 dni

Število delavcev je obratno sorazmerno s številom dni, torej

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Odgovor: 12 delavcev.

Naloga številka 5

Iz 5,6 kg paradižnika dobimo 2 litra omake. Koliko litrov omake lahko dobimo iz 54 kg paradižnikov?

rešitev:

5,6 kg - 2 l

54 kg - ? l

Število kilogramov paradižnika je premosorazmerno s količino dobljene omake, torej

5,6 : 54 = 2 : x,

x =
,

x = 19.

Odgovor: 19 l.

Naloga številka 6

Za ogrevanje šolskega poslopja so premog pridobivali 180 dni po porabi

0,6 tone premoga na dan. Za koliko dni bo trajala ta rezerva, če je dnevno porabimo 0,5 tone?

rešitev:

Število dni

Stopnja porabe

Število dni je obratno sorazmerno s stopnjo porabe premoga, torej

180 : x = 0,5 : 0,6,

x \u003d 180 * 0,6: 0,5,

x = 216.

Odgovor: 216 dni.

Naloga številka 7

IN železove rude 7 delov železa predstavlja 3 dele nečistoč. Koliko ton nečistoč je v rudi, ki vsebuje 73,5 ton železa?

rešitev:

Število kosov

Utež

Železo

73,5

nečistoče

Število delov je neposredno sorazmerno z maso, torej

7 : 73,5 = 3 : x.

x \u003d 73,5 * 3: 7,

x = 31,5.

Odgovor: 31,5 ton

Naloga številka 8

Avto je prevozil 500 km, pri čemer je porabil 35 litrov bencina. Koliko litrov bencina potrebujete za prevoz 420 km?

rešitev:

Razdalja, km

Bencin, l

Razdalja je premo sorazmerna s porabo bencina, torej

500 : 35 = 420 : x,

x \u003d 35 * 420: 500,

x = 29,4.

Odgovor: 29,4 litra

Naloga številka 9

V 2 urah smo ujeli 12 karajev. Koliko krapov bomo ujeli v 3 urah?

rešitev:

Število križev ni odvisno od časa. Te količine niso ne premosorazmerne ne obratno sorazmerne.

Odgovor: Ni odgovora.

Naloga številka 10

Rudarsko podjetje mora kupiti 5 novih strojev za določen znesek denarja po ceni 12 tisoč rubljev na enega. Koliko teh avtomobilov lahko podjetje kupi, če cena enega avtomobila postane 15.000 rubljev?

rešitev:

Število avtomobilov, kos.

Cena, tisoč rubljev

Število avtomobilov je obratno sorazmerno s stroški, torej

5:x=15:12,

x= 5*12:15,

x=4.

Odgovor: 4 avtomobili.

Naloga številka 11

V mestu N na kvadratu P je trgovina, katere lastnik je tako strog, da od plače odšteje 70 rubljev za zamudo za 1 zamudo na dan. Dve dekleti Yulia in Natasha delata v enem oddelku. Njihovo plača odvisno od števila delovnih dni. Julia je prejela 4100 rubljev v 20 dneh, Natasha pa bi morala prejeti več v 21 dneh, vendar je zamujala 3 dni zapored. Koliko rubljev bo dobila Natasha?

rešitev:

Delovni dnevi

Plača, rub.

Julija

4100

Nataša

Plača je torej premo sorazmerna s številom delovnih dni

20 : 21 = 4100 : x,

x = 4305.

4305 rubljev. Nataša bi morala.

4305 - 3 * 70 = 4095 (rub.)

Odgovor: Natasha bo prejela 4095 rubljev.

Naloga številka 12

Razdalja med mestoma na zemljevidu je 6 cm. Poiščite razdaljo med tema mestoma na tleh, če je merilo zemljevida 1 : 250000.

rešitev:

Označimo razdaljo med mesti na tleh skozi x (v centimetrih) in poiščemo razmerje med dolžino segmenta na zemljevidu in razdaljo na tleh, ki bo enaka merilu zemljevida: 6: x \ u003d 1: 250000,

x \u003d 6 * 250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Odgovor: 15 km.

Naloga številka 13

4000 g raztopine vsebuje 80 g soli. Kakšna je koncentracija soli v tej raztopini?

rešitev:

Teža, g

Koncentracija, %

rešitev

4000

Sol

4000 : 80 = 100 : x,

x =
,

x = 2.

Odgovor: Koncentracija soli je 2%.

Naloga številka 14

Banka daje posojilo pri 10% letno. Prejeli ste posojilo v višini 50.000 rubljev. Koliko morate vrniti banki v enem letu?

rešitev:

50 000 rubljev.

100%

x rub.

50000 : x = 100 : 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rub. je 10 %.

50.000 + 5000 = 55.000 (rubljev)

Odgovor: v enem letu bo banki vrnjenih 55.000 rubljev.

Zaključek.

Kot lahko vidimo iz zgornjih primerov, so neposredne in obratne sorazmernosti uporabne na različnih področjih življenja:

gospodarstvo,

trgovina,

v proizvodnji in industriji,

šolsko življenje,

kuhanje,

Gradbeništvo in arhitektura.

šport,

živinoreja,

topografija,

fiziki,

kemija itd.

V ruščini obstajajo tudi pregovori in reki, ki vzpostavljajo neposredno in inverzno razmerje:

Kakor se bo pojavilo, tako se bo odzvalo.

Višji kot je štor, višja je senca.

Več kot je ljudi, manj je kisika.

In pripravljen, da neumno.

Matematika je ena najstarejših ved, nastala je na podlagi potreb in potreb človeštva. Skozi zgodovino nastajanja od Antična grčija, še vedno ostaja aktualna in potrebna v Vsakdanje življenje katera koli oseba. Koncept neposredne in obratne sorazmernosti je znan že od antičnih časov, saj so bili zakoni sorazmernosti tisti, ki so arhitekte premikali med gradnjo ali ustvarjanjem katere koli skulpture.

Poznavanje proporcev se pogosto uporablja na vseh področjih človekovega življenja in delovanja - brez njih ne gre pri slikanju slik (pokrajine, tihožitja, portreti itd.), Razširjena so tudi med arhitekti in inženirji - na splošno je težko predstavljati ustvarjanje česar koli česarkoli brez uporabe znanja o razmerjih in njihovem razmerju.

Literatura.

Matematika-6, N.Ya. Vilenkin in drugi.

Algebra -7, G.V. Dorofeev in drugi.

Matematika-9, GIA-9, uredil F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhov

matematika-6, didaktično gradivo, P.V. Čulkov, A.B. Uedinov

Naloge iz matematike za razrede 4-5, I.V. Baranova et al., M. "Razsvetljenje" 1988

Zbirka nalog in primerov pri matematiki 5-6 razred, N.A. Terešin,

T.N. Tereshina, M. "Akvarij" 1997