Explicația de ce se visează cerul depinde de cum arăta. Dacă nu...
Dacă curba este dată de ecuații parametrice, atunci aria suprafeței obținute prin rotirea acestei curbe în jurul axei se calculează prin formula 
. În acest caz, „direcția de desen” a liniei, despre care au fost rupte atât de multe copii în articol, este indiferentă. Dar, ca și în paragraful anterior, este important ca curba să fie localizată superior axa absciselor - în caz contrar, funcția „responsabil pentru jocuri” va lua valori negative și va trebui să puneți semnul „minus” în fața integralei.
Exemplul 3
Calculați aria unei sfere obținute prin rotirea unui cerc în jurul axei.
Soluţie: din articol despre aria și volumul pentru o linie definită parametricștiți că ecuațiile definesc un cerc cu un centru la originea razei 3.
Bine sferă , pentru cei care au uitat, aceasta este suprafața minge(sau suprafata sferica).
Aderăm la schema de soluții stabilită. Să găsim derivate: 
Să compunem și să simplificăm rădăcina „formula”:
Inutil să spun că s-a dovedit a fi bomboane. Verificați pentru comparație modul în care Fichtenholtz a lovit capul cu zona elipsoid al revoluției.
Conform observației teoretice, considerăm semicercul superior. Este „desenat” atunci când valoarea parametrului se modifică în limite (este ușor de văzut că 
pe acest interval), astfel:
Răspuns:
Dacă rezolvi problema în vedere generală, atunci obțineți exact formula școlară pentru aria unei sfere, unde este raza acesteia.
A fost o sarcină atât de dureros de simplă, chiar m-am simțit rușinat... Vă sugerez să remediați această eroare =)
Exemplul 4
Calculați aria suprafeței obținute prin rotirea primului arc al cicloidei în jurul axei.
Sarcina este creativă. Încercați să derivați sau să ghiciți intuitiv formula pentru calcularea suprafeței obținute prin rotirea unei curbe în jurul axei ordonatelor. Și, desigur, ar trebui remarcat din nou avantajul ecuațiilor parametrice - nu trebuie să fie modificate în niciun fel; nu este nevoie să vă obosiți să găsiți alte limite de integrare.
Graficul cicloidal poate fi vizualizat pe pagină Aria și volumul, dacă linia este specificată parametric. Suprafața de rotație va semăna... nici nu știu cu ce să o compar... ceva nepământesc - de formă rotundă, cu o adâncime ascuțită în mijloc. Pentru cazul rotației unui cicloid în jurul unei axe, mi-a venit instantaneu în minte o asociere - o minge de rugby alungită.
Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.
Încheiem recenzia noastră fascinantă cu cazul coordonate polare. Da, doar o recenzie, dacă te uiți la manuale de analiză matematică (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, alți autori), poți obține o duzină bună (sau chiar mult mai multe) exemple standard, printre care s-ar putea să găsești problema de care ai nevoie. .
Cum se calculează suprafața de revoluție,
dacă linia este dată într-un sistem de coordonate polare?
Dacă curba este dată în coordonate polare ecuație, iar funcția are o derivată continuă pe un interval dat, atunci aria suprafeței obținută prin rotirea acestei curbe în jurul axei polare se calculează prin formula 
, unde sunt valorile unghiulare corespunzătoare capetele curbei.
În conformitate cu semnificația geometrică a problemei, funcția integrand 
, iar acest lucru se realizează numai cu condiția (și sunt evident non-negative). Prin urmare, este necesar să se ia în considerare valorile unghiului din interval, cu alte cuvinte, curba ar trebui să fie localizată superior axa polară și continuarea acesteia. După cum puteți vedea, aceeași poveste ca în cele două paragrafe precedente.
Exemplul 5
Calculați suprafața formată prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.
Soluţie: graficul acestei curbe poate fi văzut în Exemplul 6 din lecția despre sistem de coordonate polare. Cardioidul este simetric față de axa polară, așa că considerăm jumătatea sa superioară în interval (ceea ce, de fapt, se datorează remarcii de mai sus).
Suprafața de rotație va semăna cu un ochi.
Tehnica soluției este standard. Să găsim derivata cu privire la „phi”:
Să compunem și să simplificăm rădăcina:
Sper cu cele obisnuite formule trigonometrice nimeni nu a avut dificultăți.
Folosim formula:
Între mijloc 
, prin urmare: 
(Am vorbit în detaliu despre cum să scapi corect de rădăcină în articol Lungimea arcului de curbă).
Răspuns: 
O sarcină interesantă și scurtă pe care o puteți rezolva singur:
Exemplul 6
Calculați aria centurii sferice,
Ce este o centură cu minge? Pune pe masă o portocală rotundă, nedecojită și ridică un cuțit. Fă două paralel tăiat, împărțind astfel fructul în 3 părți de dimensiuni arbitrare. Acum luați centrul, care are carnea suculentă expusă pe ambele părți. Acest corp este numit strat sferic, și suprafața care o delimitează (coaja de portocală) – centura cu minge.
Cititorii familiarizați coordonate polare, a prezentat cu ușurință un desen al problemei: ecuația specifică un cerc cu un centru la polul razei , din care razele 
a tăia calea Mai puțin arc. Acest arc se rotește în jurul axei polare și astfel produce o centură sferică.
Acum poți mânca o portocală cu conștiința curată și cu inima ușoară, iar pe această notă gustoasă vom încheia lecția, nu-ți strica pofta cu alte exemple =)
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:Soluţie
: calculați aria suprafeței formate prin rotația ramului superior în jurul axei absciselor. Folosim formula 
.
În acest caz: 
;
Astfel:
Răspuns:
Exemplul 4:Soluţie
: folosiți formula 
. Primul arc al cicloidului este definit pe segment .
Să găsim derivate:
Să compunem și să simplificăm rădăcina:
Astfel, aria suprafeței de rotație este:
Între mijloc 
, De aceea 
Prima integralăintegra pe părți
:
În a doua integrală pe care o folosimformula trigonometrică
.
Răspuns:
Exemplul 6:Soluţie
: folosiți formula:
Răspuns:
Matematică superioară pentru studenții prin corespondență și mai multe >>>
(Mergeți la pagina principală)
Cum se calculează o integrală definită
folosind formula trapezoidală și metoda lui Simpson?
Metodele numerice reprezintă o secțiune destul de mare a matematicii superioare, iar manualele serioase pe această temă conțin sute de pagini. În practică, în testeÎn mod tradițional, unele probleme sunt propuse a fi rezolvate folosind metode numerice, iar una dintre problemele comune este calculul aproximativ integrale definite. În acest articol voi analiza două metode pentru calcularea aproximativă a integralei definite - metoda trapezuluiŞi Metoda Simpson.
Ce trebuie să știi pentru a stăpâni aceste metode? Poate suna amuzant, dar este posibil să nu poți lua integrale deloc. Și nici nu înțelegi ce sunt integralele. Din mijloace tehnice Veți avea nevoie de un microcalculator. Da, da, ne așteaptă calculele școlare de rutină. Mai bine, descărcați-l pe al meu calculator semi-automat pentru metoda trapezoidală și metoda Simpson. Calculatorul este scris în Excel și va reduce timpul necesar pentru rezolvarea și completarea problemelor de zeci de ori. Pentru manechinele Excel, este inclus un manual video! Apropo, prima înregistrare video cu vocea mea.
În primul rând, să ne întrebăm: de ce avem nevoie de calcule aproximative? Se pare că puteți găsi antiderivată a funcției și utilizați formula Newton-Leibniz, calculând valoarea exactă a integralei definite. Pentru a răspunde la întrebare, să ne uităm imediat la un exemplu demonstrativ cu o imagine.
Calculați integrala definită
Totul ar fi bine, dar în acest exemplu integrala nu este luată - în fața ta este o integrală neluată, așa-numita logaritm integral. Există măcar această integrală? Să descriem în desen graficul funcției integrand: 
Totul este bine. Integrand continuu pe segment și integrala definită este numeric egală cu zona umbrită. Există o singură captură: integrala nu poate fi luată. Și în astfel de cazuri, metodele numerice vin în ajutor. În acest caz, problema apare în două formulări:
1) Calculați integrala definită aproximativ , rotunjind rezultatul la o anumită zecimală. De exemplu, până la două zecimale, până la trei zecimale etc. Să presupunem că răspunsul aproximativ este 5,347. De fapt, este posibil să nu fie complet corect (în realitate, să zicem, răspunsul mai precis este 5.343). Sarcina noastră este numai atat pentru a rotunji rezultatul la trei zecimale.
2) Calculați integrala definită aproximativ, cu o anumită precizie. De exemplu, calculați o integrală definită aproximativ cu o precizie de 0,001. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că, dacă răspunsul aproximativ este 5,347, atunci Toate numerele trebuie să fie din beton armat corecta. Mai exact, răspunsul 5.347 ar trebui să difere de adevăr în valoare absolută (într-o direcție sau alta) cu cel mult 0,001.
Există mai multe metode de bază pentru calculul aproximativ al integralei definite care apare în probleme:
Metoda dreptunghiului. Segmentul de integrare este împărțit în mai multe părți și se construiește o figură în pas ( histogramă), care este aproape ca zonă de zona dorită: 
Nu judeca strict după desene, precizia nu este ideală - ele ajută doar la înțelegerea esenței metodelor.
În acest exemplu, segmentul de integrare este împărțit în trei segmente: 
. Evident, cu cât împărțirea este mai frecventă (mai multe segmente intermediare mai mici), cu atât precizia este mai mare. Metoda dreptunghiului oferă o aproximare aproximativă a zonei, motiv pentru care se găsește foarte rar în practică (îmi amintesc doar un exemplu practic). În acest sens, nu voi lua în considerare metoda dreptunghiului și nici măcar nu voi da o formulă simplă. Nu pentru că sunt leneș, ci din cauza principiului registrului meu de lucru: ceea ce este extrem de rar în problemele practice nu este luat în considerare.
Metoda trapezoidală. Ideea este similară. Segmentul de integrare este împărțit în mai multe segmente intermediare, iar graficul funcției integrand se apropie linie întreruptă linia: 
Astfel, aria noastră (umbrire albastră) este aproximată prin suma ariilor trapezelor (roșu). De aici și numele metodei. Este ușor de observat că metoda trapezului oferă o aproximare mult mai bună decât metoda dreptunghiului (cu același număr de segmente de partiție). Și, firește, cu cât considerăm mai multe segmente intermediare mai mici, cu atât precizia va fi mai mare. Metoda trapezului este întâlnită din când în când în sarcinile practice, iar în acest articol vor fi discutate câteva exemple.
Metoda lui Simpson (metoda parabolelor). Aceasta este o metodă mai avansată - graficul integrandului este aproximat nu printr-o linie întreruptă, ci prin mici parabole. Există tot atâtea parabole mici câte segmente intermediare. Dacă luăm aceleași trei segmente, atunci metoda lui Simpson va oferi o aproximare și mai precisă decât metoda dreptunghiului sau metoda trapezului.
Nu văd rostul construirii unui desen, deoarece aproximarea vizuală va fi suprapusă pe graficul funcției (linia întreruptă a paragrafului anterior - și chiar și atunci aproape a coincis).
Problema calculării unei integrale definite folosind formula lui Simpson este cea mai populară sarcină în practică. Iar metodei parabolelor i se va acorda o atenție considerabilă.
Exemplu: Aflați volumul unei sfere cu rază R.
În secțiunile transversale ale mingii se obțin cercuri cu raza variabilă y. În funcție de coordonata x curentă, această rază este exprimată prin formula.
Atunci funcția de zonă a secțiunii transversale are forma: Q(x) = .
Obținem volumul mingii:
Exemplu: Aflați volumul unei piramide arbitrare cu înălțimea H și aria bazei S.
 |
Când piramida este intersectată de plane perpendiculare pe înălțime, în secțiune transversală obținem figuri asemănătoare bazei. Coeficientul de similitudine al acestor cifre este egal cu raportul x/H , unde x este distanța de la planul secțiunii până la vârful piramidei.
Din geometrie se știe că raportul ariilor figurilor similare este egal cu coeficientul de similitudine pătrat, adică.
De aici obținem funcția zonelor de secțiune transversală:
Aflarea volumului piramidei: 
Volumul corpurilor de rotație.
Luați în considerare curba dată de ecuație y = f(x ). Să presupunem că funcția f(x ) este continuă pe intervalul [ a, b ]. Dacă trapezul curbiliniu corespunzător cu bazele a și b rotiți în jurul axei Ox, obținem așa-numitul corpul revoluției.
y = f(x)
Suprafața unui corp de rotație.
M i B
Definiţie: Suprafața de rotație curba AB în jurul unei axe date este limita la care tind ariile suprafețelor de rotație ale liniilor întrerupte înscrise în curba AB atunci când cea mai mare dintre lungimile legăturilor acestor linii întrerupte tind spre zero.
Să împărțim arcul AB în n părți prin punctele M 0, M 1, M 2, …, M n . Coordonatele vârfurilor poliliniei rezultate au coordonatele x i și y i . Prin rotirea liniei întrerupte în jurul axei sale, obținem o suprafață formată din suprafețele laterale ale trunchiului de con, a cărei zonă este egală cu D P i . Această zonă poate fi găsită folosind formula:
Înainte de a trece la formulele pentru suprafața unei suprafețe de revoluție, vom oferi o scurtă formulare a suprafeței de revoluție în sine. O suprafață de revoluție sau, ceea ce este același lucru, o suprafață a unui corp de revoluție este o figură spațială formată prin rotația unui segment AB curba în jurul axei Bou(poza de mai jos).
Să ne imaginăm un trapez curbat mărginit de sus de segmentul menționat al curbei. Un corp format prin rotirea acestui trapez în jurul aceleiași axe Bou, și este un corp de rotație. Și aria suprafeței de revoluție sau suprafața unui corp de revoluție este învelișul său exterior, fără a număra cercurile formate prin rotație în jurul axei liniilor drepte x = oŞi x = b .
Rețineți că un corp de revoluție și, în consecință, suprafața sa poate fi format și prin rotirea figurii nu în jurul axei Bou, și în jurul axei Oi.
Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție specificată în coordonate dreptunghiulare
Lăsați în coordonate dreptunghiulare pe plan ecuația y = f(x) este specificată o curbă, a cărei rotație în jurul axei de coordonate formează un corp de revoluție.
Formula pentru calcularea suprafeței de revoluție este următoarea:
(1).
Exemplul 1. Găsiți aria suprafeței paraboloidului format prin rotație în jurul axei sale Bou arc de parabolă corespunzător schimbării x din x= 0 la x = o .
Soluţie. Să exprimăm în mod explicit funcția care definește arcul parabolei:
Să găsim derivata acestei funcții:
Înainte de a folosi formula pentru a găsi aria unei suprafețe de revoluție, să scriem acea parte a integrandului său care reprezintă rădăcina și să înlocuim derivata pe care tocmai am găsit-o acolo:
Răspuns: Lungimea arcului curbei este
.
Exemplul 2. Aflați aria suprafeței formate prin rotație în jurul unei axe Bou astroid.
Soluţie. Este suficient să calculăm suprafața rezultată din rotația unei ramuri a astroidului, situată în primul trimestru, și să o înmulțim cu 2. Din ecuația astroidului, vom exprima în mod explicit funcția pe care va trebui să o înlocuim în formula pentru a afla suprafața de rotație:
.
Noi integrăm de la 0 la o:
Calculul ariei unei suprafețe de revoluție specificată parametric
Să luăm în considerare cazul când curba care formează suprafața de revoluție este dată de ecuații parametrice
Apoi aria suprafeței de rotație este calculată prin formula
(2).
Exemplul 3. Aflați aria suprafeței de revoluție formată prin rotație în jurul unei axe Oi figură delimitată de o cicloidă și o linie dreaptă y = o. Cicloida este dată de ecuații parametrice
Soluţie. Să găsim punctele de intersecție ale cicloidei și ale dreptei. Echivalarea ecuației cicloidale 
și ecuația dreptei y = o, hai sa gasim
De aici rezultă că granițele integrării corespund
Acum putem aplica formula (2). Să găsim derivate:
Să scriem expresia radicalului în formulă, înlocuind derivatele găsite:
Să găsim rădăcina acestei expresii:
.
Să înlocuim ceea ce am găsit în formula (2):
.
Să facem o înlocuire:
Și în sfârșit găsim
Formulele trigonometrice au fost folosite pentru a transforma expresii
Răspuns: Suprafața revoluției este .
Calcularea ariei unei suprafețe de revoluție specificată în coordonate polare
Fie ca curba, a cărei rotație formează suprafața, să fie specificată în coordonate polare.
Salutări, dragi studenți ai Universității din Argemona!
Astăzi vom continua să învățăm cum să materializăm obiecte. Ultima dată am rotit figuri plate și am primit corpuri volumetrice. Unele dintre ele sunt foarte tentante și utile. Cred că o mare parte din ceea ce inventează un magician poate fi folosit în viitor.
Astăzi vom roti curbele. Este clar ca astfel putem obtine vreun obiect cu margini foarte subtiri (un con sau sticla pentru potiuni, o vaza cu flori, un pahar pentru bauturi etc.), deoarece o curba rotativa poate crea exact acest gen de obiecte. Cu alte cuvinte, prin rotirea curbei putem obține un fel de suprafață - închisă pe toate părțile sau nu. De ce chiar acum mi-am amintit de ceașca care curgea din care bău mereu Sir Shurf Lonley-Lokley.
Deci vom crea un castron cu găuri și un castron fără găuri și vom calcula aria suprafeței create. Cred că ea (suprafața în general) va fi necesară pentru ceva - ei bine, cel puțin pentru aplicarea vopselei magice speciale. Pe de altă parte, zonele artefactelor magice pot fi necesare pentru a calcula forțele magice aplicate acestora sau altceva. Vom învăța să o găsim și vom găsi unde să o aplicăm.
Deci, o bucată de parabolă ne poate da forma unui castron. Să luăm cel mai simplu y=x 2 din interval. Se poate observa că atunci când îl rotiți în jurul axei OY, obțineți doar un castron. Fără fund.
Vraja pentru calcularea suprafeței de rotație este următoarea:
Aici |y| - aceasta este distanța de la axa de rotație până la orice punct al curbei care se rotește. După cum știți, distanța este o perpendiculară.
Puțin mai dificil cu al doilea element al vrajei: ds este diferența de arc. Aceste cuvinte nu ne dau nimic, așa că să nu ne deranjam, dar să trecem la limbajul formulelor, unde această diferență este prezentată clar pentru toate cazurile cunoscute de noi:
- sistemul de coordonate carteziene;
- inregistrarea curbei in forma parametrica;
- sistemul de coordonate polare.
Pentru cazul nostru, distanța de la axa de rotație la orice punct al curbei este x. Calculăm aria suprafeței vasului rezultat:
Pentru a face un castron cu fund, trebuie să luați o altă bucată, dar cu o curbă diferită: pe interval aceasta este linia y=1.
Este clar că atunci când se rotește în jurul axei OY, partea inferioară a vasului va fi sub forma unui cerc cu raza unitară. Și știm cum se calculează aria unui cerc (folosind formula pi*r^2. Pentru cazul nostru, aria cercului va fi egală cu pi), dar să o calculăm folosind o nouă formulă - a verifica.
Distanța de la axa de rotație până la orice punct al acestei piese a curbei este, de asemenea, egală cu x.
Ei bine, calculele noastre sunt corecte, ceea ce este o veste bună.
Și acum teme pentru acasă.
1. Aflați aria suprafeței obținute prin rotirea liniei întrerupte ABC, unde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), în jurul axei OX.
Sfaturi. Notați toate segmentele în formă parametrică.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Apropo, cum arată articolul rezultat?
2. Ei bine, acum vii cu ceva tu. Cred că trei articole vor fi suficiente.
5. Găsirea suprafeței corpurilor de revoluție
Fie curba AB graficul funcției y = f(x) ≥ 0, unde x [a; b], iar funcția y = f(x) și derivata ei y" = f"(x) sunt continue pe acest segment.
Să aflăm aria S a suprafeței formate prin rotația curbei AB în jurul axei Ox (Fig. 8).
Să aplicăm schema II (metoda diferențială).
Printr-un punct arbitrar x [a; b] trageți un plan P perpendicular pe axa Ox. Planul П intersectează suprafața de rotație într-un cerc cu raza y – f(x). Mărimea S a suprafeței părții figurii de revoluție situată în stânga planului este funcție de x, adică. s = s(x) (s(a) = 0 și s(b) = S).
Să dăm argumentului x un increment Δx = dx. Prin punctul x + dx [a; b] desenăm și un plan perpendicular pe axa Ox. Funcția s = s(x) va primi un increment de Δs, prezentat în figură ca o „centrue”.
Să aflăm aria diferențială ds prin înlocuirea figurii formate între secțiuni cu un trunchi de con, a cărui generatrie este egală cu dl, iar razele bazelor sunt egale cu y și y + dу. Aria suprafeței sale laterale este egală cu: = 2ydl + dydl.
Respingând produsul dу d1 ca infinitezimal de ordin mai mare decât ds, obținem ds = 2уdl, sau, deoarece d1 = dx.
Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x = a la x = b, obținem
Dacă curba AB este dată de ecuațiile parametrice x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, atunci formula pentru aria suprafeței de revoluție ia forma
S=2 
dt.
Exemplu: Aflați aria suprafeței unei bile cu raza R.
S=2 
= 
6. Aflarea lucrului unei forţe variabile
Munca cu forta variabila
Lasă punct material M se deplasează de-a lungul axei Ox sub acțiunea unei forțe variabile F = F(x) îndreptată paralel cu această axă. Lucrul efectuat de o forță atunci când se deplasează punctul M din poziția x = a în poziția x = b (a Cât de mult trebuie făcut pentru a întinde arcul cu 0,05 m dacă o forță de 100 N întinde arcul cu 0,01 m? Conform legii lui Hooke, forța elastică care întinde arcul este proporțională cu această întindere x, adică. F = kх, unde k este coeficientul de proporționalitate. După condiţiile problemei, o forţă F = 100 N întinde arcul cu x = 0,01 m; prin urmare, 100 = k 0,01, de unde k = 10000; prin urmare, F = 10000x. Postul necesar pe baza formulei A= Găsiți munca care trebuie cheltuită pentru a pompa lichid peste margine dintr-un rezervor cilindric vertical de înălțime N m și raza de bază R m (Fig. 13). Munca petrecută pentru ridicarea unui corp de greutate p la o înălțime h este egală cu p N. Dar diferitele straturi de lichid din rezervor se află la adâncimi diferite și înălțimea ridicării (până la marginea rezervorului) a diferitelor straturi nu este același lucru. Pentru a rezolva problema, aplicăm schema II (metoda diferențială). Să introducem un sistem de coordonate. 1) Munca petrecută pentru pomparea unui strat de lichid de grosimea x (0 ≤ x ≤ H) dintr-un rezervor este o funcție de x, adică. A = A(x), unde (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0). 2) Găsiți partea principală a incrementului ΔA când x se modifică cu cantitatea Δx = dx, i.e. găsim diferența dA a funcției A(x). Datorită dimensiunii mici a lui dx, presupunem că stratul „elementar” de lichid este situat la aceeași adâncime x (de la marginea rezervorului). Atunci dA = dрх, unde dр este greutatea acestui strat; este egal cu g АV, unde g este accelerația gravitației, este densitatea lichidului, dv este volumul stratului „elementar” de lichid (este evidențiat în figură), adică. dр = g. Volumul stratului de lichid indicat este în mod evident egal cu , unde dx este înălțimea cilindrului (stratului), este aria bazei acestuia, adică. dv = . Astfel, dр = . Şi 3) Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x = 0 la x = H, găsim O 8. Calculul integralelor folosind pachetul MathCAD La rezolvarea unor probleme aplicate este necesara folosirea operatiei de integrare simbolica. În acest caz, programul MathCad poate fi util atât în etapa inițială (e bine să știți răspunsul dinainte sau să știți că acesta există), cât și la etapa finală (e bine să verificați rezultatul folosind un răspuns din altă sursă sau soluția altei persoane). Când rezolvați un număr mare de probleme, puteți observa unele caracteristici ale rezolvării problemelor folosind programul MathCad. Să încercăm să înțelegem cu mai multe exemple cum funcționează acest program, să analizăm soluțiile obținute cu ajutorul lui și să comparăm aceste soluții cu soluțiile obținute prin alte metode. Principalele probleme la utilizarea programului MathCad sunt următoarele: a) programul dă răspunsul nu sub forma unor funcții elementare familiare, ci sub forma unor funcții speciale care nu sunt cunoscute de toată lumea; b) în unele cazuri „refuză” să dea un răspuns, deși există o soluție la problemă; c) uneori este imposibil să se folosească rezultatul obţinut din cauza greutăţii sale; d) nu rezolvă problema complet și nu analizează soluția. Pentru a rezolva aceste probleme, este necesar să se exploateze punctele forte și punctele slabe ale programului. Cu ajutorul lui, este ușor și simplu să calculezi integrale ale funcțiilor raționale fracționale. Prin urmare, se recomandă utilizarea metodei de înlocuire variabilă, adică. Pregătiți integrala pentru soluție. În aceste scopuri, pot fi utilizate substituțiile discutate mai sus. De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că rezultatele obținute trebuie examinate pentru coincidența domeniilor de definire a funcției originale și rezultatul obținut. În plus, unele dintre soluțiile obținute necesită cercetări suplimentare. Programul MathCad eliberează studentul sau cercetătorul de munca de rutină, dar nu îl poate elibera de analize suplimentare atât la stabilirea unei probleme, cât și la obținerea oricăror rezultate. Această lucrare a examinat principalele prevederi legate de studiul aplicațiilor unei integrale definite într-un curs de matematică. – a fost efectuată o analiză a bazei teoretice pentru rezolvarea integralelor; – materialul a fost sistematizat și generalizat. În procesul de finalizare a lucrărilor de curs, au fost luate în considerare exemple de probleme practice din domeniul fizicii, geometriei și mecanicii. Concluzie Exemplele de probleme practice discutate mai sus ne oferă o idee clară a semnificației integralei definite pentru solubilitatea lor. Este dificil de a numi un domeniu științific în care metodele de calcul integral, în general, și proprietățile integralei definite, în special, să nu fie utilizate. Deci, în procesul de finalizare a cursurilor, am examinat exemple de probleme practice din domeniul fizicii, geometriei, mecanicii, biologiei și economiei. Desigur, aceasta este departe de a fi o listă exhaustivă de științe care folosesc metoda integrală pentru a căuta o valoare stabilită atunci când rezolvă o problemă specifică și stabilesc fapte teoretice. Integrala definită este folosită și pentru a studia matematica în sine. De exemplu, la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, care la rândul lor aduc o contribuție de neînlocuit la rezolvarea problemelor practice. Putem spune că o integrală definită este o anumită bază pentru studiul matematicii. De aici și importanța de a ști cum să le rezolvi. Din toate cele de mai sus, este clar de ce familiarizarea cu integrala definită are loc în cadrul școlii secundare, unde elevii studiază nu numai conceptul de integrală și proprietățile acesteia, ci și unele dintre aplicațiile acesteia. Literatură 1. Volkov E.A. Metode numerice. M., Nauka, 1988. 2. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1. 3. Shipachev V.S. Matematică superioară. M., Liceul, 1990.
