Explicația de ce se visează cerul depinde de cum arăta. Dacă nu...
Filtrarea liniară a imaginii poate fi efectuată atât în domeniul spațial, cât și în domeniul frecvenței. Se crede că frecvențele spațiale „joase” corespund conținutului principal al imaginii - fundal și obiecte de dimensiuni mari, iar frecvențele spațiale „înalte” - obiecte de dimensiuni mici, detalii mici ale formelor mari și componenta de zgomot.
În mod tradițional, pentru a trece în domeniul frecvențelor spațiale, se folosesc metode bazate pe $\textit(transformata Fourier)$. ÎN ultimii ani Metodele bazate pe $\textit(wavelet-transform)$ sunt de asemenea folosite din ce în ce mai mult.
transformata Fourier.
Transformarea Fourier vă permite să reprezentați aproape orice funcție sau set de date ca o combinație a acestora funcții trigonometrice, cum ar fi sinus și cosinus, care vă permite să identificați componente periodice în date și să evaluați contribuția acestora la structura datelor originale sau forma funcției. În mod tradițional, există trei forme principale de transformată Fourier: transformată Fourier integrală, serie Fourier și transformată Fourier discretă.
Transformarea integrală Fourier transformă o funcție reală într-o pereche de funcții reale sau o funcție complexă în alta.
Funcția reală $f(x)$ poate fi extinsă într-un sistem ortogonal de funcții trigonometrice, adică reprezentată sub forma
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
unde $A(\omega)$ și $B(\omega)$ se numesc transformări integrale cosinus și sinus:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \cos \left((2\pi \omega x ) \right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \right)) \sin \left((2\pi \omega x )\dreapta)dx. $$
Seria Fourier reprezintă o funcție periodică $f(x)$, definită pe intervalul $$, ca o serie infinită în sinusuri și cosinusuri. Adică, funcția periodică $f(x)$ este asociată cu o succesiune infinită de coeficienți Fourier
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn)( b-a)) \right)+\sum\limits_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \right)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \right)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \right)dx . $$
Transformarea Fourier discretă transformă o secvență finită de numere reale într-o secvență finită de coeficienți Fourier.
Fie $\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ - o succesiune de numere reale - de exemplu, luminozitatea pixelilor contează de-a lungul unei linii de imagine. Această secvență poate fi reprezentată ca o combinație de sume finite ale formei
$$ x_i =a_0 +\sum\limits_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)+\sum\limits_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \right)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \right) ), \quad i\le k Principala diferență dintre cele trei forme ale transformării Fourier este că, dacă transformarea Fourier integrală este definită pe întregul domeniu de definire al funcției $f(x)$, atunci seria și transformata Fourier discretă sunt definite numai pe o mulțime discretă. de puncte, infinit pentru seria Fourier și finit pentru transformările celei discrete. După cum se poate vedea din definițiile transformării Fourier, transformata Fourier discretă este de cel mai mare interes pentru sistemele de procesare a semnalului digital. Datele primite din mediile digitale sau din surse de informații sunt seturi ordonate de numere scrise sub formă de vectori sau matrice. De obicei, se presupune că datele de intrare pentru o transformare discretă sunt un eșantion uniform cu un pas de $\Delta $, iar valoarea $T=N\Delta $ se numește lungimea înregistrării sau perioada fundamentală. Frecvența fundamentală este $1/T$. Astfel, transformata Fourier discretă descompune datele de intrare în frecvențe care sunt un multiplu întreg al frecvenței fundamentale. Frecvența maximă, determinată de dimensiunea datelor de intrare, este egală cu $1/2 \Delta $ și se numește $\it(Nyquist frequency)$. Luarea în considerare a frecvenței Nyquist este importantă atunci când se utilizează transformarea discretă. Dacă datele de intrare au componente periodice cu frecvențe mai mari decât frecvența Nyquist, atunci transformata Fourier discretă va înlocui datele de înaltă frecvență cu o frecvență mai mică, ceea ce poate duce la erori în interpretarea rezultatelor transformării discrete. $\it(spectrul energetic)$ este, de asemenea, un instrument important pentru analiza datelor. Puterea semnalului la frecvența $\omega $ este determinată după cum urmează: $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ). $$ Această cantitate este adesea numită $\it(energie de semnal)$ la frecvența $\omega $. Conform teoremei lui Parseval, energia totală a semnalului de intrare este egală cu suma energiilor la toate frecvențele. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i ) \dreapta)). $$ Un grafic al puterii în funcție de frecvență se numește spectru de energie sau spectru de putere. Spectrul de energie permite identificarea periodicităților ascunse în datele de intrare și evaluarea contribuției anumitor componente de frecvență la structura datelor de intrare. Pe lângă forma trigonometrică de scriere a transformării Fourier discrete, $\it(reprezentare complexă)$ este utilizată pe scară largă. Forma complexă de înregistrare a transformării Fourier este utilizată pe scară largă în analiza multidimensională și în special în procesarea imaginilor. Trecerea de la forma trigonometrică la forma complexă se realizează pe baza formulei lui Euler $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Dacă secvența de intrare este $N$ numere complexe, atunci transformarea sa discretă Fourier va avea forma $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ și transformarea inversă $$ x_m =\sum\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Dacă secvența de intrare este o matrice de numere reale, atunci există o transformare sinus-cosinus atât complexă, cât și discretă. Relația dintre aceste idei este exprimată după cum urmează: $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ valorile de transformare rămase $N/2$ sunt conjugate complexe și nu conțin informații suplimentare. Prin urmare, graficul spectrului de putere al transformării Fourier discrete este simetric în raport cu $N/2$. Cea mai simplă modalitate de a calcula transformata Fourier discretă (DFT) este suma directă, care are ca rezultat operații $N$ pe fiecare coeficient. Coeficienții totali sunt $N$, deci complexitatea totală este $O\left((N^2) \right)$. Această abordare nu este de interes practic, deoarece există modalități mult mai eficiente de a calcula DFT, numită transformată Fourier rapidă (FFT), care are o complexitate de $O (N\log N)$. FFT se aplică numai secvențelor care au o lungime (număr de elemente) care este o putere de 2. Principiul cel mai general din spatele algoritmului FFT este împărțirea secvenței de intrare în două secvențe de jumătate de lungime. Prima secvență este umplută cu date cu numere pare, iar a doua cu numere impare. Acest lucru face posibilă calcularea coeficienților DFT prin două transformări de dimensiune $N/2$. Să notăm $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, apoi $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_ (2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $. Pentru $m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Transformarea Fourier discretă pentru o matrice bidimensională de numere de mărimea $M\x N$ este definită după cum urmează: $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn) ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ), $$ și transformarea inversă $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2) \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \right]) ). $$ În cazul procesării imaginilor, componentele transformării Fourier bidimensionale se numesc $\textit(frecvențe spațiale)$. O proprietate importantă a transformării Fourier bidimensionale este capacitatea de a o calcula folosind procedura FFT unidimensională: $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[ (\frac(1)(M)\sum\limits_(m= 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \right] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Aici, expresia dintre paranteze pătrate este o transformare unidimensională a unui rând al matricei de date, care poate fi efectuată cu FFT unidimensional. Astfel, pentru a obține o transformată Fourier bidimensională, trebuie mai întâi să calculăm transformări unidimensionale de rând, să scrieți rezultatele în matricea originală și să calculați transformările unidimensionale pentru coloanele matricei rezultate. La calcularea transformării Fourier bidimensionale, frecvențele joase vor fi concentrate în colțurile matricei, ceea ce nu este foarte convenabil pentru prelucrarea ulterioară a informațiilor primite. Pentru a traduce pentru a obține o reprezentare 2D cu transformată Fourier în care frecvențele joase sunt concentrate în centrul matricei, o procedură simplă care poate fi efectuată este înmulțirea datelor originale cu $-1^(m+n)$. În fig. Figura 16 prezintă imaginea originală și transformarea sa Fourier. Imaginea semiton și transformarea sa Fourier (imaginile obținute în sistemul LabVIEW) Convoluția funcțiilor $s(t)$ și $r(t)$ este definită ca $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ În practică, trebuie să ne ocupăm de convoluția discretă, în care funcțiile continue sunt înlocuite cu seturi de valori la nodurile unei grile uniforme (de obicei se ia o grilă întreagă): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Aici $-N$ și $P$ definesc intervalul dincolo de care $r(t) = 0$. Când se calculează convoluția folosind transformata Fourier, se utilizează proprietatea transformării Fourier, conform căreia produsul imaginilor funcțiilor din domeniul frecvenței este echivalent cu convoluția acestor funcții în domeniul timpului. Pentru a calcula reconcilierea, este necesar să se transforme datele originale în domeniul frecvenței, adică să se calculeze transformarea lui Fourier, să se înmulțească rezultatele transformării și să se efectueze transformarea Fourier inversă, restabilind reprezentarea originală. Singura subtilitate în funcționarea algoritmului se datorează faptului că, în cazul unei transformări Fourier discrete (spre deosebire de una continuă), două funcții periodice sunt contorsionate, adică seturile noastre de valori specifică exact perioadele acestor funcții, și nu doar valorile pe o secțiune separată a axei. Adică, algoritmul crede că punctul $x_(N )$ este urmat nu de zero, ci de punctul $x_(0)$ și așa mai departe într-un cerc. Prin urmare, pentru ca convoluția să fie calculată corect, este necesar să se atribuie semnalului o secvență suficient de lungă de zerouri. Metodele de filtrare liniară se numără printre metodele bine structurate pentru care au fost dezvoltate scheme eficiente de calcul bazate pe algoritmi de convoluție rapidă și analiză spectrală. În general, algoritmii de filtrare liniară realizează o transformare a formei $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ unde $K(\zeta ,\eta)$ este nucleul transformării liniare. Cu o reprezentare discretă a semnalului, integrala din această formulă degenerează într-o sumă ponderată de eșantioane ale imaginii originale într-o anumită deschidere. În acest caz, alegerea nucleului $K(\zeta ,\eta)$ în conformitate cu unul sau altul criteriu de optimitate poate duce la o serie de proprietăți utile (netezirea gaussiană la regularizarea problemei diferențierii numerice a unei imagini etc.) . Metodele de procesare liniară sunt cel mai eficient implementate în domeniul frecvenței. Utilizarea transformării Fourier a unei imagini pentru a efectua operații de filtrare se datorează în primul rând performanței mai mari a unor astfel de operațiuni. De obicei, efectuarea transformărilor Fourier 2D directe și inverse și înmulțirea cu coeficienții imaginii Fourier a filtrului durează mai puțin timp decât efectuarea unei convoluții 2D pe imaginea originală. Algoritmii de filtrare în domeniul frecvenței se bazează pe teorema de convoluție. În cazul 2D, transformarea de convoluție arată astfel: $$ G\left((u,v) \right)=H\left((u,v) \right)F\left((u,v) \right), $$ unde $G$ este transformata Fourier a rezultatului convoluției, $H$ este transformata Fourier a filtrului și $F$ este transformata Fourier a imaginii originale. Adică, în domeniul frecvenței, convoluția bidimensională este înlocuită de multiplicarea în funcție de elemente a imaginilor imaginii originale și a filtrului corespunzător. Pentru a efectua convoluția, trebuie să faceți următoarele: Relația dintre funcția de filtru în domeniul frecvenței și domeniul spațial poate fi determinată folosind teorema de convoluție $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \dreapta), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\dreapta). $$ Convoluția unei funcții cu o funcție de impuls poate fi reprezentată astfel: $$ \sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (s\left((x,y) \right)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\right)=s(x_0 ,y_0). $$ Transformată Fourier a funcției de impuls $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ stânga((x,y) \right) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \right)) ) =\ frac(1)(MN). $$ Fie $f(x,y) = \delta (x,y)$, apoi convoluția $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \right), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y)) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ Din aceste expresii reiese clar că funcțiile de filtru în domeniul frecvență și spațial sunt interconectate prin transformarea Fourier. Pentru o funcție de filtru dată în domeniul frecvenței, este întotdeauna posibil să găsiți un filtru corespunzător în domeniul spațial prin aplicarea transformării Fourier inverse. Același lucru este valabil și pentru cazul invers. Folosind această relație, poate fi definită o procedură de sinteză a filtrelor liniare spațiale. ($\textit(Filtru trece-jos ideal)$) $H(u,v)$ are forma $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(if )D(u,v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideal high-pass filter)$) se obține prin inversarea filtrului ideal low-pass: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Aici, componentele de joasă frecvență sunt complet suprimate, în timp ce componentele de înaltă frecvență sunt păstrate. Cu toate acestea, ca și în cazul unui filtru trece-jos ideal, utilizarea sa este plină de aspectul unei distorsiuni semnificative. Sunt utilizate diverse abordări pentru a sintetiza filtrele cu distorsiuni minime. Una dintre ele este sinteza filtrului pe bază exponențială. Astfel de filtre introduc o distorsiune minimă în imaginea rezultată și sunt convenabile pentru sinteza în domeniul frecvenței. O familie de filtre bazate pe funcția Gaussiană reală este utilizată pe scară largă în procesarea imaginilor. $\textit(filtru gaussian trece-jos)$ are forma $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \right)^2) \mbox( și ) H\left( u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Cu cât profilul filtrului este mai îngust în domeniul frecvenței (cu cât este mai mare $\sigma $), cu atât este mai larg în domeniul spațial. ($\textit(High-Pass Gaussian Filter)$) are forma $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \right)^2)-\sqrt (2\pi ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \right)^2 ), $$ $$ H\left(u \right)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2 )). $$ În cazul bidimensional ($\it(low-pass)$), filtrul gaussian arată astfel: $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High Pass)$) Filtrul gaussian are forma $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ Să luăm în considerare un exemplu de filtrare a imaginii (Fig. 1) în domeniul frecvenței (Fig. 17 - 22). Rețineți că filtrarea în frecvență a unei imagini poate avea atât sensul de netezire ($\textit(filtrare trece-jos)$), cât și evidențiere a contururilor și a obiectelor de dimensiuni mici ($\textit(filtrare trece-înaltă)$). După cum se poate observa din fig. 17, 19, pe măsură ce „puterea” de filtrare crește în componenta de joasă frecvență a imaginii, efectul de „defocalizare aparentă” sau $\it(blur)$ al imaginii devine din ce în ce mai pronunțat. În același timp, cea mai mare parte a conținutului informațional al imaginii trece treptat în componenta de înaltă frecvență, unde la început se observă doar contururile obiectelor (Fig. 18, 20 - 22). Să luăm acum în considerare comportamentul filtrelor trece-înalt și trece-jos (Fig. 23 - 28) în prezența zgomotului Gaussian aditiv în imagine (Fig. 7). După cum se poate observa din fig. 23, 25, proprietățile filtrelor de joasă frecvență pentru suprimarea zgomotului aditiv aleatoriu sunt similare cu proprietățile filtrelor liniare considerate anterior - cu o putere suficientă a filtrului, zgomotul este suprimat, dar prețul pentru aceasta este estomparea puternică a contururilor și „defocalizarea”. ” a întregii imagini. Componenta de înaltă frecvență a unei imagini zgomotoase încetează să mai fie informativă, deoarece pe lângă informațiile despre contur și obiect, componenta de zgomot este acum pe deplin prezentă (Fig. 27, 28). Utilizarea metodelor de frecvență este cea mai adecvată în cazul în care se cunoaște modelul statistic al procesului de zgomot și/sau funcția de transfer optic a canalului de transmisie a imaginii. Este convenabil să luați în considerare astfel de date a priori prin alegerea unui filtru controlat generalizat (prin parametrii $\sigma$ și $\mu$) de următoarea formă ca filtru de reconstrucție: $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2)) \vert )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ unde $0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Avantajele metodelor de filtrare liniară includ semnificația lor fizică clară și ușurința analizei rezultatelor. Cu toate acestea, cu o deteriorare bruscă a raportului semnal-zgomot, cu posibile variante de zgomot de zonă și prezența zgomotului de impuls de mare amplitudine, metodele de preprocesare liniară pot fi insuficiente. În această situație, metodele neliniare sunt mult mai puternice. Transformarea Fourier bidimensională discretă a matricei mostrelor de imagine este definită ca o serie: unde , iar transformarea inversă discretă are forma: Prin analogie cu terminologia transformatei Fourier continue, variabilele se numesc frecvente spatiale. Trebuie remarcat faptul că nu toți cercetătorii folosesc definiții (4,97), (4,98). Unii preferă să pună toate constantele de scară în expresia pentru transformarea inversă, în timp ce alții inversează semnele din sâmburi. Deoarece nucleele de transformare sunt simetrice și separabile, transformarea bidimensională poate fi efectuată ca transformări unidimensionale succesive de-a lungul rândurilor și coloanelor matricei imaginii. Funcțiile de transformare de bază sunt exponențiale cu exponenți complecși care pot fi descompuse în componente sinus și cosinus. Astfel, Spectrul de imagini are multe caracteristici structurale interesante. Componenta spectrală la originea planului de frecvență egală cu creșterea în N ori mai mare decât valoarea medie a luminozității imaginii (peste planul original). Înlocuirea în egalitate (4,97) unde și sunt constante, obținem: Pentru orice valori întregi și al doilea factor exponențial de egalitate (4.101) se transformă într-unul. Astfel, când, care indică periodicitatea planului de frecvenţă. Acest rezultat este ilustrat în Figura 4.14a. Spectrul Fourier bidimensional al unei imagini este în esență o reprezentare în serie Fourier a câmpului bidimensional. Pentru ca o astfel de reprezentare să fie corectă, imaginea originală trebuie să aibă și o structură periodică, adică. au un model care se repetă pe verticală și pe orizontală (Fig. 4.14, b). Astfel, marginea dreaptă a imaginii este adiacentă cu stânga, iar marginea de sus este adiacentă cu cea de jos. Datorită discontinuităților valorilor de luminozitate în aceste locuri, componente suplimentare apar în spectrul imaginii situate pe axele de coordonate ale planului de frecvență. Aceste componente nu sunt legate de valorile de luminozitate ale punctelor interne ale imaginii, dar sunt necesare pentru a reproduce limitele sale clare. Dacă matricea de mostre de imagine descrie câmpul de luminozitate, atunci numerele vor fi reale și pozitive. Cu toate acestea, spectrul Fourier al acestei imagini are în general valori complexe. Deoarece spectrul conține o componentă care reprezintă părțile reale și imaginare sau faza și magnitudinea componentelor spectrale pentru fiecare frecvență, transformata Fourier poate părea că crește dimensionalitatea imaginii. Acesta, însă, nu este cazul, deoarece are simetrie în raport cu conjugarea complexă. Dacă în egalitatea (4.101) punem și egal cu numere întregi, atunci după conjugarea complexă obținem egalitatea: Folosind substituția și src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif> putem arăta că Datorită prezenței simetriei conjugate complexe, aproape jumătate din componentele spectrale se dovedesc a fi redundante, adică. pot fi formate din componentele rămase (Fig. 4.15). Armonicele care nu se încadrează în semiplanul inferior, ci în semiplanul drept, pot fi, desigur, considerate componente redundante. Analiza Fourier în procesarea imaginilor este utilizată în aceleași scopuri ca și pentru semnalele unidimensionale. Cu toate acestea, în domeniul frecvenței, imaginile nu reprezintă nicio informație semnificativă, ceea ce face ca transformata Fourier să nu fie un instrument atât de util pentru analiza imaginilor. De exemplu, atunci când transformarea Fourier este aplicată unui semnal audio unidimensional, o formă de undă complexă și dificil de formulat în domeniul timpului este convertită într-un spectru ușor de înțeles în domeniul frecvenței. În comparație, luând transformarea Fourier a unei imagini, transformăm informațiile ordonate în domeniul spațial într-o formă codificată în domeniul frecvenței. Pe scurt, nu vă așteptați ca transformarea Fourier să vă ajute să înțelegeți informațiile codificate în imagini. De asemenea, nu ar trebui să vă uitați la domeniul frecvenței atunci când proiectați un filtru. De bază trăsătură caracteristicăîn imagini există o chenar - o linie care o desparte obiect sau regiune din alta obiect sau regiune. Deoarece contururile din imagine conțin o gamă largă de componente de frecvență, încercarea de a schimba imaginea prin manipularea spectrului de frecvență este o sarcină ineficientă. Filtrele de procesare a imaginilor sunt proiectate de obicei în domeniul spațial, unde informațiile sunt prezentate în cea mai simplă și mai accesibilă formă. La rezolvarea problemelor de procesare a imaginilor este necesar, mai degrabă, să se opereze în ceea ce privește operațiunile netezireŞi subliniază contururi (domeniu spaţial) decât în termeni de filtru trece-înaltŞi filtru trece jos(domeniul de frecvență). În ciuda acestui fapt, analiza de imagine Fourier are câteva proprietăți utile. De exemplu, convoluţieîn domeniul spaţial corespunde multiplicareîn domeniul frecvenței. Acest lucru este important deoarece înmulțirea este o operație matematică mai simplă decât convoluția. Ca și în cazul semnalelor 1D, această proprietate permite convoluția folosind FFT și utilizarea diverse metode deconvolutie. Alte proprietate utilăîn domeniul frecvenței este Teorema sectorului Fourier, stabilind corespondența dintre imagine și proiecțiile acesteia (tipuri ale aceleiași imagini cu diverse laturi). Această teoremă formează baza teoretică a unor direcții precum tomografie computerizată, fluoroscopie, utilizat pe scară largă în medicină și industrie. Spectrul de frecvență al unei imagini poate fi calculat în mai multe moduri, dar cea mai practică metodă de calcul a spectrului este algoritmul FFT. Când utilizați algoritmul FFT, imaginea originală trebuie să conțină N linii şi N coloane și numărul N trebuie să fie un multiplu al unei puteri de 2, adică 256, 512, 1024 și etc. Dacă dimensiunea imaginii originale nu este un multiplu al unei puteri de 2, atunci este necesar să adăugați pixeli cu o valoare zero pentru a completa imaginea la dimensiunea dorită. Datorită faptului că transformata Fourier păstrează ordinea informațiilor, amplitudinile componentelor de joasă frecvență vor fi situate la colțurile spectrului bidimensional, în timp ce componentele de înaltă frecvență se vor afla în centrul acestuia. Ca exemplu, luați în considerare rezultatul transformării Fourier a unei imagini microscopice electronice a etajului de intrare a unui amplificator operațional (Fig. 4.16). Deoarece domeniul de frecvență poate conține pixeli cu valori negative, scara de gri a acestor imagini este deplasată astfel încât valorile negative să fie percepute ca puncte întunecate în imagine, valorile zero sunt percepute ca puncte gri, iar valorile pozitive sunt percepute ca puncte de lumină. De obicei, componentele de joasă frecvență ale spectrului imaginii sunt mult mai mari ca amplitudine decât cele de înaltă frecvență, ceea ce explică prezența unor puncte foarte luminoase și foarte întunecate în cele patru colțuri ale imaginii spectrului (Fig. 4.16, b). După cum se poate vedea din figură, o specificație tipică 19 Biletul 1. Chirurgie de dilatare 2. Caracteristici spatio-spectrale Operatii de dilatare. Fie A și B mulțimi din spațiul Z 2 . Dilatarea unei mulțimi A cu o mulțime B (sau în raport cu B) se notează cu A⊕B și este definită ca Poate fi rescris după cum urmează: Vom numi mulțimea B o mulțime care formează structura sau o primitivă de dilatație. (11) se bazează pe obținerea unei reflectări centrale a mulțimii B în raport cu coordonatele sale inițiale (centrul B), apoi deplasarea acestei mulțimi în punctul z, dilatând mulțimea A de-a lungul B - mulțimea tuturor acestor deplasări z la care și A coincid în cel putin un element. Această definiție nu este singurul. Cu toate acestea, procedura de dilatare este în anumite privințe similară cu operația de convoluție care se realizează pe seturi. Caracteristici spațio-spectrale În conformitate cu (1.8), transformata Fourier bidimensională este definită ca Unde w x, w y– frecvențe spațiale. Modulul pătrat al spectrului M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2 poate fi folosit pentru a calcula un număr de caracteristici. Integrarea funcțiilor M(w x, w y) după unghi pe planul frecvențelor spațiale dă un semn de frecvență spațială care este invariant în raport cu deplasarea și rotația imaginii. Prezentarea funcției M(w x, w y) în coordonate polare, scriem acest semn sub forma Unde q= arctg( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 Biletul 1. Operațiune de eroziune Lasă f(x 1 , x 2) – o funcție a două variabile. Prin analogie cu transformata Fourier unidimensională, putem introduce o transformată Fourier bidimensională: Funcția pentru valori fixe ale ω 1, ω 2 descrie o undă plană în plan x 1 , x 2 (Figura 19.1). Mărimile ω 1, ω 2 au sensul de frecvențe spațiale și dimensiune mm−1, iar funcția F(ω 1, ω 2) determină spectrul de frecvențe spațiale. O lentilă sferică este capabilă să calculeze spectrul unui semnal optic (Figura 19.2). În Figura 19.2 sunt introduse următoarele notații: φ - distanța focală, Figura 19.1 - Pentru a determina frecvențele spațiale Transformarea Fourier bidimensională are toate proprietățile transformării unidimensionale, în plus, remarcăm două proprietăți suplimentare, a căror demonstrație decurge ușor din definiția transformării Fourier bidimensionale. Figura 19.2 – Calculul spectrului unui semnal optic folosind Factorizarea. Dacă un semnal bidimensional este factorizat, atunci spectrul său este de asemenea factorizat: Simetria radială. Dacă semnalul bidimensional este radial simetric, adică Unde este funcția Bessel de ordin zero. Formula care definește relația dintre un semnal bidimensional simetric radial și spectrul său spațial se numește transformată Hankel. PRELEȚIA 20. Transformată Fourier discretă. Filtru trece jos Transformarea Fourier discretă bidimensională directă (DFT) transformă o imagine definită într-un sistem de coordonate spațiale ( x, y), într-o transformare de imagine discretă bidimensională specificată într-un sistem de coordonate de frecvență ( u,v): Transformarea Fourier discretă inversă (IDFT) are forma: Se poate observa că DFT este o transformare complexă. Modulul acestei transformări reprezintă amplitudinea spectrului imaginii și este calculat ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor părților reale și imaginare ale DFT. Fază (unghiul de schimbare de fază) este definită ca arctangente a raportului dintre părțile imaginare a DFT și partea reală. Spectrul de energie este egal cu pătratul amplitudinii spectrului sau cu suma pătratelor părților imaginare și reale ale spectrului. Teorema de convoluție Conform teoremei de convoluție, convoluția a două funcții din domeniul spațial poate fi obținută prin ODFT al produsului DFT lor, adică Filtrarea în domeniul frecvenței vă permite să utilizați DFT-ul imaginii pentru a selecta răspunsul în frecvență al filtrului care asigură transformarea necesară a imaginii. Să luăm în considerare caracteristicile de frecvență ale celor mai comune filtre.Reprezentarea complexă a transformării Fourier.
Transformată Fourier rapidă.
Transformată Fourier bidimensională.
Convoluția folosind transformata Fourier.
Filtrarea imaginilor în domeniul frecvenței.
Semnul este invariant în raport cu scara
lentilă sferică
