두 번째 주문의 라인. 2차 곡선

이것은 일반적으로 허용되는 방정식의 표준 형식으로, 몇 초 만에 정의하는 기하학적 객체가 무엇인지 명확해집니다. 또한 표준 형식은 많은 실제 작업을 해결하는 데 매우 편리합니다. 따라서 예를 들어 표준 방정식에 따르면 "평평한" 직선, 첫째, 이것이 직선이라는 것이 즉시 분명하고 둘째, 그것에 속하는 점과 방향 벡터가 단순히 표시됩니다.

분명히, 어떤 1차 주문 라인직선을 나타냅니다. 2층에는 더 이상 청소부가 우리를 기다리고 있지 않고 9개의 조각상으로 구성된 훨씬 더 다양한 회사가 있습니다.

2차 라인 분류

특별한 작업 세트의 도움으로 모든 2차 선 방정식은 다음 유형 중 하나로 축소됩니다.

(및 양의 실수)

1) 는 타원의 정준 방정식입니다.

2) 쌍곡선의 정준 방정식입니다.

3) 포물선의 정준 방정식입니다.

4) – 상상의타원;

5) - 한 쌍의 교차 선;

6) - 커플 상상의교차선(원점에서 유일한 실제 교차점 포함);

7) - 한 쌍의 평행선;

8) - 커플 상상의평행선;

9) 한 쌍의 일치하는 선입니다.

일부 독자는 목록이 불완전하다는 인상을 받을 수 있습니다. 예를 들어, 단락 번호 7에서 방정식은 쌍을 설정합니다. 직접, 축에 평행하고 질문이 발생합니다. y축에 평행한 선을 결정하는 방정식은 어디에 있습니까? 대답해라 캐논으로 간주되지 않음. 직선은 90도 회전된 동일한 표준 케이스를 나타내며, 분류의 추가 항목은 근본적으로 새로운 것이 없기 때문에 중복됩니다.

따라서 2차 선에는 9가지 다른 유형이 9가지뿐이지만 실제로 가장 일반적인 것은 다음과 같습니다. 타원, 쌍곡선 및 포물선.

먼저 타원을 봅시다. 평소와 같이 다음과 같은 점에 중점을 둡니다. 큰 중요성문제 해결을 위해 그리고 공식의 자세한 유도, 정리 증명이 필요한 경우 예를 들어 Bazylev / Atanasyan 또는 Aleksandrov의 교과서를 참조하십시오.

타원과 그 정준 방정식

맞춤법 ... "타원을 만드는 방법", "타원과 타원의 차이", "elebs 편심"에 관심이 있는 일부 Yandex 사용자의 실수를 반복하지 마십시오.

타원의 정준 방정식은 , 여기서 는 양의 실수, . 나는 나중에 타원의 정의를 공식화할 것이지만, 지금은 이야기를 중단하고 일반적인 문제를 해결할 때입니다.

타원을 만드는 방법?

네, 가져가서 그리세요. 과제는 일반적이며 학생들의 상당 부분이 그림에 능숙하게 대처하지 못합니다.

실시예 1

방정식으로 주어진 타원을 구성하십시오

해결책: 먼저 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다.

왜 가져와? 정준 방정식의 장점 중 하나는 바로 다음을 결정할 수 있다는 것입니다. 타원 정점, 점에 있습니다. 각 점의 좌표가 방정식을 만족함을 쉽게 알 수 있습니다.

에 이 경우 :


선분~라고 불리는 장축타원;
선분 – 단축;
숫자 ~라고 불리는 반장축타원;
숫자 – 반단축.
우리의 예에서: .

이 또는 저 타원이 어떻게 생겼는지 빠르게 상상하려면 표준 방정식의 "a"와 "be" 값을 살펴보세요.

모든 것이 훌륭하고 깔끔하고 아름답지만 한 가지 주의할 점이 있습니다. 프로그램을 사용하여 그림을 그렸습니다. 그리고 당신은 어떤 응용 프로그램으로 그릴 수 있습니다. 그러나 가혹한 현실 속에서 탁자 위에 체크무늬 종이 한 장이 놓여 있고 우리 손에는 쥐들이 춤을 춥니다. 물론 예술적 재능을 가진 사람들은 논쟁을 벌일 수 있지만 쥐도 있습니다(작기는 하지만). 인류가 통치자, 나침반, 각도기 및 기타 간단한 그림 그리기 장치를 발명한 것은 헛된 일이 아닙니다.

이러한 이유로 우리는 꼭짓점만 알고 있는 타원을 정확하게 그릴 수 없을 것입니다. 예를 들어 반축과 같이 타원이 작은 경우에도 좋습니다. 또는 축척과 그에 따라 도면 치수를 줄일 수 있습니다. 그러나 일반적으로 추가 포인트를 찾는 것이 매우 바람직합니다.

타원을 구성하는 방법에는 기하와 대수라는 두 가지 접근 방식이 있습니다. 알고리즘이 짧고 그림이 복잡하기 때문에 나침반과 자로 건물을 짓는 것을 좋아하지 않습니다. 비상시에는 교과서를 참고하시기 바랍니다만, 실제로는 대수학의 도구를 사용하는 것이 훨씬 합리적입니다. 초안의 타원 방정식에서 다음을 빠르게 표현합니다.

그런 다음 방정식은 두 가지 기능으로 나뉩니다.
- 타원의 위쪽 호를 정의합니다.
– 타원의 아래쪽 호를 정의합니다.

모든 타원은 좌표축과 원점에 대해 대칭입니다.. 그리고 그것은 훌륭합니다. 대칭은 거의 항상 공짜의 선구자입니다. 분명히 첫 번째 좌표 분기를 처리하는 것으로 충분하므로 함수가 필요합니다. . 횡좌표로 추가 점 찾기를 제안합니다. . 계산기에서 3개의 SMS를 눌렀습니다.

물론 계산에 심각한 오류가 발생하면 건설 중에 이것이 즉시 명확해질 것이라는 것도 즐겁습니다.

도면에 점(빨간색)을 표시하고 다른 호(파란색)에 대칭점을 표시하고 전체 회사를 선으로 조심스럽게 연결합니다.


초기 스케치를 얇고 얇게 그린 다음 연필에 압력을 가하는 것이 좋습니다. 결과는 꽤 괜찮은 타원이어야 합니다. 그런데 이 곡선이 무엇인지 알고 싶습니까?

2차 주문 라인

플랫 라인, 데카르트 직교 좌표만족하는 사람 대수 방정식 2급

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

방정식(*)은 실제 기하학적 이미지를 결정하지 않을 수 있지만 이러한 경우 일반성을 위해 가상의 선형 표현을 결정한다고 합니다. 명사. 계수 값에 따라 일반 방정식(*) 아래의 9가지 표준 보기 중 하나로 좌표계의 원점과 회전을 평행 이동하여 변환할 수 있으며, 각각은 특정 클래스의 선에 해당합니다. 정확히,

깨지지 않는 라인:

y 2 = 2px - 포물선,

줄 바꿈:

x 2 - a 2 \u003d 0 - 평행선 쌍,

x 2 + a 2 \u003d 0 - 가상의 평행선 쌍,

x 2 = 0 - 일치하는 평행선 쌍.

외모 연구 L. in. 일반 방정식을 정준 형태로 줄이지 않고 수행할 수 있습니다. 이것은 소위 가치의 공동 고려에 의해 달성됩니다. L.v.의 기본 불변량 명사 - 방정식 (*)의 계수로 구성된 표현식, 그 값은 좌표계의 평행 평행 이동 및 회전으로 변경되지 않습니다.

S \u003d a 11 + a 22,(이지 = 이지).

따라서 예를 들어 타원은 부패하지 않는 선으로 Δ ≠ 0이라는 사실이 특징입니다. 불변 δ의 양수 값은 타원을 다른 유형의 비 소멸 선과 구별합니다(쌍곡선 δ의 경우

세 가지 주요 불변량 Δ, δ 및 S는 LV를 결정합니다. (평행선의 경우 제외) 유클리드 평면의 운동(운동 참조)까지: 두 선의 해당 불변량 Δ, δ 및 S가 같으면 이러한 선은 운동에 의해 중첩될 수 있습니다. 즉, 이 선은 평면의 동작 그룹과 관련하여 동일합니다(미터법적으로 동일).

L.의 분류가 있습니다. 다른 변환 그룹의 관점에서. 따라서 모션 그룹보다 상대적으로 더 일반적입니다. 아핀 변환 그룹(아핀 변환 참조) - 동일한 표준 형식의 방정식으로 정의된 두 개의 선은 동일합니다. 예를 들어, 두 개의 유사한 L. in. 명사. (유사성 참조) 동등한 것으로 간주됩니다. 선형 c.v.의 서로 다른 아핀 클래스 간의 연결 무한대의 요소가 특별한 역할을 하지 않는 투영 기하학(사영 기하학 참조)의 관점에서 분류를 설정할 수 있습니다. 진짜 비붕괴 L. in. 등: 타원, 쌍곡선 및 포물선은 하나의 투영 클래스를 형성합니다 - 실제 타원 선(타원)의 클래스. 실제 타원 선은 무한대에서 선에 대한 상대적 위치에 따라 타원, 쌍곡선 또는 포물선입니다. 타원은 두 개의 가상 점에서 부적절한 선과 교차하고, 두 개의 서로 다른 실수 점에서 쌍곡선은 교차하며, 포물선은 부적절한 선에 닿습니다. ; 이 선을 서로 연결하는 투영 변환이 있습니다. L.v.에는 5개의 투영 등가 클래스만 있습니다. 명. 정확히,

비퇴화 라인

(x 1 , x 2 , x 3- 균질 좌표):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - 실제 타원,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - 상상의 타원,

퇴화 라인:

x 1 2 - x 2 2= 0 - 한 쌍의 실제 선,

x 1 2 + x 2 2= 0 - 한 쌍의 가상선,

x 1 2= 0 - 일치하는 한 쌍의 실수 라인.

A. B. 이바노프.

위대한 소비에트 백과사전. - M.: 소련 백과사전. 1969-1978 .

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꼭짓점을 통과하지 않는 평면으로 직각 원뿔을 절단하여 얻은 선. 케이에스 세 가지 유형이 될 수 있습니다. 1) 절단면은 캐비티 중 하나의 지점에서 원뿔의 모든 생성기와 교차합니다(그림, a): 교차선 ... ... 수학 백과사전

기하학 섹션. 대수기하학의 기본 개념은 가장 단순한 기하학적 이미지(점, 선, 평면, 곡선 및 2차 곡면)입니다. A.g.의 주요 연구 수단은 좌표 방법 (아래 참조)과 방법 ... ... 위대한 소비에트 백과사전

서적

• 해석 기하학의 짧은 과정, Efimov Nikolai Vladimirovich. 분석 기하학의 연구 주제는 데카르트 좌표에서 1 차 또는 2 차 방정식으로 제공되는 그림입니다. 평면에서 이들은 직선과 2차 선이다. ...

8.3.15. 점 A는 선 위에 있습니다. 점 A에서 평면까지의 거리

8.3.16. 직선에 대칭인 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

비행기를 기준으로 .

8.3.17. 평면에 투영 방정식 작성 다음 줄:

ㅏ) ;

비)

안에) .

8.3.18. 평면과 선 사이의 각도를 찾으십시오.

ㅏ) ;

비) .

8.3.19. 점에 대칭인 점 찾기 선을 통과하는 평면에 대해:

그리고

8.3.20. 점 A는 선 위에 있습니다.

점 A에서 직선까지의 거리 같음 . 점 A의 좌표를 찾으십시오.

§ 8.4. 2차 곡선

평면에 직교 좌표계를 설정하고 2차 일반 방정식을 고려합시다.

여기서 .

좌표가 방정식 (8.4.1)을 충족하는 평면의 모든 점 집합을 호출합니다. 구부러진 (선) 두 번째 순서.

2차 곡선의 경우 이 곡선의 방정식이 다음 형식 중 하나를 갖는 정준(canonical)이라고 하는 직교 좌표계가 있습니다.

1) (타원);

2) (가상 타원);

3) (가상의 교차 선 쌍);

4) (쌍곡선);

5) (교차선 쌍);

6) (포물선);

7) (한 쌍의 평행선);

8) (가상의 평행선 쌍);

9) (일치하는 한 쌍의 선).

방정식 1) - 9)가 호출됩니다. 2차 곡선의 정준 방정식.

2차 곡선의 방정식을 정준 형태로 줄이는 문제의 해결은 곡선의 정준 방정식과 정준 좌표계를 찾는 것을 포함합니다. 표준 형식으로 축소하면 곡선의 매개변수를 계산하고 원래 좌표계를 기준으로 곡선의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. 원래의 직교 좌표계에서 전환 정식으로 점 O를 중심으로 원래 좌표계의 축을 각도 j만큼 회전시키고 좌표계의 후속 평행 전송에 의해 수행됩니다.

2차 곡선 불변량(8.4.1)은 방정식 계수의 함수라고하며, 한 직교 좌표계에서 동일한 시스템의 다른 직교 좌표계로 이동할 때 값이 변경되지 않습니다.

2차 곡선(8.4.1)의 경우 제곱 좌표에서 계수의 합

,

선행 항의 계수로 구성된 행렬식

및 3차 행렬식

불변이다.

불변량 s, d, D의 값은 유형을 결정하고 2차 곡선의 정준 방정식을 구성하는 데 사용할 수 있습니다.

표 8.1.

불변량을 기반으로 한 2차 곡선의 분류

타원, 쌍곡선 및 포물선에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

타원(그림 8.1)은 평면에서 두 고정점까지의 거리의 합이 되는 점의 자취입니다. 라고 불리는 이 비행기 타원 트릭, 상수 값(초점 사이의 거리보다 큼)입니다. 이것은 타원 초점의 일치를 배제하지 않습니다. 초점이 같으면 타원은 원입니다.

타원의 점에서 초점까지의 거리의 절반 합은 a로 표시되며 초점 - c 사이의 거리의 절반입니다. 타원의 초점이 원점에 대해 대칭적으로 Ox 축에 위치하도록 평면의 직교 좌표계가 선택되면 이 좌표계에서 타원은 다음 방정식으로 주어집니다.

, (8.4.2)

~라고 불리는 타원의 정준 방정식, 어디 .

쌀. 8.1

지정된 직사각형 좌표계를 선택하면 타원은 좌표축과 원점에 대해 대칭이 됩니다. 타원의 대칭축은 그것을 축, 그리고 대칭의 중심은 타원의 중심. 동시에 숫자 2a와 2b는 종종 타원의 축이라고 부르고 숫자 a와 b는 큰그리고 반단축각기.

타원과 그 축의 교차점을 타원의 정점. 타원의 꼭짓점에는 (a,0), (-a,0), (0,b), (0,-b) 좌표가 있습니다.

타원 편심번호를 불렀다

0파운드부터

.

이것은 편심이 타원의 모양을 특징짓는다는 것을 보여줍니다. e가 0에 가까울수록 타원이 원처럼 보입니다. e가 증가할수록 타원이 더 길어집니다.

이제 2차 곡선의 affine 분류가 곡선 자체의 이름으로 주어짐을 보여줍니다. 즉, 2차 곡선의 affine 클래스는 클래스입니다.

실제 타원;

가상 타원;

과장법;

실제 교차 선 쌍;

교차하는 허수(공액) 쌍;

평행한 실수선 쌍;

평행한 허수 켤레선 쌍;

일치하는 실제 선의 쌍.

다음 두 가지 진술을 증명해야 합니다.

A. 같은 이름의 모든 곡선(즉, 모든 타원, 모든 쌍곡선 등)은 서로 유사합니다.

B. 이름이 다른 두 곡선은 결코 동등하지 않습니다.

우리는 주장 A를 증명합니다. 15장, § 3에서 모든 타원은 그 중 하나, 즉 원, 즉 모든 쌍곡선은 쌍곡선과 유사하게 동일하다는 것이 이미 입증되었습니다. 서로. 반지름이 1인 원과 유사하게 동일한 모든 가상 타원도 서로 유사하게 동일합니다.

모든 포물선의 아핀 등가를 증명합시다. 우리는 모든 포물선이 서로 비슷하다는 것을 더 많이 증명할 것입니다. 어떤 좌표계에서 주어진 포물선이 그것의 정준 방정식에 의해

포물선처럼

이를 위해 평면에 계수 -를 사용하여 유사성 변환을 적용합니다.

그런 다음 변형 곡선에서

곡선으로 간다

즉, 포물선으로

Q.E.D.

쇠퇴하는 곡선으로 넘어갑시다. § 공식 (9) 및 (11), pp. 401 및 402)에서 일부(직사각형) 좌표계에서 한 쌍의 교차 선으로 분해되는 곡선이 다음 방정식을 갖는 것으로 입증되었습니다.

추가 좌표 변환 수행

우리는 한 쌍의 교차 실수, 가상 켤레 직선, 직선으로 분해되는 모든 곡선이 어떤 유사 좌표계에서 방정식을 가지고 있음을 알 수 있습니다.

한 쌍의 평행선으로 분할되는 곡선의 경우 각각은 다음 방정식으로 나타낼 수 있습니다(일부 직교 좌표계에서도).

각각 실제

상상의, 직접. 좌표 변환을 통해 이러한 방정식(또는 일치하는 선에 대해)을 입력할 수 있습니다. 이는 동일한 이름을 가진 모든 쇠퇴하는 2차 곡선의 아핀 등가를 의미합니다.

우리는 주장 B의 증명으로 돌아갑니다.

우선, 평면의 아핀 변환에서 대수 곡선의 순서가 변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 또한, 2차의 감쇠 곡선은 한 쌍의 선이며, 아핀 변환에서 선은 선으로, 한 쌍의 교차 선은 한 쌍의 교차 선으로, 한 쌍의 평행선은 쌍으로 병렬 것의; 또한 실제 선은 실제가 되고 가상의 선은 가상이 됩니다. 이는 아핀 변환을 정의하는 공식 (3)(11장, § 3)의 모든 계수가 실수라는 사실에서 비롯됩니다.

주어진 감쇠 2차 곡선과 유사하게 동일한 선이 같은 이름의 감쇠 곡선이라는 것은 이미 말한 것에서 비롯됩니다.

우리는 비분해 곡선으로 넘어갑니다. 다시 말하지만, 아핀 변환을 사용하면 실제 곡선이 가상 곡선으로 들어갈 수 없으며 그 반대도 마찬가지입니다. 따라서 가상 타원의 클래스는 아핀 불변입니다.

타원, 쌍곡선, 포물선과 같은 실제 비분해 곡선의 클래스를 고려하십시오.

2차의 모든 곡선 중에서 모든 타원과 하나의 타원은 일부 직사각형에 있는 반면 포물선과 쌍곡선(모든 감쇠 곡선 포함)은 무한대로 확장됩니다.

아핀 변환에서 주어진 타원을 포함하는 직사각형 ABCD는 변환된 곡선을 포함하는 평행사변형으로 이동하므로 무한대로 갈 수 없으므로 타원입니다.

따라서 타원과 유사하게 동일한 곡선은 필연적으로 타원입니다. 쌍곡선이나 포물선과 유사하게 등가인 곡선은 타원이 될 수 없다는 것이 증명된 바에 따릅니다. 평면의 변환에서 쌍곡선은 포물선으로 통과할 수 없으며, 반대로 이것은 아마도 포물선에 대칭 중심이 없는 반면 쌍곡선은 있다는 사실에서 가장 간단하게 따를 것입니다. 그러나 대칭 중심이 없기 때문에 포물선은 다음 장에서만 증명될 것입니다. 이제 우리는 쌍곡선과 포물선의 비등가 관계와 관련된 매우 간단한 두 번째 증명을 제공할 것입니다.

보조정리. 포물선이 주어진 선 d의 평면에 정의된 두 개의 반평면 각각과 공통점을 갖는다면, 포물선은 그 선과 적어도 하나의 공통점을 갖습니다.

실제로, 주어진 포물선이 방정식을 갖는 좌표계가 있음을 보았습니다.

이 좌표계를 기준으로 직선 d가 방정식을 갖습니다.

가정에 따르면 포물선에는 두 개의 점이 있으며 그 중 하나는 방정식 (1)과 관련하여 양수에 있고 다른 하나는 음수 반평면에 있다고 가정합니다. 따라서 우리가 쓸 수 있음을 기억하십시오.

구체적인 예를 들어 이를 설명하기 위해 이 해석에서 다음 진술에 해당하는 내용을 보여 드리겠습니다. (실제 또는 허수) 점 P는 (실제 또는 허수) 선 g에 있습니다. 물론 이 경우에는 다음과 같은 경우를 구분할 필요가 있습니다.

1) 실점과 실선,

2) 실수점과 가상선,

사례 1) 당사의 특별한 설명이 필요하지 않습니다. 여기에 일반 기하학의 기본 관계 중 하나가 있습니다.

2)의 경우, 주어진 허수선과 함께 켤레 복소수 선은 반드시 주어진 실수점을 통과해야 합니다. 결과적으로 이 점은 가상선을 나타내는 데 사용하는 광선 묶음의 꼭짓점과 일치해야 합니다.

유사하게, 3)의 경우 실제 선은 주어진 허수점의 대표자 역할을 하는 점의 직선 인벌루션의 지원과 동일해야 합니다.

가장 흥미로운 경우는 4)(그림 96): 여기에서 분명히 복소수 켤레점도 복소수 켤레선 위에 있어야 하므로 점 P를 나타내는 점의 인벌루션의 각 점 쌍은 다음 위치에 있어야 합니다. 직선 g를 나타내는 선의 인볼루션의 일부 선 쌍에서, 즉 이 두 인볼루션은 서로에 대해 원근법적으로 위치해야 합니다. 게다가, 두 인볼루션의 화살표도 원근법에 배치된다는 것이 밝혀졌습니다.

일반적으로 복잡한 영역에도 주의를 기울이는 평면의 분석 기하학에서 모든 실제 점과 선 세트에 새로운 요소를 추가하면 이 평면의 완전한 실제 그림을 얻을 수 있습니다. 방향의 화살표와 함께 위에서 고려한 수치. 복잡한 기하학에 대한 그러한 실제 그림의 구성이 어떤 형태를 취하는지 일반적인 개요를 설명하면 여기에서 충분할 것입니다. 그렇게 함으로써 나는 기본 기하학의 첫 번째 명제가 지금 일반적으로 제시되는 순서를 따를 것입니다.

1) 그것들은 존재의 공리로 시작하는데, 그 목적은 일반 기하학과 비교하여 확장된 영역에서 방금 언급한 요소의 존재에 대한 정확한 공식을 제공하는 것입니다.

2) 그런 다음 항목 1)에서 정의한 확장 영역에서도 해당되는 연결 공리! 단 하나의 선은 (모든) 두 점을 통과하고 (임의의) 두 선은 하나의 공통 점을 가지고 있습니다.

동시에 위의 경우와 마찬가지로 주어진 요소가 실제인지 여부에 따라 매번 4가지 경우를 구별해야 하며, 점과 선의 인볼루션이 있는 실제 구성이 이미지 역할을 정확히 하는 것이 무엇인지 생각하는 것은 매우 흥미로운 것 같습니다. 이러한 복잡한 관계.

3) 배열(질서)의 공리와 관련하여 여기서 실제 관계와 비교하여 완전히 새로운 상황이 발생합니다. 특히 하나의 고정된 선에 놓여 있는 모든 실수 및 복소수 점과 하나의 고정된 점을 통과하는 모든 광선은 2차원 연속체를 형성합니다. 결국, 우리 각자는 기능 이론 연구에서 평면의 모든 점으로 복잡한 변수 값의 전체를 나타내는 습관을 배웠습니다.

4) 마지막으로 연속성 공리와 관련하여 여기에서는 실제 점에 원하는 만큼 가깝게 놓여 있는 복잡한 점을 나타내는 방법만 표시하겠습니다. 이렇게 하려면 취한 실제 점 P를 통해(또는 그것에 가까운 다른 실제 점을 통해) 직선을 그리고 서로를 분리하는 두 쌍의 점을 고려해야 합니다(즉, "교차 방식으로 누워 ") 한 쌍의 점(그림 . 97)에서 다른 쌍에서 가져온 두 점이 서로 가깝고 점 P에 가깝게 놓이도록 합니다. 지금 우리가 점들을 무기한으로 모으면, 명명된 점 쌍에 의해 정의된 인볼루션이 퇴화합니다. 다른 화살표)는 통과하므로 P에 가까운 어떤 지점까지 연속적이거나 심지어 P에 직접 연결됩니다. 물론 이러한 연속성 개념을 잘 사용하려면 세부적으로 작업해야 합니다.

이 모든 구성은 일반적인 실제 기하학과 비교하여 다소 번거롭고 지루하지만 비교할 수 없을 정도로 더 많이 줄 수 있습니다. 특히, 실제와 복잡한 요소의 집합으로 이해되는 대수적 이미지를 완전한 기하학적 명료성 수준으로 끌어 올릴 수 있으며 대수학의 기본 정리와 같은 정리를 그림 자체에서 명확하게 이해할 수 있습니다. 또는 두 개의 곡선 차수가 일반적으로 말해서 정확히 공통점을 갖는다는 Bezout의 정리. 이를 위해서는 물론 지금까지 해왔던 것보다 훨씬 더 정확하고 예시적인 형태로 기본 조항을 이해하는 것이 필요합니다. 그러나 문헌에는 이미 그러한 조사에 필요한 모든 자료가 포함되어 있습니다.

그러나 대부분의 경우 이 기하학적 해석을 적용하면 모든 이론적 이점이 있음에도 불구하고 근본적인 가능성에 만족해야 하고 실제로 다음과 같은 보다 순진한 관점으로 돌아가야 하는 복잡한 문제가 발생합니다. 복소점은 세 개의 복소 좌표의 집합이며 실제 점과 정확히 같은 방식으로 조작할 수 있습니다. 실제로, 근본적인 추론을 삼가고 가상 요소를 도입하는 것은 가상의 순환 점이나 구의 원을 다루어야 하는 경우에 항상 유익한 것으로 판명되었습니다. 이미 언급했듯이 Poncelet은 이러한 의미에서 처음으로 가상의 요소를 사용하기 시작했습니다. 이 점에서 그의 추종자들은 주로 Chall과 Darboux와 같은 다른 프랑스 기하학자들이었다. 독일에서는 많은 기하학자들, 특히 Lie가 또한 이러한 상상적 요소에 대한 이해를 큰 성공으로 적용했습니다.

상상의 영역으로의 이 탈주와 함께 나는 내 과정의 두 번째 섹션 전체를 끝내고 새로운 챕터로 넘어갑니다.