Sisteme omogene de ecuații liniare. Ansamblu fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare

Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, cel mai probabil, sistemele de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom analiza în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.

Poveste

Astăzi se știe că arta de a rezolva ecuații și sistemele lor își are originea în Babilonul și Egiptul antic. Cu toate acestea, egalitățile în forma lor familiară au apărut după apariția semnului egal „=", care a fost introdus în 1556 de matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, nu există un exemplu mai bun de egalitate.

Fondatorul desemnărilor moderne de litere pentru necunoscute și semne de grade este un matematician francez. Cu toate acestea, desemnările sale au fost semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, el a notat un pătrat al unui număr necunoscut cu litera Q (lat. „quadratus”) și un cub cu litera C (lat. „cubus”). Această notație pare incomod acum, dar la acea vreme era cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.

Cu toate acestea, un dezavantaj al metodelor de soluție din acea vreme a fost că matematicienii considerau doar rădăcini pozitive. Acest lucru se poate datora faptului că valorile negative nu au avut aplicare practică. Într-un fel sau altul, matematicienii italieni Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano și Raphael Bombelli au fost primii care au numărat rădăcinile negative în secolul al XVI-lea. O aspect modern, metoda principală a soluției (prin discriminant) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrării lui Descartes și Newton.

La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Cramer a găsit mod nou pentru a face o soluție la sisteme ecuații liniare mai simplu. Această metodă a fost numită ulterior după el și o folosim și astăzi. Dar despre metoda lui Cramer vom vorbi puțin mai târziu, dar deocamdată să discutăm despre ecuațiile liniare și metodele de rezolvare a acestora separat de sistem.

Ecuații liniare

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (variabile). Ele sunt clasificate drept algebrice. scrie la vedere generală deci: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Va trebui să le reprezentăm în această formă atunci când compilăm sisteme și matrice mai târziu.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Definiția acestui termen este: este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și solutie generala. De regulă, la școală toată lumea a rezolvat sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne dăm seama mai întâi cum să le scriem, astfel încât să fie convenabil să le rezolvăm în viitor. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, toate ecuațiile ar trebui aduse la forma canonică: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

După toți acești pași, putem începe să vorbim despre cum să găsim soluții la sistemele de ecuații liniare. Matricele vor fi foarte utile pentru aceasta.

Matrici

O matrice este un tabel care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor se află elementele sale. Acestea pot fi fie valori specifice, fie variabile. Cel mai adesea, pentru a indica elementele, sub acestea sunt plasate indicele (de exemplu, un 11 sau un 23). Primul index înseamnă numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei. Pe matrice pot fi efectuate diverse operații, ca pe orice alt element matematic. Astfel, puteți:

2) Înmulțiți o matrice cu orice număr sau vector.

3) Transpunere: transformați rândurile matricei în coloane și coloanele în rânduri.

4) Înmulțiți matrice dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.

Să discutăm mai detaliat toate aceste tehnici, deoarece ne vor fi utile în viitor. Scăderea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrice de aceeași dimensiune, fiecare element al unui tabel se corelează cu fiecare element al celuilalt. Astfel, adunăm (scădem) aceste două elemente (este important ca ele să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau un vector, pur și simplu înmulți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. E foarte interesant să-l vezi uneori viata reala, de exemplu, când schimbați orientarea unei tablete sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop reprezintă o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, aceasta se transpune și devine mai lată, dar scade în înălțime.

Să ne uităm la un alt proces precum: Deși nu vom avea nevoie de el, va fi totuși util să îl cunoaștem. Puteți înmulți două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri din celălalt. Acum să luăm elementele unui rând dintr-o matrice și elementele coloanei corespunzătoare a alteia. Să le înmulțim unul cu celălalt și apoi să le adunăm (adică, de exemplu, produsul elementelor a 11 și a 12 cu b 12 și b 22 va fi egal cu: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Astfel, se obține un element al tabelului și este completat în continuare folosind o metodă similară.

Acum putem începe să luăm în considerare modul în care se rezolvă un sistem de ecuații liniare.

metoda Gauss

Acest subiect începe să fie tratat în școală. Cunoaștem bine conceptul de „un sistem de două ecuații liniare” și știm cum să le rezolvăm. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Acest lucru ne va ajuta

Desigur, această metodă este convenabilă de utilizat dacă faceți o matrice din sistem. Dar nu trebuie să o transformi și să o rezolvi în forma sa pură.

Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare gaussiene? Apropo, deși această metodă poartă numele lui, a fost descoperită în antichitate. Gauss propune urmatoarele: sa efectueze operatii cu ecuatii pentru a reduce in final intregul multime la o forma treptata. Adică este necesar ca de sus în jos (dacă este aranjat corect) de la prima ecuație la ultima necunoscută să scadă. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că obținem, să zicem, trei ecuații: în prima sunt trei necunoscute, în a doua sunt două, în a treia există una. Apoi din ultima ecuație găsim prima necunoscută, înlocuim valoarea acesteia în a doua sau în prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.

Metoda Cramer

Pentru a stăpâni această metodă, este vital să ai abilitățile de a adăuga și scădea matrici și, de asemenea, trebuie să poți găsi determinanți. Prin urmare, dacă faci toate acestea prost sau nu știi deloc cum, va trebui să înveți și să exersezi.

Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină un sistem de ecuații liniare Cramer? Este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, pur și simplu luăm numerele în fața necunoscutelor și le aranjam într-un tabel în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă în fața numărului există un semn „-”, atunci notăm un coeficient negativ. Deci, am compilat prima matrice de coeficienți pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (în mod firesc, ecuația ar trebui redusă la o formă canonică, când numai numărul este în dreapta și toate necunoscutele cu coeficienți sunt la stânga). Apoi trebuie să creați mai multe matrice - câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuim fiecare coloană cu coeficienți din prima matrice pe rând cu o coloană de numere după semnul egal. Astfel, obținem mai multe matrice și apoi găsim determinanții acestora.

După ce am găsit determinanții, este o chestiune mică. Avem o matrice inițială și există mai multe matrice rezultate care corespund unor variabile diferite. Pentru a obține soluții ale sistemului, împărțim determinantul tabelului rezultat la determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.

Alte metode

Există mai multe metode de obținere a soluțiilor sistemelor de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este folosită pentru a găsi soluții la sistem ecuații pătraticeși este, de asemenea, asociat cu utilizarea matricelor. Există și metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai ușor de adaptat la un computer și este folosit în calcul.

Cazuri complexe

Complexitatea apare de obicei atunci când numărul de ecuații număr mai mic variabile. Atunci putem spune cu siguranță că fie sistemul este inconsecvent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să scriem soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.

Concluzie

Aici ajungem la final. Să rezumam: ne-am dat seama ce sunt un sistem și o matrice și am învățat să găsim o soluție generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am luat în considerare și alte opțiuni. Am aflat cum să rezolvăm un sistem de ecuații liniare: metoda Gauss și am vorbit despre cazuri complexe și alte modalități de găsire a soluțiilor.

De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă vrei să-l înțelegi mai bine, îți recomandăm să citești literatură de specialitate.

Sistem omogen de ecuații liniare pe un câmp

DEFINIŢIE. Un sistem fundamental de soluții pentru un sistem de ecuații (1) este un sistem nevid liniar independent al soluțiilor sale, al cărui interval liniar coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Rețineți că un sistem omogen de ecuații liniare care are doar o soluție zero nu are un sistem fundamental de soluții.

PROPUNEREA 3.11. Oricare două sisteme de soluții fundamentale sistem omogen ecuațiile liniare constau din acelasi numar decizii.

Dovada. De fapt, oricare două sisteme fundamentale de soluții ale sistemului omogen de ecuații (1) sunt echivalente și liniar independente. Prin urmare, prin Propunerea 1.12, rangurile lor sunt egale. În consecință, numărul de soluții incluse într-un sistem fundamental este egal cu numărul de soluții incluse în orice alt sistem fundamental de soluții.

Dacă matricea principală A a sistemului omogen de ecuații (1) este zero, atunci orice vector din este o soluție a sistemului (1); în acest caz, orice set de vectori liniar independenți din este un sistem fundamental de soluții. Dacă rangul coloanei matricei A este egal cu , atunci sistemul (1) are o singură soluție - zero; prin urmare, în acest caz, sistemul de ecuații (1) nu are un sistem fundamental de soluții.

TEOREMA 3.12. Dacă rangul matricei principale a unui sistem omogen de ecuații liniare (1) este mai mic decât numărul de variabile, atunci sistemul (1) are un sistem de soluții fundamentale format din soluții.

Dovada. Dacă rangul matricei principale A a sistemului omogen (1) este egal cu zero sau , atunci s-a arătat mai sus că teorema este adevărată. Prin urmare, mai jos se presupune că Presupunând , vom presupune că primele coloane ale matricei A sunt liniar independente. În acest caz, matricea A este echivalentă pe rând cu matricea redusă în trepte, iar sistemul (1) este echivalent cu următorul sistem redus de ecuații în trepte:

Este ușor de verificat că orice sistem de valori ale variabilelor libere ale sistemului (2) corespunde unei singure soluții sistemului (2) și, prin urmare, sistemului (1). În special, numai soluția zero a sistemului (2) și a sistemului (1) corespunde unui sistem de valori zero.

În sistemul (2) vom atribui uneia dintre variabilele libere o valoare egală cu 1, iar variabilelor rămase - valori zero. Ca rezultat, obținem soluții ale sistemului de ecuații (2), pe care le scriem sub formă de rânduri ale următoarei matrice C:

Sistemul de rânduri al acestei matrice este liniar independent. Într-adevăr, pentru orice scalari din egalitate

urmează egalitatea

și, prin urmare, egalitate

Să demonstrăm că intervalul liniar al sistemului de rânduri al matricei C coincide cu mulțimea tuturor soluțiilor sistemului (1).

Soluție arbitrară a sistemului (1). Apoi vectorul

este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1) și

Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și un sistem fundamental de soluții pentru sistem

Soluţie găsi folosind un calculator. Algoritmul de soluție este același ca și pentru sistemele de ecuații liniare neomogene.
Operând numai cu rânduri, găsim rangul matricei, baza minoră; Declarăm necunoscute dependente și libere și găsim o soluție generală.

Prima și a doua linie sunt proporționale, să tăiem una dintre ele:

.
Variabile dependente – x 2, x 3, x 5, libere – x 1, x 4. Din prima ecuație 10x 5 = 0 găsim x 5 = 0, atunci
; .
Solutia generala este:

Găsim un sistem fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru n=5, r=3, prin urmare, sistem fundamental soluția constă din două soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente. Pentru ca rândurile să fie liniar independente este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 2. Este suficient să se dea necunoscutele libere x 1 și x 4 valori din rândurile determinantului de ordinul doi, diferit de zero, și calculați x 2 , x 3 , x 5 . Cel mai simplu determinant diferit de zero este .
Deci prima soluție este: , al doilea - .
Aceste două decizii constituie un sistem decizional fundamental. Rețineți că sistemul fundamental nu este unic (puteți crea oricâte determinanți non-zero doriți).

Exemplul 2. Găsiți soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului
Soluţie.



,
rezultă că rangul matricei este 3 și egal cu numărul de necunoscute. Aceasta înseamnă că sistemul nu are necunoscute gratuite și, prin urmare, are o soluție unică - una trivială.

Exercițiu . Explorează și rezolvă un sistem de ecuații liniare.
Exemplul 4

Exercițiu . Găsiți soluțiile generale și particulare ale fiecărui sistem.
Soluţie. Să notăm matricea principală a sistemului:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Să reducem matricea la formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem.
Înmulțiți a doua linie cu (-5). Să adăugăm a doua linie la prima:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Să înmulțim a doua linie cu (6). Înmulțiți a treia linie cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Să găsim rangul matricei.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre posibili minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), prin urmare rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 sunt dependente (de bază) și x 3 , x 4 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim soluție nebanală:
Am obținut relații exprimând variabilele dependente x 1 , x 2 prin cele libere x 3 , x 4 , x 5 , adică am găsit solutie generala:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Găsim un sistem fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții.
În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elemente de rând să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 , x 4 , x 5 valori din liniile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 , x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Sarcina . Găsiți un set fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare.

Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Ca parte a lecțiilor metoda gaussianaŞi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru gratuit(care este de obicei în dreapta) cel putin unul din ecuații a fost diferit de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu academic, bineînțeles, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.

Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(V în acest caz, 3) egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).

Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum să găsiți rangul unei matrice? Să ne amintim tehnica rațională de scădere simultană a numerelor matriceale. În caz contrar, va trebui să tăiați pește mare și adesea mușcător. Probă aproximativă finalizarea sarcinii la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai comun atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabil:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și scăderea numerelor din prima coloană:

(1) La prima linie a fost adăugată o a treia linie, înmulțită cu –1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost șters. Sincer, nu am împins soluția - așa s-a dovedit. Dacă efectuați transformări într-o manieră șablon, atunci dependență liniară liniile ar fi fost dezvăluite puțin mai târziu.

(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca urmare a transformărilor elementare s-a obținut un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „pas” este liberă.

Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă:

Răspuns: solutie generala:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o notăm separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și trebuie obținut un zero legal pentru toate substituțiile.

Ar fi posibil să se termine acest lucru în liniște și pașnic, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată în formă vectorială prin folosire sistem fundamental de soluții. Vă rog să uitați de asta pentru moment geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin în articolul despre rangul matricei. Nu este nevoie să trecem peste terminologie, totul este destul de simplu.

Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toată lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o expoziție. Nu academic, bineînțeles, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.

Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).

Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:

Exemplul 7

Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială.

Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat:

(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată, atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.

(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.

(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.

Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:

– variabile de bază;
– variabile libere.

Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:

– înlocuiți în prima ecuație:

Deci solutia generala este:

Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.

Să înlocuim un triplu de valori în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.

Pentru un triplu de valori găsi vectorul

Și în sfârșit pentru cei trei obținem al treilea vector:

Răspuns: , Unde

Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți și obțineți un răspuns în formă echivalentă:

Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? Până la urmă, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.

A doua soluție:

Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci, de ce să nu ai un zero în vârf? Să realizăm încă o transformare elementară: