Seria Fourier trigonometrică pentru o funcție periodică. Seria Fourier trigonometrică

Folosind metode standard, dar am ajuns într-o fundătură cu un alt exemplu.

Care este dificultatea și unde ar putea fi o problemă? Să lăsăm frânghia cu săpun deoparte, să analizăm cu calm motivele și să ne familiarizăm cu soluții practice.

Primul și cel mai important: în majoritatea covârșitoare a cazurilor, pentru a studia convergența unei serii, este necesar să folosiți o metodă familiară, dar termenul general al seriei este plin de umplutură atât de complicată încât nu este deloc evident ce să faceți cu ea . Și mergi în cercuri: primul semn nu funcționează, al doilea nu funcționează, a treia, a patra, a cincea metodă nu funcționează, apoi curenții sunt aruncați deoparte și totul începe din nou. Acest lucru se datorează, de obicei, lipsei de experiență sau lipsurilor în alte domenii ale analizei matematice. În special, dacă alergi limitele secvențeiși dezasamblat superficial limitele funcției, atunci va fi dificil.

Cu alte cuvinte, o persoană pur și simplu nu vede metoda de decizie necesară din cauza lipsei de cunoștințe sau experiență.

Uneori, de vină este și „eclipsa”, atunci când, de exemplu, nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența unei serii, dar din cauza ignoranței, neatenției sau neglijenței, acest lucru scapă din vedere. Și se dovedește ca în acea poveste în care un profesor de matematică a rezolvat o problemă a copiilor folosind secvențe recurente sălbatice și serii de numere =)

În cele mai bune tradiții, exemple vii imediat: rânduri și rudele lor - nu sunt de acord, deoarece a fost dovedit în teorie limitele secvenței. Cel mai probabil, în primul semestru vei fi scuturat din suflet pentru o dovadă de 1-2-3 pagini, dar acum este suficient să arăți eșecul condiției necesare pentru convergența unei serii, citând fapte cunoscute. Faimos? Dacă elevul nu știe că a n-a rădăcină este un lucru extrem de puternic, atunci, să zicem, seria îl va pune într-o fundătură. Deși soluția este de două ori două: , i.e. din motive evidente, ambele serii diferă. Un comentariu modest „aceste limite au fost dovedite în teorie” (sau chiar absența lui) este suficient pentru test, la urma urmei, calculele sunt destul de grele și cu siguranță nu aparțin secțiunii seriei de numere.

Și după ce ai studiat următoarele exemple, vei fi doar surprins de concizia și transparența multor soluții:

Exemplul 1

Investigați convergența seriei

Soluţie: în primul rând, verificăm execuția criteriul necesar pentru convergenţă. Aceasta nu este o formalitate, ci o șansă excelentă de a trata exemplul cu „mică vărsare de sânge”.

„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou apare întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Exemple aproximative de sarcini la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit când trebuie să efectuați un raționament în doi pași (sau chiar în trei pași):

Exemplul 6

Investigați convergența seriei

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm cu atenție de galimatia numărătorului. Secvență – limitată: . Apoi:

Să comparăm seria noastră cu seria. Datorită dublei inegalități tocmai obținute, pentru toate „en” următoarele vor fi adevărate:

Acum comparați seria cu o serie armonică divergentă.

Numitorul fracției Mai puțin numitorul fracției, prin urmare fracția în sine – Mai mult fracții (notați primii termeni dacă nu este clar). Astfel, pentru orice „ro”:

Aceasta înseamnă că, pe baza comparației, seria divergeîmpreună cu seria armonică.

Dacă modificăm ușor numitorul: , atunci prima parte a raționamentului va fi similară: . Dar pentru a demonstra divergența unei serii, putem aplica doar criteriul limitativ pentru comparație, deoarece inegalitatea este falsă.

Situația cu serii convergente este „oglindită”, adică, de exemplu, pentru o serie se pot folosi ambele criterii de comparație (inegalitatea este adevărată), dar pentru o serie se poate folosi doar criteriul limitativ (inegalitatea este falsă).

Ne continuăm safariul faunei sălbatice, unde o turmă de antilope grațioase și luxuriante se profila la orizont:

Exemplul 7

Investigați convergența seriei

Soluţie: este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență și ne punem din nou întrebarea clasică: ce să facem? În fața noastră este ceva care amintește de o serie convergentă, cu toate acestea, nu există o regulă clară aici - astfel de asociații sunt adesea înșelătoare.

Deseori, dar nu de data asta. Prin utilizarea criteriu limitativ de comparație Să comparăm seria noastră cu o serie convergentă. Când calculăm limita pe care o folosim limita minunata , unde ca infinitezimal standuri:

convergeîmpreună cu lângă .

În loc să se folosească tehnica artificială standard de înmulțire și împărțire cu „trei”, a fost posibil să se facă inițial o comparație cu o serie convergentă.
Dar aici este indicat să facem o rezervă că factorul constant al termenului general nu afectează convergența seriei. Și soluția pentru următorul exemplu este concepută exact în acest stil:

Exemplul 8

Investigați convergența seriei

Exemplu la sfârșitul lecției.

Exemplul 9

Investigați convergența seriei

Soluţie: în exemplele anterioare am folosit mărginirea sinusului, dar acum această proprietate este în afara jocului. Numitorul de fracție mai mare ordinea de crestere, decât numărătorul, deci, când argumentul sinusului și întregul termen comun infinitezimal. Condiția necesară pentru convergență, după cum înțelegeți, a fost îndeplinită, ceea ce nu ne permite să ne sustragem munca.

Să efectuăm recunoașterea: în conformitate cu echivalență remarcabilă , aruncați mental sinusul și obțineți seria. Ei bine, așa și așa...

Luam o decizie:

Să comparăm seria studiată cu o serie divergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:

Să înlocuim infinitezimalul cu unul echivalent: la .

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu seria armonică.

Exemplul 10

Investigați convergența seriei

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Pentru a planifica acțiuni suplimentare în astfel de exemple, eliminarea mentală a sinusului, arcsinusului, tangentei și arctangentei ajută foarte mult. Dar amintiți-vă, această oportunitate există doar dacă infinitezimal argument, nu de mult am dat peste o serie provocatoare:

Exemplul 11

Investigați convergența seriei
.

Soluţie: Nu are rost să folosiți limitarea arctangente aici și nici echivalența nu funcționează. Soluția este surprinzător de simplă:


Seria in studiu diverge, întrucât nu este îndeplinit criteriul necesar pentru convergența seriei.

Al doilea motiv„Problema cu sarcina” este că membrul comun este destul de sofisticat, ceea ce provoacă dificultăți de natură tehnică. În linii mari, dacă seriale discutate mai sus aparțin categoriei „cine știe”, atunci acestea se încadrează în categoria „cine știe”. De fapt, aceasta se numește complexitate în sensul „obișnuit”. Nu toată lumea poate rezolva corect mai multe factoriale, grade, rădăcini și alți locuitori ai savanei. Cele mai mari probleme sunt, desigur, factorii:

Exemplul 12

Investigați convergența seriei

Cum să ridici factorial la putere? Uşor. Conform regulii operațiunilor cu puteri, este necesar să se ridice fiecare factor al produsului la o putere:

Și, desigur, atenția și atenția din nou însuși semnul lui d’Alembert funcționează în mod tradițional:

Astfel, seria în studiu converge.

Vă amintesc de o tehnică rațională de eliminare a incertitudinii: când este clar ordinea de crestere numărător și numitor - nu este nevoie să suferiți și să deschideți parantezele.

Exemplul 13

Investigați convergența seriei

Bestia este foarte rară, dar apare și ar fi nedrept să o ignorăm cu un obiectiv de cameră.

Ce este factorial cu semn dublu de exclamare? Factorialul „termină” produsul pozitivului numere pare:

În mod similar, factorialul „închide” produsul numerelor impare pozitive:

Analizați care este diferența față de și

Exemplul 14

Investigați convergența seriei

Și în această sarcină, încercați să nu vă confundați cu grade, echivalențe remarcabileŞi limite minunate.

Exemple de soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Dar elevul este hrănit nu numai de tigri, ci și leoparzii vicleni își vânează prada:

Exemplul 15

Investigați convergența seriei

Soluţie: criteriul necesar pentru convergență, criteriul limitativ și testele D’Alembert și Cauchy dispar aproape instantaneu. Dar cel mai rău lucru este că semnul inegalităților care ne-a ajutat în mod repetat este neputincios. Într-adevăr, compararea cu o serie divergentă este imposibilă, deoarece inegalitatea incorect - multiplicatorul logaritmului crește doar numitorul, scăzând fracția în sine în raport cu o fracţiune. Și o altă întrebare globală: de ce suntem inițial încrezători că seria noastră trebuie neapărat să diverge și să fie comparate cu unele serii divergente? Dacă se înțelege deloc?

Caracteristica integrală? Integrală necorespunzătoare trezește o stare de jale. Acum, dacă am avea un rând ... atunci da. Stop! Așa se nasc ideile. Formulăm o soluție în doi pași:

1) Mai întâi examinăm convergența seriei . Noi folosim caracteristică integrală:

Integrand continuu pe

Astfel, serialul diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

2) Să comparăm seria noastră cu seria divergentă . Folosim criteriul de comparare limitativ:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu divergeîmpreună cu următorul .

Și nu există nimic neobișnuit sau creativ într-o astfel de decizie - așa ar trebui să fie decisă!

Vă propun să elaborați singur următoarea procedură în doi pași:

Exemplul 16

Investigați convergența seriei

Un student cu ceva experiență în majoritatea cazurilor vede imediat dacă o serie converge sau diverge, dar se întâmplă ca un prădător să se camufleze inteligent în tufișuri:

Exemplul 17

Investigați convergența seriei

Soluţie: la prima vedere, nu este deloc clar cum se comportă această serie. Și dacă în fața noastră este ceață, atunci este logic să începem cu o verificare brută a condiției necesare pentru convergența seriei. Pentru a elimina incertitudinea, folosim un nescufundabil metodă de înmulțire și împărțire prin expresia sa conjugată:

Testul de convergență necesar nu a funcționat, dar a dus la apă curată tovarăşul nostru de Tambov. În urma transformărilor efectuate s-a obţinut o serie echivalentă , care la rândul său seamănă puternic cu o serie convergentă.

Scriem soluția finală:

Să comparăm această serie cu o serie convergentă. Folosim criteriul de comparare limitativ:

Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată:

Se obține un număr finit diferit de zero, ceea ce înseamnă că seria în studiu convergeîmpreună cu lângă .

Unii s-ar fi întrebat, de unde au venit lupii în safariul nostru african? Nu stiu. Probabil l-au adus. Următoarea piele de trofeu vă puteți obține:

Exemplul 18

Investigați convergența seriei

Probă aproximativă soluții la sfârșitul lecției

Și, în sfârșit, încă un gând pe care mulți studenți îl au în disperare: Nu ar trebui să folosim un test mai rar pentru convergența seriei?? Testul lui Raabe, testul lui Abel, testul lui Gauss, testul lui Dirichlet și alte animale necunoscute. Ideea funcționează, dar în exemple reale este implementată foarte rar. Personal, în toți anii de practică la care am apelat doar semnul lui Raabe, când nimic din arsenalul standard nu a ajutat cu adevărat. Voi reproduce pe deplin cursul căutării mele extreme:

Exemplul 19

Investigați convergența seriei

Soluţie: Fără îndoială un semn al lui d'Alembert. În timpul calculelor, folosesc în mod activ proprietățile gradelor, precum și a doua limită minunată:

Atât pentru tine. Semnul lui D'Alembert nu a dat un răspuns, deși nimic nu prefigura un asemenea rezultat.

După ce am scotocit prin cartea de referință, am găsit o limită puțin cunoscută dovedită în teorie și am aplicat testul Cauchy radical mai puternic:

Iată două pentru tine. Și, cel mai important, este complet neclar dacă seria converge sau diverge (o situație extrem de rară pentru mine). Semn necesar de comparație? Fără prea multe speranțe - chiar dacă îmi dau seama de neconceput ordinea creșterii numărătorului și numitorului, acest lucru nu garantează încă o recompensă.

Este un damember complet, dar cel mai rău lucru este că rândul trebuie rezolvat. Trebuie. La urma urmei, aceasta va fi prima dată când renunț. Și apoi mi-am amintit că se pare că mai sunt câteva semne puternice. În fața mea nu mai era un lup, un leopard sau un tigru. Era elefant imens fluturând un trunchi mare. A trebuit să iau un lansator de grenade:

semnul lui Raabe

Luați în considerare o serie de numere pozitive.
Dacă există o limită , că:
a) Când rând diverge. Mai mult, valoarea rezultată poate fi zero sau negativă
b) Când rând converge. În special, seria converge la .
c) Când Semnul lui Raabe nu dă un răspuns.

Tragem o limită și simplificăm cu atenție și cu grijă fracția:


Da, imaginea este, ca să spun ușor, neplăcută, dar nu mai sunt surprins astfel de limite cu ajutorul Regulile lui L'Hopital, iar primul gând, după cum sa dovedit mai târziu, s-a dovedit a fi corect. Dar la început am răsucit și am răsucit limita timp de aproximativ o oră folosind metode „obișnuite”, dar incertitudinea nu a vrut să fie eliminată. Iar mersul în cerc, după cum sugerează experiența, este un semn tipic că a fost aleasă o soluție greșită.

A trebuit să apelez la rusă înțelepciunea populară: „Dacă toate celelalte nu reușesc, citiți instrucțiunile.” Iar când am deschis volumul al 2-lea din Fichtenholtz, spre marea mea bucurie am descoperit un studiu dintr-o serie identică. Și apoi soluția a urmat exemplul.

Prin cosinus și sinusuri ale mai multor arce, adică o serie a formei

sau în formă complexă

Unde un k,b k sau, în consecință, c k numit coeficienții T.r
Pentru prima dată T. r. găsit în L. Euler (L. Euler, 1744). S-a descompus

La mijloc. secolul al XVIII-lea În legătură cu studiul problemei vibrației libere a unei coarde, s-a pus întrebarea despre posibilitatea reprezentării funcției care caracterizează poziția inițială a coardei sub forma unei sume de tr. Această problemă a stârnit dezbateri aprinse care au durat câteva decenii, printre cei mai buni analiști ai vremii - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Eu1er). Litigiile legate de conținutul conceptului de funcție. La acea vreme, funcțiile erau de obicei asociate cu funcțiile lor analitice. atribuire, care a condus la luarea în considerare numai a funcțiilor analitice sau pe bucăți. Și aici a devenit necesar pentru o funcție al cărei grafic este destul de arbitrar să construiască un TR reprezentând această funcție. Dar semnificația acestor dispute este mai mare. De fapt, întrebările legate de multe concepte și idei fundamental importante ale matematicii au fost discutate în ele sau au apărut în legătură cu acestea. analiza in general – reprezentarea functiilor prin serie Taylor si analitica. continuarea functiilor, folosirea serii divergente, limite, sisteme infinite de ecuatii, functii prin polinoame etc.
Și în viitor, ca și în această perioadă inițială, teoria tr. a servit ca sursă de idei noi în matematică. Integrală Fourier, funcții aproape periodice, serie ortogonală generală, abstractă. Cercetări asupra T. r. a servit drept punct de plecare pentru crearea teoriei mulțimilor. T.r. sunt un instrument puternic pentru reprezentarea și explorarea funcțiilor.
Întrebarea, care a dus la dispute între matematicienii secolului al XVIII-lea, a fost rezolvată în 1807 de J. Fourier, care a indicat formule pentru calcularea coeficienților termodinamicii. (1), care ar trebui. reprezentați funcția f(x):

și le-a aplicat în rezolvarea problemelor de conductivitate termică. Formulele (2) sunt numite formule Fourier, deși au fost găsite mai devreme în A. Clairaut (1754), iar L. Euler (1777) au ajuns la ele folosind integrarea termen cu termen. T.r. (1), ai căror coeficienți sunt determinați prin formulele (2), numite. seria Fourier a funcției f și numerele a k, b k- coeficienții Fourier.
Natura rezultatelor obținute depinde de modul în care se înțelege reprezentarea unei funcții printr-o serie, de modul în care se înțelege integrala din formulele (2). Teoria modernă T.r. dobândit după apariţia integralei Lebesgue.
Teoria lui T. r. poate fi împărțit în două mari secțiuni - teorie Seria Fourier, în care se presupune că seria (1) este seria Fourier a unei anumite funcții și teoria termodinamicii generale, unde nu se face o astfel de presupunere. Mai jos sunt principalele rezultate obținute în teoria termodinamicii generale. (în acest caz, mulțimile și măsurabilitatea funcțiilor sunt înțelese conform Lebesgue).
Primul sistematic Studiul TR, în care nu se presupunea că aceste serii sunt serii Fourier, a fost disertația lui W. Riemann (W. Riemann, 1853). Prin urmare, teoria generalului T. r. numit uneori teoria riemanniană a lui T. r.
Pentru a studia proprietățile unui TR arbitrar. (1) cu coeficienți care tind spre zero Riemann a considerat funcția continuă F(x). , care este suma unei serii uniform convergente

obţinută după integrarea dublă termen cu termen a seriei (1). Dacă seria (1) converge într-un anumit punct x către un număr s, atunci în acest punct există și este egală cu s o a doua simetrică. Funcții F:

atunci aceasta duce la însumarea seriei (1), generată de factori numit Metoda de însumare Riemann. Folosind funcția F se formulează principiul de localizare Riemann, conform căruia comportamentul seriei (1) în punctul x depinde doar de comportamentul funcției F într-o vecinătate arbitrar mică a acestui punct.
Dacă T. r. converge spre un set de măsură pozitivă, apoi coeficienții săi tind spre zero (Cantor-Lebesgue). Căutând pentru zero coeficienți ai TR. rezultă şi din convergenţa sa asupra unui set de a doua categorie (W. Young, W. Young, 1909).
Una dintre problemele centrale ale teoriei tr. este problema reprezentării unei funcții arbitrare a unui TR. După ce a consolidat rezultatele lui N. N. Luzin (1915) privind reprezentarea funcțiilor lui T. R., însumate prin metodele Abel-Poisson și Riemann, D. E. Menshov a demonstrat (1940) următoarea teoremă referitoare la cazul cel mai important, când reprezentarea funcției f este înțeles ca T.r. La f(x) aproape peste tot. Pentru fiecare funcție f care este măsurabilă și finită aproape peste tot, există o ecuație liniară care converge către ea aproape peste tot (teorema lui Menșov). Trebuie remarcat că, chiar dacă f este integrabil, atunci, în general, este imposibil să luăm seria Fourier a unei funcții f ca o astfel de serie, deoarece există serii Fourier care diverg peste tot.
Teorema lui Menshov de mai sus permite următoarea clarificare: dacă o funcție f este măsurabilă și finită aproape peste tot, atunci există astfel încât aproape peste tot și seria Fourier diferențiată în termeni a funcției j converge către f(x) aproape peste tot (N.K. Bari, 1952).
Nu se știe (1984) dacă este posibil să se omite condiția de finititate a funcției f aproape peste tot în teorema lui Menshov. În special, nu se știe (1984) dacă T. r. converg aproape peste tot spre
Prin urmare, problema reprezentării funcțiilor care pot lua valori infinite pe un set de măsură pozitivă a fost luată în considerare pentru cazul în care este înlocuită cu cerința mai slabă - . Convergența în măsură la funcții care pot lua valori infinite se definește astfel: sume parțiale T. p. s n(x)converge în măsură la funcția f(x) . dacă unde fn(x)converg la / (x)aproape peste tot, iar succesiunea converge la zero ca măsură. În această formulare, problema reprezentării funcțiilor este complet rezolvată: pentru fiecare funcție măsurabilă există un TR care converge către ea în măsură (D. E. Menshov, 1948).
Multe studii au fost dedicate problemei unicității TR-urilor: dacă două TR-uri diferite pot diverge către aceeași funcție; într-o altă formulare: dacă T. r. converge la zero, atunci rezultă că toți coeficienții seriei sunt egali cu zero. Aici putem însemna convergență în toate punctele sau în toate punctele din afara unui anumit set. Răspunsul la aceste întrebări depinde în esență de proprietățile acelei mulțimi, în afara căreia nu se presupune convergența.
S-a stabilit următoarea terminologie. Multe nume unicitate de către mulți sau U- mulţime, dacă din convergenţa lui T. r. la zero peste tot, cu excepția, poate, a punctelor setului E, rezultă că toți coeficienții acestei serii sunt egali cu zero. Altfel Yenaz. M-set.
După cum a arătat G. Cantor (G. Cantor, 1872), precum și orice mulțime finită sunt seturi U. Unul arbitrar este, de asemenea, un U-set (W. Jung, 1909). Pe de altă parte, fiecare set de măsură pozitivă este un M-set.
Existența M-urilor de măsură a fost stabilită de D. E. Menshov (1916), care a construit primul exemplu de mulțime perfectă care posedă aceste proprietăți. Acest rezultat este de o importanță fundamentală în problema unicității. Din existența M-urilor de măsură zero, rezultă că atunci când funcțiile unei serii triunghiulare sunt reprezentate ca fiind convergente aproape peste tot, aceste serii sunt determinate într-un mod evident unic.
Seturile perfecte pot fi și seturi U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). În problema unicității, caracteristicile foarte subtile ale seturilor de măsură zero joacă un rol esențial. O întrebare generală despre clasificarea mulțimilor de măsură zero în M- iar U-setul rămâne (1984) deschis. Nu se rezolva nici macar pentru seturi perfecte.
Următoarea problemă este legată de problema unicității. Dacă T. r. converge catre o functie atunci această serie ar trebui să fie o serie Fourier a funcției /. P. Du Bois-Reymond (1877) a dat un răspuns pozitiv la această întrebare dacă f este integrabil riemannian și seria converge către f(x) în toate punctele. Din rezultatele lui III. J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) rezultă că răspunsul este pozitiv chiar și în cazul în care peste tot, cu excepția unui set numărabil de puncte, seria converge și suma ei este finită.
Dacă o serie de serie converge absolut într-un anumit punct x 0, atunci punctele de convergență ale acestei serii, precum și punctele de convergență absolută a acesteia, sunt situate simetric față de punctul x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Conform Denjoy - Teorema Luzin din convergența absolută a TR. (1) pe un set de măsură pozitivă seria converge și, în consecință, convergența absolută a seriei (1) pentru toți X. Seturile din a doua categorie, precum și anumite seturi de măsură zero, au și ele această proprietate.
Această revizuire acoperă doar TR-urile unidimensionale. (1). Există rezultate separate legate de generalul T. r. din mai multe variabile. Aici, în multe cazuri, este încă necesar să găsim formulări naturale ale problemelor.

Lit.: Bari N.K., Seria trigonometrică, M., 1961; Zygmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Seria integrală şi trigonometrică, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., trad. din germană, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Teliakovsky.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică.

I. M. Vinogradov. 1977-1985.În știință și tehnologie avem adesea de a face cu fenomene periodice, adică. cele care se reproduc după o anumită perioadă de timp T(, numită perioadă. Cea mai simplă dintre funcțiile periodice (cu excepția unei constante) este mărimea sinusoidală: Asin

x

+ ), oscilație armonică, unde există o „frecvență” legată de perioadă prin raportul: . Din astfel de funcții periodice simple pot fi compuse altele mai complexe. În mod evident, mărimile sinusoidale componente trebuie să fie de frecvențe diferite, deoarece prin adăugarea unor mărimi sinusoidale de aceeași frecvență rezultă o mărime sinusoidală de aceeași frecvență. Dacă adunați mai multe cantități din formular Ca exemplu, reproducem aici adăugarea a trei mărimi sinusoidale: . Să ne uităm la graficul acestei funcții să-l reprezinte ca o sumă a unui set finit sau cel puțin infinit de mărimi sinusoidale? Se dovedește că în raport cu o clasă mare de funcții, la această întrebare se poate răspunde afirmativ, dar asta numai dacă implicăm întreaga succesiune infinită a unor astfel de termeni. Geometric, aceasta înseamnă că graficul unei funcții periodice se obține prin suprapunerea unei serii de sinusoide. Dacă considerăm fiecare valoare sinusoidală ca o mișcare oscilativă armonică, atunci putem spune că aceasta este o oscilație complexă caracterizată printr-o funcție sau pur și simplu armonicile acesteia (prima, a doua etc.). Procesul de descompunere a unei funcții periodice în armonici se numește analiza armonică.

Este important de menționat că astfel de expansiuni se dovedesc adesea utile în studiul funcțiilor specificate doar într-un anumit interval finit și nu sunt generate de niciun fenomen oscilator.

Definiţie. O serie trigonometrică este o serie de forma:

Sau (1).

Numerele reale se numesc coeficienți ai seriei trigonometrice. Această serie poate fi scrisă și așa:

Dacă o serie de tipul prezentat mai sus converge, atunci suma ei este o funcție periodică cu perioada 2p.

Definiţie. Coeficienții Fourier ai unei serii trigonometrice se numesc: (2)

(3)

(4)

Definiţie. Fourier în apropiere pentru funcționare f(x) se numește o serie trigonometrică ai cărei coeficienți sunt coeficienți Fourier.

Dacă seria Fourier a unei funcţii f(x) converge către el în toate punctele sale de continuitate, atunci spunem că funcția f(x) se extinde într-o serie Fourier.

Teorema.(Teorema lui Dirichlet) Dacă o funcție are o perioadă de 2p și este continuă pe un interval sau are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul fel, intervalul poate fi împărțit într-un număr finit de segmente astfel încât în ​​cadrul fiecăruia dintre ele funcția este monotonă, atunci seria Fourier pentru funcție converge pentru toate valorile X, iar în punctele de continuitate ale funcției suma acesteia S(x) este egal cu , iar în punctele de discontinuitate suma sa este egală cu , i.e. media aritmetică a valorilor limită din stânga și dreapta.

În acest caz, seria Fourier a funcției f(x) converge uniform asupra oricărui segment care aparține intervalului de continuitate al funcției.

O funcție care îndeplinește condițiile acestei teoreme se numește netedă în bucăți pe segment.

Să luăm în considerare exemple de extindere a unei funcții într-o serie Fourier.

Exemplul 1. Extindeți funcția într-o serie Fourier f(x)=1-x, având menstruație 2p si dat pe segmentul .

Soluţie. Să diagramăm această funcție

Această funcție este continuă pe segmentul , adică pe un segment cu lungimea unei perioade, prin urmare poate fi extinsă într-o serie Fourier, convergând către aceasta în fiecare punct al acestui segment. Folosind formula (2) găsim coeficientul acestei serii: .

Să aplicăm formula de integrare prin părți și să găsim din formulele (3) și respectiv (4):

Înlocuind coeficienții în formula (1), obținem sau .

Această egalitate este valabilă în toate punctele, cu excepția punctelor și (punctele în care graficele sunt unite). În fiecare dintre aceste puncte, suma seriei este egală cu media aritmetică a valorilor sale limită din dreapta și din stânga, adică.

Să prezentăm un algoritm de descompunere a funcțieiîn seria Fourier.

Procedura generală de rezolvare a problemei este următoarea.

Într-o serie de cazuri, examinând coeficienții de serie de forma (C), se poate stabili că aceste serii converg (cu excepția, poate, punctele individuale) și sunt serii Fourier pentru sumele lor (vezi, de exemplu, precedentul paragraful), dar, în toate aceste cazuri, se pune firesc întrebarea,

cum să aflăm sumele acestor serii sau – mai precis – cum să le exprimăm în formă finală prin funcții elementare, dacă sunt exprimate în această formă. Euler (și, de asemenea, Lagrange) a folosit cu succes funcțiile analitice ale unei variabile complexe pentru a suma serii trigonometrice în forma finală. Ideea metodei lui Euler este următoarea.

Să presupunem că pentru un anumit set de coeficienți seria (C) și converg către funcții peste tot în interval, excluzând poate doar punctele individuale. Să considerăm acum o serie de puteri cu aceiași coeficienți, dispuse în puteri ale variabilei complexe

Pe circumferința cercului unitar, adică la această serie, prin presupunere, converge, excluzând punctele individuale:

În acest caz, conform proprietății binecunoscute a seriei de puteri, seria (5) converge în mod evident către, adică în interiorul cercului unitar, definind acolo o anumită funcție a unei variabile complexe. Folosind ceea ce știm [vezi § 5 din Capitolul XII] extinderea funcțiilor elementare ale unei variabile complexe, este adesea posibil să se reducă funcția la acestea.

și conform teoremei lui Abel, de îndată ce seria (6) converge, suma ei se obține ca limită

De obicei, această limită este pur și simplu egală cu care ne permite să calculăm funcția în forma sa finală

Să fie, de exemplu, seria propusă

Afirmațiile dovedite în paragraful anterior conduc la concluzia că ambele serii converg (prima - excluzând punctele 0 și

servesc drept serie Fourier pentru funcțiile pe care le definesc. Dar care sunt aceste funcții? Pentru a răspunde la această întrebare, să creăm o serie

Pe baza asemănării sale cu seria logaritmică, suma sa poate fi determinată cu ușurință:

prin urmare,

Acum, un calcul ușor oferă:

deci modulul acestei expresii este , iar argumentul este .

si astfel in sfarsit

Aceste rezultate ne sunt familiare și au fost chiar și o dată obținute folosind considerații „complexe”; dar în primul caz am plecat de la funcțiile și , iar în al doilea - de la funcția analitică. Aici, pentru prima dată, seria în sine a servit ca punct de plecare. Cititorul va găsi alte exemple de acest fel în paragraful următor.

Subliniem încă o dată că trebuie să fii sigur în prealabil de convergența seriei (C) și să ai dreptul de a determina sumele acestora folosind egalitatea limită (7). Simpla existență a unei limite pe partea dreaptă a acestei egalități nu permite încă să se tragă o concluzie despre convergența seriei menționate. Pentru a arăta acest lucru cu un exemplu, luați în considerare seria

starea lui Holder. Vom spune că funcția $f(x)$ satisface condiția Hölder în punctul $x_0$ dacă există limite finite unilaterale $f(x_0 \pm 0)$ și astfel de numere $\delta > 0$, $ \alpha \in ( 0,1]$ și $c_0 > 0$, astfel încât pentru toți $t \in (0,\delta)$ sunt îndeplinite următoarele inegalități: $|f(x_0+t)-f(x_0 +0)|\leq c_0t^( \alpha )$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^(\alpha )$.

Formula Dirichlet. O formulă Dirichlet transformată este o formulă de forma:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ unde $D_n(t)=\frac(1)(2)+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac(\sin(n+\frac(1)(2))t) (2\sin\frac(t)(2)) (2)$ — .

Folosind formulele $(1)$ și $(2)$, scriem suma parțială a seriei Fourier în următoarea formă:
$$S_n(x_0)= \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t)+f(x_0-t))(2\sin\ frac(t)(2))\sin \left (n+\frac(1)(2) \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0) — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)\frac(f(x_0+t) +f(x_0-t))(2\sin\frac(t)(2)) \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t dt = 0 \quad (3)$$

Pentru $f \equiv \frac(1)(2)$, formula $(3)$ are următoarea formă: $$ \lim\limits_(n \to \infty )\frac(1)(\delta)\frac (\ sin(n+\frac(1)(2))t)(2\sin\frac(t)(2))dt=\frac(1)(2), 0

Convergența seriei Fourier la un punct

Teorema. Fie $f(x)$ o funcție periodică $2\pi$ care este absolut integrabilă pe $[-\pi,\pi]$ și satisface condiția Hölder în punctul $x_0$. Apoi seria Fourier a funcției $f(x)$ în punctul $x_0$ converge către numărul $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

Dacă în punctul $x_0$ funcția $f(x)$ este continuă, atunci în acest punct suma seriei este egală cu $f(x_0)$.

Dovada

Deoarece funcția $f(x)$ satisface condiția Hölder în punctul $x_0$, atunci pentru $\alpha > 0$ și $0< t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Pentru un $\delta > 0$ dat, să scriem egalitățile $(3)$ și $(4)$. Înmulțind egalitatea $(4)$ cu $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ și scăzând rezultatul din egalitatea $(3)$, obținem $$ \lim\limits_(n \to \infty) (S_n (x_0) — \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) — \\ — \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\delta )\ frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2\sin \frac(t)(2)) \cdot \\ \ cdot \ sin \left (n + \frac(1)(2) \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$

Din condiția Hölder rezultă că funcția $$\Phi(t)= \frac(f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0))(2 \sin \frac(t)(2)).$$ este absolut integrabil pe intervalul $$. De fapt, aplicând inegalitatea lui Hölder, constatăm că următoarea inegalitate este valabilă pentru funcția $\Phi(t)$: $|\Phi(t)| \leq \frac(2c_0t^(\alpha ))(\frac(2)(\pi)t) = \pi c_0t^(\alpha - 1) (6)$, unde $\alpha \in (0,1 ]$.

În virtutea testului de comparație pentru integrale improprii, din inegalitatea $(6)$ rezultă că $\Phi(t)$ este absolut integrabil pe $.$

După lema lui Riemann $$\lim\limits_(n \to \infty)\int\limits_(0)^(\delta)\Phi(t)\sin \left (n + \frac(1)(2) \ right )t\cdot dt = 0 .$$

Din formula $(5)$ rezultă acum că $$\lim\limits_(n \to \infty)S_n(x_0) = \frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2) . $$

[colaps]

Corolarul 1. Dacă o funcție $f(x)$ este $2\pi$-periodică și absolut integrabilă pe $[-\pi,\pi]$ și are o derivată în punctul $x_0$, atunci seria sa Fourier converge în acest punct către $f(x_0) $.

Corolarul 2. Dacă o funcție $f(x)$ este $2\pi$-periodică și absolut integrabilă pe $[-\pi,\pi]$ și are ambele derivate unilaterale în punctul $x_0$, atunci seria sa Fourier converge la acest punct spre $\frac (f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

Corolarul 3. Dacă o funcție $f(x)$ este $2\pi$-periodică și absolut integrabilă pe $[-\pi,\pi]$ și satisface condiția Hölder în punctele $-\pi$ și $\pi$, atunci, datorită periodicității, suma seriei Fourier în punctele $-\pi$ și $\pi$ este egală cu $$\frac(f(\pi-0)+ f(-\pi+0))( 2).$$

semn Dini

Definiţie. Fie $f(x)$ o funcție periodică $2\pi$ Punctul $x_0$ va fi un punct obișnuit al funcției $f(x)$ dacă

1) există limite finite stânga și dreapta $\lim\limits_(x \to x_0+0 )f(x)= \lim\limits_(x \to x_0-0 )f(x)= f(x_0+0) = f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$

Teorema. Fie $f(x)$ o funcție $2\pi$-periodică absolut integrabilă pe $[-\pi,\pi]$ și fie punctul $x_0 \in \mathbb(R)$ un punct regulat al funcției $f(x)$ . Fie funcția $f(x)$ să satisfacă condițiile Dini în punctul $x_0$: există integrale improprie $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f( x_0+0) |)(t)dt, \\ \int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0-t)-f(x_0-0)|)(t)dt,$$

atunci seria Fourier a funcției $f(x)$ în punctul $x_0$ are suma $f(x_0)$, adică. $$ \lim\limits_(n \to \infty )S_n(x_0)=f(x_0)=\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

Dovada

Pentru suma parțială $S_n(x)$ a seriei Fourier, există o reprezentare integrală $(1)$. Și în virtutea egalității $\frac(2)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac(1)(\pi )\int\limits_(0)^(\pi )f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$

Atunci avem $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0) ) D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac(1)(\pi)\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0-t)-f(x_0-0)) D_n (t)\,dt. \quad(7)$$

În mod evident, teorema va fi dovedită dacă demonstrăm că ambele integrale din formula $(7)$ au limite atunci când $n \to \infty $ egal cu $0$. Luați în considerare prima integrală: $$I_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\pi)(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$

În punctul $x_0$ este îndeplinită condiția Dini: integrala improprie $$\int\limits_(0)^(h)\frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)(t) \, dt converge .$$

Prin urmare, pentru orice $\varepsilon > 0$ există un $\delta \in (0, h)$ astfel încât $$\int\limits_(0)^(\delta )\frac(\left | f(x_0+) t) -f(x_0+0) \right |)(t)dt

Având în vedere $\varepsilon > 0$ și $\delta > 0$, reprezentăm integrala $I_n(x_0)$ ca $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, unde
$$A_n(x_0)=\int\limits_(0)^(\delta )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\ int\limits_(\delta)^(\pi )(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$

Să luăm în considerare mai întâi $A_n(x_0)$. Folosind $\left | D_n(t)\dreapta |

pentru toate $t \in (0, \delta)$.

Prin urmare $$A_n(x_0) \leq \frac(\pi)(2) \int\limits_(0)^(\delta ) \frac(|f(x_0+t)-f(x_0+0)|)( t)dt

Să trecem la estimarea integralei $B_n(x_0)$ pentru $n \la \infty $. Pentru a face acest lucru, introducem funcția $$ \Phi (t)=\left\(\begin(matrix)
\frac(f(x_0+t)-f(x_0+0))(2\sin \frac(t)(2)), 0

$$B_n(x_0)=\int\limits_(-\pi)^(\pi)\Phi (t) \sin \left (n+\frac(1)(2) \right)t\,dt.$$ Obținem că $\lim\limits_(n \to \infty )B_n(x_0)=0$, ceea ce înseamnă că pentru $\varepsilon > 0$ arbitrar ales anterior există $N$ astfel încât pentru toți $n> N $ inegalitatea $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|

Se demonstrează într-un mod complet similar că integrala a doua a formulei $(7)$ are o limită egală cu zero ca $n \to \infty $.

[colaps]

Consecinţă Dacă o funcție periodică $2\pi$ $f(x)$ este diferențiabilă pe bucăți pe $[-\pi,\pi]$, atunci seria sa Fourier în orice punct $x \in [-\pi,\pi]$ converge la numărul $$\frac(f(x_0+0)+f(x_0-0))(2).$$

Pe intervalul $[-\pi,\pi]$ găsiți seria Fourier trigonometrică a funcției $f(x)=\left\(\begin(matrix)
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end(matrice)\dreapta.$

Investigați convergența seriei rezultate.

Continuând $f(x)$ periodic pe toată axa reală, obținem funcția $\widetilde(f)(x)$, al cărei grafic este prezentat în figură.

Deoarece funcția $f(x)$ este impară, atunci $$a_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\cos kx dx =0 ; $$

$$b_k=\frac(1)(\pi)\int\limits_(-\pi)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac(2)(\ pi)\int\limits_(0)^(\pi)f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac(2)(\pi k)(1- \cos k\pi) $$

$$b_(2n)=0, b_(2n+1) = \frac(4)(\pi(2n+1)).$$

Prin urmare, $\tilde(f)(x)\sim \frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^(\infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1 ).$

Deoarece $(f)"(x)$ există pentru $x\neq k \pi$, atunci $\tilde(f)(x)=\frac(4)(\pi)\sum_(n=0)^ ( \infty)\frac(\sin(2n+1)x)(2n+1)$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb(Z).$

În punctele $x=k \pi$, $k \in \mathbb(Z)$, funcția $\widetilde(f)(x)$ este nedefinită, iar suma seriei Fourier este zero.

Setând $x=\frac(\pi)(2)$, obținem egalitatea $1 - \frac(1)(3) + \frac(1)(5)- \ldots + \frac((-1)^ n) (2n+1)+ \ldots = \frac(\pi)(4)$.

[colaps]

Găsiți seria Fourier a următoarei funcții $2\pi$-periodice și absolut integrabile pe $[-\pi,\pi]$:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac(x)(2)|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb(Z)$ și examinați convergența seriei rezultate.

Deoarece $(f)"(x)$ există pentru $ x \neq 2k \pi$, atunci seria Fourier a funcției $f(x)$ va converge în toate punctele $ x \neq 2k \pi$ către valoarea În mod evident, că $f(x)$ este o funcție pară și, prin urmare, expansiunea sa în serie Fourier trebuie să conțină cosinus. Să găsim coeficientul $$\pi a_0 = -2 \int\limits_(. 0)^(\pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln. \sin \frac(x)(2) dx \,- \, 2\int\limits_(\frac(\pi)(2))^(\pi)\ln \sin \frac(x)(2)dx =$$ $$= -2 \int \limits_(0)^(\frac(\pi)(2))\ln \sin \frac(x)(2)dx \, — \, 2\int\limits_ (0)^(\frac(\pi )(2))\ln\cos \frac(x)(2)dx=$$ $$= -2 \int\limits_(0)^(\frac(\pi )(2))\ln (\frac (1)(2)\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_(0)^(\frac( \pi)(2))\ln \ sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_(0)^(\pi)\ln \sin \frac(t) (2)dt = \pi\ln 2 + \frac(\pi a_0)(2),$$ de unde $a_0= \pi \ln 2$.

Să găsim acum $a_n$ pentru $n \neq 0$. Avem $$\pi a_n = -2 \int\limits_(0)^(\pi)\cos nx \ln \sin \frac(x)(2)dx = $$ $$ = \int\limits_(0 ) ^(\pi) \frac(\sin(n+\frac(1)(2))x+\sin (n-\frac(1)(2))x)(2n \sin\frac(x)(2) ) )dx=$$ $$= \frac(1)(2n) \int\limits_(-\pi)^(\pi) \begin(bmatrix)
D_n(x)+D_(n-1)(x)\\ \end(bmatrix)dx.$$

Aici $D_n(x)$ este nucleul Dirichlet definit prin formula (2) și obținem că $\pi a_n = \frac(\pi)(n)$ și, prin urmare, $a_n = \frac(1)(n ) $. Deci $$-\ln |
\sin \frac(x)(2)| = \ln 2 + \sum_(n=1)^(\infty ) \frac(\cos nx)(n), x \neq 2k\pi, k \in \mathbb(Z).$$

[colaps]

Literatură

• Lysenko Z.M., note de curs despre analiza matematică, 2015-2016.
• Ter-Krikorov A.M. și Shabunin M.I. Curs de analiză matematică, p. 581-587
• Demidovich B.P., Culegere de sarcini și exerciții de analiză matematică, ediția 13, revăzută, Editura CheRo, 1997, pp. 259-267

Limita de timp: 0

Navigare (numai numere de job)

0 din 5 sarcini finalizate

Informaţii

Test pe baza acestui subiect:

Ai susținut deja testul înainte. Nu o poți porni din nou.

Test de încărcare...

Trebuie să vă autentificați sau să vă înregistrați pentru a începe testul.

Trebuie să finalizați următoarele teste pentru a începe acesta:

Rezultate

Răspunsuri corecte: 0 din 5

Ora ta:

Timpul a trecut

Ai obținut 0 din 0 puncte (0)

Rezultatul dvs. a fost înregistrat pe clasament

1. Cu răspuns
2. Cu un semn de vizualizare

1. Sarcina 1 din 5

   1 .

   Numar de puncte: 1

   Dacă o funcție $f(x)$ este $2\pi$ periodică și absolut integrabilă pe $[−\pi,\pi]$ și are o derivată în punctul $x_0$, atunci spre ce va converge seria sa Fourier la acest punct?

2. Sarcina 2 din 5

   2 .

   Numar de puncte: 1

   Dacă toate condițiile testului Dini sunt îndeplinite, atunci la ce număr converge seria Fourier a funcției $f$ în punctul $x_0$?