Legea distribuției sumei a două variabile aleatoare. Componența legilor de distribuție

În practică, este adesea nevoie de a găsi legea distribuției unei sume de variabile aleatoare.

Să existe un sistem (Хь Х 2) două continue s. V. si suma lor

Să găsim densitatea de distribuție c. V. U. În conformitate cu decizie generală din paragraful anterior, găsim aria avionului în care x+ x 2 (Fig. 9.4.1):

Diferențiând această expresie față de y, obținem p.r. variabilă aleatoare Y = X + X 2:

Deoarece funcția φ (x b x 2) = Xj + x 2 este simetrică în raport cu argumentele sale, atunci

Dacă s. V. XŞi X 2 sunt independente, atunci formulele (9.4.2) și (9.4.3) vor lua forma:

În cazul în care independent s. V. X xŞi X 2, vorbesc despre componența legilor de distribuție. Legume şi fructe compoziţie două legi de distribuție - aceasta înseamnă găsirea legii de distribuție a sumei a două s independente. c., distribuite conform acestor legi. Pentru a desemna compoziția legilor de distribuție, se folosește notația simbolică

care denotă în esență formule (9.4.4) sau (9.4.5).

Exemplul 1. Luați în considerare munca a doi dispozitive tehnice(CĂ). La început, TU funcționează după defecțiunea (eșecul), este inclus în funcționarea TU 2. Timp de funcționare fără defecțiuni TU L TU 2 - X xŞi X 2 - sunt independente şi distribuite conform legilor exponenţiale cu parametrii A,1 şi X 2. Prin urmare, timpul Y funcționarea fără probleme a unui dispozitiv tehnic format din echipament tehnic! și TU 2, va fi determinată de formula

Se cere găsirea p.r. variabilă aleatoare Y, adică alcătuirea a două legi exponențiale cu parametri și X 2.

Soluţie. Folosind formula (9.4.4) obținem (y > 0)

Dacă există o compoziție a două legi exponențiale cu aceiași parametri (?ts = X 2 = Y), atunci în expresia (9.4.8) obținem o incertitudine de tip 0/0, relevând care obținem:

Comparând această expresie cu expresia (6.4.8), suntem convinși că alcătuirea a două legi exponențiale identice (?ts = X 2 = X) reprezintă legea de ordinul doi a lui Erlang (9.4.9). Când se combină două legi exponențiale cu parametri diferiți X x iar A-2 primesc a generalizat legea de ordinul doi a lui Erlang (9.4.8). ?

Problema 1. Legea distribuției diferenței a două s. V. Sistemul s. V. (X și X 2) are o îmbinare p.r./(x b x 2). Găsiți p.r. diferențele lor Y= X - X 2.

Soluţie. Pentru sistem cu. V. (X b - X 2) p.r. va fi/(x b - x 2), adică am înlocuit diferența cu suma. Prin urmare, p.r. variabila aleatoare Va avea forma (vezi (9.4.2), (9.4.3)):

Dacă Cu. V. X x iX 2 sunt independente, atunci

Exemplul 2. Găsiți p.r. diferența dintre două s independente distribuite exponențial. V. cu parametrii X xŞi X 2.

Soluţie. Folosind formula (9.4.11) obținem

Orez. 9.4.2 Orez. 9.4.3

Figura 9.4.2 prezintă un p.r. g(y). Dacă luăm în considerare diferența a două s independente distribuite exponențial. V. cu aceiași parametri (A-i= X 2 = O,), Că g(y) = /2 - deja familiar

legea lui Laplace (Fig. 9.4.3). ?

Exemplul 3. Aflați legea distribuției sumei a două s independente. V. XŞi X 2, distribuite conform legii lui Poisson cu parametri un xŞi a 2.

Soluţie. Să aflăm probabilitatea evenimentului (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Prin urmare, s. V. Y= X x + X 2 distribuite conform legii lui Poisson cu parametru a x2) - a x + a 2. ?

Exemplul 4. Aflați legea distribuției sumei a două s independente. V. X xŞi X 2, distribuite după legi binomiale cu parametri p x ri p 2, p respectiv.

Soluţie. Să ne imaginăm s. V. X x sub forma:

Unde X 1) - indicator de eveniment O Experiența lui Wu:

Seria de distribuție c. V. X,- are forma

Vom face o reprezentare similară pentru s. V. X 2: unde X] 2) - indicator de eveniment Oîn a-a experiență:

Prin urmare,

unde este X? 1)+(2) dacă indicator de eveniment O:

Astfel, am arătat că s. V. Testați suma (u + n 2) indicatori de eveniment O, din care rezultă că s. V. ^distribuit conform legii binomiale cu parametri ( p x + p 2), r.

Rețineți că dacă probabilitățile r sunt diferite în diferite serii de experimente, apoi ca urmare a adăugării a două s independente. in., distribuite conform legilor binomiale, rezultă c. c., distribuite nu conform legii binomiale. ?

Exemplele 3 și 4 sunt ușor de generalizat la un număr arbitrar de termeni. Când se combină legile lui Poisson cu parametrii a b a 2, ..., un t din nou obținem legea lui Poisson cu parametrul a (t) = a x + a 2 + ... + și t.

La alcătuirea legilor binomiale cu parametri (p p p); (eu 2, p) , (p t, p) din nou obținem o lege binomială cu parametri (“(“), R), Unde n (t) = n + n 2 + ... + p t.

Am dovedit proprietăți importante ale legii lui Poisson și ale legii binomiale: „proprietatea de stabilitate”. Se numește legea distribuției durabil, dacă din alcătuirea a două legi de același tip rezultă o lege de același tip (diferă doar parametrii acestei legi). În Subsecțiunea 9.7 vom arăta că legea normală are aceeași proprietate de stabilitate.

Un obiect extrem de important al teoriei probabilităților este suma variabilelor aleatoare independente. Studiul distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente a pus bazele dezvoltării metodelor analitice ale teoriei probabilităților.

Distribuția sumei variabilelor aleatoare independente

În această secțiune, vom obține o formulă generală pentru calcularea funcției de distribuție a unei sume de variabile aleatoare independente și vom lua în considerare câteva exemple.

Distribuția sumei a două variabile aleatoare independente. Formula de convoluție

variabile aleatoare independente cu funcţii de distribuţie

respectiv

Apoi funcția de distribuție F sume de variabile aleatoare

poate fi calculat folosind următoarea formulă ( formula de convoluție)

Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi teorema lui Fubini.

A doua parte a formulei este demonstrată într-un mod similar.

Densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare independente

Dacă distribuțiile ambelor variabile aleatoare au densități, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată folosind formula

Dacă distribuția unei variabile aleatoare (sau ) are o densitate, atunci densitatea sumei acestor variabile aleatoare poate fi calculată folosind formula

Pentru a demonstra aceste afirmații, este suficient să folosim definiția densității.

Convoluții multiple

Suma unui număr finit de variabile aleatoare independente este calculată prin aplicarea secvenţială a formulei de convoluţie. Funcția de distribuție a sumei k variabile aleatoare independente distribuite identic cu funcție de distribuție F

numit k–convoluția pliului a funcției de distribuție F si este desemnat

Exemple de calcul al distribuției sumelor variabilelor aleatoare independente

Acest paragraf oferă exemple de situații în care tipul de distribuție este păstrat la însumarea variabilelor aleatoare. Demonstrațiile sunt exerciții de însumare și integrale.

Sumele variabilelor aleatoare independente. Distribuție normală

Sume ale variabilelor aleatoare independente

Sumele variabilelor aleatoare independente

Sume ale variabilelor aleatoare independente

Procesul Poisson

o secvență de variabile aleatoare independente distribuite identic având o distribuție exponențială cu parametru

Secvență aleatorie de puncte

pe semiaxa nenegativă se numește Proces Poisson (punct)..

Să calculăm distribuția numărului de puncte

Procesul Poisson în intervalul (0,t)

echivalente, deci

Dar distribuția variabilei aleatoare

este o distribuție Erlang de ordin k, deci

Astfel, distribuția numărului de puncte ale unui proces Poisson în intervalul (o,t) este o distribuție Poisson cu parametrul

Procesul Poisson este utilizat pentru modelarea momentelor de apariție a evenimentelor aleatoare - procesul de dezintegrare radioactivă, momentele apelurilor care sosesc la o centrală telefonică, momentele clienților care apar în sistemul de service, momentele de defecțiune a echipamentului.

FUNCȚII DE DISTRIBUȚIE

Lasă x(k)- o variabilă aleatoare. Apoi pentru orice valoare fixă ​​x evenimentul aleatoriu x(k) x este definit ca ansamblul tuturor rezultatelor posibile k astfel încât x(k) x. În ceea ce privește măsura probabilității inițiale specificată pe spațiul eșantion, functie de distributieP(x) este definită ca probabilitatea atribuită unui set de puncte k x(k) x. Rețineți că setul de puncte k, satisfacerea inegalitatii x(k) x, este o submulțime a mulțimii de puncte care satisfac inegalitatea x(k) . Oficial

Este evident că

Dacă intervalul de valori ale unei variabile aleatoare este continuu, așa cum se presupune mai jos, atunci densitatea de probabilitate(unidimensional) p(x) determinată de relația diferențială

(4)

Prin urmare,

(6)

Pentru a putea lua în considerare cazuri discrete, este necesar să se presupună prezența funcțiilor delta în densitatea de probabilitate.

AȘTEPTARE MATEMATICĂ

Fie variabila aleatoare x(k) ia valori din intervalul de la -  la + . Valoarea medie(altfel, așteptări matematice sau valoarea asteptata) x(k) se calculează folosind trecerea limită corespunzătoare în suma produselor valorilor x(k) cu privire la probabilitatea producerii acestor evenimente:

(8)

Unde E- așteptarea matematică a expresiei între paranteze drepte după index k. Așteptările matematice ale unei funcții continue reale cu o singură valoare este determinată în mod similar g(x) dintr-o variabilă aleatoare x(k)

(9)

Unde p(x)- densitatea de probabilitate a unei variabile aleatorii x(k).În special, luarea g(x)=x, primim pătrat mediu x(k) :

(10)

Dispersiax(k) definită ca pătratul mediu al diferenței x(k)și valoarea sa medie,

adică în acest caz g(x)= Şi

Prin definiție, abaterea standard variabilă aleatoare x(k), notat , există o valoare pozitivă rădăcină pătrată din dispersie. Abaterea standard este măsurată în aceleași unități ca și media.

FUNCȚII IMPORTANTE DE DISTRIBUȚIE

DISTRIBUȚIE UNIFORMĂ (RECTANGULARĂ).

Să presupunem că experimentul constă în selectarea aleatorie a unui punct din intervalul [ a,b], inclusiv punctele finale ale acestuia. În acest exemplu, ca valoare a variabilei aleatoare x(k) puteți lua valoarea numerică a punctului selectat. Funcția de distribuție corespunzătoare are forma

Prin urmare, densitatea de probabilitate este dată de formula

În acest exemplu, calcularea mediei și a varianței folosind formulele (9) și (11) dă

DISTRIBUȚIE NORMALĂ (GAUSSIANĂ).

, - medie aritmetică, - abatere standard.

Valoarea lui z corespunzătoare probabilității P(z)=1-, adică.

CHI - DISTRIBUȚIE PĂTRATĂ

Lasă - n variabile aleatoare independente, fiecare dintre acestea având o distribuție normală cu medie zero și varianță unitară.

Chi-pătratul este o variabilă aleatorie cu n grade de libertate.

densitatea de probabilitate.

DF: 100 - puncte procentuale - se desemnează distribuțiile, adică.

media și varianța sunt egale

t - DISTRIBUȚII STUDENTILOR

y, z - variabile aleatoare independente; y - are - distribuție, z - este distribuit în mod normal cu medie zero și varianță unitară.

dimensiune - are t- Distribuția elevilor cu n grade de libertate

DF: 100 - punct procentual din t - este indicată distribuția

Media și varianța sunt egale

F - DISTRIBUȚIE

Variabile aleatoare independente; are - distributie cu grade de libertate; distribuţie cu grade de libertate. Variabila aleatoare:

,

F este o variabilă aleatoare distribuită cu și grade de libertate.

,

DF: 100 - punct procentual:

Media și varianța sunt egale:

DISTRIBUȚIA SUMEI

DOUĂ VARIABILE ALEATORII

Lasă x(k)Şi y(k)– variabile aleatoare având o densitate de probabilitate comună p(x,y). Să găsim densitatea de probabilitate a sumei variabilelor aleatoare

La fix x avem y= z– x. De aceea

La fix z valorile x rulați intervalul de la – la +. De aceea

(37)

din care este clar că pentru a calcula densitatea sumă necesară, trebuie să cunoașteți densitatea probabilității comune inițiale. Dacă x(k)Şi y(k) sunt variabile aleatoare independente având densități și, în consecință, atunci și

(38)

EXEMPLU: SUMA A DOUĂ VARIABILE ALEATORII INDEPENDENTE, DISTRIBUITE UNIFORM.

Fie două variabile independente aleatoare să aibă densități de formă

În alte cazuri Să găsim densitatea de probabilitate p(z) a sumei lor z= x+ y.

Densitatea de probabilitate Pentru adică pentru Prin urmare, x nu depaseste z. În plus, nu este egal cu zero pentru Conform formulei (38), constatăm că

Ilustrare:

Densitatea de probabilitate a sumei a două variabile aleatoare independente, distribuite uniform.

CONVERSIE ALEATORIE

VALORI

Lasă x(t)- variabilă aleatoare cu densitate de probabilitate p(x), si lasa g(x) este o funcție reală continuă cu o singură valoare a x. Să luăm mai întâi în considerare cazul în care funcția inversă x(g) este, de asemenea, o funcție continuă cu o singură valoare a g. Densitatea de probabilitate p(g), corespunzătoare variabilei aleatoare g(x(k)) = g(k), poate fi determinată de densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatoare x(k)și derivată dg/dxîn ipoteza că derivata există și este diferită de zero, și anume:

(12)

Prin urmare, în limita la dg/dx #0

(13)

Folosind această formulă, urmează pe partea dreaptă în loc de variabilă xînlocuiți valoarea corespunzătoare g.

Să luăm acum în considerare cazul în care funcția inversă x(g) este valabil n-funcţia valorificată a g, Unde n- un număr întreg și toate n valorile sunt la fel de probabile. Apoi

(14)

EXEMPLU:

DISTRIBUȚIA FUNCȚIILOR ARMONICE.

Funcție armonică cu amplitudine fixă X si frecventa f va fi o variabilă aleatorie dacă unghiul său de fază inițial  =  (k)- variabilă aleatoare. În special, lasă t fix și egal t o, iar variabila aleatoare armonică are forma

Să presupunem că  (k) are o densitate de probabilitate uniformă p( ) fel

Să găsim densitatea de probabilitate p(x) variabilă aleatoare x(k).

În acest exemplu funcția directă x( ) unic și funcția inversă  (x) două cifre

Să folosim cele de mai sus metoda generala pentru a rezolva o problemă și anume pentru a afla legea distribuției sumei a două variabile aleatoare. Există un sistem de două variabile aleatoare (X,Y) cu densitatea distribuției f(x,y). Să considerăm suma variabilelor aleatoare X și Y: și să aflăm legea distribuției valorii Z. Pentru a face acest lucru, să construim o dreaptă pe planul xOy, a cărei ecuație este (Fig. 7). Aceasta este o linie dreaptă care decupează segmente egale cu z pe axe. O linie dreaptă împarte planul xOy în două părți; în dreapta și deasupra acestuia; la stânga și dedesubt.

Zona D în în acest caz,-- partea stângă jos a planului xOy, umbrită în Fig. 7. Conform formulei (16) avem:

Diferențiând această expresie față de variabila z inclusă în limita superioară a integralei interne, obținem:

Aceasta este formula generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatoare.

Din motive de simetrie a problemei față de X și Y, putem scrie o altă versiune a aceleiași formule:

care este echivalent cu primul și poate fi folosit în schimb.

Un exemplu de alcătuire a legilor normale. Să considerăm două variabile aleatoare independente X și Y, supuse legilor normale:

Se cere să se producă o alcătuire a acestor legi, adică să se găsească legea de distribuție a cantității: .

Să aplicăm formula generală pentru alcătuirea legilor de distribuție:

Dacă deschidem parantezele din exponentul integrandului și adăugăm termeni similari, obținem:

Înlocuirea acestor expresii în formula pe care am întâlnit-o deja

dupa transformari obtinem:

iar aceasta nu este altceva decât o lege normală cu un centru de dispersie

și abaterea standard

La aceeași concluzie se poate ajunge mult mai ușor folosind următorul raționament calitativ.

Fara a deschide parantezele si fara a face transformari in integrandul (17), ajungem imediat la concluzia ca exponentul este un trinom patrat fata de x de forma

unde valoarea z nu este inclusă deloc în coeficientul A, în coeficientul B este inclusă la prima putere, iar în coeficientul C este pătrat. Ținând cont de acest lucru și aplicând formula (18), ajungem la concluzia că g(z) este o funcție exponențială, al cărei exponent este un trinom pătrat față de z și densitatea distribuției; Acest tip corespunde legii normale. Deci noi; ajungem la o concluzie pur calitativă: legea distribuţiei valorii z trebuie să fie normală. Pentru a afla parametrii acestei legi - și - vom folosi teorema adunării așteptărilor matematice și teorema adunării varianțelor. Conform teoremei adunării aşteptărilor matematice. Prin teorema adunării varianțelor sau din care rezultă formula (20).

Trecând de la abaterile standard la abaterile probabile proporționale cu acestea, obținem: .

Astfel, am ajuns la următoarea regulă: la combinarea legilor normale, se obține din nou o lege normală și se însumează așteptările și variațiile matematice (sau pătratele abaterilor probabile).

Regula pentru alcătuirea legilor normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatoare independente.

Dacă există n variabile aleatoare independente: supuse legilor normale cu centre de dispersie și abateri standard, atunci valoarea este supusă și legii normale cu parametri

În loc de formula (22), puteți utiliza o formulă echivalentă:

Dacă un sistem de variabile aleatoare (X, Y) este distribuit conform unei legi normale, dar valorile X, Y sunt dependente, atunci nu este greu de demonstrat, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3. 1), că legea distribuției unei valori este și o lege normală. Centrele de împrăștiere sunt încă adăugate algebric, dar pentru abaterile standard regula devine mai complexă: , unde, r este coeficientul de corelație al valorilor X și Y.

Când se adună mai multe variabile aleatoare dependente, care în totalitatea lor sunt supuse legii normale, legea de distribuție a sumei se dovedește a fi normală și cu parametrii

sau în abateri probabile

unde este coeficientul de corelație al mărimilor X i, X j, iar însumarea se aplică tuturor combinațiilor diferite de mărimi pe perechi.

Ne-am convins de o proprietate foarte importantă a legii normale: alcătuirea legilor normale rezultă din nou într-o lege normală. Aceasta este așa-numita „proprietate de stabilitate”. O lege de distribuție se numește stabilă dacă din compoziția a două legi de acest tip rezultă din nou o lege de același tip. Am arătat mai sus că legea normală este stabilă. Foarte puține legi de distribuție au proprietatea de stabilitate. Legea densității uniforme este instabilă: combinând două legi ale densității uniforme în secțiuni de la 0 la 1, am obținut legea lui Simpson.

Stabilitatea legii normale este una dintre conditii esentiale utilizarea sa pe scară largă în practică. Totuși, pe lângă cea normală, unele alte legi de distribuție au și proprietatea stabilității. O caracteristică a legii normale este că cu compoziția este suficientă număr mare a legilor de distribuție practic arbitrare, legea totală se dovedește a fi cât se dorește de normal, indiferent de care au fost legile de distribuție a termenilor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, prin alcătuirea celor trei legi ale densității uniforme în zone de la 0 la 1. Legea de distribuție rezultată g(z) este prezentată în Fig. 8. După cum se poate observa din desen, graficul funcției g(z) este foarte asemănător cu graficul legii normale.