Cum să faci o proporție inversă. Dependență direct proporțională

Tipuri de dependență

Să ne uităm la încărcarea bateriei. Ca primă cantitate, să luăm timpul necesar pentru încărcare. A doua valoare este timpul în care va funcționa după încărcare. Cu cât încărcați bateria mai mult, cu atât va dura mai mult. Procesul va continua până când bateria este complet încărcată.

Dependența timpului de funcționare a bateriei de timpul în care este încărcată

Nota 1

Această dependență se numește direct:

Pe măsură ce o valoare crește, la fel crește și a doua. Pe măsură ce o valoare scade, scade și a doua valoare.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Cu cât un student citește mai multe cărți, cu atât va face mai puține greșeli în dictare. Sau cu cât te ridici mai sus în munți, cu atât presiunea atmosferică va fi mai mică.

Nota 2

Această dependență se numește verso:

Pe măsură ce o valoare crește, a doua scade. Pe măsură ce o valoare scade, a doua valoare crește.

Astfel, în caz dependență directă ambele cantități se modifică în mod egal (ambele cresc sau descresc), iar în cazul relație inversă– invers (unul crește și celălalt scade, sau invers).

Determinarea dependențelor dintre cantități

Exemplul 1

Timpul necesar pentru a vizita un prieten este de $20$ minute. Dacă viteza (prima valoare) crește de $2$ ori, vom afla cum se schimbă timpul (a doua valoare) care va fi petrecut pe calea către un prieten.

Evident, timpul va scădea de $2$ ori.

Nota 3

Această dependență se numește proporţional:

De câte ori se modifică o cantitate, de câte ori se modifică a doua cantitate.

Exemplul 2

Pentru pâine de 2 USD în magazin trebuie să plătiți 80 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați pâini de $4$ (cantitatea de pâine crește de $2$ ori), de câte ori va trebui să plătiți mai mult?

Evident, costul va crește și de 2$ ori. Avem un exemplu de dependență proporțională.

În ambele exemple, au fost luate în considerare dependențele proporționale. Dar în exemplul cu pâine, cantitățile se schimbă într-o direcție, prin urmare, dependența este direct. Și în exemplul de a merge la casa unui prieten, relația dintre viteză și timp este verso. Astfel există relație direct proporționalăŞi relație invers proporțională.

Proporționalitate directă

Luați în considerare 2$ cantități proporționale: numărul de pâini și costul acestora. Lăsați pâinea de $2$ să coste 80$ ruble. Dacă numărul de chifle crește de $4$ ori ($8$ chifle), costul lor total va fi de $320$ ruble.

Raportul dintre numărul de chifle: $\frac(8)(2)=4$.

Raportul costului bunului: $\frac(320)(80)=$4.

După cum puteți vedea, aceste relații sunt egale între ele:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definiția 1

Se numește egalitatea a două rapoarte proporţie.

Cu o dependență direct proporțională, se obține o relație atunci când modificarea primei și a doua mărimi coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definiția 2

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când una dintre ele se modifică (crește sau scade), se modifică și cealaltă valoare (crește sau, respectiv, scade) cu aceeași valoare.

Exemplul 3

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore. Găsiți timpul în care va acoperi de 2$ ori distanța cu aceeași viteză.

Soluţie.

Timpul este direct proporțional cu distanța:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori va crește distanța, la o viteză constantă, cu aceeași valoare va crește timpul:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore

Mașina va parcurge $180 \cdot 2=360$ km – în $x$ ore

Cu cât mașina se deplasează mai mult, cu atât va dura mai mult. În consecință, relația dintre cantități este direct proporțională.

Să facem o proporție:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Răspuns: Masina va avea nevoie de $4$ ore.

Proporționalitate inversă

Definiția 3

Soluţie.

Timpul este invers proporțional cu viteza:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori crește viteza, cu aceeași cale, timpul scade cu aceeași cantitate:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Să scriem condiția problemei sub forma unui tabel:

Mașina a parcurs $60$ km - în $6$ ore

Mașina va parcurge $120$ km – în $x$ ore

Cu cât viteza mașinii este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp. În consecință, relația dintre cantități este invers proporțională.

Să facem o proporție.

Deoarece proporționalitatea este inversă, a doua relație în proporție este inversată:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $3$ ore.

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de câteva ori cantitate independentă(se numește argument) determină o creștere sau o scădere proporțională (adică de același număr de ori) a mărimii dependente (se numește funcție).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. cu cât cumperi mai multe mere, cu atât mai putini bani iti va ramane ceva.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care este necesar de la noi în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să facem mai întâi următoarea diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorii rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ni s-au dat în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua țeavă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, rata de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Înapoi în fața noastră dependență proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de câte ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași lucrare. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre dependența invers proporțională a cantităților vă pot fi cu adevărat utile de mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar chiar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații inverse și direct proporționale observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Conceptul de proporționalitate directă

Imaginați-vă că plănuiți să cumpărați bomboanele preferate (sau orice vă place cu adevărat). Dulciurile din magazin au propriul preț. Să spunem 300 de ruble pe kilogram. Cu cât cumperi mai multe bomboane, cu atât mai multi bani plată. Adică dacă vrei 2 kilograme, plătești 600 de ruble, iar dacă vrei 3 kilograme, plătești 900 de ruble. Se pare că totul este clar, nu?

Dacă da, atunci îți este clar acum ce este proporționalitatea directă - acesta este un concept care descrie relația dintre două cantități dependente una de cealaltă. Iar raportul acestor mărimi rămâne neschimbat și constant: cu câte părți crește sau scade una dintre ele, cu același număr de părți a doua crește sau scade proporțional.

Proporționalitatea directă poate fi descrisă cu următoarea formulă: f(x) = a*x, iar a în această formulă este o valoare constantă (a = const). În exemplul nostru despre bomboane, prețul este o valoare constantă, o constantă. Nu crește și nici nu scade, indiferent câte bomboane ați decide să cumpărați. Variabila independentă (argumentul) x este câte kilograme de bomboane vei cumpăra. Iar variabila dependentă f(x) (funcția) este câți bani veți ajunge să plătiți pentru achiziție. Deci, putem înlocui numerele în formulă și obținem: 600 de ruble. = 300 de ruble. * 2 kg.

Concluzia intermediară este aceasta: dacă argumentul crește, crește și funcția, dacă argumentul scade, și funcția scade

Funcția și proprietățile sale

Funcția direct proporțională este un caz special al unei funcții liniare. Dacă funcția liniară este y = k*x + b, atunci pentru proporționalitate directă arată astfel: y = k*x, unde k se numește coeficient de proporționalitate și este întotdeauna un număr diferit de zero. Este ușor de calculat k - se găsește ca un coeficient al unei funcții și al unui argument: k = y/x.

Pentru a fi mai clar, să luăm un alt exemplu. Imaginează-ți că o mașină se deplasează din punctul A în punctul B. Viteza sa este de 60 km/h. Dacă presupunem că viteza de mișcare rămâne constantă, atunci poate fi luată ca o constantă. Și apoi scriem condițiile sub forma: S = 60*t, iar această formulă este similară cu funcția de proporționalitate directă y = k *x. Să facem o paralelă mai departe: dacă k = y/x, atunci viteza mașinii poate fi calculată cunoscând distanța dintre A și B și timpul petrecut pe drum: V = S /t.

Și acum, de la aplicarea aplicată a cunoștințelor despre proporționalitate directă, să revenim la funcția acesteia. ale căror proprietăți includ:

domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale (precum și submulțimile sale);

funcția este impară;

modificarea variabilelor este direct proporţională pe toată lungimea dreptei numerice.

Proporționalitatea directă și graficul acesteia

Graficul unei funcții de proporționalitate directă este o dreaptă care intersectează originea. Pentru a-l construi, este suficient să mai marchezi un singur punct. Și conectați-l și originea coordonatelor cu o linie dreaptă.

În cazul unui grafic, k este panta. Dacă panta este mai mică decât zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graficul și axa x formează un unghi ascuțit, iar funcția este în creștere.

Și încă o proprietate a graficului funcției de proporționalitate directă este direct legată de panta k. Să presupunem că avem două funcții neidentice și, în consecință, două grafice. Deci, dacă coeficienții k ai acestor funcții sunt egali, graficele lor sunt situate paralel cu axa de coordonate. Și dacă coeficienții k nu sunt egali între ei, graficele se intersectează.

Exemple de probleme

Acum să rezolvăm câteva probleme de proporționalitate directă

Să începem cu ceva simplu.

Problema 1: Imaginează-ți că 5 găini au depus 5 ouă în 5 zile. Și dacă sunt 20 de găini, câte ouă vor depune în 20 de zile?

Rezolvare: Să notăm necunoscutul cu kx. Și vom raționa astfel: de câte ori au devenit mai mulți găini? Împărțiți 20 la 5 și aflați că este de 4 ori. De câte ori mai multe ouă vor depune 20 de găini în aceleași 5 zile? De asemenea, de 4 ori mai mult. Așadar, pe ale noastre le găsim așa: 5*4*4 = 80 de ouă vor fi depuse de 20 de găini în 20 de zile.

Acum, exemplul este puțin mai complicat, să parafrazăm problema din „Aritmetica generală” a lui Newton. Problema 2: Un scriitor poate compune 14 pagini dintr-o carte nouă în 8 zile. Dacă ar avea asistenți, de câți oameni ar fi nevoie pentru a scrie 420 de pagini în 12 zile?

Soluție: Raționăm că numărul de persoane (scriitor + asistenți) crește odată cu volumul de muncă dacă ar trebui făcută în același timp. Dar de câte ori? Împărțind 420 la 14, aflăm că crește de 30 de ori. Dar, deoarece, conform condițiilor sarcinii, se acordă mai mult timp pentru muncă, numărul asistenților crește nu de 30 de ori, ci în acest fel: x = 1 (scriitor) * 30 (ori): 12/8 ( zile). Să ne transformăm și să aflăm că x = 20 de persoane vor scrie 420 de pagini în 12 zile.

Să rezolvăm o altă problemă similară cu cele din exemplele noastre.

Problema 3: Două mașini au pornit în aceeași călătorie. Unul se deplasa cu o viteză de 70 km/h și a parcurs aceeași distanță în 2 ore, în timp ce celălalt a durat 7 ore. Găsiți viteza celei de-a doua mașini.

Soluție: După cum vă amintiți, traseul este determinat prin viteză și timp - S = V *t. Deoarece ambele mașini au parcurs aceeași distanță, putem echivala cele două expresii: 70*2 = V*7. Cum aflăm că viteza celei de-a doua mașini este V = 70*2/7 = 20 km/h.

Și încă câteva exemple de sarcini cu funcții de proporționalitate directă. Uneori problemele necesită găsirea coeficientului k.

Sarcina 4: Având în vedere funcțiile y = - x/16 și y = 5x/2, determinați coeficienții lor de proporționalitate.

Rezolvare: După cum vă amintiți, k = y/x. Aceasta înseamnă că pentru prima funcție coeficientul este egal cu -1/16, iar pentru a doua k = 5/2.

De asemenea, puteți întâlni o sarcină precum Sarcina 5: scrieți proporționalitatea directă cu o formulă. Graficul său și graficul funcției y = -5x + 3 sunt situate în paralel.

Rezolvare: Funcția care ne este dată în condiție este liniară. Știm că proporționalitatea directă este un caz special al unei funcții liniare. Și mai știm că dacă coeficienții k funcțiilor sunt egali, graficele lor sunt paralele. Aceasta înseamnă că tot ceea ce este necesar este să calculăm coeficientul functie cunoscutași setați proporționalitatea directă folosind formula cunoscută nouă: y = k *x. Coeficient k = -5, proporționalitate directă: y = -5*x.

Concluzie

Acum ați învățat (sau v-ați amintit, dacă ați tratat deja acest subiect înainte) cum se numește proporționalitate directă, și s-a uitat la el exemple. Am vorbit și despre funcția de proporționalitate directă și graficul acesteia și am rezolvat câteva exemple de probleme.

Dacă acest articol a fost util și v-a ajutat să înțelegeți subiectul, spuneți-ne despre el în comentarii. Ca să știm dacă vă putem beneficia.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Obiective principale:

• introducerea conceptului de dependență directă și invers proporțională a cantităților;
• învață cum să rezolvi problemele folosind aceste dependențe;
• promovează dezvoltarea abilităților de rezolvare a problemelor;
• consolidarea abilității de a rezolva ecuații folosind proporții;
• repetă pașii cu obișnuit și zecimale;
• dezvoltarea gândirii logice a elevilor.

PROGRESUL LECȚIEI

eu. Autodeterminare pentru activitate(moment organizatoric)

- Băieți! Astăzi în lecție ne vom familiariza cu problemele rezolvate folosind proporții.

II. Actualizarea cunoștințelor și înregistrarea dificultăților în activități

2.1. Lucru oral (3 min)

– Găsiți sensul expresiilor și aflați cuvântul criptat în răspunsuri.

14 – s; 0,1 – și; 7 – l; 0,2 – a; 17 – în; 25 – la

– Cuvântul rezultat este putere. Bine făcut!
– Motto-ul lecției noastre de astăzi: Puterea este în cunoaștere! Caut - asta înseamnă că învăț!
– Alcătuiți o proporție din numerele rezultate. (14:7 = 0,2:0,1 etc.)

2.2. Să luăm în considerare relația dintre cantitățile pe care le cunoaștem (7 min)

– distanța parcursă de mașină cu viteză constantă, și timpul deplasării acestuia: S = v t ( cu creșterea vitezei (timpului), distanța crește);
– viteza vehiculului și timpul petrecut în călătorie: v=S:t(cu cât timpul de parcurgere a traseului crește, viteza scade);
– costul bunurilor achiziționate la un preț și cantitatea acestuia: C = a · n (cu o creștere (scădere) preț, costul de achiziție crește (descrește));
– prețul produsului și cantitatea acestuia: a = C: n (cu creșterea cantității, prețul scade)
– aria dreptunghiului și lungimea (lățimea): S = a · b (cu creșterea lungimii (lățimea), aria crește;
– lungime și lățime dreptunghi: a = S: b (cu cât lungimea crește, lățimea scade;
– numărul de muncitori care efectuează o anumită muncă cu aceeași productivitate a muncii și timpul necesar pentru a finaliza această muncă: t = A: n (cu creșterea numărului de muncitori, timpul alocat pentru efectuarea muncii scade), etc. .

Am obținut dependențe în care, cu creșterea de mai multe ori a unei cantități, alta crește imediat cu aceeași cantitate (exemplele sunt prezentate cu săgeți) și dependențe în care, odată cu creșterea unei cantități de mai multe ori, a doua cantitate scade cu același număr de ori.
Astfel de dependențe se numesc proporționalitate directă și inversă.
Dependență direct proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare crește (descrește) cu aceeași cantitate.
Relație invers proporțională– o relație în care pe măsură ce o valoare crește (descrește) de mai multe ori, a doua valoare scade (crește) cu aceeași cantitate.

III. Stabilirea unei sarcini de învățare

– Ce problemă ne confruntăm? (Învățați să distingeți între dependențe directe și inverse)
- Asta - ţintă lecția noastră. Acum formulează subiect lecţie. (Relație directă și invers proporțională).
- Bine făcut! Notați subiectul lecției în caiete. (Profesorul scrie subiectul pe tablă.)

IV. „Descoperirea” de noi cunoștințe(10 min)

Să ne uităm la problemele nr. 199.

1. Imprimanta imprimă 27 de pagini în 4,5 minute. Cât timp va dura imprimarea a 300 de pagini?

27 pagini – 4,5 min.
300 de pagini - x?

2. Cutia contine 48 de pachete de ceai a cate 250 g fiecare. Câte pachete de 150 g din acest ceai vei primi?

48 pachete – 250 g.
X? – 150 g.

3. Mașina a parcurs 310 km, folosind 25 de litri de benzină. Cât de departe poate călători o mașină cu un rezervor plin de 40 de litri?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Unul dintre angrenajele ambreiajului are 32 de dinți, iar celălalt are 40. Câte rotații va face a doua treaptă în timp ce prima face 215 rotații?

32 dinți – 315 r.
40 de dinți – x?

Pentru a compila o proporție, este necesară o direcție a săgeților, pentru aceasta, în proporționalitate inversă, un raport este înlocuit cu inversul.

La tablă, elevii găsesc sensul cantităților pe loc, elevii rezolvă o problemă la alegere.

– Formulați o regulă pentru rezolvarea problemelor cu dependență directă și invers proporțională.

Pe tablă apare un tabel:

V. Consolidarea primară în vorbirea externă(10 min)

Sarcini pe foi:

1. Din 21 kg de semințe de bumbac s-au obținut 5,1 kg de ulei.
2. Cât ulei se va obține din 7 kg de semințe de bumbac?

Pentru a construi stadionul, 5 buldozere au curățat șantierul în 210 minute. Cât timp ar dura 7 buldozere pentru a curăța acest site? VI. Munca independentăcu autotest față de standard

(5 min)
Doi elevi completează sarcina nr. 225 în mod independent pe table ascunse, iar restul - în caiete. Apoi verifică funcționarea algoritmului și o compară cu soluția de pe placă. Erorile sunt corectate și cauzele lor sunt determinate. Dacă sarcina este finalizată corect, atunci elevii pun un semn „+” lângă ei.

Elevii care greșesc în munca independentă pot apela la consultanți.№ 271, № 270.

VII. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetarea

La consiliu lucrează șase persoane. După 3-4 minute, elevii care lucrează la tablă își prezintă soluțiile, iar restul verifică temele și participă la discuția lor.

VIII. Reflecție asupra activității (rezumatul lecției)
– Ce nou ai învățat la lecție?
-Ce au repetat?
– Care este algoritmul pentru rezolvarea problemelor de proporție?
– Ne-am atins scopul?

– Cum îți evaluezi munca?

I. Mărimi direct proporţionale. y Lasă valoarea depinde de dimensiune X depinde de dimensiune. Dacă la creşterea de mai multe ori mai mare la depinde de dimensiune crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori Şi la

sunt numite direct proporționale.

1 Exemple. . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.)

2 De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult. . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă).

3 De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza. . Volumul unui corp și masa acestuia. ()

Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități. Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg

zmeura?

Soluţie. Raționăm așa: să fie necesar x kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? zahăr pentru 12:9 zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x

12: 9=8: ). Obținem proporția:

X; · 8: 12;

x=9 x=6. Răspuns: Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? pe trebuie luate zmeura 6 kg

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Lasă-te Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? pe x kg 6 kg

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr depinde de dimensiune, adică aici există o relație directă).

x=6. Răspuns: Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? Trebuie să iau niște zmeură trebuie luate zmeura 6 kg

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore a parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

zmeura?

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

x=6. va trece mașina 440 km in 5 ore.