2 つの変数の関数を徹底的に調査します。オンラインでのリサーチ機能

健康 19.10.2019

健康

関数を調べてグラフを作成するときの基準点は、不連続点、極値、変曲点、座標軸との交点などの特徴点です。を使用することで微分積分インストールできます特徴関数の変化: 増加と減少、最大値と最小値、グラフの凸面と凹面の方向、漸近線の存在。

関数のグラフのスケッチは、漸近線と極値点を見つけた後に描くことができます (そしてそうすべきです)。研究が進むにつれて関数の研究の概要表を記入すると便利です。

通常、次のような関数学習スキームが使用されます。

1.関数の定義領域、連続性の間隔、ブレークポイントを見つけます。.

2.関数の偶数か奇数か (グラフの軸対称または中心対称か) を調べます。

3.漸近線 (垂直、水平、または斜め) を見つけます。

4.関数の増加と減少の間隔、その極値点を見つけて研究します。

5.曲線の凸面と凹面の間隔、変曲点を求めます。

6.曲線と座標軸の交点が存在する場合は、それを見つけます。

7.研究の概要表を作成します。

8.上記の点に従って実行される関数の検討を考慮して、グラフが作成されます。

例。探索機能

そしてそのグラフを構築します。

7. 関数を研究するための要約表を作成しましょう。ここにすべての特徴点とそれらの間隔を入力します。関数のパリティを考慮すると、次の表が得られます。

		チャートの機能
[-1, 0[	増加中	凸型
		(0; 1) – 最大点
]0, 1[	降順	凸型
		変曲点は軸とともに形成されます牛鈍角

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この記事では、関数を研究するためのスキームを検討し、特定の関数の極値、単調性、漸近線を研究する例も示します。

スキーム

関数の存在領域 (DOA)。
関数 (存在する場合) と座標軸との交差、関数の符号、パリティ、周期性。
ブレークポイント（その種類）。連続。漸近線は垂直です。
単調性と極点。
変曲点。凸型。
無限遠における関数の研究、漸近線: 水平および斜め。
グラフの構築。

単調性検定

定理。関数の場合 g連続オン、によって区別されます (a; b)そして g’(x) ≥ 0 (g’(x)≤0), xє(a; b)、それ g増加（減少） .

例：

y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x。

ODZ: xєR

y’ = x 2 + 6x + 5。

定数記号の間隔を求めてみましょうやあ。なぜならやあは初等関数であるため、ゼロになるか存在しない点でのみ符号を変更できます。彼女のODZ: xєR.

導関数が 0 (ゼロ) に等しい点を見つけてみましょう。

y’ = 0;

x = -1; -5.

それで、 y成長中 (-∞; -5] そしてさらに [-1; +∞)、y に降りる .

極端な研究

T. ×0セット上の最大点（マックス）と呼ばれますあ機能 gこの時点で関数が最大値を取るとき g(x 0) ≥ g(x)、xєA.

T. ×0関数の最小点 (min) と呼ばれます gセットであこの時点で関数が最小値を取るとき g(x 0) ≤ g(x)、xєА。

セット中あ最大（max）点と最小（min）点を極値点と呼びます。 g。このような極値は、セットでは絶対極値とも呼ばれます。 .

もし ×0- 関数の極値点 g一部の地区では、 ×0関数の局所または局所の極値 (最大または最小) の点と呼ばれます。 g.

定理（必要条件）。もし ×0- 関数の極値点（ローカル） gの場合、導関数はこの領域に存在しないか、0 (ゼロ) に等しくなります。

意味。微分値が存在しないか、0 (ゼロ) に等しい点はクリティカルと呼ばれます。極端であると疑わしいのはこれらの点です。

定理(十分条件その1)。関数の場合 gある地区では継続的、つまり ×0導関数の遷移中にこの点を介して符号が変化すると、この点が極値の点になります g.

定理(十分条件その2)。点のある地区の関数が 2 回微分可能であるとします。 g’ = 0、かつ g’’ > 0 (g’’< 0) 、ではこの点関数の最大値 (max) または最小値 (min) の点です。

凸面テスト

この関数を区間上で下に凸（または凹）と呼びます。 (a、b)関数のグラフが任意の x の区間の正割よりも高くないとき、 (a、b)、これらの点を通過します .

関数は厳密に下に凸になります。 (a、b), if - グラフは区間上のセカントの下にあります。

関数は区間上に上に凸（凸）であるといいます。 (a、b)、もしあれば ポイント と (a、b)区間上の関数のグラフは、これらの点で横軸を通る割線以上にあります。 .

関数は厳密に上に凸になります。 (a、b)、 - 区間上のグラフが割線の上にある場合。

どこかの地区での行事なら継続的かつ徹底的に t.×0遷移すると、関数の凸性が変化します。この点は関数の変曲点と呼ばれます。

漸近線の研究

意味。直線は漸近線と呼ばれます g(x)、関数のグラフ内の点が座標の原点から無限の距離にある場合、座標の原点に近づきます。 d(M,l)。

漸近線は垂直、水平、斜めになります。

方程式付きの垂直線 x = x 0 は関数 g の縦グラフの漸近線になります。、点 x 0 に無限のギャップがある場合、この点には少なくとも 1 つの左または右の境界 (無限大) が存在します。

最小値と最大値を求めてセグメントの関数を研究する

関数が連続している場合とすると、ワイエルシュトラスの定理によれば、このセグメントには最大値と最小値が存在します。つまり、t 個の値が存在します。 所属するメガネ そのような g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . 単調性と極値に関する定理から、最小値と最大値の区間上の関数を調べるための次のスキームが得られます。

プラン

導関数を求めます g'(x).
検索関数の値 gこれらの点とセグメントの端で。
見つかった値を比較し、最小値と最大値を選択します。

コメント。有限間隔で関数を調べる必要がある場合 (a、b)、または無限に (-∞; b); (-∞; +∞)最大値と最小値については、計画内で、間隔の終わりの関数値の代わりに、対応する片側境界を探します。 f(a)探している f(a+) = limf(x)、の代わりに f(b)探している f(-b)。このようにして、絶対極値が必ずしも区間に存在するわけではないため、区間上の ODZ 関数を見つけることができます。この場合.

特定の量の極値に関する応用問題の解への導関数の適用

(可能であれば) 1 つの変数のみの関数となるように、この量を問題ステートメントの他の量で表現します。
この変数の変更間隔を決定します。
最大値と最小値の間隔に関する関数の研究を実施します。

タスク。 1メートルのメッシュを使用して壁に対して長方形のプラットフォームを構築し、一方の側が壁に隣接し、他の3つの側がメッシュで囲まれるようにする必要があります。そのようなプラットフォームの面積はどのアスペクト比で最大になりますか?

S = xy- 2 変数の関数。

S = x(a - 2x)- 最初の変数の関数 ; ×є。

S = ax - 2x 2 ; S" = a - 4x = 0、xєR、x = a: 4。

S(a:4)=a2:8- 最大の価値。

S(0) =0。

長方形の反対側を見つけてみましょう。で ＝ａ：２．

アスペクト比： y:x = 2。

答え。最大の面積は次のようになります。 2/8、壁に平行な辺が反対側の 2 倍の場合。

機能の研究。例

例1

利用可能 y=x 3: (1-x) 2 。研究を行う。

ODZ: xє(-∞; 1) U (1; ∞)。
一般形式の関数 (偶数でも奇数でもない) は、点 0 (ゼロ) に関して対称ではありません。
機能の標識。この関数は基本的なものであるため、符号が 0 (ゼロ) に等しいか存在しない点でのみ符号を変更できます。
この関数は基本的なものであるため、ODZ 上では連続的です。 (-∞; 1) U (1; ∞)。

ギャップ： x = 1;

limx 3: (1- x) 2 = ∞- 第 2 種の不連続性 (無限)。したがって、点 1 に垂直方向の漸近線が存在します。

x = 1- 垂直漸近線の方程式。

5. y’ = x 2 (3 - x) : (1 - x) 3 ;

ODZ (y’): x≠1;

x = 1- クリティカルポイント。

y’ = 0;

0; 3 - 重要なポイント。

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

重要な項目: 1, 0;

x = 0 - 屈曲点、 y(0) = 0。

7. limx 3: (1 - 2x + x 2) = ∞- 水平漸近線はありませんが、傾斜がある場合があります。

k = 1- 番号;

b = 2- 番号。

したがって、斜めの漸近線が存在します y = x + 2+ ∞ と - ∞ で。

例 2

与えられた y = (x 2 + 1) : (x - 1)。プロデュースして、研究。グラフを作成します。

1. 存在領域は、いわゆるものを除く数直線全体です。 x = 1.

2. y OYを越える（可能であれば） (0;g(0))。我々は気づく y(0) = -1 -t.交差点OY .

グラフとの交点牛方程式を解くことでわかります y = 0。この方程式には実際の根がないため、この関数は交差しません牛.

3. 関数は非周期的です。表現を考えてみる

g(-x) ≠ g(x)、および g(-x) ≠ -g(x)。ということは、一般的な見解関数（偶数でも奇数でもない）。

4.T. x = 1不連続性は第二の種類です。他のすべての点では、関数は連続的です。

5. 極値に対する関数の検討:

（バツ 2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y"

そして方程式を解きます y" = 0。

それで、 1 - √2, 1 + √2, 1 - 臨界点または考えられる極値の点。これらの点は数直線を 4 つの区間に分割します .

各間隔で、導関数には特定の符号があり、これは間隔の方法によって、または個々の点での導関数の値を計算することによって確立できます。間隔をあけて (-∞; 1 - √2 ) U (1 + √2 ; ∞) 、正の導関数。これは関数が成長していることを意味します。もし ×є(1 - √2 ; 1)U(1; 1 + √2 ) の場合、これらの区間では導関数が負になるため、関数は減少します。 tを通して。 ×1遷移中 (移動は左から右へ続きます)、導関数の符号は「+」から「-」に変わります。したがって、この時点で極大値が存在します。

y最大 = 2 - 2 √2 .

通過時 ×2導関数は符号を「-」から「+」に変えるため、この時点で極小値が存在します。

y ミックス = 2 + 2√2。

T. x = 1そこまで極端ではありません。

6. 4: (x - 1) 3 = y""。

の上 (-∞; 1 ) 0 > よ「」 したがって、この区間では曲線は凸になります。もしxє (1 ; ∞) - カーブは凹面です。で ポイント1関数が定義されていないため、この点は変曲点ではありません。

7. パラグラフ 4 の結果から、次のことがわかります。 x = 1- 曲線の垂直方向の漸近線。

水平方向の漸近線はありません。

x + 1 = y - この曲線の斜めの漸近線。他に漸近線はありません。

8. 実施された調査を考慮して、グラフを作成します (上図を参照)。

関数の学習は明確な計画に従って行われ、学生は基本的な知識をしっかりと持っている必要があります。数学的概念定義と値の領域、関数の連続性、漸近線、極値点、パリティ、周期性など。生徒は自由に関数を微分し、時には非常に複雑になる方程式を解くことができなければなりません。

つまり、このタスクでは重要な知識層がテストされ、そこにギャップがあると、正しい解決策を得るのに障害となります。特に関数のグラフを構築する際に問題が発生することがよくあります。この間違いは教師にすぐに気づかれ、たとえ他のすべてが正しく行われていたとしても、あなたの成績に大きなダメージを与える可能性があります。ここで見つけることができます オンライン機能の研究問題: 学習例、ソリューションのダウンロード、課題の注文。

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いずれにせよ、解決された例は最も一般的なタイプの関数をカバーしているため、非常に役立ちます。私たちはすでに解決済みの問題を何百も提供しますが、ご存知のとおり、世界には無限の数の数学関数があり、教師は成績の悪い生徒のためにどんどん難しい課題を考案する優れた専門家です。ですから、親愛なる学生の皆さん、資格のある助けがあなたを傷つけることはありません。