두 랜덤 변수의 합 분포 법칙. 유통법의 구성

실제로는 랜덤 변수의 합에 대한 분포 법칙을 찾는 것이 종종 필요합니다.

제도가 있게 하소서 (X b X 2)두 개의 연속 s. 안에. 그리고 그들의 합계

분포 밀도를 구합시다. c. 안에. U. 에 따라 공통 솔루션이전 단락에서 비행기의 면적을 찾습니다. x + x 2(그림 9.4.1):

이 식을 y에 대해 미분하면 ap를 얻습니다. 랜덤 변수 Y \u003d X + X 2:

함수 φ (x b x 2) = Xj + x 2는 인수에 대해 대칭이므로

함께라면. 안에. 엑스그리고 엑스 2 독립적인 경우 공식 (9.4.2) 및 (9.4.3)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

독립적인 경우 c. 안에. 엑스 엑스그리고 × 2,유통법의 구성에 대해 이야기합니다. 생산하다 구성 2개의 분배법칙 - 이것은 두 개의 독립적인 c의 합에 대한 분배법칙을 찾는 것을 의미합니다. c., 이러한 법률에 따라 배포됩니다. 기호 표기법은 유통법칙의 구성을 지정하는 데 사용됩니다.

본질적으로 공식 (9.4.4) 또는 (9.4.5)로 표시됩니다.

예 1. 두 사람의 작업을 고려합니다. 기술 장치(저것). 첫째, TU는 실패(failure)가 TU 2의 동작에 포함된 후에 동작한다. 가동 시간 TU TU TU 2 - 엑스 엑스그리고 엑스 2 - 매개 변수 A,1 및 지수 법칙에 따라 독립적이고 분산됩니다. × 2 .따라서 시간 와이 TU로 구성된 TU의 문제 없는 작동! TU 2는 공식에 의해 결정됩니다

p.r을 찾아야 합니다. 랜덤 변수 와이,즉, 매개변수와 × 2 .

해결책. 공식 (9.4.4)에 의해 (y > 0)

동일한 매개변수(?c = 엑스 2 = Y) 식 (9.4.8)에서 유형 0/0의 불확실성이 얻어지고 이를 확장하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

이 식을 식(6.4.8)과 비교하면 두 개의 동일한 지수 법칙(?c = 엑스 2 = 엑스) 2차 얼랑 법칙(9.4.9)입니다. 매개변수가 다른 두 개의 지수법칙을 합성할 때 엑스 엑스그리고 A-2 얻기 2차 일반화 얼랑 법칙 (9.4.8). ?

문제 1. 두 s의 차이 분포 법칙. 안에. 시스템. 안에. (X와 X 2)조인트 r.p./(x x x 2)가 있습니다. p.r. 찾기 차이점 Y=X - × 2 .

해결책. 시스템의 경우 안에. (X b - X 2)등. /(x b - × 2),즉, 차이를 합계로 대체했습니다. 따라서 a.r. 랜덤 변수 U는 다음 형식을 갖습니다((9.4.2), (9.4.3) 참조).

만약 와 함께. 안에. 엑스엑스엑스 2 그럼 독립

예 2. f.r. 찾기 두 개의 독립적인 기하급수적으로 분포된 s의 차이. 안에. 매개변수 포함 엑스 엑스그리고 × 2 .

해결책. 공식 (9.4.11)에 따르면

쌀. 9.4.2 쌀. 9.4.3

그림 9.4.2는 p를 보여줍니다. g(와이). 두 개의 독립적인 기하급수적으로 분포된 s의 차이를 고려한다면. 안에. 동일한 설정으로 (일체 포함= 엑스 2 = 하지만,),그 다음에 g(y) \u003d / 2 - 이미 친숙한

라플라스의 법칙(그림 9.4.3). ?

예 3. 두 독립 c의 합에 대한 분포 법칙을 찾습니다. 안에. 엑스그리고 × 2,매개변수와 함께 푸아송 법칙에 따라 분포 엑스그리고 2 .

해결책. 이벤트의 확률 찾기 (엑스 엑스 + 엑스 2 = t) (t = 0, 1,

따라서 에스. 안에. 와이=엑스엑스 + 엑스 2 매개변수와 함께 포아송 법칙에 따라 분포 x2) - x + a 2. ?

예 4. 두 독립 c의 합에 대한 분포 법칙을 찾습니다. 안에. 엑스 엑스그리고 × 2,매개변수가 있는 이항법칙에 따라 분포 피 x 리 피 2 , 피각기.

해결책. 함께 상상해보십시오. 안에. 엑스 엑스처럼:

어디 엑스 1) -이벤트 표시기 하지만우 "경험 :

분포 범위. 안에. X,- 형식을 가짐

우리는 s에 대해 비슷한 표현을 할 것입니다. 안에. × 2:여기서 X] 2) - 이벤트 표시기 하지만 y"번째 경험에서:

따라서,

X는 어디에 있습니까? 1)+(2) 이벤트 표시기인 경우 하지만:

따라서, 우리는 안에. 시아버지 금액 (u + n 2)이벤트 표시기 하지만, 어디에서 s를 따릅니다. 안에. ^매개변수가 있는 이항법칙에 따라 분포( 엔엑스 + n 2), p.

참고로 확률이 아르 자형서로 다른 일련의 실험에서 서로 다른 두 개의 독립적인 s를 추가한 결과입니다. c., 이항 법칙에 따라 분포하면 c. c., 이항 법칙에 따르지 않고 배포됩니다. ?

예 3과 4는 임의의 수의 용어로 쉽게 일반화됩니다. 포아송의 법칙을 매개변수로 구성할 때 a b a 2 , ..., 에푸아송의 법칙은 매개변수로 다시 얻어집니다. a (t) \u003d a x + a 2 + ... + 그리고 티.

매개변수로 이항법칙을 구성할 때 (n r); (나는 2, 아르 자형) , (nt, 피)다시 매개변수("("), 아르 자형),어디 n (t) \u003d u + n 2 + ... + 등.

우리는 푸아송 법칙과 이항 법칙의 중요한 속성인 "안정성 속성"을 증명했습니다. 유통법이라고 합니다 지속 가능한,동일한 유형의 두 법칙의 구성이 동일한 유형의 법칙을 생성하는 경우(이 법칙의 매개변수만 다름). 9.7절에서 우리는 정상법이 동일한 안정성 속성을 가짐을 보여줄 것입니다.

확률 이론의 매우 중요한 대상은 독립 확률 변수의 합입니다. 확률 이론의 분석 방법 개발을 위한 토대를 마련한 것은 독립 확률 변수의 합계 분포에 대한 연구입니다.

독립 랜덤 변수 합계의 분포

이 섹션에서는 독립 확률 변수 합계의 분포 함수를 계산할 수 있는 일반 공식을 얻고 몇 가지 예를 고려할 것입니다.

두 독립 확률 변수의 합 분포. 컨볼루션 공식

분포 함수가 있는 독립 확률 변수

각기

그런 다음 분포 함수 에프랜덤 변수의 합

다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다 ( 컨벌루션 공식)

이를 증명하기 위해 Fubini의 정리를 사용합니다.

공식의 두 번째 부분도 비슷하게 증명됩니다.

두 독립 확률 변수의 합 분포 밀도

두 확률 변수의 분포에 밀도가 있는 경우 이러한 확률 변수 합계의 밀도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

확률 변수(또는 )의 분포에 밀도가 있는 경우 이러한 확률 변수 합계의 밀도는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

이러한 주장을 증명하려면 밀도의 정의를 사용하는 것으로 충분합니다.

다중 회선

유한한 수의 독립 확률 변수의 합 계산은 컨볼루션 공식을 순차적으로 적용하여 수행됩니다. 합계 분포 함수 케이분포 함수가 있는 독립적인 동일하게 분포된 랜덤 변수 에프

~라고 불리는 케이-분포 함수의 접기 컨벌루션 에프및 표시

독립 확률 변수의 합 분포 계산의 예

이 단락에서는 확률 변수를 합산할 때 분포 형식이 유지되는 상황의 예가 제공됩니다. 증명은 합산과 적분 계산에 대한 연습입니다.

독립 랜덤 변수의 합입니다. 정규 분포

독립 랜덤 변수의 합 이항 분포

독립 랜덤 변수의 합 포아송 분포

독립 랜덤 변수의 합 감마 분포

푸아송 과정

매개변수가 있는 지수 분포를 갖는 독립적인 동일하게 분포된 랜덤 변수의 시퀀스

임의의 포인트 시퀀스

음이 아닌 반축에서 호출됩니다. 푸아송(점) 프로세스.

포인트 수의 분포를 계산해 봅시다.

구간 (0,t)의 포아송 프로세스

등가물, 그래서

그러나 확률 변수의 분포

는 차수 k의 Erlang 분포이므로

따라서 구간 (o,t)에서 포아송 과정의 점 수 분포는 모수가 다음과 같은 포아송 분포입니다.

포아송 프로세스는 방사성 붕괴 과정, 전화 교환기 호출 순간, 서비스 시스템에 고객이 나타나는 순간, 장비 고장 순간과 같은 무작위 이벤트 발생 순간을 시뮬레이션하는 데 사용됩니다.

분배 기능

허락하다 엑스(케이)임의의 변수입니다. 그런 다음 임의의 고정 값 x에 대해 임의의 이벤트 엑스(케이) 엑스가능한 모든 결과의 집합으로 정의 케이그렇게 엑스(k) 엑스. 샘플 공간에 주어진 원래 확률 측정의 관점에서, 분포 함수피(엑스)일련의 포인트에 할당된 확률로 정의됨 케이 엑스(k) 엑스. 점 집합에 유의하십시오. 케이불평등을 만족 엑스(k) 엑스, 부등식을 만족하는 점 집합의 하위 집합입니다. 엑스(케이) . 공식적으로

그것은 명백하다

랜덤 변수의 값의 범위가 연속적이면 아래에서 가정합니다. 확률 밀도(1차원) 피(엑스)미분 관계에 의해 결정됩니다

(4)

따라서,

(6)

불연속적인 경우를 고려할 수 있으려면 확률 밀도의 구성에서 델타 함수의 존재를 인정해야 합니다.

기대 가치

랜덤 변수를 보자 엑스(케이)- 에서 +  범위의 값을 취합니다. 평균(그렇지 않으면, 기대값또는 기대값) 엑스(케이)값의 곱의 합에서 한계에 해당하는 통로를 사용하여 계산됩니다. 엑스(케이)이러한 사건이 발생할 확률에 대해:

(8)

어디 이자형- 지수별로 대괄호 안의 표현에 대한 수학적 기대 케이. 실제 단일 값 연속 함수의 수학적 기대는 유사하게 정의됩니다. g(엑스)랜덤 변수에서 엑스(케이)

(9)

어디 피(엑스)- 랜덤 변수의 확률 밀도 엑스(케이).특히 복용 지(엑스)=엑스,우리는 얻는다 평균 제곱 x(k) :

(10)

분산엑스(케이)차이의 평균 제곱으로 정의 엑스(케이)그리고 그 평균값,

즉 이 경우 지(엑스)= 그리고

정의에 따르면, 표준 편차랜덤 변수 x(k),표시 , 양의 값이 있습니다 제곱근분산에서. 표준 편차는 평균과 동일한 단위로 측정됩니다.

가장 중요한 배포 기능

균일한(직사각형) 분포.

실험이 간격 [ a,b] , 끝점 포함. 이 예에서는 확률 변수의 값으로 엑스(케이)선택한 점의 숫자 값을 가져올 수 있습니다. 해당 분포 함수의 형식은 다음과 같습니다.

따라서 확률 밀도는 다음 공식으로 제공됩니다.

이 예에서 공식 (9)와 (11)을 사용하여 평균과 분산을 계산하면 다음과 같습니다.

정상(가우시안) 분포

, - 산술 평균, - RMS.

확률에 해당하는 z 값 P(z)=1-, 즉

CHI - 제곱 분포

허락하다 - n개의 독립 랜덤 변수, 각각은 평균이 0이고 단위 분산이 있는 정규 분포를 가집니다.

자유도가 n인 카이제곱 랜덤 변수.

확률 밀도 .

DF: 100 - 백분율 포인트 - 분포는 로 표시됩니다.

평균과 분산이 같다

t - 학생 분포

y, z는 독립 랜덤 변수입니다. y - 분포가 있음, z - 평균이 0이고 단위 분산이 있는 정규 분포.

가치 - 있다 티- 자유도가 n인 스튜던트 분포

DF: 100 - 백분율 포인트 t - 분포가 표시됨

평균과 분산이 같음

F - 유통

독립 랜덤 변수 있다 - 자유도가 있는 분포; 자유도가 있는 분포. 무작위 값:

,

F는 자유도 및 자유도를 갖는 분산 확률 변수입니다.

,

DF: 100 - 백분율 포인트:

평균과 분산은 같습니다.

금액 분배

두 개의 무작위 변수

허락하다 엑스(케이)그리고 y(k)결합 확률 밀도를 갖는 확률 변수 p(x,y).랜덤 변수 합계의 확률 밀도 찾기

고정 엑스우리는 y=z–x.그래서

고정 지값 엑스-에서 +까지의 간격을 실행합니다. 그래서

(37)

합의 원하는 밀도를 계산하기 위해서는 원래 결합 확률 밀도를 알아야 한다는 것을 알 수 있습니다. 만약 엑스(케이)그리고 y(k)밀도를 갖는 독립 확률 변수이며, 각각 다음과

(38)

예시:두 개의 독립적이고 균일하게 분산된 무작위 변수의 합입니다.

두 개의 무작위 독립 변수가 다음 형식의 밀도를 갖도록 합니다.

다른 경우 그들의 합 z= x+ y의 확률 밀도 p(z)를 찾아봅시다.

확률 밀도 ~을 위한 즉 따라서, 엑스미만 지. 또한 는 0이 아닙니다. 식 (38)에 의해

삽화:

두 개의 독립적이고 균일하게 분포된 확률 변수의 합에 대한 확률 밀도입니다.

무작위 변환

가치

허락하다 엑스(티)- 확률 밀도가 있는 확률 변수 피(엑스),가자 지(엑스)의 단일 값 실제 연속 함수입니다. 엑스. 역함수가 다음과 같은 경우를 먼저 고려하십시오. 엑스(g)의 단일 값 연속 함수이기도 합니다. g.확률 밀도 p(g),랜덤 변수에 해당 지(엑스(케이)) ​​= 지(케이),확률 밀도에서 결정될 수 있습니다. 피(엑스)랜덤 변수 엑스(케이)및 미분 dg/dx도함수가 존재하고 0과 다르다는 가정하에, 즉:

(12)

따라서 한도에서 dg/dx#0

(13)

이 수식을 사용하면 변수 대신 우변을 따릅니다. 엑스적절한 값으로 대체 g.

이제 역함수가 다음과 같은 경우를 고려하십시오. 엑스(g)유효하다 N-의 가치 있는 기능 g, 어디 N는 정수이고 모든 n 값은 동일하게 발생합니다. 그 다음에

(14)

예시:

고조파 기능의 분포.

진폭이 고정된 고조파 기능 엑스주파수 에프초기 위상 각도인 경우 랜덤 변수가 됩니다.  =  (케이)- 임의의 값. 특히, 하자 티고정 및 동일 티 영형, 고조파 랜덤 변수의 형식을

그런 척하자  (케이)균일한 확률 밀도를 가짐 피( ) 친절한

확률 밀도 찾기 피(엑스)랜덤 변수 엑스(케이).

이 예에서 직접 함수 엑스( ) 명확하게, 그리고 역함수  (엑스)모호한.

위의 것을 사용하자 일반적인 방법하나의 문제를 해결하는 것, 즉 두 확률 변수의 합의 분포 법칙을 찾는 것입니다. 분포 밀도가 f(x,y)인 두 확률 변수(X,Y)의 시스템이 있습니다. 랜덤 변수 X와 Y의 합을 고려하고 값 Z의 분포 법칙을 찾으십시오. 이를 위해 xOy 평면에 선을 구성합니다. 방정식은 다음과 같습니다(그림 7). 이것은 축에서 z와 같은 세그먼트를 잘라내는 직선입니다. 직선은 xy 평면을 두 부분으로 나눕니다. 오른쪽과 위에; 왼쪽과 아래.

지역 D 이 경우-- 그림에서 음영 처리된 xOy 평면의 왼쪽 아래 부분. 7. 공식 (16)에 따르면 다음과 같습니다.

내부 적분의 상한에 포함된 변수 z에 대해 이 식을 미분하면 다음을 얻습니다.

이것은 두 랜덤 변수의 합의 분포 밀도에 대한 일반 공식입니다.

X와 Y에 대한 문제의 대칭성 때문에 동일한 공식의 다른 버전을 작성할 수 있습니다.

이는 첫 번째와 동일하며 대신 사용할 수 있습니다.

정상법 구성의 예. 정상 법칙에 따라 두 개의 독립적인 무작위 변수 X와 Y를 고려하십시오.

이러한 법칙의 구성을 생성하는 것이 필요합니다. 즉, 양의 분포 법칙을 찾으려면: .

우리는 유통법 구성에 대한 일반 공식을 적용합니다.

피적분 지수의 괄호를 열고 같은 용어를 가져오면 다음을 얻습니다.

이 표현을 우리가 이미 접한 공식으로 대체

변환 후 다음을 얻습니다.

그리고 이것은 분산 중심을 가진 정상 법칙에 지나지 않습니다.

및 표준편차

다음과 같은 정성적 추론을 통해 동일한 결론에 훨씬 더 쉽게 도달할 수 있습니다.

괄호를 열지 않고 피적분(17)에서 변환을 수행하지 않고 지수가 다음 형식의 x에 대한 제곱 삼항식이라는 결론에 즉시 도달합니다.

여기서 z 값은 계수 A에 전혀 포함되지 않고, 계수 B는 1차에 포함되며, 계수 C는 제곱된다. 이를 염두에 두고 공식 (18)을 적용하면 g(z)는 지수가 z와 분포 밀도에 대한 제곱 삼항식인 지수 함수라는 결론을 내립니다. 이런 종류의 법은 정상법에 해당합니다. 따라서 우리는; 순전히 정성적인 결론에 도달합니다. z의 분포 법칙은 정상이어야 합니다. 이 법칙의 매개변수를 찾기 위해 - 그리고 - 우리는 수학적 기대치를 더하는 정리와 분산을 더하는 정리를 사용합니다. 수학적 기대치의 덧셈 정리에 의해. 분산 부가 정리에 의해, 또는 식(20)이 뒤따른다.

제곱 평균 제곱근 편차에서 이에 비례하는 가능한 편차로 전달하면 다음을 받게 됩니다.

따라서 우리는 다음 규칙에 도달했습니다. 정상 법칙이 구성되면 다시 정상 법칙이 얻어지고 수학적 기대치와 분산(또는 제곱 가능한 편차)이 합산됩니다.

정상법칙에 대한 구성 규칙은 임의의 수의 독립 확률 변수의 경우로 일반화될 수 있습니다.

n개의 독립 확률 변수가 있는 경우: 산란 중심과 표준편차가 있는 정규법에 따라 값도 매개변수가 있는 정규법이 적용됩니다.

공식 (22) 대신에 동등한 공식을 사용할 수 있습니다.

확률변수(X, Y)의 계가 정규법칙에 따라 분포하지만 양 X, Y가 종속적이라면 앞에서와 같이 일반식(6.3.1)에 의해 쉽게 증명할 수 있다. 수량의 분배 법칙도 정상 법칙입니다. 산란 중심은 여전히 ​​대수적으로 추가되지만 표준 편차의 경우 규칙이 더 복잡해집니다. 여기서 r은 X 값과 Y 값의 상관 계수입니다.

전체적으로 정규법을 따르는 여러 종속 확률 변수를 추가하면 합계의 분포 법칙도 매개 변수와 함께 정규로 판명됩니다.

또는 가능한 편차

여기서 는 수량 X i , X j 의 상관 계수이고 합계는 모든 서로 다른 양의 쌍별 조합으로 확장됩니다.

우리는 정상법의 매우 중요한 특성을 보았습니다. 정상법이 결합되면 다시 정상법이 얻어집니다. 이것은 소위 "안정성 속성"입니다. 이러한 유형의 두 가지 법칙을 구성하여 동일한 유형의 법칙이 다시 얻어지면 분배 법칙이 안정적이라고 합니다. 우리는 정상법이 안정적이라는 것을 위에서 보여주었습니다. 극소수의 분배법칙이 안정성의 속성을 가지고 있습니다. 균일 밀도의 법칙은 불안정합니다. 0에서 1까지의 섹션에서 균일 밀도의 두 법칙을 구성할 때 Simpson의 법칙을 얻었습니다.

정상법의 안정성은 다음 중 하나입니다. 필수 조건실제로 널리 사용됩니다. 그러나 안정성의 속성은 정상적인 속성 외에도 일부 다른 배포 법칙에 의해 소유됩니다. 정상법의 특징은 구성에서 충분하다는 것입니다. 큰 수실질적으로 자의적인 분배 법칙, 전체 법칙은 용어의 분배 법칙이 무엇이든 상관없이 임의로 정상에 가까운 것으로 판명되었습니다. 이것은 예를 들어 0에서 1까지의 섹션에서 균일한 밀도의 세 가지 법칙의 구성을 구성하여 설명할 수 있습니다. 결과 분포 법칙 g(z)는 그림에 표시됩니다. 8. 그림에서 알 수 있듯이 함수 g(z)의 그래프는 정상법칙의 그래프와 매우 유사합니다.