Instrucţiuni

10, 30, 90, 270...

Trebuie să găsiți numitorul unei progresii geometrice.
Soluţie:

Opțiunea 1. Să luăm un termen arbitrar al progresiei (de exemplu, 90) și să-l împărțim la cel anterior (30): 90/30=3.

Dacă se cunoaște suma mai multor termeni ai unei progresii geometrice sau suma tuturor termenilor unei progresii geometrice descrescătoare, atunci pentru a găsi numitorul progresiei, utilizați formulele adecvate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei geometrice și
S = b1/(1-q), unde S este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (suma tuturor termenilor progresiei cu un numitor mai mic de unu).
Exemplu.

Primul termen al unei progresii geometrice descrescătoare este egal cu unu, iar suma tuturor termenilor săi este egală cu doi.

Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Soluţie:

Înlocuiți datele din problemă în formulă. Se va dovedi:
2=1/(1-q), de unde – q=1/2.

O progresie este o succesiune de numere. Într-o progresie geometrică, fiecare termen ulterior se obține prin înmulțirea celui precedent cu un anumit număr q, numit numitor al progresiei.

Instrucţiuni

Dacă se cunosc doi termeni geometrici adiacenți b(n+1) și b(n), pentru a obține numitorul, trebuie să împărțiți numărul cu cel mai mare la cel care îl precede: q=b(n+1)/b (n). Aceasta rezultă din definiția progresiei și numitorul acesteia. O condiție importantă este inegalitatea primului termen și numitorul progresiei la zero, în caz contrar este considerat nedefinit.

Astfel, între termenii progresiei se stabilesc următoarele relații: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Folosind formula b(n)=b1 q^(n-1), poate fi calculat orice termen al progresiei geometrice în care numitorul q și termenul b1 sunt cunoscuți. De asemenea, fiecare dintre progresii este egală ca modul cu media membrilor săi vecini: |b(n)|=√, care este de unde progresia și-a luat .

Un analog al unei progresii geometrice este cea mai simplă funcție exponențială y=a^x, unde x este un exponent, a este un anumit număr. În acest caz, numitorul progresiei coincide cu primul termen și este egal cu numărul a. Valoarea funcției y poate fi înțeleasă ca al n-lea termen progresie dacă argumentul x este considerat un număr natural n (contor).

Există pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Această formulă este valabilă pentru q≠1. Dacă q=1, atunci suma primilor n termeni se calculează prin formula S(n)=n b1. Apropo, progresia se va numi crescătoare când q este mai mare decât unu și b1 este pozitiv. Dacă numitorul progresiei nu depășește unul în valoare absolută, progresia se va numi descrescătoare.

Un caz special al unei progresii geometrice este o progresie geometrică infinit descrescătoare (progresie geometrică infinit descrescătoare). Faptul este că termenii unei progresii geometrice descrescătoare vor scădea din nou și din nou, dar nu vor ajunge niciodată la zero. În ciuda acestui fapt, este posibil să se găsească suma tuturor termenilor unei astfel de progresii. Se determină prin formula S=b1/(1-q). Numărul total de termeni n este infinit.

Pentru a vizualiza cum puteți adăuga un număr infinit de numere fără a obține infinit, coaceți o prăjitură. Tăiați jumătate din ea. Apoi tăiați 1/2 jumătate și așa mai departe. Piesele pe care le veți obține nu sunt altceva decât membri ai unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 1/2. Dacă adunați toate aceste bucăți, obțineți tortul original.

Problemele de geometrie sunt un tip special de exercițiu care necesită gândire spațială. Dacă nu poți rezolva un geometric sarcină, încercați să urmați regulile de mai jos.

Instrucţiuni

Citiți cu atenție condițiile sarcinii dacă nu vă amintiți sau nu înțelegeți ceva, recitiți-l din nou.

Încercați să determinați ce tip de probleme geometrice este vorba, de exemplu: cele de calcul, când trebuie să aflați o valoare, probleme care implică , care necesită un lanț logic de raționament, probleme care implică construcția folosind o busolă și o riglă. Mai multe sarcini de tip mixt. Odată ce v-ați dat seama de tipul de problemă, încercați să gândiți logic.

Aplicați teorema necesară pentru o anumită sarcină, dar dacă aveți îndoieli sau nu există deloc opțiuni, atunci încercați să vă amintiți teoria pe care ați studiat-o pe tema relevantă.

De asemenea, notați soluția problemei într-o formă de schiță. Încercați să utilizați metode cunoscute pentru a verifica corectitudinea soluției dvs.

Completați cu grijă soluția problemei în caiet, fără a șterge sau tăia și, cel mai important - s-ar putea să dureze timp și efort pentru a rezolva primele probleme geometrice. Cu toate acestea, de îndată ce stăpâniți acest proces, veți începe să faceți clic pe sarcini precum nuci, bucurându-vă de el!

Progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), astfel încât b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)= b (n-1)*q, b1≠0, q≠0. Cu alte cuvinte, fiecare termen al progresiei se obține din cel anterior înmulțindu-l cu vreun numitor diferit de zero al progresiei q.

Instrucţiuni

Problemele de progresie se rezolvă cel mai adesea prin întocmirea și apoi urmărirea unui sistem față de primul termen al progresiei b1 și numitorul progresiei q. Pentru a crea ecuații, este util să ne amintim câteva formule.

Cum se exprimă al n-lea termen al progresiei prin primul termen al progresiei și numitorul progresiei: b(n)=b1*q^(n-1).

Să considerăm separat cazul |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Nivel de intrare

Progresie geometrică. Ghid cuprinzător cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.

Numărul cu numărul este numit al n-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru:

Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.

De ce este necesară progresia geometrică și istoria ei?

Chiar și în cele mai vechi timpuri, călugărul matematician italian Leonardo de Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci) s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru a cântări un produs? În lucrările sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit deja și despre care aveți cel puțin o înțelegere generală. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?

În prezent, în practica de viață, progresia geometrică se manifestă la investirea banilor într-o bancă, când se acumulează suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani pe un depozit la termen într-o bancă de economii, atunci după un an depozitul va crește cu suma inițială, adică. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.e. suma obţinută în acel moment va fi din nou înmulţită cu şi aşa mai departe. O situație similară este descrisă în problemele de calculare a așa-numitului dobândă compusă- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Vom vorbi despre aceste sarcini puțin mai târziu.

Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică progresia geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o altă persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție este o persoană, iar ei, la rândul lor, au infectat-o ​​pe alta... și așa mai departe.. .

Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat bazat pe proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.

Progresie geometrică.

Să presupunem că avem o secvență de numere:

Veți răspunde imediat că acest lucru este ușor și numele unei astfel de secvențe este o progresie aritmetică cu diferența de termeni. Ce zici de asta:

Dacă scadeți numărul anterior din numărul următor, veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr următor este de ori mai mare decât cel anterior!

Acest tip de secvență de numere este numit progresie geometrică si este desemnat.

Progresia geometrică () este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

Restricțiile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să presupunem că nu sunt acolo, iar primul termen este încă egal, iar q este egal cu, hmm.. lasă-l să fie, atunci rezultă:

Sunteți de acord că aceasta nu mai este o progresie.

După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă există alt număr decât zero, a. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista o progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerourile, fie un număr, iar restul sunt zerouri.

Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul progresiei geometrice, adică o.

Să repetăm: - acesta este numărul de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior? progresie geometrică.

Ce crezi că ar putea fi? Așa este, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).

Să presupunem că a noastră este pozitivă. Să fie în cazul nostru, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:

Asta e corect. În consecință, dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive.

Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și?

Aceasta este o cu totul altă poveste

Încercați să numărați termenii acestei progresii. Cât ai primit? am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternative pentru membrii săi, atunci numitorul său este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.

Acum să exersăm puțin: încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie geometrică și care sunt o progresie aritmetică:

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:

• Progresie geometrică - 3, 6.
• Progresie aritmetică - 2, 4.
• Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.

Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim membrul, la fel ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.

Înmulțim succesiv fiecare termen cu.

Deci, al treilea termen al progresiei geometrice descrise este egal cu.

După cum ați ghicit deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al progresiei geometrice. Sau l-ai dezvoltat deja pentru tine, descriind cum să găsești al treilea membru pas cu pas? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.

Să ilustrăm acest lucru cu exemplul de găsire a celui de-al treilea termen al acestei progresii:

Cu alte cuvinte:

Găsiți singur valoarea termenului progresiei geometrice date.

A funcționat? Să comparăm răspunsurile noastre:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit secvențial cu fiecare termen anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:

Formula derivată este adevărată pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați singuri acest lucru calculând termenii progresiei geometrice cu următoarele condiții: , a.

ai numarat? Să comparăm rezultatele:

De acord că ar fi posibil să găsiți un termen de progresie în același mod ca un termen, totuși, există posibilitatea de a calcula incorect. Și dacă am găsit deja al treilea termen al progresiei geometrice, atunci ce ar putea fi mai simplu decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.

Progresie geometrică în scădere infinită.

Mai recent, am vorbit despre faptul că poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.

De ce crezi că este dat acest nume?
Mai întâi, să scriem o progresie geometrică constând din termeni.
Sa zicem, atunci:

Vedem că fiecare termen ulterior este mai mic decât cel anterior cu un factor, dar va exista vreun număr? Veți răspunde imediat - „nu”. De aceea este în scădere infinit - scade și scade, dar nu devine niciodată zero.

Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:

Pe grafice suntem obișnuiți să trasăm dependența de, prin urmare:

Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare am arătat dependența valorii unui membru al unei progresii geometrice de numărul său ordinal, iar în a doua intrare am luat pur și simplu valoarea unui membru al unei progresii geometrice ca , și a desemnat numărul ordinal nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să construim un grafic.
Să vedem ce ai. Iată graficul cu care am venit:

vezi? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:

Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?

Te-ai descurcat? Iată graficul cu care am venit:

Acum că ai înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știi ce este, știi cum să-i găsești termenul și știi, de asemenea, ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.

Proprietatea progresiei geometrice.

Vă amintiți de proprietatea membrilor progresie aritmetică? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale termenilor acestei progresii. Vă amintiți? Iată-l:

Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii progresiei geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.

Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu progresia aritmetică este ușor și simplu, dar ce zici de aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să notezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.

Vă puteți întreba, ce ar trebui să facem acum? Da, foarte simplu. Mai întâi, să descriem aceste formule într-o imagine și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la valoare.

Să facem abstracție de la numerele care ne sunt date, să ne concentrăm doar pe exprimarea lor prin formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată în portocaliu, cunoscând termenii adiacente acesteia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.

Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:

Din această expresie, după cum puteți vedea, nu o putem exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.

Scădere.

După cum puteți vedea, nici din aceasta nu putem exprima, prin urmare, vom încerca să înmulțim aceste expresii unele cu altele.

Multiplicare.

Acum priviți cu atenție ceea ce avem prin înmulțirea termenilor progresiei geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:

Ghici despre ce vorbesc? În mod corect, pentru a găsi trebuie să luăm rădăcina pătrată a numerelor de progresie geometrică adiacente celei dorite înmulțite între ele:

Poftim. Tu însuți ai derivat proprietatea progresiei geometrice. Încercați să scrieți această formulă în formă generală. A funcționat?

Ați uitat starea? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur. Ce se va întâmpla în acest caz? Așa e, prostie completă pentru că formula arată așa:

În consecință, nu uitați de această limitare.

Acum să calculăm cu ce este egal

Răspunsul corect este! Dacă nu ai uitat a doua valoare posibilă în timpul calculului, atunci ești grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ceea ce se discută mai jos și fii atent la motivul pentru care este necesar să notezi ambele rădăcini în răspuns.

Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare și cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:

Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă toți termenii ei dați sunt la fel? Calculați q pentru primul și al doilea caz.

Vedeți de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului pe care îl cauți depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.

Acum că ați stăpânit punctele principale și ați derivat formula proprietății progresiei geometrice, găsiți, cunoașteți și

Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:

Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile termenilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat inițial formula, la.
Ce ai primit?

Acum uită-te din nou cu atenție.
și, în consecință:

De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai progresiei geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.

Astfel, formula noastră inițială ia forma:

Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu orice număr natural care este mai mic. Principalul lucru este că este același pentru ambele numere date.

Exersează cu exemple specifice, doar fii extrem de atent!

1. , . Găsi.
2. , . Găsi.
3. , . Găsi.

Hotărât? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.

Să comparăm rezultatele.

În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:

În al treilea caz, când examinăm cu atenție numerele de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar este eliminat la o poziție, deci este nu se poate aplica formula.

Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem în ce constă fiecare număr dat și numărul pe care îl căutăm.

Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei? Sugerez împărțirea la. Primim:

Înlocuim datele noastre în formula:

Următorul pas pe care îl putem găsi este - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.

Acum să ne uităm din nou la ce avem. Îl avem, dar trebuie să îl găsim și, la rândul său, este egal cu:

Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Înlocuiți în formula:

Raspunsul nostru: .

Încercați să rezolvați singur o altă problemă similară:
Având în vedere: ,
Găsi:

Cât ai primit? am - .

După cum puteți vedea, în esență aveți nevoie amintiți-vă doar o formulă- . Toate restul le puteți retrage singur, fără nicio dificultate, în orice moment. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scrieți cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce este egal fiecare dintre numerele sale, conform formulei descrise mai sus.

Suma termenilor unei progresii geometrice.

Acum să ne uităm la formule care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:

Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțim toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:

Privește cu atenție: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu, și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?

Acum exprimați termenul progresiei geometrice prin formulă și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:

Grupați expresia. Ar trebui să obțineți:

Tot ce rămâne de făcut este să exprim:

În consecință, în acest caz.

Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? Rând corect numere identice, în consecință, formula va arăta astfel:

Există multe legende despre progresia aritmetică și geometrică. Una dintre ele este legenda lui Set, creatorul șahului.

Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la sine și i-a ordonat să-i ceară tot ce își dorește, promițându-i că-și va îndeplini și cea mai pricepută dorință.

Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, l-a surprins pe rege cu modestia fără precedent a cererii sale. A cerut să dea un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, un bob de grâu pentru al doilea, un bob de grâu pentru al treilea, un al patrulea etc.

Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regelui, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate pătratele tablei.

Și acum întrebarea: folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?

Să începem să raționăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea etc., atunci vedem că problema este despre o progresie geometrică. Cu ce ​​este egal în acest caz?
Corect.

Total pătrate ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, tot ce rămâne este să le introducem în formulă și să calculăm.

Pentru a ne imagina cel puțin aproximativ „scara” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:

Desigur, dacă doriți, puteți lua un calculator și calcula cu ce număr ajungeți, iar dacă nu, va trebui să mă credeți pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Adică:

quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.

Uf) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați cât de mare ar fi necesar un hambar pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Dacă hambarul are m înălțime și m lățime, lungimea lui ar trebui să se extindă pe km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.

Dacă regele ar fi fost puternic în matematică, l-ar fi putut invita pe omul de știință însuși să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar fi nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioane, boabele ar trebui să fie numărate pe tot parcursul vieții.

Acum să rezolvăm o problemă simplă care implică suma termenilor unei progresii geometrice.
Un elev din clasa 5A Vasya s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane, care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. În clasă sunt doar oameni. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?

Deci, primul termen al progresiei geometrice este Vasya, adică o persoană. Al treilea termen al progresiei geometrice sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a termenilor de progres este egală cu numărul de studenți 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:

Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:

Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” studenților. A funcționat? Uite cum mi se pare:

Calculați singur câte zile ar fi nevoie pentru ca elevii să se îmbolnăvească de gripă dacă fiecare ar infecta o persoană și ar fi o singură persoană în clasă.

Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.

După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare ulterior „aduce” oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ați aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în general) nu ar aduce pe nimeni, în consecință, ar pierde tot ceea ce a investit în această înșelătorie financiară.

Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.

Deci, mai întâi, să ne uităm din nou la acest desen al unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:

Acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau

Pentru ce ne străduim? Așa este, graficul arată că tinde spre zero. Adică at, va fi aproape egal, respectiv, atunci când calculăm expresia vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.

- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma infinit numarul de membri.

Dacă este specificat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.

Acum haideți să exersăm.

1. Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice cu și.
2. Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.

Sper că ai fost extrem de atent. Să comparăm răspunsurile noastre:

Acum știți totul despre progresia geometrică și este timpul să treceți de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme de progresie geometrică întâlnite la examen sunt problemele de calcul al dobânzii compuse. Acestea sunt cele despre care vom vorbi.

Probleme la calcularea dobânzii compuse.

Probabil ați auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce înseamnă? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că odată ce înțelegi procesul în sine, vei înțelege imediat ce legătură are progresia geometrică cu el.

Mergem cu toții la bancă și știm că există condiții diferite pentru depozite: acesta include un termen, servicii suplimentare și dobândă cu două moduri diferite de calcul - simplu și complex.

CU simplu interes totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă spunem că depunem 100 de ruble pentru un an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului vom primi ruble.

Dobânda compusă- aceasta este o opțiune în care apare capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al veniturilor nu din suma inițială, ci din suma depozitului acumulat. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare frecvență. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.

Să presupunem că depunem aceleași ruble anual, dar cu capitalizarea lunară a depozitului. ce facem?

Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să ne dăm seama pas cu pas.

Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:

De acord?

O putem scoate din paranteze și apoi obținem:

De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu ceea ce am scris la început. Mai rămâne doar să ne dai seama de procente

În enunțul problemei ni se spune despre ratele anuale. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în fracții zecimale, adică:

Corect? Acum vă puteți întreba, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: enunțul problemei spune despre ANUAL dobânda care se acumulează LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, în consecință, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:

Ti-ai dat seama? Acum încercați să scrieți cum va arăta această parte a formulei dacă spun că dobânda este calculată zilnic.
Te-ai descurcat? Să comparăm rezultatele:

Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: scrieți cât va fi creditat în contul nostru în a doua lună, ținând cont că se acumulează dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce am primit:

Sau, cu alte cuvinte:

Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul acestuia sau, cu alte cuvinte, ce sumă de bani vom primi la sfârșitul lunii.
A făcut-o? Să verificăm!

După cum puteți vedea, dacă puneți bani într-o bancă timp de un an la o dobândă simplă, veți primi ruble, iar dacă la o dobândă compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar asta se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă capitalizarea este mult mai profitabilă:

Să ne uităm la un alt tip de problemă care implică dobânda compusă. După ceea ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci, sarcina:

Compania Zvezda a început să investească în industrie în 2000, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003 dacă profiturile nu ar fi retrase din circulație?

Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.

Sau putem scrie pe scurt:

Pentru cazul nostru:

2000, 2001, 2002 și 2003.

Respectiv:
ruble
Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici după, nici după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți o problemă privind dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este calculat și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.

Antrenamentul.

1. Aflați termenul progresiei geometrice dacă se știe că și
2. Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice dacă se știe că și
3. Compania MDM Capital a început să investească în industrie în 2003, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2004, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania MSK Cash Flows a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 USD, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari este capitalul unei companii mai mare decât al celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?

Raspunsuri:

1. Deoarece enunțul problemei nu spune că progresia este infinită și este necesar să se găsească suma unui anumit număr al termenilor săi, calculul se efectuează conform formulei:
2. 
   Compania MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - crește cu 100%, adică de 2 ori.
   Respectiv:
   ruble
   Compania MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - crește cu, adică cu ori.
   Respectiv:
   ruble
   ruble

Să rezumam.

1) Progresia geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

2) Ecuația termenilor progresiei geometrice este .

3) poate lua orice valoare, cu excepția și.

• dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive;
• dacă, atunci toți termenii ulterioare ai progresiei semne alternative;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

4) , cu - proprietatea progresiei geometrice (termeni adiacenți)

sau
, la (termeni echidistanti)

Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri.

De exemplu,

5) Suma termenilor progresiei geometrice se calculează prin formula:
sau

Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
sau

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.

6) Problemele privind dobânda compusă se calculează și folosind formula celui de-al treilea termen al unei progresii geometrice, cu condiția ca fondurile să nu fi fost retrase din circulație:

PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.

Numitorul progresiei geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.

• Dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
• dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei se alternează semne;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

Ecuația termenilor de progresie geometrică - .

Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau

Progresia geometrică, împreună cu progresia aritmetică, este o serie de numere importantă care este studiată la cursul școlar de algebră din clasa a IX-a. În acest articol vom analiza numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.

Definiţia geometric progression

Mai întâi, să dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea secvențială a primului său element cu un număr constant numit numitor.

De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțiți 3 (primul element) cu 2, obțineți 6. Dacă înmulțiți 6 cu 2, obțineți 12 și așa mai departe.

Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.

Definiția de mai sus a progresiei poate fi scrisă în limbaj matematic după cum urmează: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificați această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1, și ajungem din nou la definiția seriei de numere în cauză. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.

Numitorul progresiei geometrice

Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:

• b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar în valoare absolută, dar va scădea în funcție de semnul numerelor.
• b = 1. Adesea acest caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.

Formula pentru cantitate

Înainte de a trece la considerarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui să fie dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula arată astfel: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puteți obține singur această expresie dacă luați în considerare șirul recursiv de termeni ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.

Secvență infinit descrescătoare

S-a dat mai sus o explicație despre ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1, atunci când este ridicat la grade mari tinde spre zero, adică b∞ => 0 dacă -1

Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.

Acum să ne uităm la câteva probleme în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.

Sarcina nr. 1. Calculul elementelor necunoscute de progresie și sumă

Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Cu ce ​​vor fi egali al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?

Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula numărul elementului n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Procedăm la fel și pentru al 10-lea termen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Să folosim formula binecunoscută pentru sumă și să determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema nr. 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale unei progresii

Fie -2 egal cu numitorul progresiei geometrice bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.

Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Se poate rezolva in 2 moduri diverse metode. Pentru a completa prezentarea subiectului, le prezentăm pe ambele.

Metoda 1. Ideea este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt din unul. Calculăm suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm suma mai mare: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de condițiile problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre m și n termeni ai seriei în cauză. Procedăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema nr. 3. Care este numitorul?

Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.

Pe baza condițiilor problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma progresiei în scădere infinit. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Tot ce rămâne este să înlocuim valori cunoscuteși obțineți numărul necesar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 sau -0,333(3). Putem verifica calitativ acest rezultat dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum se vede, |-1 / 3|

Sarcina nr. 4. Restaurarea unei serii de numere

Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesară reconstrucția întregii serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.

Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare termen cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțiți a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina a cincea a raportului termenilor cunoscuți din enunțul problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile pentru elementul cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Astfel, am găsit numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.

Unde se folosesc progresiile geometrice?

Dacă nu ar exista o aplicare practică a acestei serii de numere, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar o astfel de aplicație există.

Mai jos sunt cele mai cunoscute 3 exemple:

• Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
• Dacă puneți boabe de grâu pe fiecare pătrat al unei table de șah, astfel încât pe primul pătrat să puneți 1 bob, pe al 2-lea - 2, pe al 3-lea - 3 și așa mai departe, atunci pentru a umple toate pătratele tablei veți avea nevoie 18446744073709551615 boabe!
• În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a muta discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial cu numărul n de discuri utilizate.

Progresie geometrică nu mai puțin important în matematică în comparație cu aritmetică. O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2,..., b[n], al căror termen următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul progresiei geometrice si denota

Pentru a specifica complet o progresie geometrică, pe lângă numitor, este necesar să se cunoască sau să se determine primul termen al acesteia. Pentru o valoare pozitivă a numitorului, progresia este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și dacă este monoton crescătoare. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al progresiei geometrice calculate prin formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să ne uităm la soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cele mai simple de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai progresiei geometrice.

Soluție: Să scriem condiția problemei în formular

Pentru calcule folosim formula pentru al n-lea termen al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim termenii necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei termeni ai progresiei geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen al acestuia.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geomitrice pe baza definiției acesteia

Am obținut o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este egal cu -2. Al șaptelea termen se calculează folosind formula

Acest lucru rezolvă problema.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre termenii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Soluţie:

Să scriem valorile date folosind formule

Conform regulilor, ar trebui să găsim numitorul și apoi să căutăm valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțiți al șaselea termen al seriei cu altul și, ca rezultat, obținem

Dacă valoarea rezultată este înmulțită cu al șaselea termen, obținem al zecelea

Astfel, pentru astfel de sarcini, folosind transformări simple la cale rapidă poti gasi solutia potrivita.

Exemplul 4. Progresia geometrică este dată de formule recurente

Aflați numitorul progresiei geometrice și suma primilor șase termeni.

Soluţie:

Să scriem datele date sub forma unui sistem de ecuații

Exprimați numitorul împărțind a doua ecuație la prima

Să găsim primul termen al progresiei din prima ecuație

Să calculăm următorii cinci termeni pentru a găsi suma progresiei geometrice

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero.

Conceptul de progresie geometrică

Progresia geometrică se notează b1,b2,b3, …, bn, ….

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

Suma unei progresii geometrice infinite pentru |q|<1

Una dintre modalitățile de a specifica o progresie geometrică este de a specifica primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții definesc progresia geometrică 4, -8, 16, -32, ….

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul în eroarea geometrică este q=1, atunci toți termenii progresiei geometrice vor fi egali între ei. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Pentru ca o succesiune de numere (bn) sa fie o progresie geometrica, este necesar ca fiecare dintre membrii sai, incepand de la al doilea, sa fie media geometrica a membrilor invecinati. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Acum să punem (Xn) - o progresie geometrică. Numitorul progresiei geometrice q, și |q|∞).
Dacă notăm acum cu S suma unei progresii geometrice infinite, atunci se va aplica următoarea formulă:
S=x1/(1-q).

Să ne uităm la un exemplu simplu:

Aflați suma progresiei geometrice infinite 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Pentru a găsi S, folosim formula pentru suma unei progresii aritmetice infinite. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.