În acest material, ne vom uita la cum să găsim ecuația unui plan dacă cunoaștem coordonatele a trei puncte diferite care nu se află pe aceeași dreaptă. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim ce este un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional. Pentru început, vom introduce principiul de bază al acestei ecuații și vom arăta exact cum să o folosim pentru a rezolva probleme specifice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

În primul rând, trebuie să ne amintim o axiomă, care sună astfel:

Definiția 1

Dacă trei puncte nu coincid unul cu celălalt și nu se află pe aceeași linie dreaptă, atunci în spațiul tridimensional trece un singur plan prin ele.

Cu alte cuvinte, dacă avem trei puncte diferite, ale căror coordonate nu coincid și care nu pot fi legate printr-o dreaptă, atunci putem determina planul care trece prin ea.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular. Să o notăm O x y z. Conține trei puncte M cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), care nu pot fi conectate linie dreaptă. Pe baza acestor condiții, putem scrie ecuația planului de care avem nevoie. Există două abordări pentru a rezolva această problemă.

1. Prima abordare folosește ecuația planului general. Sub formă de litere, se scrie ca A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Cu ajutorul lui, puteți defini într-un sistem de coordonate dreptunghiular un anumit plan alfa care trece prin primul punct dat M 1 (x 1, y 1, z 1). Se pare că vectorul normal al planului α va avea coordonatele A, B, C.

Definiția lui N

Cunoscând coordonatele vectorului normal și coordonatele punctului prin care trece planul, putem scrie ecuația generală a acestui plan.

De aici vom proceda în viitor.

Astfel, în funcție de condițiile problemei, avem coordonatele punctului dorit (chiar trei) prin care trece avionul. Pentru a găsi ecuația, trebuie să calculați coordonatele vectorului său normal. Să-l notăm n → .

Să ne amintim regula: orice vector diferit de zero al unui plan dat este perpendicular pe vectorul normal al aceluiași plan. Atunci avem că n → va fi perpendicular pe vectorii alcătuiți din punctele inițiale M 1 M 2 → și M 1 M 3 → . Atunci putem nota n → ca produs vectorial de forma M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Deoarece M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) și M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dovezile acestor egalități sunt date în articolul dedicat calculării coordonatelor unui vector din coordonatele punctelor), apoi rezultă că:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Dacă calculăm determinantul, vom obține coordonatele vectorului normal n → de care avem nevoie. Acum putem scrie ecuația de care avem nevoie pentru un plan care trece prin trei puncte date.

2. A doua abordare a găsirii ecuației care trece prin M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), se bazează pe un astfel de concept precum coplanaritatea vectorilor.

Dacă avem o mulțime de puncte M (x, y, z), atunci într-un sistem de coordonate dreptunghiular ele definesc un plan pentru punctele date M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2). , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) numai în cazul în care vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) și M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) vor fi coplanare .

În diagramă va arăta astfel:

Aceasta va însemna că produsul mixt al vectorilor M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → va fi egal cu zero: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , deoarece aceasta este condiția principală a coplanarității: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) şi M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Să scriem ecuația rezultată sub formă de coordonate:

După ce calculăm determinantul, putem obține ecuația plană de care avem nevoie pentru trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) , M3 (x3, y3, z3).

Din ecuația rezultată, puteți merge la ecuația planului în segmente sau la ecuația normală a planului, dacă condițiile problemei o impun.

În paragraful următor vom da exemple despre modul în care abordările pe care le-am indicat sunt implementate în practică.

Exemple de probleme pentru alcătuirea unei ecuații a unui plan care trece prin 3 puncte

Anterior, am identificat două abordări care pot fi utilizate pentru a găsi ecuația dorită. Să ne uităm la modul în care sunt folosite pentru a rezolva probleme și când ar trebui să le alegeți pe fiecare.

Exemplul 1

Sunt trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1). Scrieți o ecuație pentru planul care trece prin ele.

Soluţie

Folosim ambele metode alternativ.

1. Aflați coordonatele celor doi vectori de care avem nevoie M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Acum să calculăm produsul lor vectorial. Nu vom descrie calculele determinantului:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Avem un vector normal al planului care trece prin cele trei puncte cerute: n → = (- 5, 30, 2) . Apoi, trebuie să luăm unul dintre puncte, de exemplu, M 1 (- 3, 2, - 1) și să scriem ecuația pentru planul cu vectorul n → = (- 5, 30, 2). Obținem că: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Aceasta este ecuația de care avem nevoie pentru un plan care trece prin trei puncte.

2. Să adoptăm o abordare diferită. Să scriem ecuația pentru un plan cu trei puncte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) în urmatoarea forma:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Aici puteți înlocui datele din declarația problemei. Deoarece x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, ca rezultat obținem:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Avem ecuația de care aveam nevoie.

Răspuns:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Dar dacă punctele date se află încă pe aceeași dreaptă și trebuie să creăm o ecuație plană pentru ele? Aici trebuie spus imediat că această condiție nu va fi pe deplin corectă. Un număr infinit de avioane pot trece prin astfel de puncte, deci este imposibil să se calculeze un singur răspuns. Să luăm în considerare o astfel de problemă pentru a demonstra incorectitudinea unei astfel de formulări a întrebării.

Exemplul 2

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu tridimensional, în care trei puncte sunt plasate cu coordonatele M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1). , 1). Este necesar să scrieți o ecuație pentru avionul care trece prin ea.

Soluţie

Să folosim prima metodă și să începem prin a calcula coordonatele a doi vectori M 1 M 2 → și M 1 M 3 →. Să le calculăm coordonatele: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Produsul încrucișat va fi egal cu:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Deoarece M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, atunci vectorii noștri vor fi coliniari (recitiți articolul despre ei dacă ați uitat definiția acestui concept). Astfel, punctele inițiale M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sunt pe aceeași dreaptă, iar problema noastră are infinite răspunsul opțiunilor.

Dacă folosim a doua metodă, vom obține:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Din egalitatea rezultată mai rezultă că punctele date M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) sunt pe aceeași linie.

Dacă doriți să găsiți cel puțin un răspuns la această problemă din numărul infinit de opțiuni, atunci trebuie să urmați acești pași:

1. Notați ecuația dreptei M 1 M 2, M 1 M 3 sau M 2 M 3 (dacă este necesar, uitați-vă la materialul despre această acțiune).

2. Luați un punct M 4 (x 4, y 4, z 4), care nu se află pe dreapta M 1 M 2.

3. Scrieți ecuația unui plan care trece prin trei puncte diferite M 1, M 2 și M 4 care nu se află pe aceeași dreaptă.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În această lecție ne vom uita la cum să folosim determinantul pentru a crea ecuația plană. Dacă nu știți ce este un determinant, mergeți la prima parte a lecției - „Matrici și determinanți”. Altfel, riști să nu înțelegi nimic din materialul de astăzi.

Ecuația unui plan folosind trei puncte

De ce avem nevoie de o ecuație plană? Este simplu: știind asta, putem calcula cu ușurință unghiuri, distanțe și alte prostii în problema C2. În general, nu te poți descurca fără această ecuație. Prin urmare, formulăm problema:

Sarcină. În spațiu sunt date trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Coordonatele lor:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Trebuie să creați o ecuație pentru avionul care trece prin aceste trei puncte. În plus, ecuația ar trebui să arate astfel:

Ax + By + Cz + D = 0

unde numerele A, B, C și D sunt coeficienții care, de fapt, trebuie să fie găsiți.

Ei bine, cum să obțineți ecuația unui plan dacă sunt cunoscute doar coordonatele punctelor? Cel mai simplu mod este să înlocuiți coordonatele în ecuația Ax + By + Cz + D = 0. Obțineți un sistem de trei ecuații care pot fi rezolvate cu ușurință.

Mulți studenți consideră această soluție extrem de obositoare și nesigură. Examenul de stat unificat la matematică de anul trecut a arătat că probabilitatea de a face o eroare de calcul este foarte mare.

Prin urmare, cei mai avansați profesori au început să caute soluții mai simple și mai elegante. Și l-au găsit! Adevărat, recepția primită se referă mai degrabă la matematică superioară. Personal, a trebuit să răsfoiesc întreaga Listă Federală de Manuale pentru a mă asigura că avem dreptul de a folosi această tehnică fără nicio justificare sau dovezi.

Ecuația unui plan printr-un determinant

Destul de versuri, să trecem la treabă. Pentru început, o teoremă despre modul în care determinantul unei matrice și ecuația planului sunt legate.

Teorema. Să fie date coordonatele a trei puncte prin care trebuie trasat planul: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Atunci ecuația acestui plan poate fi scrisă prin determinantul:

De exemplu, să încercăm să găsim o pereche de avioane care apar de fapt în problemele C2. Uite cât de repede se calculează totul:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Compunem un determinant și îl echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

După cum puteți vedea, când am calculat numărul d, am „pieptănat” puțin ecuația, astfel încât variabilele x, y și z să fie în ordinea corectă. Asta este! Ecuația plană este gata!

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Inlocuim imediat coordonatele punctelor in determinant:

Extindem din nou determinantul:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Deci, se obține din nou ecuația planului! Din nou, la ultimul pas a trebuit să schimbăm semnele din el pentru a obține o formulă mai „frumoasă”. Nu este deloc necesar să faceți acest lucru în această soluție, dar este totuși recomandat - pentru a simplifica soluția ulterioară a problemei.

După cum puteți vedea, alcătuirea ecuației unui plan este acum mult mai ușoară. Substituim punctele în matrice, calculăm determinantul - și asta este, ecuația este gata.

Acest lucru ar putea pune capăt lecției. Cu toate acestea, mulți studenți uită constant ce este în interiorul determinantului. De exemplu, care linie conține x 2 sau x 3 și care linie conține doar x. Pentru a elimina cu adevărat acest lucru, să vedem de unde provine fiecare număr.

De unde vine formula cu determinantul?

Deci, să ne dăm seama de unde vine o ecuație atât de dură cu un determinant. Acest lucru vă va ajuta să vă amintiți și să îl aplicați cu succes.

Toate planurile care apar în problema C2 sunt definite de trei puncte. Aceste puncte sunt întotdeauna marcate pe desen sau chiar indicate direct în textul problemei. În orice caz, pentru a crea o ecuație, va trebui să le notăm coordonatele:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Să luăm în considerare un alt punct din planul nostru cu coordonate arbitrare:

T = (x, y, z)

Luați orice punct din primele trei (de exemplu, punctul M) și trageți vectori din acesta către fiecare dintre cele trei puncte rămase. Obținem trei vectori:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

Acum să facem o matrice pătrată din acești vectori și să echivalăm determinantul acesteia cu zero. Coordonatele vectorilor vor deveni rânduri ale matricei - și vom obține chiar determinantul care este indicat în teoremă:

Această formulă înseamnă că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii MN, MK și MT este egal cu zero. Prin urmare, toți cei trei vectori se află în același plan. În special, un punct arbitrar T = (x, y, z) este exact ceea ce căutam.

Înlocuirea punctelor și dreptelor unui determinant

Determinanții au câteva proprietăți grozave care o fac și mai ușoară rezolvarea problemei C2. De exemplu, nu contează pentru noi din ce punct desenăm vectorii. Prin urmare, următorii determinanți dau aceeași ecuație plană ca cea de mai sus:

De asemenea, puteți schimba liniile determinantului. Ecuația va rămâne neschimbată. De exemplu, multor oameni le place să scrie o linie cu coordonatele punctului T = (x; y; z) în partea de sus. Vă rog, dacă vă este convenabil:

Unii oameni sunt confuzi că într-una dintre linii există variabile x, y și z, care nu dispar la înlocuirea punctelor. Dar nu ar trebui să dispară! Înlocuind numerele în determinant, ar trebui să obțineți această construcție:

Apoi determinantul este extins conform diagramei date la începutul lecției și se obține ecuația standard a planului:

Ax + By + Cz + D = 0

Aruncă o privire la un exemplu. Este ultimul din lecția de astăzi. Voi schimba în mod deliberat liniile pentru a mă asigura că răspunsul va da aceeași ecuație a planului.

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Deci, luăm în considerare 4 puncte:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Mai întâi, să creăm un determinant standard și să-l echivalăm cu zero:

Extindem determinantul:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Asta e, avem răspunsul: x + y + z − 2 = 0.

Acum să rearanjam câteva rânduri în determinant și să vedem ce se întâmplă. De exemplu, să scriem o linie cu variabilele x, y, z nu în partea de jos, ci în partea de sus:

Extindem din nou determinantul rezultat:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Avem exact aceeași ecuație plană: x + y + z − 2 = 0. Aceasta înseamnă că într-adevăr nu depinde de ordinea rândurilor. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

Deci, suntem convinși că ecuația planului nu depinde de succesiunea de drepte. Putem efectua calcule similare și dovedim că ecuația planului nu depinde de punctul ale cărui coordonate le scădem din alte puncte.

În problema considerată mai sus, am folosit punctul B 1 = (1, 0, 1), dar a fost foarte posibil să luăm C = (1, 1, 0) sau D 1 = (0, 1, 1). În general, orice punct cu coordonate cunoscute se află pe planul dorit.

Pentru ca un singur plan să fie trasat prin oricare trei puncte din spațiu, este necesar ca aceste puncte să nu se afle pe aceeași linie dreaptă.

Se consideră punctele M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) din sistemul general de coordonate carteziene.

Pentru ca un punct arbitrar M(x, y, z) să se afle în același plan cu punctele M 1, M 2, M 3, este necesar ca vectorii să fie coplanari.

(
) = 0

Astfel,

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte:

Ecuația unui plan dat două puncte și un vector coliniar cu planul.

Să fie date punctele M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) și vectorul
.

Să creăm o ecuație pentru un plan care trece prin punctele date M 1 și M 2 și un punct arbitrar M (x, y, z) paralel cu vectorul .

Vectori
și vector
trebuie să fie coplanare, adică

(
) = 0

Ecuația plană:

Ecuația unui plan folosind un punct și doi vectori,

coliniar cu planul.

Să fie dați doi vectori
Şi
, planuri coliniare. Atunci pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, vectorii
trebuie să fie coplanare.

Ecuația plană:

Ecuația unui plan cu punct și vector normal .

Teorema. Dacă un punct M este dat în spațiu 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), apoi ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul normal (O, B, C) are forma:

O(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dovada. Pentru un punct arbitrar M(x, y, z) aparținând planului, compunem un vector. Deoarece vector este vectorul normal, atunci este perpendicular pe plan și, prin urmare, perpendicular pe vector
. Apoi produsul scalar

= 0

Astfel, obținem ecuația planului

Teorema a fost demonstrată.

Ecuația unui plan în segmente.

Dacă în ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0 împărțim ambele părți la (-D)

,

înlocuind
, obținem ecuația planului în segmente:

Numerele a, b, c sunt punctele de intersecție ale planului cu axele x, y, respectiv z.

Ecuația unui plan în formă vectorială.

Unde

- vectorul rază a punctului curent M(x, y, z),

Un vector unitar având direcția unei perpendiculare aruncată pe un plan de la origine.

,  și  sunt unghiurile formate de acest vector cu axele x, y, z.

p este lungimea acestei perpendiculare.

În coordonate, această ecuație arată astfel:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distanța de la un punct la un plan.

Distanța de la un punct arbitrar M 0 (x 0, y 0, z 0) la planul Ax+By+Cz+D=0 este:

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4; -3; 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Deci A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, folosim formula:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplu. Aflați ecuația unui plan care trece prin două puncte P(2; 0; -1) și

Q(1; -1; 3) perpendicular pe planul 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vector normal la plan 3x + 2y – z + 5 = 0
paralel cu planul dorit.

Primim:

Exemplu. Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și

B(3, 2, -1) perpendicular pe plan X + la + 2z – 3 = 0.

Ecuația necesară a planului are forma: A x+B y+C z+ D = 0, vector normal la acest plan (A, B, C). Vector
(1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). Deoarece punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci

Deci vectorul normal (11, -7, -2). Deoarece punctul A apartine planului dorit, atunci coordonatele lui trebuie sa satisfaca ecuatia acestui plan, i.e. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

În total, obținem ecuația planului: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Exemplu. Aflați ecuația planului, știind că punctul P(4, -3, 12) este baza perpendicularei căzute de la origine la acest plan.

Aflarea coordonatelor vectorului normal
= (4, -3, 12). Ecuația necesară a planului are forma: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Pentru a găsi coeficientul D, înlocuim coordonatele punctului P în ecuația:

16 + 9 + 144 + D = 0

În total, obținem ecuația necesară: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Exemplu. Coordonatele vârfurilor piramidei sunt date: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Aflați lungimea muchiei A 1 A 2.

Aflați unghiul dintre muchiile A 1 A 2 și A 1 A 4.

Aflați unghiul dintre muchia A 1 A 4 și fața A 1 A 2 A 3.

Mai întâi găsim vectorul normal al feței A 1 A 2 A 3 ca produs încrucișat al vectorilor
Şi
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Să găsim unghiul dintre vectorul normal și vector
.

-4 – 4 = -8.

Unghiul dorit  între vector și plan va fi egal cu  = 90 0 - .

Aflați aria feței A 1 A 2 A 3.

Aflați volumul piramidei.

Aflați ecuația planului A 1 A 2 A 3.

Să folosim formula pentru ecuația unui plan care trece prin trei puncte.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Când utilizați versiunea pentru computer „ Curs superior de matematică” puteți rula un program care va rezolva exemplul de mai sus pentru orice coordonate ale vârfurilor piramidei.

Pentru a porni programul, faceți dublu clic pe pictogramă:

În fereastra programului care se deschide, introduceți coordonatele vârfurilor piramidei și apăsați Enter. În acest fel, toate punctele de decizie pot fi obținute unul câte unul.

Notă: Pentru a rula programul, programul Maple ( Waterloo Maple Inc.) al oricărei versiuni, începând cu MapleV Release 4, trebuie să fie instalat pe computer.

Poate fi specificat în diferite moduri (un punct și un vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). Având în vedere acest lucru, ecuația plană poate avea forme diferite. De asemenea, în anumite condiții, planurile pot fi paralele, perpendiculare, intersectate etc. Vom vorbi despre asta în acest articol. Vom învăța cum să creăm o ecuație generală a unui plan și multe altele.

Forma normală a ecuației

Să presupunem că există un spațiu R 3 care are un sistem de coordonate XYZ dreptunghiular. Să definim vectorul α, care va fi eliberat din punctul inițial O. Prin capătul vectorului α desenăm un plan P, care va fi perpendicular pe acesta.

Să notăm un punct arbitrar pe P ca Q = (x, y, z). Să semnăm vectorul rază al punctului Q cu litera p. În acest caz, lungimea vectorului α este egală cu р=IαI și Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Acesta este un vector unitar care este direcționat în lateral, ca vectorul α. α, β și γ sunt unghiurile care se formează între vectorul Ʋ și direcțiile pozitive ale axelor spațiale x, y, z, respectiv. Proiecția oricărui punct QϵП pe vectorul Ʋ este o valoare constantă care este egală cu p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ecuația de mai sus are sens când p=0. Singurul lucru este că planul P în acest caz va intersecta punctul O (α = 0), care este originea coordonatelor, iar vectorul unitar Ʋ eliberat din punctul O va fi perpendicular pe P, în ciuda direcției sale, care înseamnă că vectorul Ʋ este determinat cu exactitate la semn. Ecuația anterioară este ecuația planului nostru P, exprimată sub formă vectorială. Dar în coordonate va arăta astfel:

P aici este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația planului în spațiu în formă normală.

Ecuație generală

Dacă înmulțim ecuația în coordonate cu orice număr care nu este egal cu zero, obținem o ecuație echivalentă cu aceasta, definind chiar acel plan. Va arata asa:

Aici A, B, C sunt numere care sunt simultan diferite de zero. Această ecuație se numește ecuația planului general.

Ecuații de planuri. Cazuri speciale

Ecuația în vedere generală pot fi modificate sub rezerva unor condiții suplimentare. Să ne uităm la unele dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că acest plan este paralel cu axa Ox dată. În acest caz, forma ecuației se va schimba: Ву+Cz+D=0.

În mod similar, forma ecuației se va schimba în următoarele condiții:

• În primul rând, dacă B = 0, atunci ecuația se va schimba în Ax + Cz + D = 0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oy.
• În al doilea rând, dacă C=0, atunci ecuația va fi transformată în Ax+By+D=0, ceea ce va indica paralelismul cu axa Oz dată.
• În al treilea rând, dacă D=0, ecuația va arăta ca Ax+By+Cz=0, ceea ce va însemna că planul intersectează O (originea).
• În al patrulea rând, dacă A=B=0, atunci ecuația se va schimba în Cz+D=0, ceea ce se va dovedi paralel cu Oxy.
• În al cincilea rând, dacă B=C=0, atunci ecuația devine Ax+D=0, ceea ce înseamnă că planul către Oyz este paralel.
• În al șaselea rând, dacă A=C=0, atunci ecuația va lua forma Ву+D=0, adică va raporta paralelismul la Oxz.

Tip de ecuație în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D sunt diferite de zero, forma ecuației (0) poate fi următoarea:

x/a + y/b + z/c = 1,

în care a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Ca rezultat, este de remarcat faptul că acest plan va intersecta axa Ox într-un punct cu coordonatele (a,0,0), Oy - (0,b,0) și Oz - (0,0,c). ).

Luând în considerare ecuația x/a + y/b + z/c = 1, nu este dificil să ne imaginăm vizual plasarea planului în raport cu un anumit sistem de coordonate.

Coordonate vectoriale normale

Vectorul normal n la planul P are coordonate care sunt coeficienți ecuație generală a unui plan dat, adică n (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele normalei n, este suficient să cunoaștem ecuația generală a unui plan dat.

Când folosiți o ecuație în segmente, care are forma x/a + y/b + z/c = 1, ca și atunci când utilizați o ecuație generală, puteți scrie coordonatele oricărui vector normal al unui plan dat: (1/a + 1/b + 1/ Cu).

Este de remarcat faptul că vectorul normal ajută la rezolvarea unei varietăți de probleme. Cele mai frecvente includ probleme care presupun demonstrarea perpendicularității sau paralelismului planelor, probleme de găsire a unghiurilor între plane sau unghiurilor dintre plane și drepte.

Tip de ecuație plană în funcție de coordonatele punctului și ale vectorului normal

Un vector diferit de zero n perpendicular pe un plan dat este numit normal pentru un plan dat.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate dreptunghiulare) Oxyz sunt date:

• punctul Mₒ cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector zero n=A*i+B*j+C*k.

Este necesar să se creeze o ecuație pentru un plan care va trece prin punctul Mₒ perpendicular pe normala n.

Alegem orice punct arbitrar din spațiu și îl notăm M (x y, z). Fie vectorul rază al oricărui punct M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, iar vectorul rază al punctului Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punctul M va aparține unui plan dat dacă vectorul MₒM este perpendicular pe vectorul n. Să scriem condiția de ortogonalitate folosind produsul scalar:

[MₒM, n] = 0.

Deoarece MₒM = r-rₒ, ecuația vectorială a planului va arăta astfel:

Această ecuație poate avea altă formă. Pentru a face acest lucru, sunt utilizate proprietățile produsului scalar, iar partea stângă a ecuației este transformată.

= - . Dacă îl notăm c, obținem următoarea ecuație: - c = 0 sau = c, care exprimă constanța proiecțiilor pe vectorul normal al vectorilor de rază ai punctelor date care aparțin planului.

Acum putem obține forma de coordonate de scriere a ecuației vectoriale a planului nostru = 0. Deoarece r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k și n = A*i+B *j+С*k, avem:

Rezultă că avem o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct perpendicular pe normala n:

Tip de ecuație plană în funcție de coordonatele a două puncte și un vector coliniar cu planul

Să definim două puncte arbitrare M′ (x′,y′,z′) și M″ (x″,y″,z″), precum și un vector a (a′,a″,a‴).

Acum putem crea o ecuație pentru un plan dat care va trece prin punctele existente M′ și M″, precum și orice punct M cu coordonatele (x, y, z) paralele cu vectorul dat a.

În acest caz, vectorii M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) și M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) trebuie să fie coplanari cu vectorul a=(a′,a″,a‴), ceea ce înseamnă că (M′M, M″M, a)=0.

Deci, ecuația noastră plană din spațiu va arăta astfel:

Tip de ecuație a unui plan care intersectează trei puncte

Să presupunem că avem trei puncte: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), care nu aparțin aceleiași drepte. Este necesar să scrieți ecuația unui plan care trece prin trei puncte date. Teoria geometriei susține că acest tip de plan există cu adevărat, dar este singurul și unic. Deoarece acest plan intersectează punctul (x′,y′,z′), forma ecuației sale va fi după cum urmează:

Aici A, B, C sunt diferite de zero în același timp. De asemenea, planul dat intersectează încă două puncte: (x″,y″,z″) și (x‴,y‴,z‴). În acest sens, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

Acum putem compune sistem omogen cu u, v, w necunoscut:

În nostru cazul x,y sau z acţionează ca un punct arbitrar care satisface ecuaţia (1). Având în vedere ecuația (1) și sistemul de ecuații (2) și (3), sistemul de ecuații indicat în figura de mai sus este satisfăcut de vectorul N (A,B,C), care este netrivial. De aceea determinantul acestui sistem este egal cu zero.

Ecuația (1) pe care am obținut-o este ecuația planului. Trece prin 3 puncte exact, iar acest lucru este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, trebuie să ne extindem determinantul în elementele din primul rând. Din proprietățile existente ale determinantului rezultă că planul nostru intersectează simultan trei puncte date inițial (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Adică am rezolvat sarcina care ne-a fost atribuită.

Unghiul diedric dintre plane

Un unghi diedru reprezintă un spațial figură geometrică, format din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta este partea din spațiu care este limitată de aceste semiplanuri.

Să presupunem că avem două plane cu următoarele ecuații:

Știm că vectorii N=(A,B,C) și N¹=(A¹,B¹,C¹) sunt perpendiculari conform planurilor date. În acest sens, unghiul φ dintre vectorii N și N¹ este egal cu unghiul (diedrul) care se află între aceste plane. Produsul punctual are forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

tocmai pentru că

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Este suficient să ținem cont că 0≤φ≤π.

De fapt, două plane care se intersectează formează două unghiuri (diedre): φ 1 și φ 2. Suma lor este egală cu π (φ 1 + φ 2 = π). În ceea ce privește cosinusurile lor, valorile lor absolute sunt egale, dar diferă în semn, adică cos φ 1 = -cos φ 2. Dacă în ecuația (0) înlocuim A, B și C cu numerele -A, -B și respectiv -C, atunci ecuația pe care o obținem va determina același plan, singurul, unghiul φ din ecuația cos φ= NN 1 /|. N||N 1 | va fi înlocuit cu π-φ.

Ecuația unui plan perpendicular

Planurile între care unghiul este de 90 de grade se numesc perpendiculare. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația unui plan perpendicular pe altul. Să presupunem că avem două plane: Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Putem spune că vor fi perpendiculare dacă cosφ=0. Aceasta înseamnă că NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuația planului paralel

Două plane care nu conțin puncte comune se numesc paralele.

Condiția (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful anterior) este ca vectorii N și N¹, care sunt perpendiculari pe ei, să fie coliniari. Aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții de proporționalitate:

A/A¹=B/B¹=C/C1.

Dacă condițiile de proporționalitate sunt extinse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

aceasta indică faptul că aceste planuri coincid. Aceasta înseamnă că ecuațiile Ax+By+Cz+D=0 și A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descriu un plan.

Distanța până la avion de la punct

Să presupunem că avem un plan P, care este dat de ecuația (0). Este necesar să găsiți distanța până la acesta de la un punct cu coordonatele (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți ecuația planului P în formă normală:

(ρ,v)=р (р≥0).

În acest caz, ρ (x,y,z) este vectorul rază a punctului nostru Q situat pe P, p este lungimea perpendicularei P care a fost eliberată din punctul zero, v este vectorul unitar, care este situat în direcția a.

Diferența ρ-ρº vector de rază a unui punct Q = (x, y, z), aparținând lui P, precum și vectorul de rază a unui punct dat Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) este un astfel de vector, valoarea absolută a proiecției căreia pe v este egală cu distanța d care trebuie găsită de la Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) la P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, dar

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Deci se dovedește

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d dorită.

Folosind limbajul parametrilor, obținem ceea ce este evident:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Dacă un punct dat Q 0 se află de cealaltă parte a planului P, ca originea coordonatelor, atunci între vectorul ρ-ρ 0 și v există deci:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

În cazul în care punctul Q 0, împreună cu originea coordonatelor, este situat pe aceeași parte a lui P, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Ca urmare, rezultă că în primul caz (ρ 0 ,v)>р, în al doilea (ρ 0 ,v)<р.

Planul tangent și ecuația acestuia

Planul tangent la suprafață în punctul de contact Mº este un plan care conține toate tangentele posibile la curbele trasate prin acest punct de pe suprafață.

Cu acest tip de ecuație de suprafață F(x,y,z)=0, ecuația planului tangent la punctul tangent Mº(xº,yº,zº) va arăta astfel:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Dacă specificați suprafața în formă explicită z=f (x,y), atunci planul tangent va fi descris de ecuația:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersecția a două planuri

În sistemul de coordonate (dreptunghiular) se află Oxyz, sunt date două plane П′ și П″, care se intersectează și nu coincid. Deoarece orice plan situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinat de o ecuație generală, vom presupune că P′ și P″ sunt date de ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x +B″y+ С″z+D″=0. În acest caz, avem normala n′ (A′,B′,C′) a planului P′ și normala n″ (A″,B″,C″) a planului P″. Deoarece planurile noastre nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt coliniari. Folosind limbajul matematicii, putem scrie această condiție astfel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Fie ca linia dreaptă care se află la intersecția dintre P′ și P″ se notează cu litera a, în acest caz a = P′ ∩ P″.

a este o linie dreaptă constând din mulțimea tuturor punctelor planurilor (comune) P′ și P″. Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând liniei a trebuie să satisfacă simultan ecuațiile A′x+B′y+C′z+D′=0 și A″x+B″y+C″z+D″=0 . Aceasta înseamnă că coordonatele punctului vor fi o soluție parțială a următorului sistem de ecuații:

Ca urmare, se dovedește că soluția (generală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele dreptei, care va acționa ca punct de intersecție al lui P′ și P″, și va determina linia dreaptă a în sistemul de coordonate Oxyz (dreptunghiular) în spațiu.

Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini

Geometria spațială nu este mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a stăpâni subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este indicat să fii familiarizat cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit ecranul plat al televizorului și se lansează din Cosmodromul Baikonur.

Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat sub forma unui paralelogram, care creează impresia de spațiu:

Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul exact în acest fel și exact în această poziție. Planurile reale, pe care le vom lua în considerare în exemple practice, pot fi localizate în orice fel - luați mental desenul în mâini și rotiți-l în spațiu, oferind avionului orice înclinare, orice unghi.

Denumiri: avioanele sunt de obicei notate cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu linie dreaptă pe un plan sau cu linie dreaptă în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen este litera „sigma” și nu este deloc o gaură. Deși, avionul holey este cu siguranță destul de amuzant.

În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași litere grecești cu indice mai mic pentru a desemna avioane, de exemplu, .

Este evident că planul este definit în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - prin punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: , pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.

Pentru cititorii experimentați le voi oferi meniu de acces rapid:

• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și doi vectori?
• Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

și nu vom lâncevi în așteptări lungi:

Ecuația planului general

Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru baza afină a spațiului (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian.

Acum să exersăm puțin imaginația noastră spațială. Este în regulă dacă al tău este rău, acum îl vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită antrenament.

În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:

Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să ne înfățișăm doar o parte din el.

Să luăm în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:

Cum să înțelegem această ecuație? Gândiți-vă: „Z” este ÎNTOTDEAUNA egal cu zero, pentru orice valoare a „X” și „Y”. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , de unde puteți vedea clar că nu ne interesează ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.

De asemenea:
– ecuația planului de coordonate;
– ecuația planului de coordonate.

Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „y” și „z”, egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.

Să adăugăm membri: . Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , adică „zet” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „Y” sunt conectate prin relația, care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți afla ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece „z” poate fi orice, această linie dreaptă este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate

De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate.

Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasica „proporționalitate directă”: . Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „Z” este oricare). Concluzie: planul definit de ecuație trece prin axa de coordonate.

Finalizăm trecerea în revistă: ecuația planului trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface această ecuație.

Și, în sfârșit, cazul prezentat în desen: – planul este prietenos cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi, care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.

Inegalități liniare în spațiu

Pentru a înțelege informațiile trebuie să studiezi bine inegalități liniare în plan, pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va avea o scurtă prezentare generală, cu mai multe exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.

Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
intreaba semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, pe lângă semi-spațiu, include și planul însuși.

Exemplul 5

Găsiți vectorul normal unitar al planului .

Soluţie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm acest vector cu . Este absolut clar că vectorii sunt coliniari:

În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .

Cum să găsiți un vector unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecareîmpărțiți coordonatele vectoriale la lungimea vectorului.

Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:

Conform celor de mai sus:

Răspuns:

Verificare: ce trebuia verificat.

Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:

Să luăm o pauză de la problema în cauză: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar în funcție de condiție este necesar să se găsească cosinusurile de direcție (vezi ultimele probleme ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți un vector unitar coliniar cu acesta. De fapt, două sarcini într-o sticlă.

Necesitatea găsirii vectorului normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.

Ne-am dat seama cum să pescuim un vector normal, acum să răspundem la întrebarea opusă:

Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?

Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de bordul de darts. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică în bufet. Evident, prin acest punct poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula: