Subiectul este cantități direct proporționale și invers proporționale. Postări etichetate „proporționalitate directă”

I. Mărimi direct proporţionale.

Lasă valoarea y depinde de marime X. Dacă la creşterea X de mai multe ori mai mare la crește cu aceeași cantitate, apoi astfel de valori XŞi la se numesc direct proportionale.

Exemple.

1 . Cantitatea de bunuri achiziționate și prețul de achiziție (cu un preț fix pentru o unitate de mărfuri - 1 bucată sau 1 kg etc.) De câte ori s-au cumpărat mai multe bunuri, cu atât au plătit mai mult.

2 . Distanța parcursă și timpul petrecut pe ea (la viteză constantă). De câte ori este calea mai lungă, de câte ori mai mult timp va dura pentru a o finaliza.

3 . Volumul unui corp și masa acestuia. ( Dacă un pepene verde este de 2 ori mai mare decât altul, atunci masa lui va fi de 2 ori mai mare)

II. Proprietatea proporționalității directe a cantităților.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei cantități este egal cu raportul dintre două valori corespunzătoare ale celei de-a doua cantități.

Sarcina 1. Pentru dulceata de zmeura am luat 12 kg zmeura si 8 kg Sahara. De cât zahăr vei avea nevoie dacă l-ai lua? 9 kg zmeura?

Soluţie.

Raționăm astfel: să fie necesar x kg zahăr pentru 9 kg zmeura Masa de zmeură și masa de zahăr sunt cantități direct proporționale: de câte ori sunt mai puține zmeură, de același număr de ori mai puțin zahăr este nevoie. Prin urmare, raportul dintre zmeura luată (în greutate) ( 12:9 ) va fi egal cu raportul de zahăr luat ( 8:x). Obținem proporția:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Răspuns: pe 9 kg trebuie luate zmeura 6 kg Sahara.

Rezolvarea problemei S-ar putea face astfel:

Lasă-te 9 kg trebuie luate zmeura x kg Sahara.

(Săgețile din figură sunt îndreptate într-o singură direcție, iar în sus sau în jos nu contează. Semnificație: de câte ori numărul 12 mai mult număr 9 , de același număr de ori 8 mai mult număr X, adică aici există o relație directă).

Răspuns: pe 9 kg Trebuie să iau niște zmeură 6 kg Sahara.

Sarcina 2. Masina pentru 3 ore parcurs distanta 264 km. Cât îi va lua să călătorească? 440 km, dacă conduce cu aceeași viteză?

Soluţie.

Lasă pt x ore mașina va acoperi distanța 440 km.

Răspuns: va trece mașina 440 km in 5 ore.

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată un grafic de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. În consecință, relațiile dintre cantități sunt descrise prin proporționalitate directă și inversă.

Proporționalitate directă– aceasta este o astfel de relație între două cantități în care o creștere sau scădere a uneia duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Aceste. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort pentru a studia pentru examene, cu atât ai notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât rucsacul tău va fi mai greu de purtat. Aceste. Efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele obținute. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă– aceasta este o dependență funcțională în care o scădere sau o creștere de câteva ori cantitate independentă(se numește argument) determină o creștere sau o scădere proporțională (adică de același număr de ori) a mărimii dependente (se numește funcție).

Să ilustrăm exemplu simplu. Vrei să cumperi mere de la piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers proporționale. Aceste. cu cât cumperi mai multe mere, cu atât mai putini bani iti va ramane ceva.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. În care x≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu intersectează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. Dacă k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. Dacă k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul unei funcții de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Se arată după cum urmează:

Probleme de proporționalitate inversă

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la mai multe sarcini. Nu sunt prea complicate, iar rezolvarea lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporționalitatea inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina nr. 1. O mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut o mașină pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care conform condiției este de 2 ori mai mare: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ne este necesar în funcție de condițiile problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: la o viteză de 2 ori mai mare decât viteza inițială, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. Deci, să creăm mai întâi această diagramă:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație invers proporțională. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție, partea dreaptă a înregistrării trebuie răsturnată: 60/120 = x/6. De unde obținem x = 60 * 6/120 = 3 ore.

Sarcina nr. 2. Atelierul angajează 6 muncitori care pot finaliza o anumită cantitate de muncă în 4 ore. Dacă numărul de muncitori se reduce la jumătate, cât timp va dura muncitorilor rămași pentru a finaliza aceeași cantitate de muncă?

Să notăm condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori – 4 ore

↓ 3 muncitori – x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x = 6 * 4/3 = 8 ore Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, cei rămași vor petrece de 2 ori mai mult timp făcând toată munca.

Sarcina nr. 3. Există două țevi care duc în piscină. Printr-o țeavă, apa curge cu o viteză de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cu ce ​​viteză intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, să reducem toate cantitățile care ne sunt date în funcție de condițiile problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm viteza de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să se umple mai lent prin a doua țeavă, aceasta înseamnă că debitul de apă este mai mic. Proporționalitatea este inversă. Să exprimăm viteza necunoscută prin x și să facem următoarea diagramă:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi alcătuim proporția: 120/x = 75/45, de unde x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă să reducem răspunsul primit la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina nr. 4. O mică tipografie privată tipărește cărți de vizită. Un angajat al unei tipografii lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează o zi întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită într-o oră, cu cât mai devreme ar putea merge acasă?

Urmăm calea dovedită și întocmim o diagramă în funcție de condițiile problemei, desemnând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/oră – 8 ore

↓ 48 cărți de vizită/h – x h

Avem o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, de câte ori mai puțin timp va avea nevoie pentru a finaliza aceeași muncă. Știind acest lucru, să creăm o proporție:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că acum și tu te gândești la ei așa. Și principalul lucru este că cunoștințele despre invers dependență proporțională cantitățile s-ar putea dovedi într-adevăr utile pentru mai multe ori.

Nu numai la lecțiile și examenele de matematică. Dar chiar și atunci, când te pregătești să pleci într-o excursie, să mergi la cumpărături, să te hotărăști să câștigi niște bani în plus în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de relații inverse și direct proporționale observi în jurul tău. Să fie un astfel de joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol pe rețelele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Alături de mărimile direct proporționale în aritmetică, au fost luate în considerare și mărimile invers proporționale.

Să dăm exemple.

1) Lungimea bazei și înălțimea unui dreptunghi cu arie constantă.

Să presupunem că trebuie să alocați un teren dreptunghiular cu o suprafață de

„Putem seta în mod arbitrar, de exemplu, lungimea secțiunii. Dar apoi lățimea zonei va depinde de lungimea pe care am ales-o. Diferitele lungimi și lățimi (posibile) sunt prezentate în tabel.

În general, dacă notăm lungimea secțiunii cu x și lățimea cu y, atunci relația dintre ele poate fi exprimată prin formula:

Exprimând y prin x, obținem:

Dând x valori arbitrare, vom obține valorile y corespunzătoare.

2) Timpul și viteza mișcării uniforme la o anumită distanță.

Fie ca distanța dintre două orașe să fie de 200 km. Cu cât viteza este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp pentru a parcurge o anumită distanță. Acest lucru poate fi observat din următorul tabel:

În general, dacă notăm viteza cu x și timpul de mișcare cu y, atunci relația dintre ele va fi exprimată prin formula:

Definiţie. Relația dintre două mărimi exprimată prin egalitate , unde k - un anumit număr(nu este egal cu zero) se numește dependență invers proporțională.

Numărul de aici este numit și coeficient de proporționalitate.

La fel ca în cazul proporționalității directe, în egalitate mărimile x și y în cazul general pot lua valori pozitive și negative.

Dar în toate cazurile de proporționalitate inversă, niciuna dintre mărimi nu poate fi egală cu zero. De fapt, dacă cel puțin una dintre mărimile x sau y este egală cu zero, atunci partea stângă a egalității va fi egală cu

Și cel potrivit - la un număr care nu este egal cu zero (prin definiție), adică rezultatul va fi o egalitate incorectă.

2. Graficul de proporționalitate inversă.

Să construim un grafic de dependență

Exprimând y prin x, obținem:

Vom da x valori arbitrare (valide) și vom calcula valorile y corespunzătoare. Obținem tabelul:

Să construim punctele corespunzătoare (Fig. 28).

Dacă luăm valorile lui x la intervale mai mici, atunci punctele vor fi situate mai aproape unul de altul.

Pentru toate valorile posibile ale lui x, punctele corespunzătoare vor fi situate pe două ramuri ale graficului, simetrice față de originea coordonatelor și trecând în primul și al treilea sferturi ale planului de coordonate (Fig. 29).

Deci, vedem că graficul proporționalității inverse este o linie curbă. Această linie este formată din două ramuri.

O ramură va fi obținută pentru pozitiv, cealaltă - pentru valori negative ale lui x.

Graficul unei relații invers proporționale se numește hiperbolă.

Pentru a obține un grafic mai precis, trebuie să construiți cât mai multe puncte posibil.

O hiperbolă poate fi desenată cu o precizie destul de mare folosind, de exemplu, modele.

Figura 30 prezintă un grafic al unei relații invers proporționale cu un coeficient negativ. De exemplu, creând un tabel ca acesta:

obținem o hiperbolă, ale cărei ramuri sunt situate în sferturile II și IV.

Tipuri de dependență

Să ne uităm la încărcarea bateriei. Ca primă cantitate, să luăm timpul necesar pentru încărcare. A doua valoare este timpul în care va funcționa după încărcare. Cu cât încărcați bateria mai mult, cu atât va dura mai mult. Procesul va continua până când bateria este complet încărcată.

Dependența timpului de funcționare a bateriei de timpul în care este încărcată

Nota 1

Această dependență se numește direct:

Pe măsură ce o valoare crește, la fel crește și a doua. Pe măsură ce o valoare scade, scade și a doua valoare.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Cu cât un student citește mai multe cărți, cu atât va face mai puține greșeli în dictare. Sau cu cât te ridici mai sus în munți, cu atât presiunea atmosferică va fi mai mică.

Nota 2

Această dependență se numește verso:

Pe măsură ce o valoare crește, a doua scade. Pe măsură ce o valoare scade, a doua valoare crește.

Astfel, în caz dependență directă ambele cantități se modifică în mod egal (ambele cresc sau descresc), iar în cazul relație inversă– invers (unul crește și celălalt scade, sau invers).

Determinarea dependențelor dintre cantități

Exemplul 1

Timpul necesar pentru a vizita un prieten este de $20$ minute. Dacă viteza (prima valoare) crește de $2$ ori, vom afla cum se schimbă timpul (a doua valoare) care va fi petrecut pe calea către un prieten.

Evident, timpul va scădea de $2$ ori.

Nota 3

Această dependență se numește proporţional:

De câte ori se modifică o cantitate, de câte ori se modifică a doua cantitate.

Exemplul 2

Pentru pâine de 2 USD în magazin trebuie să plătiți 80 de ruble. Dacă trebuie să cumpărați pâini de $4$ (cantitatea de pâine crește de $2$ ori), de câte ori va trebui să plătiți mai mult?

Evident, costul va crește și de 2$ ori. Avem un exemplu de dependență proporțională.

În ambele exemple, au fost luate în considerare dependențele proporționale. Dar în exemplul cu pâine, cantitățile se schimbă într-o direcție, prin urmare, dependența este direct. Și în exemplul de a merge la casa unui prieten, relația dintre viteză și timp este verso. Astfel există relație direct proporționalăŞi relație invers proporțională.

Proporționalitate directă

Să luăm în considerare cantitățile proporționale de $2$: numărul de pâini și costul acestora. Lăsați pâinea de $2$ să coste 80$ ruble. Dacă numărul de chifle crește de $4$ ori ($8$ chifle), costul lor total va fi de $320$ ruble.

Raportul dintre numărul de role: $\frac(8)(2)=4$.

Raportul costului bunului: $\frac(320)(80)=$4.

După cum puteți vedea, aceste relații sunt egale între ele:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definiția 1

Se numește egalitatea a două rapoarte proporţie.

Cu o dependență direct proporțională, se obține o relație atunci când modificarea primei și a doua mărimi coincide:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definiția 2

Cele două mărimi sunt numite direct proporțională, dacă atunci când una dintre ele se modifică (crește sau scade), se modifică și cealaltă valoare (crește sau, respectiv, scade) cu aceeași valoare.

Exemplul 3

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore. Găsiți timpul în care va acoperi de 2$ ori distanța cu aceeași viteză.

Soluţie.

Timpul este direct proporțional cu distanța:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori va crește distanța, la o viteză constantă, cu aceeași valoare va crește timpul:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Mașina a parcurs $180$ km în $2$ ore

Mașina va parcurge $180 \cdot 2=360$ km – în $x$ ore

Cu cât mașina se deplasează mai mult, cu atât va dura mai mult. În consecință, relația dintre cantități este direct proporțională.

Să facem o proporție:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $4$ ore.

Proporționalitate inversă

Definiția 3

Soluţie.

Timpul este invers proporțional cu viteza:

$t=\frac(S)(v)$.

De câte ori crește viteza, cu aceeași cale, timpul scade cu aceeași cantitate:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Să scriem condiția problemei sub forma unui tabel:

Mașina a parcurs $60$ km - în $6$ ore

Mașina va călători 120$ km – în $x$ ore

Cu cât viteza mașinii este mai mare, cu atât va dura mai puțin timp. În consecință, relația dintre cantități este invers proporțională.

Să facem o proporție.

Deoarece proporționalitatea este inversă, a doua relație în proporție este inversată:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Răspuns: mașina va avea nevoie de $3$ ore.

Completat de: Cepkasov Rodion

elev de clasa a VI-a

MBOU "Școala Gimnazială Nr. 53"

Barnaul

Șef: Bulykina O.G.

profesor de matematică

MBOU "Școala Gimnazială Nr. 53"

Barnaul

Introducere. 1

Relații și proporții. 3

Relații proporționale directe și inverse. 4

Aplicarea proporționalului direct și invers proporțional 6

dependențe la rezolvarea diferitelor probleme.

Concluzie. 11

Literatură. 12

Introducere.

Cuvântul proporție provine din cuvântul latin proporție, care înseamnă în general proporționalitate, alinierea părților (un anumit raport de părți între ele). În cele mai vechi timpuri, doctrina proporțiilor era ținută în mare cinste de către pitagoreici. Cu proporții au asociat gânduri despre ordinea și frumusețea în natură, despre acordurile consoanelor din muzică și armonia în univers. Ei au numit unele tipuri de proporții muzicale sau armonice.

Chiar și în cele mai vechi timpuri, omul a descoperit că toate fenomenele din natură sunt conectate între ele, că totul este în continuă mișcare, se schimbă și, atunci când este exprimat în numere, dezvăluie modele uimitoare.

Pitagoreii și adepții lor au căutat o expresie numerică pentru tot ce se afla în lume. Au descoperit; că proporțiile matematice stau la baza muzicii (raportul dintre lungimea coardei și înălțimea, relația dintre intervale, raportul sunetelor din acordurile care dau un sunet armonic). Pitagoreii au încercat să fundamenteze matematic ideea unității lumii; ei au susținut că baza universului era simetrică forme geometrice. Pitagoreii au căutat o bază matematică pentru frumusețe.

Urmând pitagoreenilor, omul de știință medieval Augustin a numit frumusețea „egalitatea numerică”. Filosoful scolastic Bonaventure a scris: „Nu există frumusețe și plăcere fără proporționalitate, iar proporționalitatea există în primul rând în numere. Este necesar ca totul să fie numărabil”. Leonardo da Vinci a scris despre utilizarea proporției în artă în tratatul său despre pictură: „Pictorul întruchipează sub formă de proporție aceleași modele ascunse în natură pe care omul de știință le cunoaște sub forma legii numerice”.

Proporțiile au fost folosite pentru a rezolva diverse probleme atât în ​​antichitate, cât și în Evul Mediu. Anumite tipuri de probleme sunt acum ușor și rapid rezolvate folosind proporții. Proporțiile și proporționalitatea au fost și sunt folosite nu numai în matematică, ci și în arhitectură și artă. Proporția în arhitectură și artă înseamnă menținerea anumitor relații între dimensiuni diferite părți clădire, figură, sculptură sau altă operă de artă. Proporționalitatea în astfel de cazuri este o condiție pentru construcția și reprezentarea corectă și frumoasă

În munca mea am încercat să iau în considerare utilizarea relațiilor directe și invers proporționale în diverse domenii viata inconjuratoare, trasează legătura cu disciplinele academice prin sarcini.

Relații și proporții.

Se numește câtul dintre două numere atitudine aceste numere.

Atitudinea arată, de câte ori primul număr mai mult decât al doilea sau ce parte este primul număr din al doilea.

Sarcină.

La magazin au fost aduse 2,4 tone de pere și 3,6 tone de mere. Ce proporție din fructele aduse sunt perele?

Soluţie . Să aflăm câte fructe au adus: 2,4+3,6=6(t). Pentru a afla ce parte din fructele aduse sunt pere, facem raportul 2,4:6=. Răspunsul poate fi scris și sub formă zecimal sau ca procent: = 0,4 = 40%.

reciproc invers numit numere, ale căror produse sunt egale cu 1. Prin urmare relația se numește inversul relației.

Luați în considerare două rapoarte egale: 4,5:3 și 6:4. Să punem un semn egal între ele și să obținem proporția: 4.5:3=6:4.

Proporţie este egalitatea a două relaţii: a : b =c :d sau = , unde a și d sunt termeni extremi de proporție, c și b - membri medii(toți termenii proporției sunt diferiți de zero).

Proprietatea de bază a proporției:

în proporția corectă, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii.

Aplicând proprietatea comutativă a înmulțirii, constatăm că în proporție corectă termenii extremi sau termenii medii pot fi interschimbați. Proporțiile rezultate vor fi, de asemenea, corecte.

Folosind proprietatea de bază a proporției, puteți găsi termenul său necunoscut dacă toți ceilalți termeni sunt cunoscuți.

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, trebuie să înmulțiți termenii medii și să împărțiți la termenul extrem cunoscut. x : b = c : d , x =

Pentru a găsi termenul mediu necunoscut al unei proporții, trebuie să înmulțiți termenii extremi și să împărțiți la termenul mediu cunoscut. a : b =x : d , x = .

Relații proporționale directe și inverse.

Valorile a două cantități diferite pot fi dependente reciproc una de cealaltă. Deci, aria unui pătrat depinde de lungimea laturii sale și invers - lungimea laturii unui pătrat depinde de aria sa.

Se spune că două mărimi sunt proporționale dacă, cu creșterea

(descrește) una dintre ele de mai multe ori, cealaltă crește (descrește) de același număr de ori.

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci rapoartele valorilor corespunzătoare acestor cantități sunt egale.

Exemplu dependență direct proporțională .

La o benzinărie 2 litri de benzină cântăresc 1,6 kg. Cât vor cântări 5 litri de benzina?

Soluţie:

Greutatea kerosenului este proporțională cu volumul său.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Raspuns: 4 kg.

Aici raportul greutate/volum rămâne neschimbat.

Două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când una dintre ele crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă scade (crește) cu aceeași cantitate.

Dacă cantitățile sunt invers proporționale, atunci raportul dintre valorile unei cantități este egal cu raportul invers al valorilor corespunzătoare unei alte cantități.

P exemplurelație invers proporțională.

Două dreptunghiuri au aceeași zonă. Lungimea primului dreptunghi este de 3,6 m și lățimea este de 2,4 m Lungimea celui de-al doilea dreptunghi este de 4,8 m.

Soluţie:

1 dreptunghi 3,6 m 2,4 m

2 dreptunghi 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Raspuns: 1,8 m.

După cum puteți vedea, problemele care implică cantități proporționale pot fi rezolvate folosind proporții.

Nu fiecare două mărimi sunt direct proporționale sau invers proporționale. De exemplu, înălțimea unui copil crește pe măsură ce vârsta lui crește, dar aceste valori nu sunt proporționale, deoarece atunci când vârsta se dublează, înălțimea copilului nu se dublează.

Aplicație practică dependență directă și invers proporțională.

Sarcina nr. 1

ÎN biblioteca școlară 210 manuale de matematică, ceea ce reprezintă 15% din întreaga colecție a bibliotecii. Câte cărți sunt în colecția bibliotecii?

Soluţie:

Total manuale - ? - 100%

Matematicieni - 210 -15%

15% 210 academic.

X = 100* 210 = 1400 manuale

100% x cont. 15

Răspuns: 1400 de manuale.

Problema nr. 2

Un biciclist parcurge 75 km in 3 ore. Cât timp îi va lua unui biciclist să parcurgă 125 km cu aceeași viteză?

Soluţie:

3 h – 75 km

H – 125 km

Prin urmare, timpul și distanța sunt mărimi direct proporționale

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Raspuns: in 5 ore.

Problema nr. 3

8 țevi identice umplu o piscină în 25 de minute. Câte minute vor dura pentru a umple o piscină cu 10 astfel de țevi?

Soluţie:

8 conducte – 25 minute

10 tevi - ? minute

Numărul de țevi este invers proporțional cu timpul, deci

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Răspuns: în 20 de minute.

Problema nr. 4

O echipă de 8 muncitori finalizează sarcina în 15 zile. Câți lucrători pot finaliza sarcina în 10 zile în timp ce lucrează la aceeași productivitate?

Soluţie:

8 zile lucrătoare – 15 zile

Muncitori - 10 zile

Numărul de muncitori este invers proporțional cu numărul de zile, deci

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Răspuns: 12 muncitori.

Problema nr. 5

Din 5,6 kg de roșii se obțin 2 litri de sos. Câți litri de sos se pot obține din 54 kg de roșii?

Soluţie:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Numarul de kilograme de rosii este direct proportional cu cantitatea de sos obtinuta, asadar

5.6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Raspuns: 19 l.

Problema nr. 6

Pentru a încălzi clădirea școlii, cărbunele a fost depozitat timp de 180 de zile la rata de consum

0,6 tone de cărbune pe zi. Câte zile va dura această aprovizionare dacă se cheltuiesc 0,5 tone zilnic?

Soluţie:

Numărul de zile

Rata de consum

Prin urmare, numărul de zile este invers proporțional cu rata consumului de cărbune

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Răspuns: 216 zile.

Problema nr. 7

ÎN minereu de fier Pentru 7 părți de fier există 3 părți de impurități. Câte tone de impurități sunt în minereul care conține 73,5 tone de fier?

Soluţie:

Numărul de piese

Greutate

Fier

73,5

Impurităţi

Prin urmare, numărul de piese este direct proporțional cu masa

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Raspuns: 31,5 t

Problema nr. 8

Mașina a parcurs 500 km, folosind 35 de litri de benzină. Câți litri de benzină vor fi necesari pentru a parcurge 420 km?

Soluţie:

Distanța, km

Benzină, l

Distanța este direct proporțională cu consumul de benzină, deci

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Raspuns: 29,4 l

Problema nr. 9

În 2 ore am prins 12 caras. Câți caras vor fi prinși în 3 ore?

Soluţie:

Numărul de caras nu depinde de timp. Aceste mărimi nu sunt nici direct proporționale, nici invers proporționale.

Răspuns: Nu există niciun răspuns.

Problema nr. 10

O întreprindere minieră trebuie să achiziționeze 5 mașini noi pentru o anumită sumă de bani la un preț de 12 mii de ruble. Câte dintre aceste mașini poate cumpăra o întreprindere dacă prețul pentru o mașină devine 15 mii de ruble?

Soluţie:

Număr de mașini, buc.

Preț, mii de ruble

Numărul de mașini este invers proporțional cu costul, deci

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Raspuns: 4 masini.

Problema nr. 11

In oras N pe pătratul P există un magazin al cărui proprietar este atât de strict încât, pentru întârziere, scade 70 de ruble din salariu pentru 1 întârziere pe zi. Două fete, Yulia și Natasha, lucrează într-un singur departament. Lor salariile depinde de numărul de zile lucrătoare. Yulia a primit 4.100 de ruble în 20 de zile, iar Natasha ar fi trebuit să primească mai multe în 21 de zile, dar a întârziat 3 zile la rând. Câte ruble va primi Natasha?

Soluţie:

Zile lucratoare

Salariu, freacă.

Julia

4100

Natasha

Prin urmare, salariul este direct proportional cu numarul de zile lucratoare

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 rub. Natasha ar fi trebuit să-l primească.

4305 – 3 * 70 = 4095 (frecare)

Răspuns: Natasha va primi 4095 de ruble.

Problema nr. 12

Distanța dintre două orașe de pe hartă este de 6 cm Găsiți distanța dintre aceste orașe la sol dacă scara hărții este 1: 250000.

Soluţie:

Să notăm distanța dintre orașe de la sol cu ​​x (în centimetri) și să aflăm raportul dintre lungimea segmentului de pe hartă și distanța de la sol, care va fi egală cu scara hărții: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Raspuns: 15 km.

Problema nr. 13

4000 g de soluție conțin 80 g de sare. Care este concentrația de sare în această soluție?

Soluţie:

Greutate, g

Concentrație, %

Soluţie

4000

Sare

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Răspuns: Concentrația de sare este de 2%.

Problema nr. 14

Banca acordă un împrumut la 10% pe an. Ai primit un împrumut de 50.000 de ruble. Cât de mult ar trebui să returnați la bancă într-un an?

Soluţie:

50.000 de ruble.

100%

x freca.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 de ruble. este de 10%.

50.000 + 5000=55.000 (frec.)

Răspuns: într-un an banca va primi înapoi 55.000 de ruble.

Concluzie.

După cum putem vedea din exemplele date, relațiile direct și invers proporționale sunt aplicabile în diferite domenii ale vieții:

Economie,

Comerț,

În producție și industrie,

Viața de școală,

gătit,

Constructii si arhitectura.

Sport,

Creșterea animalelor,

Topografii,

Fizicieni,

Chimie, etc.

În limba rusă există și proverbe și zicători care stabilesc relații directe și inverse:

Pe măsură ce se întoarce, la fel va răspunde.

Cu cât ciotul este mai înalt, cu atât umbra este mai mare.

Cu cât sunt mai mulți oameni, cu atât mai puțin oxigen.

Și este gata, dar stupid.

Matematica este una dintre stiinte antice, a apărut pe baza nevoilor și dorințelor umanității. Trecând prin istoria formării de atunci Grecia antică, rămâne încă relevant și necesar în viata de zi cu zi orice persoana. Conceptul de proporționalitate directă și inversă este cunoscut încă din cele mai vechi timpuri, deoarece legile proporției au fost cele care i-au motivat pe arhitecți în timpul oricărei construcție sau creație a oricărei sculpturi.

Cunoștințele despre proporții sunt utilizate pe scară largă în toate sferele vieții și activității umane - nu se poate face fără ea atunci când pictează (peisaje, naturi moarte, portrete etc.), este, de asemenea, răspândită în rândul arhitecților și inginerilor - în general, este dificil să imaginați-vă că creați ceva fără a folosi cunoștințele despre proporții și relațiile lor.

Literatură.

Matematică-6, N.Ya. Vilenkin și colab.

Algebră -7, G.V. Dorofeev și alții.

Matematică-9, GIA-9, editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova

Matematică-6, materiale didactice, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Probleme de matematică pentru clasele 4-5, I.V Baranova et al., M. „Prosveshchenie” 1988

Culegere de probleme și exemple la matematică clasele 5-6, N.A. Tereshin,

T.N. Tereshina, M. „Acvariu” 1997