関数を調べてグラフを作成します。微分法を使用した関数の研究

ダイエット 19.10.2019

ダイエット

関数を十分に調べてグラフをプロットするには、次のスキームを使用することをお勧めします。

1) 関数の定義領域を見つけます。

2) 関数の不連続点と垂直漸近線 (存在する場合) を見つけます。

3) 無限大における関数の挙動を調査し、水平および斜めの漸近線を見つけます。

4) パリティ (奇数パリティ) と周期性 ( 三角関数);

5) 関数の単調性の極値と区間を見つけます。

６）凸部の間隔と変曲点を決定する。

7) 座標軸との交点を見つけます。可能であれば、グラフを明確にする追加の点をいくつか見つけます。

関数の検討は、グラフの構築と同時に実行されます。

例9関数を調べてグラフを作成します。

1. 定義範囲: ;

2. 関数が点で不連続になる
,
;

垂直漸近線の存在について関数を調べます。

;
,
─ 垂直漸近線。

3. 斜めおよび水平の漸近線の存在について関数を調べます。

真っ直ぐ
─ 斜めの漸近線、場合
,
.

,
.

真っ直ぐ
─ 水平漸近線。

4. この関数は偶数であるため、
。

関数のパリティは、縦軸に対するグラフの対称性を示します。

5. 関数の単調性区間と極値を見つけます。
;
重要なポイントを見つけてみましょう。導関数が 0 であるか存在しない点:
;

。ポイントは3つあります。これらの点は、実軸全体を 4 つの間隔に分割します。兆候を定義しましょう

それぞれについて。
区間 (-∞; -1) および (-1; 0) では関数は増加し、区間 (0; 1) および (1; +∞) では関数は減少します。地点通過時
.

導関数は符号をプラスからマイナスに変えるため、この時点で関数には最大値があります。

6. 凸点と変曲点の間隔を求めます。そのポイントを探ってみましょう

0、または存在しません。
,
,

本当のルーツはありません。
ポイント
そして実軸を 3 つの区間に分割します。記号を定義しましょう

あらゆる間隔で。
したがって、区間上の曲線は
そして
ポイント
下に凸、区間 (-1;1) では上に凸。関数は点にあるため、変曲点はありません。

決まっていない。

7. 軸との交点を見つけます。
車軸付き
関数のグラフは点 (0; -1) で交差し、軸と交差します。

グラフは交わらないので、この関数の分子には実根がありません。

指定された関数のグラフを図 1 に示します。

図1 ─ 関数グラフ

経済学におけるデリバティブの概念の応用。弾性関数

経済プロセスを研究し、他の応用問題を解決するには、関数の弾性の概念がよく使用されます。意味。
弾性関数関数の相対増分の比率の限界と呼ばれます変数の相対増分に
で

、。 (VII)
関数の弾力性は、関数がおよそ何パーセント変化するかを示します。独立変数が変化したとき

弾力性関数は、需要と消費の分析に使用されます。需要の弾力性（絶対値）の場合
の場合、需要は次の場合に弾力的であるとみなされます。
─ 中立の場合
─ 価格（または収入）に対して非弾力的。

例 10関数の弾性を計算する
の弾性指数の値を求めます。 = 3.

解決策: 式 (VII) によれば、関数の弾性は次のようになります。

x=3 とすると、
これは、独立変数が 1% 増加すると、従属変数の値が 1.42% 増加することを意味します。

例 11需要を機能させましょう価格に関してのように見える
、どこ ─ 定数係数。価格 x = 3 den における需要関数の弾性指標の値を求めます。単位

解決策: 式 (VII) を使用して需要関数の弾力性を計算します。

信じる
通貨単位を取得します
。つまり、ある価格で
通貨単位価格が 1% 上昇すると、需要は 6% 減少します。つまり、需要は弾力的です。

説明書

関数のドメインを見つけます。たとえば、関数 sin(x) は -∞ から +∞ までの区間全体にわたって定義され、関数 1/x は点 x = 0 を除いて -∞ から +∞ まで定義されます。

連続領域と不連続点を特定します。通常、関数はそれが定義されている同じ領域内で連続的です。不連続性を検出するには、引数が定義領域内の孤立点に近づくにつれて計算する必要があります。たとえば、関数 1/x は、x→0+ の場合は無限大になり、x→0- の場合はマイナス無限大になる傾向があります。これは、点 x = 0 で第 2 種の不連続性があることを意味します。
不連続点の限界が有限であるが等しくない場合、これは第 1 種の不連続です。それらが等しい場合、関数は連続とみなされますが、孤立点それは定義されていません。

垂直方向の漸近線がある場合は、それを見つけます。垂直漸近線はほとんどの場合第 2 種不連続点に位置するため、前のステップでの計算がここで役に立ちます。ただし、定義領域から除外されるのは個々の点ではなく、点の間隔全体である場合があり、その場合、垂直漸近線がこれらの間隔の端に位置することがあります。

関数に特別なプロパティ (偶数、奇数、周期) があるかどうかを確認します。
この関数は、ドメイン f(x) = f(-x) 内の任意の x に対して偶数になります。たとえば、cos(x) と x^2 は偶数関数です。

周期性は、周期と呼ばれる特定の数 T が存在し、任意の x に対して f(x) = f(x + T) となるという特性です。たとえば、すべての基本的な三角関数 (サイン、コサイン、タンジェント) は周期的です。

ポイントを見つけてください。これを行うには、指定された関数の導関数を計算し、ゼロになる x の値を見つけます。たとえば、関数 f(x) = x^3 + 9x^2 -15 には導関数 g(x) = 3x^2 + 18x があり、これは x = 0 および x = -6 で消滅します。

どの極値点が最大値で、どの極値点が最小値であるかを判断するには、見つかったゼロにおける導関数の符号の変化を追跡します。 g(x) は、点 x = -6 で符号がプラスから変化し、点 x = 0 でマイナスからプラスに戻ります。したがって、関数 f(x) は最初の点で最小値を持ち、2 番目の点で最小値を持ちます。

したがって、単調性の領域も見つかりました。f(x) は、区間 -∞;-6 で単調増加し、-6;0 で単調減少し、0;+∞ で再び増加します。

二次導関数を求めます。そのルートは、特定の関数のグラフが凸になる場所と凹になる場所を示します。たとえば、関数 f(x) の 2 階導関数は h(x) = 6x + 18 になります。これは x = -3 でゼロになり、符号がマイナスからプラスに変わります。したがって、この点より前の f(x) のグラフは凸状、その後は凹状となり、この点自体が変曲点になります。

関数には垂直方向の漸近線以外にも他の漸近線がある場合がありますが、これはその定義領域にが含まれる場合に限られます。それらを見つけるには、x→∞またはx→-∞のときのf(x)の極限を計算します。それが有限であれば、水平方向の漸近線が見つかったことになります。

斜線漸近線は、kx + b の形の直線です。 k を見つけるには、f(x)/x の極限を x→∞ として計算します。同じ x→∞ の b - 極限 (f(x) – kx) を求めます。

しばらくの間、TheBat の SSL 用組み込み証明書データベースが正しく動作しなくなりました (理由は不明です)。

投稿を確認すると、次のエラーが表示されます。

不明な CA 証明書
サーバーはセッションでルート証明書を提示せず、対応するルート証明書がアドレス帳に見つかりませんでした。
この接続を秘密にすることはできません。お願いします
サーバー管理者に連絡してください。

そして、YES / NO の選択肢が提示されます。そして、メールを削除するたびに同じようになります。

解決

この場合、TheBat 設定で S/MIME および TLS 実装標準を Microsoft CryptoAPI に置き換える必要があります。

すべてのファイルを 1 つに結合する必要があるため、最初にすべてを変換しましたドキュメントファイル(Acrobat プログラムを使用して) 単一の PDF ファイルに変換し、オンラインコンバーターを通じて fb2 に転送しました。ファイルを個別に変換することもできます。形式は、doc、jpg、さらには zip アーカイブなど、あらゆる (ソース) を使用できます。

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2015 年 5 月の更新

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微分積分の最も重要なタスクの 1 つは、関数の動作を研究する一般的な例を開発することです。

関数 y=f(x) が区間で連続で、その導関数が区間 (a,b) で正または 0 に等しい場合、y=f(x) は (f"(x)0) だけ増加します。関数 y=f (x) がセグメント上で連続で、その導関数が区間 (a,b) 上で負または 0 に等しい場合、y=f(x) は (f"(x)0 だけ減少します) )

関数が減少または増加しない区間は、関数の単調性の区間と呼ばれます。関数の単調性の性質は、一次導関数の符号が変化する定義領域の点でのみ変化します。関数の一次導関数が消失するか、不連続性がある点は臨界点と呼ばれます。

定理 1 (極値が存在するための第 1 十分条件)。

関数 y=f(x) が点 x 0 で定義され、関数が区間上で連続で区間 (x 0 -δ,x 0)u( x 0 、x 0 +δ) 、およびその導関数は、これらの各区間で定数の符号を保持します。次に、x 0 -δ,x 0) と (x 0 , x 0 +δ) で導関数の符号が異なる場合、x 0 は極値点であり、それらが一致する場合、x 0 は極値点ではありません。。さらに、点 x0 を通過するときに導関数がプラスからマイナスに符号を変える場合 (x 0 の左側で f"(x)>0 が満たされる場合、x 0 が最大点になります。導関数がから符号を変える場合は、x 0 が最大点になります)。マイナスからプラス (x の右側で 0 が f"(x) を実行)<0, то х 0 - точка минимума.

最大点と最小点は関数の極値点と呼ばれ、関数の最大点と最小点はその極値です。

定理 2 (局所極値の必要な符号)。

関数 y=f(x) が現在の x=x 0 に極値を持つ場合、f’(x 0)=0 または f’(x 0) は存在しません。
微分可能関数の極値点では、そのグラフの接線は Ox 軸に平行です。

極値の関数を研究するためのアルゴリズム:

1) 関数の導関数を求めます。
2) 重要なポイントを見つけます。関数が連続で導関数がゼロになるか存在しない点。
3) 各点の近傍を考慮し、この点の左右の導関数の符号を調べます。
4) 極点の座標を決定し、臨界点の値をこの関数に代入します。極値に対する十分な条件を使用して、適切な結論を導き出します。

例 18. 関数 y=x 3 -9x 2 +24x の極値を調べます。

解決。
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)。
2) 導関数をゼロにすると、x 1 =2、x 2 =4 がわかります。この場合、導関数はどこでも定義されます。これは、見つかった 2 つの点以外に重要な点がないことを意味します。
3) 微分値 y"=3(x-2)(x-4) の符号は、図 1 に示すように区間に応じて変化します。点 x=2 を通過すると、微分値はプラスからマイナスに符号が変化します。そして点x=4を通過するとき - マイナスからプラスへ。
４）点ｘ＝２において、関数は最大値ｙｍａｘ＝２０を有し、点ｘ＝４において最小値ｙｍｉｎ＝１６を有する。

定理 3. (極値が存在するための 2 番目の十分条件)。

f"(x 0) とすると、点 x 0 に f""(x 0) が存在します。f""(x 0)>0 の場合、x 0 は最小点であり、f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

セグメント上では、関数 y=f(x) は、区間 (a;b) 内にある関数の臨界点、またはセグメントの端。

セグメント上の連続関数 y=f(x) の最大値と最小値を見つけるためのアルゴリズム:

1) f"(x) を求めます。
2) f"(x)=0 または f"(x) が存在しない点を見つけ、そこからセグメント内にある点を選択します。
3) ステップ 2) で取得した点およびセグメントの端で関数 y=f(x) の値を計算し、それらから最大値と最小値を選択します。それらはそれぞれ最大 (y)区間上の関数の最大値）と最小値（y が最小）。

例 19. セグメント上の連続関数 y=x 3 -3x 2 -45+225 の最大値を見つけます。

1) セグメントには y"=3x 2 -6x-45 があります。
2) 導関数 y" はすべての x に対して存在します。y"=0 となる点を見つけてみましょう。我々が得る：
3x 2 -6x-45=0
× 2 -2x-15=0
x 1 = -3; × 2 =5
3) 点 x=0 y=225、x=5 y=50、x=6 y=63 における関数の値を計算します。
セグメントには点 x=5 のみが含まれます。関数で見つかった値の最大値は 225、最小値は数値 50 です。つまり、y max = 225、y min = 50 となります。

凸性関数の研究

図は 2 つの関数のグラフを示しています。 1 つ目は上に凸、2 つ目は下に凸です。

関数 y=f(x) は線分上で連続であり、区間 (a;b) で微分可能であり、axb の場合、そのグラフが線分よりも高くない (低くない) 場合、この線分上で上向き (下向き) に凸であると呼ばれます。任意の点 M 0 (x 0 ;f(x 0)) で引かれた接線、ここで axb.

定理 4. 関数 y=f(x) がセグメントの任意の内部点 x で二次導関数を持ち、このセグメントの端で連続であるとします。次に、不等式 f""(x)0 が区間 (a;b) で成立する場合、関数は区間で下に凸になります。不等式 f""(x)0 が区間 (a;b) で成立する場合、関数は上に凸です。

定理 5. 関数 y=f(x) が区間 (a;b) で二次導関数を持ち、点 x 0 を通過するときに符号が変わる場合、M(x 0 ;f(x 0)) は次のようになります。変曲点。

変曲点を見つけるためのルール:

1) f""(x) が存在しないか消滅する点を見つけます。
2) 最初のステップで見つかった各点の左右にある記号 f""(x) を調べます。
3) 定理 4 に基づいて結論を導き出します。

例 20. 関数 y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 のグラフの極値点と変曲点を見つけます。

f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 となります。明らかに、x 1 =0、x 2 =1 の場合、f"(x)=0 になります。点 x=0 を通過すると微分値の符号はマイナスからプラスに変化しますが、点 x=1 を通過すると符号は変化しません。これは、x=0 が最小点 (y min =12) であり、点 x=1 には極値がないことを意味します。次に、次のことを見つけます。。二次導関数は点 x 1 =1、x 2 =1/3 で消滅します。二次導関数の符号は次のように変化します。光線 (-∞;) では f""(x)>0 となり、区間 (;1) では f""(x) になります。<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>したがって、x= は関数グラフの変曲点 (下凸から上凸への遷移) であり、x=1 も変曲点 (上凸から下凸への遷移) です。 x= の場合、y=; の場合、x=1、y=13。

グラフの漸近線を見つけるアルゴリズム

I. y=f(x) as x → a の場合、x=a は垂直方向の漸近線になります。
II. y=f(x) が x → ∞ または x → -∞ である場合、y=A は水平漸近線になります。
Ⅲ．斜めの漸近線を見つけるには、次のアルゴリズムを使用します。
1) を計算します。極限が存在し、それが b に等しい場合、y=b は水平漸近線になります。の場合は、2 番目のステップに進みます。
2) を計算します。この制限が存在しない場合、漸近線はありません。それが存在し、k と等しい場合は、3 番目のステップに進みます。
3) を計算します。この制限が存在しない場合、漸近線はありません。それが存在し、b と等しい場合は、4 番目のステップに進みます。
4) 斜線漸近線 y=kx+b の方程式を書き留めます。

例 21: 関数の漸近線を見つける

1)
2)
3)
4) 斜線漸近線の方程式は次の形式になります。

関数を研究し、そのグラフを構築するためのスキーム

I. 関数の定義域を見つけます。
II. 関数グラフと座標軸の交点を求めます。
Ⅲ．漸近線を見つけます。
IV. 考えられる極値点を見つけます。
V. 重要なポイントを見つける。
VI. 補助図を使用して、一次導関数と二次導関数の符号を調べます。増加関数と減少関数の領域を決定し、グラフの凸の方向、極値点、変曲点を見つけます。
VII. 段落 1 ～ 6 で実施した調査を考慮してグラフを作成します。

例 22: 上の図に従って関数のグラフを作成します。

解決。
I. 関数の定義域は、x=1 を除くすべての実数の集合です。
II. 方程式 x 2 +1=0 には実根がないため、関数のグラフには Ox 軸との交点はありませんが、点 (0;-1) で Oy 軸と交差します。
Ⅲ．漸近線の存在の問題を明らかにしましょう。不連続点 x=1 付近の関数の動作を調べてみましょう。 x → -∞ として y → ∞、x → 1+ として y → +∞ であるため、線 x=1 は関数のグラフの垂直漸近線になります。
x → +∞(x → -∞) の場合、y → +∞(y → -∞)。したがって、グラフには水平方向の漸近線がありません。さらに限界の存在から

方程式 x 2 -2x-1=0 を解くと、考えられる 2 つの極値点が得られます。
x 1 =1-√2 および x 2 =1+√2

V. 臨界点を見つけるために、二次導関数を計算します。

f""(x) は消滅しないので臨界点はありません。
VI. 一次導関数と二次導関数の符号を調べてみましょう。考慮すべき極値点: x 1 =1-√2 および x 2 =1+√2、関数の存在領域を区間 (-∞;1-√2)、(1-√2;1) に分割します。 +√2) と (1+√2;+∞)。

これらの各区間では、導関数はその符号を保持します。最初の区間ではプラス、2 番目の区間ではマイナス、3 番目の区間ではプラスです。一次導関数の符号のシーケンスは、+、-、+ のように記述されます。
この関数は (-∞;1-√2) で増加し、(1-√2;1+√2) で減少し、(1+√2;+∞) で再び増加することがわかります。極値点: x=1-√2 で最大、f(1-√2)=2-2√2、x=1+√2 で最小、f(1+√2)=2+2√2。 (-∞;1) ではグラフは上に凸になり、(1;+∞) では下に凸になります。
Ⅶ 得られた値を表にしてみましょう