Trigonometrične funkcije, kako rešiti primere. Trigonometrične enačbe - formule, rešitve, primeri

Kompleksnejše trigonometrične enačbe

Enačbe

greh x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

so najenostavnejše trigonometrične enačbe. V tem razdelku si bomo na posebnih primerih ogledali bolj zapletene trigonometrične enačbe. Njihova rešitev se praviloma zmanjša na reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb.

Primer 1 . Reši enačbo

greh 2 X=cos X greh 2 x.

Če prenesemo vse člene te enačbe na levo stran in faktoriziramo nastali izraz, dobimo:

greh 2 X(1 - cos X) = 0.

Zmnožek dveh izrazov je enak nič, če in samo če je vsaj eden od faktorjev enak nič, drugi pa ima poljubno številsko vrednost, če je definiran.

če greh 2 X = 0 , nato 2 X= n π ; X = π / 2 n.

če 1 - cos X = 0 , nato cos X = 1; X = 2kπ .

Tako imamo dve skupini korenin: X = π / 2 n; X = 2kπ . Druga skupina korenov je očitno vsebovana v prvi, saj je za n = 4k izraz X = π / 2 n postane
X = 2kπ .

Zato lahko odgovor zapišemo z eno formulo: X = π / 2 n, Kje n- poljubno celo število.

Upoštevajte, da te enačbe ni bilo mogoče rešiti z zmanjšanjem za sin 2 x. Dejansko bi po redukciji dobili 1 - cos x = 0, od koder X= 2k π . Tako bi na primer izgubili nekaj korenin π / 2 , π , 3π / 2 .

Primer 2. Reši enačbo

Ulomek je enak nič le, če je njegov števec enak nič.
Zato greh 2 X = 0 , od koder 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Iz teh vrednosti X kot tuje morate zavreči tiste vrednosti, pri katerih grehX gre na nič (ulomki z imenovalci nič nimajo pomena: deljenje z nič je nedefinirano). Te vrednosti so števila, ki so večkratniki π . V formuli
X = π / 2 n dobijo se za celo n. Zato bodo korenine te enačbe števila

X = π / 2 (2k + 1),

kjer je k poljubno celo število.

Primer 3 . Reši enačbo

2 greh 2 X+ 7cos x - 5 = 0.

Izrazimo se greh 2 X skozi cosx : greh 2 X = 1 - cos 2x . Potem lahko to enačbo prepišemo kot

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , oz

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Določitev cosx skozi pri, pridemo do kvadratne enačbe

2u 2 - 7u + 3 = 0,

katerih korena sta števili 1/2 in 3. To pomeni, da bodisi cos x= 1/2 ali cos X= 3. Vendar je slednje nemogoče, saj kosinus katerega koli kota ne presega 1 v absolutni vrednosti.

Ostaja še to priznati cos x = 1 / 2 , kje

x = ± 60° + 360° n.

Primer 4 . Reši enačbo

2 greh X+ 3cos x = 6.

Od greha x in cos x v absolutni vrednosti ne presega 1, potem izraz
2 greh X+ 3cos x ne more sprejeti vrednosti, večjih od 5 . Zato ta enačba nima korenin.

Primer 5 . Reši enačbo

greh X+cos x = 1

S kvadriranjem obeh strani te enačbe dobimo:

greh 2 X+ 2 greha x cos x+ cos 2 x = 1,

Ampak greh 2 X + ker 2 x = 1 . Zato 2 greh x cos x = 0 . če greh x = 0 , To X = nπ ; če
cos x , To X = π / 2 + kπ . Ti dve skupini rešitev lahko zapišemo v eno formulo:

X = π / 2 n

Ker smo kvadrirali obe strani te enačbe, je možno, da so med koreni, ki smo jih dobili, tuje korenine. Zato je v tem primeru, za razliko od vseh prejšnjih, potrebno opraviti preverjanje. Vsi pomeni

X = π / 2 n lahko razdelimo v 4 skupine

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

pri X = 2kπ greh x+cos x= 0 + 1 = 1. Zato je X = 2kπ so koreni te enačbe.

pri X = π / 2 + 2kπ. greh x+cos x= 1 + 0 = 1 Torej X = π / 2 + 2kπ- tudi korenine te enačbe.

pri X = π + 2kπ greh x+cos x= 0 - 1 = - 1. Zato so vrednosti X = π + 2kπ niso korenine te enačbe. Podobno je prikazano, da X = 3π / 2 + 2kπ. niso korenine.

Tako ima ta enačba naslednje korenine: X = 2kπ in X = π / 2 + 2mπ., Kje k in m- poljubna cela števila.

Pri reševanju mnogih matematične težave, zlasti tistih, ki se pojavijo pred 10. razredom, je vrstni red izvedenih dejanj, ki bodo pripeljala do cilja, jasno opredeljen. Takšni problemi vključujejo na primer linearne in kvadratne enačbe, linearne in kvadratne neenačbe, ulomke in enačbe, ki se reducirajo na kvadratne. Načelo uspešnega reševanja vsakega od omenjenih problemov je naslednje: ugotoviti morate, kakšno vrsto problema rešujete, se spomniti potrebnega zaporedja dejanj, ki bodo pripeljala do želenega rezultata, tj. odgovorite in sledite tem korakom.

Očitno je, da je uspeh ali neuspeh pri reševanju določenega problema odvisen predvsem od tega, kako pravilno je določena vrsta enačbe, ki jo rešujemo, kako pravilno je reproducirano zaporedje vseh stopenj njene rešitve. Seveda je v tem primeru potrebno imeti veščine za izvajanje identičnih transformacij in izračunov.

Situacija je drugačna pri trigonometrične enačbe. Sploh ni težko ugotoviti, da je enačba trigonometrična. Težave nastanejo pri določanju zaporedja dejanj, ki bi pripeljala do pravilnega odgovora.

Na podlagi videza enačbe je včasih težko določiti njegovo vrsto. In brez poznavanja vrste enačbe je skoraj nemogoče izbrati pravo izmed več deset trigonometričnih formul.

Če želite rešiti trigonometrično enačbo, morate poskusiti:

1. vse funkcije, ki so vključene v enačbo, pripeljejo na "iste kote";
2. pripeljati enačbo do “identičnih funkcij”;
3. faktoriziraj levo stran enačbe itd.

Razmislimo osnovne metode reševanja trigonometričnih enačb.

I. Redukcija na najenostavnejše trigonometrične enačbe

Diagram rešitve

Korak 1. Izrazite trigonometrično funkcijo z znanimi komponentami.

2. korak Poiščite argument funkcije z uporabo formul:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3. korak Poiščite neznano spremenljivko.

Primer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

rešitev.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Spremenljiva zamenjava

Diagram rešitve

Korak 1. Zmanjšajte enačbo na algebraično obliko glede na eno od trigonometričnih funkcij.

2. korak Dobljeno funkcijo označimo s spremenljivko t (po potrebi uvedemo omejitve na t).

3. korak Zapiši in reši dobljeno algebraično enačbo.

4. korak Izvedite obratno zamenjavo.

5. korak Reši najpreprostejšo trigonometrično enačbo.

Primer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

rešitev.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Naj bo sin (x/2) = t, kjer je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ali e = -3/2, ne izpolnjuje pogoja |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcije vrstnega reda enačb

Diagram rešitve

Korak 1. Zamenjajte to enačbo z linearno z uporabo formule za zmanjšanje stopnje:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. korak Reši dobljeno enačbo z metodama I in II.

Primer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

rešitev.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene enačbe

Diagram rešitve

Korak 1. Zmanjšaj to enačbo na obliko

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena enačba prve stopnje)

ali na razgled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena enačba druge stopnje).

2. korak Obe strani enačbe delite z

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

in dobite enačbo za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. korak Rešite enačbo z znanimi metodami.

Primer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

rešitev.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Naj bo torej tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ali t = -4, kar pomeni

tg x = 1 ali tg x = -4.

Iz prve enačbe x = π/4 + πn, n Є Z; iz druge enačbe x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda preoblikovanja enačbe s pomočjo trigonometričnih formul

Diagram rešitve

Korak 1. Z uporabo vseh možnih trigonometričnih formul reducirajte to enačbo na enačbo, ki jo rešite z metodami I, II, III, IV.

2. korak Reši dobljeno enačbo z znanimi metodami.

Primer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

rešitev.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ali 2cos x + 1 = 0;

Iz prve enačbe 2x = π/2 + πn, n Є Z; iz druge enačbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Є Z; iz druge enačbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Posledično je x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sposobnost in spretnost reševanja trigonometričnih enačb je zelo Pomembno je, da njihov razvoj zahteva veliko truda, tako s strani študenta kot s strani učitelja.

Z reševanjem trigonometričnih enačb so povezani številni problemi stereometrije, fizike itd.. Proces reševanja tovrstnih problemov uteleša številna znanja in spretnosti, ki jih pridobimo s študijem elementov trigonometrije.

Trigonometrične enačbe zavzemajo pomembno mesto v procesu učenja matematike in osebnega razvoja nasploh.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Zahteva poznavanje osnovnih formul trigonometrije - vsota kvadratov sinusa in kosinusa, izražanje tangensa skozi sinus in kosinus in drugo. Za tiste, ki so jih pozabili ali jih ne poznajo, priporočamo branje članka "".
Torej, poznamo osnovne trigonometrične formule, čas je, da jih uporabimo v praksi. Reševanje trigonometričnih enačb s pravim pristopom je to precej razburljiva dejavnost, kot je na primer reševanje Rubikove kocke.

Že iz samega imena je jasno, da je trigonometrična enačba enačba, v kateri je neznanka pod predznakom trigonometrične funkcije.
Obstajajo tako imenovane najenostavnejše trigonometrične enačbe. Tako izgledajo: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Razmislimo kako rešiti takšne trigonometrične enačbe, za jasnost bomo uporabili že znani trigonometrični krog.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

posteljica x = a

Vsako trigonometrično enačbo rešujemo v dveh stopnjah: enačbo reduciramo na njeno najpreprostejšo obliko in jo nato rešimo kot preprosto trigonometrično enačbo.
Obstaja 7 glavnih metod za reševanje trigonometričnih enačb.

1. Substitucija spremenljivke in metoda substitucije

Rešite enačbo 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Z uporabo formul za zmanjšanje dobimo:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Zamenjajte cos(x + /6) z y, da poenostavite in dobite običajno kvadratno enačbo:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Njegove korenine so y 1 = 1, y 2 = 1/2

Zdaj pa pojdimo v obratnem vrstnem redu

Nadomestimo najdene vrednosti y in dobimo dve možnosti odgovora:

2. Reševanje trigonometričnih enačb s faktorizacijo

Kako rešiti enačbo sin x + cos x = 1?

Premaknimo vse v levo, tako da 0 ostane na desni:

sin x + cos x – 1 = 0

Za poenostavitev enačbe uporabimo zgoraj obravnavane identitete:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Razložimo na faktorje:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dobimo dve enačbi

3. Redukcija na homogeno enačbo

Enačba je homogena glede na sinus in kosinus, če so vsi njeni členi relativni na sinus in kosinus enake stopnje istega kota. Če želite rešiti homogeno enačbo, postopajte na naslednji način:

a) prestavite vse svoje člane na levo stran;

b) vzemite vse skupne faktorje iz oklepaja;

c) vse faktorje in oklepaje enači z 0;

d) v oklepaju dobimo homogeno enačbo nižje stopnje, ki jo razdelimo na sinus ali kosinus višje stopnje;

e) reši dobljeno enačbo za tg.

Rešite enačbo 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Uporabimo formulo sin 2 x + cos 2 x = 1 in se znebimo odprtih dveh na desni:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Deli s cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Zamenjajte tan x z y in dobite kvadratno enačbo:

y 2 + 4y +3 = 0, katerega korenine so y 1 =1, y 2 = 3

Od tu najdemo dve rešitvi prvotne enačbe:

x 2 = arctan 3 + k

4. Reševanje enačb s prehodom na pol kota

Rešite enačbo 3sin x – 5cos x = 7

Pojdimo na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Premaknimo vse na levo:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Deli s cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Uvedba pomožnega kota

V razmislek vzemimo enačbo v obliki: a sin x + b cos x = c,

kjer so a, b, c nekateri poljubni koeficienti, x pa neznanka.

Razdelimo obe strani enačbe z:



Zdaj imajo koeficienti enačbe glede na trigonometrične formule lastnosti sin in cos, in sicer: njihov modul ni večji od 1 in vsota kvadratov = 1. Označimo jih kot cos in sin, kjer - to je tako imenovani pomožni kot. Potem bo enačba dobila obliko:

cos * sin x + sin * cos x = C

ali sin(x + ) = C

Rešitev te najpreprostejše trigonometrične enačbe je

x = (-1) k * arcsin C - + k, kjer je



Upoštevati je treba, da sta notaciji cos in sin zamenljivi.

Rešite enačbo sin 3x – cos 3x = 1

Koeficienti v tej enačbi so:

a = , b = -1, torej obe strani delite z = 2

Najenostavnejše trigonometrične enačbe se praviloma rešujejo z uporabo formul. Naj vas spomnim, da so najpreprostejše trigonometrične enačbe:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je kot, ki ga je treba najti,
a je poljubno število.

In tukaj so formule, s katerimi lahko takoj zapišete rešitve teh najpreprostejših enačb.

Za sinus:

Za kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Za tangento:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Za kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Pravzaprav je to teoretični del reševanja najpreprostejših trigonometričnih enačb. Še več, vse!) Prav nič. Vendar je število napak na to temo preprosto preseženo. Še posebej, če primer nekoliko odstopa od predloge. Zakaj?

Da, ker veliko ljudi piše ta pisma, ne da bi sploh razumeli njihov pomen! Piše previdno, da se kaj ne zgodi...) To je treba urediti. Trigonometrija za ljudi ali ljudje za trigonometrijo, navsezadnje!?)

Naj ugotovimo?

En kot bo enak arccos a, drugič: -arccos a.

In vedno bo šlo tako. Za katero koli A.

Če mi ne verjamete, se z miško pomaknite nad sliko ali se dotaknite slike na tablici.) Spremenil sem številko A na nekaj negativnega. Kakorkoli že, imamo en kotiček arccos a, drugič: -arccos a.

Zato lahko odgovor vedno zapišemo kot dve vrsti korenin:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Združimo ti dve seriji v eno:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

In to je vse. Dobili smo splošno formulo za rešitev najenostavnejše trigonometrične enačbe s kosinusom.

Če razumete, da to ni nekakšna nadznanstvena modrost, ampak le skrajšana različica dveh nizov odgovorov, Prav tako boste sposobni obravnavati naloge "C". Z neenačbami, z izbiranjem korenov iz danega intervala... Tam odgovor s plus/minus ne deluje. Če pa odgovor obravnavate poslovno in ga razdelite na dva ločena odgovora, se bo vse rešilo.) Pravzaprav zato to preučujemo. Kaj, kako in kje.

V najenostavnejši trigonometrični enačbi

sinx = a

dobimo tudi dve seriji korenin. Nenehno. In ti dve seriji se da tudi posneti v eni vrstici. Samo ta vrstica bo bolj zapletena:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

A bistvo ostaja isto. Matematiki so preprosto zasnovali formulo, da namesto dveh zapisov serij korenin naredijo enega. To je vse!

Preverimo matematike? In nikoli ne veš ...)

V prejšnji lekciji smo podrobno obravnavali rešitev (brez formul) trigonometrične enačbe s sinusom:

Rezultat odgovora sta bili dve vrsti korenin:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Če isto enačbo rešimo s formulo, dobimo odgovor:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Pravzaprav je to nedokončan odgovor.) Študent mora to vedeti arcsin 0,5 = π /6. Popoln odgovor bi bil:

x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

To odpira zanimivo vprašanje. Odgovorite prek x 1; x 2 (to je pravilen odgovor!) in skozi osamljen X (in to je pravilen odgovor!) - sta ista stvar ali ne? Zdaj bomo izvedeli.)

V odgovoru nadomestimo z x 1 vrednote n =0; 1; 2; itd., štejemo, dobimo vrsto korenin:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 in tako naprej.

Z enako zamenjavo v odgovoru z x 2 , dobimo:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 in tako naprej.

Zdaj zamenjajmo vrednosti n (0; 1; 2; 3; 4 ...) v splošno formulo za enojca X . To pomeni, da dvignemo minus ena na ničelno potenco, nato na prvo, drugo itd. No, seveda nadomestimo 0 v drugi člen; 1; 2 3; 4 itd. In štejemo. Dobimo serijo:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 in tako naprej.

To je vse, kar lahko vidite.) Splošna formula nam daje popolnoma enaki rezultati tako kot oba odgovora ločeno. Samo vse naenkrat, po vrsti. Matematikov se ni dalo preslepiti.)

Preveriti je mogoče tudi formule za reševanje trigonometričnih enačb s tangensom in kotangensom. Ampak ne bomo.) So že preprosti.

Vso to zamenjavo in preverjanje sem posebej napisal. Tukaj je pomembno razumeti eno preprosto stvar: obstajajo formule za reševanje elementarnih trigonometričnih enačb, samo kratek povzetek odgovorov. Za to kratkost smo morali vstaviti plus/minus v kosinusno rešitev in (-1) n v sinusno rešitev.

Ti vložki v ničemer ne motijo ​​nalog, kjer je treba zgolj zapisati odgovor na elementarno enačbo. Toda če morate rešiti neenačbo ali potem morate nekaj narediti z odgovorom: izbrati korenine na intervalu, preveriti ODZ itd., lahko ti vstavitve zlahka vznemirijo osebo.

Torej, kaj naj storim? Da, odgovor zapiši v dveh serijah ali reši enačbo/neenačbo s trigonometričnim krogom. Potem ti vstavki izginejo in življenje postane lažje.)

Lahko povzamemo.

Za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb obstajajo že pripravljene formule odgovorov. Štirje kosi. Dobri so za takojšen zapis rešitve enačbe. Na primer, rešiti morate enačbe:

sinx = 0,3

Enostavno: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Ni problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Enostavno: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Ena ostala: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Če blestite z znanjem, takoj napišite odgovor:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

potem že blestiš, ta...onaj...iz luže.) Pravilen odgovor: ni rešitev. Ne razumeš zakaj? Preberite, kaj je ark kosinus. Poleg tega, če so na desni strani izvirne enačbe tabelarične vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 in tako naprej. - odgovor skozi loke bo nedokončan. Loke je treba pretvoriti v radiane.

In če naletite na neenakost, npr

potem je odgovor:

x πn, n ∈ Z

obstajajo redke neumnosti, ja ...) Tukaj morate rešiti s pomočjo trigonometričnega kroga. Kaj bomo naredili v ustrezni temi.

Za tiste, ki junaško berejo te vrstice. Preprosto si ne morem pomagati, da ne bi cenil vašega ogromnega truda. Bonus za vas.)

Bonus:

Pri zapisovanju formul v alarmantnih bojnih razmerah se celo izkušeni piflarji pogosto zmedejo, kje πn, In kje 2π n. Tukaj je preprost trik za vas. notri vsi formule vredne πn. Razen edine formule z ark kosinusom. Tam stoji 2πn. Dva peen. ključna beseda - dva. V tej isti formuli so dva znak na začetku. Plus in minus. Tu in tam - dva.

Torej, če ste napisali dva znak pred ark kosinusom, si je lažje zapomniti, kaj se bo zgodilo na koncu dva peen. In zgodi se tudi obratno. Oseba bo spregledala znak ± , pride do konca, piše pravilno dva Pien, in prišel bo k sebi. Nekaj ​​je pred nami dva znak! Oseba se bo vrnila na začetek in popravila napako! Všečkaj to.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Pri reševanju mnogih matematične težave, zlasti tistih, ki se pojavijo pred 10. razredom, je vrstni red izvedenih dejanj, ki bodo pripeljala do cilja, jasno opredeljen. Takšni problemi vključujejo na primer linearne in kvadratne enačbe, linearne in kvadratne neenačbe, ulomke in enačbe, ki se reducirajo na kvadratne. Načelo uspešnega reševanja vsakega od omenjenih problemov je naslednje: ugotoviti morate, kakšno vrsto problema rešujete, se spomniti potrebnega zaporedja dejanj, ki bodo pripeljala do želenega rezultata, tj. odgovorite in sledite tem korakom.

Očitno je, da je uspeh ali neuspeh pri reševanju določenega problema odvisen predvsem od tega, kako pravilno je določena vrsta enačbe, ki jo rešujemo, kako pravilno je reproducirano zaporedje vseh stopenj njene rešitve. Seveda je v tem primeru potrebno imeti veščine za izvajanje identičnih transformacij in izračunov.

Situacija je drugačna pri trigonometrične enačbe. Sploh ni težko ugotoviti, da je enačba trigonometrična. Težave nastanejo pri določanju zaporedja dejanj, ki bi pripeljala do pravilnega odgovora.

Na podlagi videza enačbe je včasih težko določiti njegovo vrsto. In brez poznavanja vrste enačbe je skoraj nemogoče izbrati pravo izmed več deset trigonometričnih formul.

Če želite rešiti trigonometrično enačbo, morate poskusiti:

1. vse funkcije, ki so vključene v enačbo, pripeljejo na "iste kote";
2. pripeljati enačbo do “identičnih funkcij”;
3. faktoriziraj levo stran enačbe itd.

Razmislimo osnovne metode reševanja trigonometričnih enačb.

I. Redukcija na najenostavnejše trigonometrične enačbe

Diagram rešitve

Korak 1. Izrazite trigonometrično funkcijo z znanimi komponentami.

2. korak Poiščite argument funkcije z uporabo formul:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3. korak Poiščite neznano spremenljivko.

Primer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

rešitev.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Spremenljiva zamenjava

Diagram rešitve

Korak 1. Zmanjšajte enačbo na algebraično obliko glede na eno od trigonometričnih funkcij.

2. korak Dobljeno funkcijo označimo s spremenljivko t (po potrebi uvedemo omejitve na t).

3. korak Zapiši in reši dobljeno algebraično enačbo.

4. korak Izvedite obratno zamenjavo.

5. korak Reši najpreprostejšo trigonometrično enačbo.

Primer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

rešitev.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Naj bo sin (x/2) = t, kjer je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ali e = -3/2, ne izpolnjuje pogoja |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcije vrstnega reda enačb

Diagram rešitve

Korak 1. Zamenjajte to enačbo z linearno z uporabo formule za zmanjšanje stopnje:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. korak Reši dobljeno enačbo z metodama I in II.

Primer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

rešitev.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene enačbe

Diagram rešitve

Korak 1. Zmanjšaj to enačbo na obliko

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena enačba prve stopnje)

ali na razgled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena enačba druge stopnje).

2. korak Obe strani enačbe delite z

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

in dobite enačbo za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. korak Rešite enačbo z znanimi metodami.

Primer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

rešitev.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Naj bo torej tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ali t = -4, kar pomeni

tg x = 1 ali tg x = -4.

Iz prve enačbe x = π/4 + πn, n Є Z; iz druge enačbe x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda preoblikovanja enačbe s pomočjo trigonometričnih formul

Diagram rešitve

Korak 1. Z uporabo vseh možnih trigonometričnih formul reducirajte to enačbo na enačbo, ki jo rešite z metodami I, II, III, IV.

2. korak Reši dobljeno enačbo z znanimi metodami.

Primer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

rešitev.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ali 2cos x + 1 = 0;

Iz prve enačbe 2x = π/2 + πn, n Є Z; iz druge enačbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Є Z; iz druge enačbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Posledično je x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Sposobnost in spretnost reševanja trigonometričnih enačb je zelo Pomembno je, da njihov razvoj zahteva veliko truda, tako s strani študenta kot s strani učitelja.

Z reševanjem trigonometričnih enačb so povezani številni problemi stereometrije, fizike itd.. Proces reševanja tovrstnih problemov uteleša številna znanja in spretnosti, ki jih pridobimo s študijem elementov trigonometrije.

Trigonometrične enačbe zavzemajo pomembno mesto v procesu učenja matematike in osebnega razvoja nasploh.

Imate še vprašanja? Ne veste, kako rešiti trigonometrične enačbe?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.