Oleg in Valentina Svetovid sta mistika, specialista za ezoteriko in okultizem,...
Zgodovina Kaliningrajske trgovinske in ekonomske šole je stran v zgodovini regije, ki se piše od leta 1946. V zadnjem času je na fakulteti diplomiralo več kot 25 tisoč strokovnjakov.
Od leta 2004 je šola postala eksperimentalna platforma za Moskovski inštitut za razvoj srednjega poklicnega izobraževanja na temo "Razširjanje evropskih izkušenj pri ustvarjanju in organizaciji centrov za izobraževanje odraslih in centrov za odprto izobraževanje v regiji." Že deset let je član Ruskega združenja za marketing in ima status socialne šole. Slednjega je šoli podelila deželna uprava za nenehno podporo socialno ogroženim študentom, učiteljem, upokojencem, vojaškim osebam in njihovim družinskim članom, zaposlenim učiteljem in osebju.
Študenti se usposabljajo na Kaliningradski trgovinski in ekonomski fakulteti na petih fakultetah: tehnologiji in storitvah, upravljanju trženja, pravu, ekonomiji in računovodstvu ter netradicionalnih oblikah izobraževanja. Izobraževalno področje šole vključuje šestnajst specialnosti. Sem sodijo tehnologija priprave hrane, živilska trgovina, trgovina, management, trženje, računovodsko-odvetniška dejavnost, bančništvo, organizacija storitev v hotelskem kompleksu, finance, turizem in še marsikaj.
Visoka šola ima Center za karierno orientacijo in usposabljanje kandidatov. Na fakulteti za netradicionalne oblike izobraževanja lahko ne samo izboljšate svoje kvalifikacije, temveč tudi pridobite novo specialnost, ne da bi prekinili službo. Trenutno odprto izobraževalno središče je osredotočeno na pomoč pri strokovnem usposabljanju v več kot dvajsetih specialitetah. Tukaj lahko izboljšate svoje sposobnosti in opravite prekvalifikacijo. Metode so raznolike: poslovne igre, usposabljanja, seminarji, vaje, odprta srečanja, konference, projektno delo.Vse to omogoča študentom, da čim bolj usvojijo predlagano gradivo.
Sodelovanje s Kaliningrajsko državno univerzo, Kaliningrajsko državno tehnično univerzo in Baltsko državno akademijo omogoča šoli usposabljanje strokovnjakov, katerih znanje postane kapital in glavni vir za gospodarski razvoj regije. V letih te interakcije je več kot dvesto diplomantov prejelo visokošolsko izobrazbo na posebni fakulteti s skrajšanim obdobjem študija. Vsi so povpraševani v gospodarskem kompleksu regije, mnogi so se uvrstili v elito podjetniškega korpusa regije.
Kaliningrajska trgovinska in ekonomska šola je vzpostavila komunikacije in aktivno sodeluje z Dansko, Švedsko, Nemčijo, Poljsko in Finsko. Ekipa sodeluje v mednarodnih izobraževalnih projektih. Njihove teme so raznolike, vključujejo tako pomembne teme, kot so "Pomoč kaliningradskim oblastem pri razvoju malih in srednje velikih podjetij", "Pomoč častnikom in brezposelnim članom njihovih družin pri pridobivanju civilnih specialitet za nadaljnjo zaposlitev", "Usposabljanje učiteljev v andragogija in razvijanje podjetniških programov usposabljanja aktivnosti v Kaliningradu" in podobno.
Leta 1999 je v okviru mednarodnega projekta zahvaljujoč prizadevanjem Lydie Ivanovne Motolyanets, namestnice direktorja za akademske zadeve, nastalo simulacijsko podjetje - model podjetja, ki odraža dejavnosti resnične trgovske organizacije, učinkovita specializirana oblika izpopolnjevanja kadrov na vseh ravneh, ki delujejo na področju malega gospodarstva.
Poslanstvo kolektiva - zagotavljati izobraževanje, ki bo ustrezalo potrebam družbe in prispevalo k oblikovanju celovite osebnosti - je v celoti izpolnjeno. Kaliningrad Trade and Economic College je strokovnost, odgovornost, prestiž.
KTEK
PCC ekonomije in računovodstva
15 izvodov, 2006
Uvod. 4
Koncept derivata. 5
Delni derivati. enajst
Prevojne točke. 16
Vaje za reševanje. 17
Test. 20
Odgovori na vaje.. 21
Literatura. 23
Uvod
f(x x, potem pokličejo mejni produkt; če g(x) g(x) g′(x) klical mejni stroški.
na primer Naj bo funkcija znana u=u(t) u med delom t. ∆t=t 1 - t 0:
z povpr. =
z povpr. pri ∆t→ 0: .
Proizvodni stroški K x, da lahko pišemo K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).
Omejitev 
klical
Koncept derivata
Odvod funkcije v točki x 0 se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, pod pogojem, da prirastek argumenta teži k nič.
Zapis funkcije izpeljave:
to. predhodni:
Algoritem za iskanje izpeljanke:
Naj funkcija y=f(x) neprekinjeno na segmentu , x
1. Poiščite prirastek argumenta:
x– nova vrednost argumenta
x 0- začetna vrednost
2. Poiščite prirastek funkcije:
f(x)– nova vrednost funkcije
f(x 0)- začetna vrednost funkcije
3. Poiščite razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta:
4. Poiščite mejo najdenega razmerja pri
Poiščite odvod funkcije na podlagi definicije odvoda.
rešitev:
Dajmo X prirastek Δх, potem bo nova vrednost funkcije enaka:
Poiščimo prirastek funkcije kot razliko med novo in začetno vrednostjo funkcije:
Najdemo razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta:
.
Poiščimo mejo tega razmerja, če:
Zato po definiciji derivata: 
.
Iskanje odvoda funkcije se imenuje diferenciacija.
funkcija y=f(x) klical razločljiv na intervalu (a;b), če ima v vsaki točki intervala odvod.
IzrekČe je funkcija diferenciabilna v dani točki x 0, potem je na tej točki neprekinjen.
Obratna izjava je napačna, ker Obstajajo funkcije, ki so na neki točki zvezne, vendar jih na tej točki ni mogoče razlikovati. Na primer, funkcija v točki x 0 =0.
Poiščite odvode funkcij
1) 
.
2) 
.
Izvedimo enake transformacije funkcije:
Izpeljanke višjega reda
Izpeljanka drugega reda imenujemo odvod prvega odvoda. Določeno
Izpeljanka n-vrstnega reda imenujemo odvod odvoda (n-1) reda.
Na primer, 
Delni derivati
Delni derivat funkcija več spremenljivk glede na eno od teh spremenljivk se imenuje odvod, vzet glede na to spremenljivko, pod pogojem, da vse druge spremenljivke ostanejo konstantne.
Na primer, za funkcijo 
delni odvodi prvega reda bodo enaki:
Največja in minimalna funkcija
Pokliče se vrednost argumenta, pri kateri ima funkcija največjo vrednost največja točka.
Pokliče se vrednost argumenta, pri kateri ima funkcija najmanjšo vrednost najmanjša točka.
Najvišja točka funkcije je mejna točka prehoda funkcije od naraščajočega k padajočemu, minimalna točka funkcije je mejna točka prehoda od padajočega k naraščajočemu..
funkcija y=f(x) ima (lokalno) maksimum na točki, če za vse x
funkcija y=f(x) ima (lokalno) najmanj na točki, če za vse X, dovolj blizu neenakosti
Največje in najmanjše vrednosti funkcije se skupaj imenujejo skrajnosti, in točke, na katerih so dosežene, se imenujejo ekstremne točke.
Izrek (nujen pogoj za obstoj ekstrema) Naj bo funkcija definirana na intervalu in ima največjo (najmanjšo) vrednost v točki . Potem, če je v točki odvod te funkcije, potem je enak nič, tj. .
Dokaz:
Naj ima funkcija največjo vrednost v točki x 0, potem za vsako velja neenakost: .
Za katero koli točko 
Če je x > x 0, potem, tj. 
Če x< x 0 , то , т.е. 
Ker obstaja , nekaj, kar je možno le, če so enake nič, torej .
Posledica:
Če ima v neki točki diferenciabilna funkcija največjo (najmanjšo) vrednost, potem je v točki tangenta na graf te funkcije vzporedna z osjo Ox.
Imenujemo točke, v katerih je prvi odvod enak nič ali ne obstaja kritično - to so možne ekstremne točke.
Upoštevajte, da je treba nadalje raziskati vprašanje prisotnosti ekstremuma na vsaki točki možnega ekstremuma, ker je enakost prvega odvoda na nič le nujen pogoj za ekstrem.
Izrek(zadostni pogoj za obstoj ekstrema)
Naj funkcija y = f(x) je zvezna in diferencibilna v neki okolici točke x 0.Če pri prehodu skozi točko x 0 od leve proti desni prvi odvod spremeni predznak iz plusa v minus (iz minusa v plus), nato v točki x 0 funkcijo y = f(x) ima maksimum (minimum). Če prvi odvod ne spremeni predznaka, potem ta funkcija v točki nima ekstrema x 0 .
Algoritem za preučevanje funkcije za ekstrem:
1. Poiščite prvi odvod funkcije.
2. Prvi odvod enačite na nič.
3. Reši enačbo. Najdene korenine enačbe so kritične točke.
4. Najdene kritične točke narišite na numerično os. Dobimo vrsto intervalov.
5. V vsakem od intervalov določite predznak prvega odvoda in označite ekstreme funkcije.
6. Če želite izrisati graf:
Ø določite vrednosti funkcije na ekstremnih točkah
Ø poiščite presečišča s koordinatnimi osemi
Ø poiščite dodatne točke
Pločevinka ima obliko okroglega valja s polmerom r in višine h. Ob predpostavki, da se za izdelavo pločevinke uporablja jasno določena količina kositra, določite, v kakšnem razmerju med r in h kozarec bo imel največjo prostornino.
Količina uporabljenega kositra bo enaka celotni površini pločevinke, tj. . (1)
Iz te enakosti najdemo:
Nato lahko količino izračunate po formuli: 
. Problem se zmanjša na iskanje maksimuma funkcije V(r). Poiščimo prvo izpeljanko te funkcije: 
. Izenačimo prvi odvod na nič:
. Najdemo: . (2)
Ta točka je največja točka, ker prvi odvod je pozitiven pri in negativen pri .
Ugotovimo sedaj, pri kakšnem razmerju med polmerom in višino brežine bo nastala največja prostornina. Če želite to narediti, enakost (1) delite z r 2 in uporabite razmerje (2) za S. Dobimo: . Tako bo imel kozarec, katerega višina je enaka premeru, največjo prostornino.
Včasih je zelo težko preučiti predznak prvega odvoda levo in desno od možne ekstremne točke, potem lahko uporabite drugi zadostni pogoj za ekstrem:
Izrek Naj funkcija y = f(x) ima v točki x 0 možen ekstremni končni drugi odvod. Nato funkcija y = f(x) ima na točki x 0 največ, če , in najmanj, če .
Opomba Ta izrek ne reši vprašanja ekstremuma funkcije v točki, če je drugi odvod funkcije v dani točki enak nič ali ne obstaja.
Prevojne točke
Točke krivulje, v katerih je konveksnost ločena od konkavnosti, se imenujejo prevojne točke.
Izrek (nujen pogoj za prevojno točko): Naj ima graf funkcije prevojno točko in funkcija zvezni drugi odvod v točki x 0, potem
Izrek (zadosten pogoj za prevojno točko): Naj ima funkcija drugi odvod v neki okolici točke x 0, ki ima različna predznaka levo in desno od x 0. potem ima graf funkcije prevoj v točki .
Algoritem za iskanje prevojnih točk:
1. Poiščite drugi odvod funkcije.
2. Drugi odvod enačite na nič in rešite enačbo: . Dobljene korenine narišite na številsko premico. Dobimo vrsto intervalov.
3. Poiščite predznak drugega odvoda v vsakem od intervalov. Če sta predznaka drugega odvoda v dveh sosednjih intervalih različna, imamo za dano vrednost korena prevojno točko, če sta predznaka enaka, prevoja ni.
4. Poiščite ordinate prevojnih točk.
Preglejte krivuljo glede konveksnosti in konkavnosti. Poiščite prevojne točke.
1) poišči drugi odvod:
2) Reši neenačbo 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая
3) Rešite neenačbo 2x>0 x>0 za x je krivulja konkavna
4) Poiščemo prevojne točke, za katere izenačimo drugi odvod na nič: 2x=0 x=0. Ker v točki x=0 ima drugi odvod različna predznaka na levi in desni, potem je x=0 abscisa prevojne točke. Poiščimo ordinato prevojne točke:
(0;0) prevojna točka.
Vaje za reševanje
Št. 1 Poiščite odvode teh funkcij, izračunajte vrednost odvodov za dano vrednost argumenta:
| 1. | 5.  | 9. | |||
| 2. | 6. | 10.  |
|||
3.  | 7. | 11.  |
|||
4.  | 8.  | 12.  |
|||
13.  | 14.  | ||||
| 15. | 16. | ||||
Št. 2 Poišči derivate kompleksnih funkcij:
1.  | 2.  |
| 3. | 4. |
5.  | 6.  |
| 7. | 8. |
| 9. | 10. |
| 11. | 12. |
| 13. | 14.  |
15.  | 16. |
| 17. | 18. |
Št. 3 Rešite težave:
1. Poiščite kotni koeficient tangente, narisane na parabolo v točki x=3.
2. Na parabolo y=3x 2 -x v točki x=1 potekata tangenta in normala. Sestavite njihove enačbe.
3. Poiščite koordinate točke, v kateri tangenta na parabolo y=x 2 +3x-10 tvori z osjo OX kot 135 0.
4. Sestavite enačbo za tangento na graf funkcije y=4xx2 v presečni točki z osjo OX.
5. Za katere vrednosti x je tangenta na graf funkcije y=x 3 -x vzporedna z ravno črto y=x.
6. Točka se giblje premočrtno po zakonu S=2t 3 -3t 2 +4. poiščite pospešek in hitrost točke na koncu 3. sekunde. V katerem trenutku bo pospešek enak nič?
7. Kdaj je hitrost točke, ki se giblje po zakonu S=t 2 -4t+5 enaka nič?
#4 Raziščite funkcije z uporabo izpeljank:
1. Preverite monotonost funkcije y = x 2
2. Poiščite intervale naraščajočih in padajočih funkcij 
.
3. Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije.
4. Raziščite maksimalno in minimalno funkcijo 
.
5. Preglejte funkcijo za ekstrem 
.
6. Raziščite funkcijo y=x3 za ekstrem
7. Preglejte funkcijo za ekstrem 
.
8. Število 24 razdeli na dva člena tako, da bo njun produkt največji.
9. Iz lista papirja je treba izrezati pravokotnik s površino 100 cm 2, tako da je obseg tega pravokotnika najmanjši. Kakšne naj bodo stranice tega pravokotnika?
10. Preglejte funkcijo y=2x 3 -9x 2 +12x-15 za ekstrem in sestavite njen graf.
11. Preglejte krivuljo glede konkavnosti in konveksnosti.
12. Poiščite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulje 
.
13. Poiščite prevojne točke funkcij: a) ; b) .
14. Raziščite funkcijo in zgradite njen graf.
15. Raziščite funkcijo in zgradite njen graf.
16. Raziščite funkcijo 
in ga začrtaj.
17. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije y=x 2 -4x+3 na odseku
Testna vprašanja in primeri
1. Definiraj izpeljanko.
2. Kaj imenujemo povečanje argumenta? povečanje funkcije?
3. Kakšen je geometrijski pomen izpeljanke?
4. Kaj imenujemo diferenciacija?
5. Naštejte glavne lastnosti izpeljanke.
6. Katera funkcija se imenuje kompleksna? vzvratno?
7. Podajte koncept odvoda drugega reda.
8. Oblikujte pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije?
9. Telo se giblje premočrtno po zakonu S=S(t). Kaj lahko rečete o gibanju, če:
5. Funkcija narašča v določenem intervalu. Ali iz tega sledi, da je njegov odvod na tem intervalu pozitiven?
6. Kaj imenujemo ekstremi funkcije?
7. Ali največja vrednost funkcije na nekem intervalu nujno sovpada z vrednostjo funkcije v točki maksimuma?
8. Funkcija je definirana na . Ali je lahko točka x=a ekstremna točka te funkcije?
10. Odvod funkcije v točki x 0 je nič. Ali iz tega sledi, da je x 0 ekstremna točka te funkcije?
Test
1. Poiščite izpeljanke teh funkcij:
A)  | e) |
| b) | in)  |
z)  | h)  |
| d) | in) |
2. Zapiši enačbe tangent na parabolo y=x 2 -2x-15: a) v točki z absciso x=0; b) v presečišču parabole z abscisno osjo.
3. Določite intervale naraščajoče in padajoče funkcije
4. Raziščite funkcijo in jo grafično sestavite
5. V času t=0 poiščite hitrost in pospešek točke, ki se giblje po zakonu s =2e 3 t
Odgovori na vaje
5. 
7. 
9. 
11. 
12. 
13. 
14. 
2. 
3. 
4. 
(rezultat je bil dobljen z uporabo formule odvoda kvocienta). Ta primer lahko rešite drugače:
5. 
8. Produkt bo največji, če je vsak člen enak 12.
9. Obseg pravokotnika bo najmanjši, če so stranice pravokotnika 10 cm, tj. morate izrezati kvadrat.
17. Na segmentu zavzame funkcija največjo vrednost 3, ko x=0 in najmanjša vrednost enaka –1 at x=2.
Literatura
| 1. | Vlasov V.G. Zapiski predavanj o višji matematiki, Moskva, Iris, 96. | |
| 2. | Tarasov N.P. Tečaj višje matematike za tehnične šole, M., 87 | |
| 3. | I.I.Valuta, G.D. Diligul Matematika za tehnične šole, M., Znanost, 90g | |
| 4. | I.P.Matskevich, G.P.Svirid Višja matematika, Minsk, Višje. Šola, 93 | |
| 5. | V.S. Shchipachev Osnove višje matematike, M. Višja šola89 | |
| 6. | V. S. Shchipachev Višja matematika, M. Višja šola 85 | |
| 7. | V.P.Minorsky Zbirka nalog iz višje matematike, M. Nauka 67g | |
| 8. | O.N.Afanasyeva Zbirka nalog iz matematike za tehnične šole, M.Nauka 87g | |
| 9. | V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik Matematika, M.Višja šola 91g | |
| 10. | N.V. Bogomolov Praktične lekcije iz matematike, M. Višja šola 90 | |
| 11. | H.E. Krynsky Matematika za ekonomiste, M. Statistika 70g | |
| 12. | L.G.Korsakova Višja matematika za menedžerje, Kaliningrad, KSU, 97. |
KALININGRADSKA TRGOVINSKA IN EKONOMSKA ŠOLA
pri preučevanju teme
"izpeljanka funkcije"
za študente specialnosti 080110 "Ekonomija in računovodstvo", 080106 "Finance",
080108 “Bančništvo”, 230103 “Sistemi za avtomatsko obdelavo informacij in upravljanje”
Sestavila E.A. Fedorova
KALININGRAD
Recenzenti: Natalya Vladimirovna Gorskaya, učiteljica, Kaliningrad Trade and Economic College
Ta priročnik obravnava osnovne koncepte diferencialnega računa: pojem odvoda, lastnosti odvodov, uporabo v analitični geometriji in mehaniki, podane so osnovne diferenciacijske formule, podani so primeri za ponazoritev teoretičnega gradiva. Priročnik je dopolnjen z vajami za samostojno delo, odgovori nanje, vprašanji in vzorčnimi nalogami za srednjo kontrolo znanja. Namenjen študentom, ki študirajo disciplino "Matematika" v srednjih specializiranih izobraževalnih ustanovah, študirajo redno, izredno, večerno, eksterno ali imajo brezplačno obiskovanje.
KTEK
PCC ekonomije in računovodstva
15 izvodov, 2006
Uvod. 4
Zahteve po znanju in spretnostih... 5
Koncept derivata. 5
Geometrijski pomen izpeljanke. 7
Mehanski pomen izpeljanke. 7
Osnovna pravila razlikovanja. 8
Formule za razlikovanje osnovnih funkcij. 9
Odvod inverzne funkcije. 9
Diferenciacija kompleksnih funkcij. 10
Derivati višjih redov. enajst
Delni derivati. enajst
Preučevanje funkcij z uporabo odvodov. enajst
Naraščajoča in padajoča funkcija. enajst
Maksimalne in minimalne funkcije. 13
Konveksnost in konkavnost krivulje. 15
Prevojne točke. 16
Splošna shema za preučevanje funkcij in konstruiranje grafov. 17
Vaje za reševanje. 17
Testna vprašanja in primeri.. 20
Test. 20
Odgovori na vaje.. 21
Literatura. 23
Uvod
Matematična analiza ponuja številne temeljne pojme, s katerimi ekonomist operira: funkcija, meja, odvod, integral, diferencialna enačba. V ekonomskih raziskavah se za označevanje izvedenih finančnih instrumentov pogosto uporablja posebna terminologija. Na primer, če f(x) je proizvodna funkcija, ki izraža odvisnost proizvodnje katerega koli proizvoda od stroškov dejavnika x, potem pokličejo mejni produkt; če g(x) obstaja stroškovna funkcija, tj. funkcijo g(x) izraža odvisnost skupnih stroškov od obsega proizvodnje x, torej g′(x) klical mejni stroški.
Marginalna analiza v ekonomiji– nabor tehnik za preučevanje spreminjajočih se vrednosti stroškov ali rezultatov, ko se spremeni obseg proizvodnje, porabe itd. na podlagi analize njihovih mejnih vrednosti.
na primer iskanje produktivnosti dela. Naj bo funkcija znana u=u(t), ki izraža količino proizvedenih izdelkov u med delom t. Izračunajmo količino proizvedenih izdelkov skozi čas ∆t=t 1 - t 0:
u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).
Povprečna produktivnost dela se imenuje razmerje med količino proizvedenih izdelkov in porabljenim časom, tj. z povpr. =
Produktivnost delavcev v trenutku t 0 se imenuje meja, h kateri teži z povpr. pri ∆t→ 0: . Izračun produktivnosti dela se tako zmanjša na izračun derivata:
Proizvodni stroški K homogena proizvodnja je funkcija količine proizvodnje x, da lahko pišemo K=K(x). Recimo, da se količina proizvodnje poveča za ∆x. Proizvodna količina x+∆x ustreza proizvodnim stroškom K(x+∆x). Posledično se je povečala količina izdelkov ∆x ustreza povečanju proizvodnih stroškov ∆K=K(x+∆x)- K(x).
Povprečno povečanje proizvodnih stroškov je ∆K/∆x. To je povečanje proizvodnih stroškov na enoto povečanja količine proizvodnje.
Omejitev klical mejni proizvodni stroški.
