Dacă pentru fiecare număr natural n potrivește un număr real un n , atunci ei spun că este dat succesiune de numere :

o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n , . . . .

Deci, secvența de numere este o funcție a argumentului natural.

Număr o 1 numit primul termen al secvenței , număr o 2 — al doilea termen al secvenței , număr o 3 — treilea și așa mai departe. Număr un n numit al n-lea termen secvente , și un număr natural n — numărul lui .

Din doi membri alăturați un n Şi un n +1 membru al secvenței un n +1 numit ulterior (relativ la un n ), A un n — anterior (relativ la un n +1 ).

Pentru a defini o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este specificată folosind formule al n-lea termen , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul acesteia.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi dată prin formula

un n= 2n- 1,

iar succesiunea alternării 1 Şi -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formulă recurentă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

Dacă o 1 = 1 , A un n +1 = un n + 5

o 1 = 1,

o 2 = o 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

o 3 = o 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

o 4 = o 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

o 5 = o 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, un n +2 = un n + un n +1 , atunci primii șapte termeni ai șirului numeric se stabilesc după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

o 6 = o 4 + o 5 = 3 + 5 = 8,

o 7 = o 5 + o 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final Şi fără sfârşit .

Secvența este numită final , dacă are un număr finit de membri. Secvența este numită fără sfârşit , dacă are infinit de membri.

De exemplu,

succesiune de numere naturale din două cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Succesiunea numerelor prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Secvența este numită crescând , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât precedentul.

Secvența este numită în scădere , dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât precedentul.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — succesiune crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — secvență descrescătoare. ◄

O succesiune ale cărei elemente nu scad pe măsură ce numărul crește sau, dimpotrivă, nu cresc, se numește succesiune monotonă .

Secvențele monotone, în special, sunt secvențe crescătoare și secvențe descrescătoare.

Progresie aritmetică

Progresie aritmetică este o succesiune în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, la care se adaugă același număr.

o 1 , o 2 , o 3 , . . . , un n, . . .

este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

un n +1 = un n + d,

Unde d - un anumit număr.

Astfel, diferența dintre termenii următori și anteriori unei progresii aritmetice date este întotdeauna constantă:

a 2 - o 1 = a 3 - o 2 = . . . = un n +1 - un n = d.

Număr d numit diferența de progresie aritmetică.

Pentru a defini o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

Dacă o 1 = 3, d = 4 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

o 5 = o 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru o progresie aritmetică cu primul termen o 1 si diferenta d ei n

un n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

un 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = a 1 + (n- 2)d,

un n= a 1 + (n- 1)d,

un n +1 = o 1 + nd,

atunci evident

Fiecare membru al unei progresii aritmetice, pornind de la al doilea, este egal cu media aritmetica a membrilor precedenti si urmatori.

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

un n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

un n = 2n- 7,

un n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii aritmetice poate fi găsit nu numai prin o 1 , dar și orice anterioară un k

un n = un k + (n- k)d.

De exemplu,

Pentru o 5 poate fi notat

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

un n = un n-k + kd,

un n = un n+k - kd,

atunci evident

orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu jumătate din suma membrilor acestei progresii aritmetice distanțate egal de acesta.

În plus, pentru orice progresie aritmetică este valabilă următoarea egalitate:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) o 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (o 9 + o 11 )/2;

2) 28 = un 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ un n,

primul n termenii unei progresii aritmetice este egal cu produsul dintre jumătate din suma termenilor extremi și numărul de termeni:

De aici, în special, rezultă că dacă trebuie să însumați termenii

un k, un k +1 , . . . , un n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă este dat progresie aritmetică, apoi cantitățile o 1 , un n, d, nŞiS n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o succesiune monotonă. În acest caz:

• Dacă d > 0 , atunci este în creștere;
• Dacă d < 0 , atunci este în scădere;
• Dacă d = 0 , atunci secvența va fi staționară.

Progresie geometrică

Progresie geometrică este o succesiune în care fiecare membru, începând de la al doilea, este egal cu precedentul înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n conditia este indeplinita:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un anumit număr.

Astfel, raportul dintre termenul următor al unei progresii geometrice date și cel precedent este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q numit numitorul progresiei geometrice.

Pentru a seta progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

Dacă b 1 = 1, q = -3 , atunci găsim primii cinci termeni ai secvenței după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q ei n Al treilea termen poate fi găsit folosind formula:

b n = b 1 · qn -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al progresiei geometrice, incepand de la al doilea, este egal cu media geometrica (proportionala) a membrelor precedente si urmatoare.

Întrucât este și inversul adevărat, următoarea afirmație este valabilă:

numerele a, b și c sunt termeni succesivi ai unei progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ele este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

Să demonstrăm că succesiunea dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie geometrică. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

care dovedeşte afirmaţia dorită. ◄

Rețineți că n Al treilea termen al unei progresii geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 , dar și orice membru anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · qn - k.

De exemplu,

Pentru b 5 poate fi notat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui termen al unei progresii geometrice, începând cu al doilea, este egal cu produsul termenilor egal distanțați ai acestei progresii.

În plus, pentru orice progresie geometrică egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

în progresie geometrică

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membrii unei progresii geometrice cu numitor q ≠ 0 calculat prin formula:

Și când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să însumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

De exemplu,

în progresie geometrică 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă este dată o progresie geometrică, atunci mărimile b 1 , b n, q, nŞi S n legate prin două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricărei trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q au loc următoarele proprietățile monotonității :

• progresia crește dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Şi q> 1;

b 1 < 0 Şi 0 < q< 1;

• Progresia este în scădere dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 Şi 0 < q< 1;

b 1 < 0 Şi q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică este alternativă: termenii săi cu numere impare au același semn ca primul său termen, iar termenii cu numere pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Produsul primului n termenii unei progresii geometrice pot fi calculati folosind formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită numită progresie geometrică infinită al cărei modul numitor este mai mic 1 , adică

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică infinit descrescătoare poate să nu fie o succesiune descrescătoare. Se potrivește ocaziei

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, succesiunea este alternativă. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare numiți numărul de care se apropie fără limită suma primelor n membrii unei progresii cu o creștere nelimitată a numărului n . Acest număr este întotdeauna finit și este exprimat prin formula

De exemplu,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Progresiile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să ne uităm la doar două exemple.

o 1 , o 2 , o 3 , . . . d , Asta

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

De exemplu,

1, 3, 5, . . . - progresie aritmetica cu diferenta 2 Şi

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , Asta

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetica cu diferenta log aq .

De exemplu,

2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 Şi

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetica cu diferenta lg 6 . ◄

Să luăm acum în considerare problema însumării unei progresii geometrice infinite. Să numim suma parțială a unei progresii infinite date suma primilor săi termeni. Să notăm suma parțială prin simbol

Pentru fiecare progresie infinită

se poate compune o succesiune (de asemenea infinită) a sumelor sale parțiale

Lasă o secvență cu creștere nelimitată să aibă o limită

În acest caz, numărul S, adică limita sumelor parțiale ale unei progresii, se numește suma unei progresii infinite. Vom demonstra că o progresie geometrică descrescătoare infinită are întotdeauna o sumă și vom deriva o formulă pentru această sumă (putem arăta și că dacă o progresie infinită nu are sumă, ea nu există).

Să scriem expresia pentru suma parțială ca sumă a termenilor progresiei conform formulei (91.1) și să considerăm limita sumei parțiale la

Din Teorema 89 se știe că pentru o progresie descrescătoare; prin urmare, aplicând teorema limitei diferenței, găsim

(aici se folosește și regula: factorul constant este luat dincolo de semnul limită). Se dovedește existența și, în același timp, se obține formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Egalitatea (92.1) poate fi scrisă și sub forma

Aici poate părea paradoxal că sumei unui număr infinit de termeni i se atribuie o valoare finită foarte definită.

O ilustrare clară poate fi dată pentru a explica această situație. Se consideră un pătrat cu latura egală cu unu (Fig. 72). Împărțiți acest pătrat cu o linie orizontală în două părți egale și partea de sus Aplicați-l în partea de jos astfel încât să se formeze un dreptunghi cu laturile 2 și . După aceasta, vom împărți din nou jumătatea dreaptă a acestui dreptunghi în jumătate cu o linie orizontală și vom atașa partea superioară de cea inferioară (așa cum se arată în Fig. 72). Continuând acest proces, transformăm continuu pătratul original cu suprafață egală cu 1 în figuri de dimensiuni egale (luând forma unei scări cu trepte subțiate).

Odată cu continuarea infinită a acestui proces, întreaga zonă a pătratului este descompusă într-un număr infinit de termeni - ariile dreptunghiurilor cu baze egale cu 1 și înălțimii formează exact o progresie descrescătoare infinită, suma sa

adică, așa cum ne-am aștepta, egal cu aria pătratului.

Exemplu. Aflați sumele următoarelor progresii infinite:

Rezolvare, a) Observăm că această progresie Prin urmare, folosind formula (92.2) găsim

b) Aici înseamnă că folosind aceeași formulă (92.2) avem

c) Constatăm că această progresie nu are deci o sumă.

În paragraful 5, am arătat aplicarea formulei pentru suma termenilor unei progresii infinit descrescătoare la inversarea unui periodic. zecimalîntr-o fracție comună.

Exerciții

1. Suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare este 3/5, iar suma primilor săi patru termeni este 13/27. Găsiți primul termen și numitorul progresiei.

2. Găsiți patru numere care formează o progresie geometrică alternativă, în care al doilea termen este mai mic decât primul cu 35, iar al treilea este mai mare decât al patrulea cu 560.

3. Arătaţi că dacă succesiunea

formează o progresie geometrică infinit descrescătoare, apoi succesiunea

pentru oricare, formează o progresie geometrică infinit descrescătoare. Va fi această afirmație adevărată când?

Deduceți o formulă pentru produsul termenilor unei progresii geometrice.

Unele probleme de fizică și matematică pot fi rezolvate folosind proprietățile seriei de numere. Cele mai simple două secvențe de numere predate în școli sunt algebrice și geometrice. În acest articol, vom arunca o privire mai atentă la întrebarea cum să găsim suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite.

Progresie geometrică

Aceste cuvinte înseamnă o serie de numere reale ale căror elemente a i satisfac expresia:

Aici i este numărul elementului din serie, r este un număr constant numit numitor.

Această definiție arată că, cunoscând orice membru al progresiei și numitorul acestuia, puteți restabili întreaga serie de numere. De exemplu, dacă al 10-lea element este cunoscut, atunci împărțirea lui la r va obține al 9-lea element, apoi împărțirea din nou va obține al 8-lea și așa mai departe. Aceste argumente simple ne permit să notăm o expresie care este valabilă pentru seria de numere luate în considerare:

Un exemplu de progresie cu numitorul 2 ar fi următoarea serie:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Dacă numitorul este egal cu -2, atunci se obține o serie complet diferită:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Progresia geometrică este mult mai rapidă decât progresia algebrică, adică termenii săi cresc rapid și scad rapid.

Suma celor i termeni de progresie

Pentru a rezolva probleme practice, este adesea necesar să se calculeze suma mai multor elemente ale șirului numeric luat în considerare. În acest caz este valabilă următoarea formulă:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Se poate observa că pentru a calcula suma i termeni, trebuie să cunoașteți doar două numere: a 1 și r, ceea ce este logic, deoarece determină în mod unic întreaga secvență.

Secvența descrescătoare și suma termenilor săi

Acum să ne uităm la un caz special. Vom presupune că modulul numitorului r nu depășește unu, adică -1

O progresie geometrică descrescătoare este interesantă de luat în considerare deoarece suma infinită a termenilor săi tinde către un număr real finit.

Să obținem formula pentru suma Acest lucru este ușor de făcut dacă scrieți expresia pentru S i dată în paragraful anterior. Avem:

S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Să luăm în considerare cazul când i->∞. Deoarece modulul numitorului este mai mic de 1, ridicarea lui la o putere infinită va da zero. Acest lucru poate fi verificat folosind exemplul r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Ca rezultat, suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite va lua forma:

Această formulă este adesea folosită în practică, de exemplu, pentru a calcula suprafețele figurilor. De asemenea, este folosit pentru a rezolva paradoxul lui Zenon din Elea cu broasca testoasa si Ahile.

Este evident că luarea în considerare a sumei unei progresii crescătoare geometrice infinite (r>1) va duce la rezultatul S ∞ = +∞.

Sarcina de a găsi primul termen al unei progresii

Să arătăm cum să aplicăm formulele de mai sus folosind un exemplu de rezolvare a unei probleme. Se știe că suma unei progresii geometrice infinite este 11. Mai mult, al 7-lea termen al său este de 6 ori mai mic decât al treilea termen. Care este primul element pentru această serie de numere?

Mai întâi, să scriem două expresii pentru a determina al 7-lea și al 3-lea element. Primim:

Împărțind prima expresie la a doua și exprimând numitorul, avem:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Deoarece raportul dintre termenii al șaptelea și al treilea este dat în enunțul problemei, îl puteți înlocui și găsiți r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Am calculat r la cinci zecimale. Deoarece valoarea rezultată este mai mică de unu, progresia este în scădere, ceea ce justifică utilizarea formulei pentru suma sa infinită. Să scriem expresia pentru primul termen prin suma S ∞:

Înlocuim valorile cunoscute în această formulă și obținem răspunsul:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Faimosul paradox al lui Zenon cu Ahile rapid și broasca țestoasă lentă

Zenon din Elea este un renumit filozof grec care a trăit în secolul al V-lea î.Hr. e. Câteva dintre apogeurile sau paradoxurile sale au ajuns până în zilele noastre, în care se formulează problema infinitului de mare și infinit de mic în matematică.

Unul dintre celebrele paradoxuri ale lui Zenon este competiția dintre Ahile și broasca țestoasă. Zeno credea că, dacă Ahile i-ar oferi țestoasei un oarecare avantaj la distanță, nu ar putea niciodată să o ajungă din urmă. De exemplu, lăsați-l pe Ahile să alerge de 10 ori mai repede decât un animal care se târăște, care, de exemplu, se află la 100 de metri în fața lui. Când războinicul aleargă 100 de metri, țestoasa se târăște 10 metri. După ce a alergat din nou 10 metri, Ahile vede că țestoasa se târăște încă 1 metru. Poți argumenta astfel la infinit, distanța dintre concurenți va scădea într-adevăr, dar țestoasa va fi mereu în față.

L-a condus pe Zeno la concluzia că mișcarea nu există și că toate mișcările înconjurătoare ale obiectelor sunt o iluzie. Desigur, filozoful grec antic a greșit.

Soluția paradoxului constă în faptul că o sumă infinită de segmente în scădere constantă tinde către un număr finit. În cazul de mai sus, pentru distanța pe care a parcurs Ahile, obținem:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Aplicând formula pentru suma unei progresii geometrice infinite, obținem:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metri

Acest rezultat arată că Ahile va ajunge din urmă broasca țestoasă atunci când aceasta se târăște doar 11.111 metri.

Grecii antici nu știau să lucreze cu cantități infinite în matematică. Cu toate acestea, acest paradox poate fi rezolvat dacă acordăm atenție nu numărului infinit de goluri pe care Ahile trebuie să le depășească, ci numărului finit de pași de care alergătorul are nevoie pentru a-și atinge scopul.

Nivel de intrare

Progresie geometrică. Ghid cuprinzător cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.

Numărul cu numărul este numit al n-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru:

Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.

De ce este necesară progresia geometrică și istoria ei?

Chiar și în cele mai vechi timpuri, călugărul matematician italian Leonardo de Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci) s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru a cântări un produs? În lucrările sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit deja și despre care aveți cel puțin o înțelegere generală. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?

În prezent, în practica de viață, progresia geometrică se manifestă la investirea banilor într-o bancă, când se acumulează suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani pe un depozit la termen într-o bancă de economii, atunci după un an depozitul va crește cu suma inițială, adică. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.e. suma obţinută în acel moment va fi din nou înmulţită cu şi aşa mai departe. O situație similară este descrisă în problemele de calculare a așa-numitului dobândă compusă- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Vom vorbi despre aceste sarcini puțin mai târziu.

Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică progresia geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o altă persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție este o persoană, iar ei, la rândul lor, au infectat-o ​​pe alta... și așa mai departe.. .

Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat bazat pe proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.

Progresie geometrică.

Să presupunem că avem o secvență de numere:

Veți răspunde imediat că acest lucru este ușor și numele unei astfel de secvențe este o progresie aritmetică cu diferența de termeni. Ce zici de asta:

Dacă scadeți numărul anterior din numărul următor, veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr următor este de ori mai mare decât cel anterior!

Acest tip de secvență de numere este numit progresie geometrică si este desemnat.

Progresia geometrică () este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

Restricțiile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să presupunem că nu sunt acolo, iar primul termen este încă egal, iar q este egal cu, hmm.. lasă-l să fie, apoi rezultă:

De acord că aceasta nu mai este o progresie.

După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă există alt număr decât zero, a. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerouri, fie un număr, iar restul vor fi zerouri.

Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul progresiei geometrice, adică o.

Să repetăm: - acesta este numărul de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior? progresie geometrică.

Ce crezi că ar putea fi? Așa e, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).

Să presupunem că a noastră este pozitivă. Să fie în cazul nostru, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:

Asta e corect. În consecință, dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive.

Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este valoarea celui de-al doilea termen și?

Aceasta este o cu totul altă poveste

Încercați să numărați termenii acestei progresii. Cât ai primit? am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternative pentru membrii săi, atunci numitorul său este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.

Acum să exersăm puțin: încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie geometrică și care sunt o progresie aritmetică:

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:

• Progresie geometrică - 3, 6.
• Progresie aritmetică - 2, 4.
• Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.

Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim termenul, la fel ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.

Înmulțim succesiv fiecare termen cu.

Deci, al treilea termen al progresiei geometrice descrise este egal cu.

După cum ați ghicit deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al progresiei geometrice. Sau l-ai dezvoltat deja pentru tine, descriind cum să găsești al treilea membru pas cu pas? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.

Să ilustrăm acest lucru cu exemplul găsirii celui de-al treilea termen al acestei progresii:

Cu alte cuvinte:

Găsiți singur valoarea termenului progresiei geometrice date.

A funcționat? Să comparăm răspunsurile noastre:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit secvențial cu fiecare termen anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:

Formula derivată este adevărată pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați singuri acest lucru calculând termenii progresiei geometrice cu următoarele condiții: , a.

ai numarat? Să comparăm rezultatele:

De acord că ar fi posibil să găsiți un termen de progresie în același mod ca un termen, totuși, există posibilitatea de a calcula incorect. Și dacă am găsit deja al treilea termen al progresiei geometrice, atunci ce ar putea fi mai simplu decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.

Progresie geometrică în scădere infinită.

Mai recent, am vorbit despre faptul că poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.

De ce crezi că este dat acest nume?
Mai întâi, să scriem o progresie geometrică constând din termeni.
Sa zicem, atunci:

Vedem că fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior cu un factor, dar va exista vreun număr? Veți răspunde imediat - „nu”. De aceea este în scădere infinit - scade și scade, dar nu devine niciodată zero.

Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:

Pe grafice suntem obișnuiți să trasăm dependența de, prin urmare:

Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare am arătat dependența valorii unui membru al unei progresii geometrice de numărul său ordinal, iar în a doua intrare am luat pur și simplu valoarea unui membru al unei progresii geometrice ca , și a desemnat numărul ordinal nu ca, ci ca. Tot ce rămâne de făcut este să construim un grafic.
Să vedem ce ai. Iată graficul cu care am venit:

vezi? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:

Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?

Te-ai descurcat? Iată graficul cu care am venit:

Acum că ai înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știi ce este, știi cum să-i găsești termenul și știi, de asemenea, ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.

Proprietatea progresiei geometrice.

Vă amintiți proprietatea termenilor unei progresii aritmetice? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale termenilor acestei progresii. Vă amintiți? Iată-l:

Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii progresiei geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. O să vezi, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.

Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu progresia aritmetică este ușor și simplu, dar ce zici de aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să notezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.

Vă puteți întreba, ce ar trebui să facem acum? Da, foarte simplu. Mai întâi, să descriem aceste formule într-o imagine și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la valoare.

Să facem abstracție de la numerele care ne sunt date, să ne concentrăm doar pe exprimarea lor prin formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată în portocaliu, cunoscând termenii adiacente acesteia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.

Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:

Din această expresie, după cum puteți vedea, nu o putem exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.

Scădere.

După cum puteți vedea, nici nu putem exprima acest lucru, prin urmare, să încercăm să înmulțim aceste expresii unele cu altele.

Multiplicare.

Acum priviți cu atenție ceea ce avem prin înmulțirea termenilor progresiei geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:

Ghici despre ce vorbesc? În mod corect, pentru a găsi trebuie să luăm rădăcina pătrată a numerelor de progresie geometrică adiacente celei dorite înmulțite între ele:

Poftim. Tu însuți ai derivat proprietatea progresiei geometrice. Încercați să scrieți această formulă în formă generală. A funcționat?

Ați uitat condiția pentru? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur. Ce se va întâmpla în acest caz? Așa e, prostie completă pentru că formula arată așa:

Prin urmare, nu uitați de această limitare.

Acum să calculăm cu ce este egal

Răspunsul corect este! Dacă nu ai uitat a doua valoare posibilă în timpul calculului, atunci ești grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ce se discută mai jos și fii atent la motivul pentru care ambele rădăcini trebuie să fie notate în răspunsul.

Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare și cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:

Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă toți termenii ei dați sunt la fel? Calculați q pentru primul și al doilea caz.

Vezi de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului pe care îl cauți depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.

Acum că ați stăpânit punctele principale și ați derivat formula proprietății progresiei geometrice, găsiți, cunoașteți și

Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:

Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile termenilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat inițial formula, la.
Ce ai primit?

Acum uită-te din nou cu atenție.
și, în consecință:

De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai progresiei geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.

Astfel, formula noastră inițială ia forma:

Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu orice număr natural care este mai mic. Principalul lucru este că este același pentru ambele numere date.

Exersează cu exemple specifice, doar fii extrem de atent!

1. , . Găsi.
2. , . Găsi.
3. , . Găsi.

Hotărât? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.

Să comparăm rezultatele.

În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:

În al treilea caz, când examinăm cu atenție numerele de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar este eliminat la o poziție, deci este nu se poate aplica formula.

Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem în ce constă fiecare număr dat și numărul pe care îl căutăm.

Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei? Sugerez împărțirea la. Primim:

Înlocuim datele noastre în formula:

Următorul pas pe care îl putem găsi este - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.

Acum să ne uităm din nou la ce avem. Îl avem, dar trebuie să îl găsim și, la rândul său, este egal cu:

Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Înlocuiți în formula:

Raspunsul nostru: .

Încercați să rezolvați singur o altă problemă similară:
Având în vedere: ,
Găsi:

Cât ai primit? am - .

După cum puteți vedea, în esență aveți nevoie amintiți-vă doar o formulă- . Puteți retrage tot restul fără nicio dificultate în orice moment. Pentru a face acest lucru, scrieți pur și simplu cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce este egal fiecare dintre numerele sale, conform formulei descrise mai sus.

Suma termenilor unei progresii geometrice.

Acum să ne uităm la formule care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:

Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțiți toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:

Privește cu atenție: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu, și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?

Acum exprimați termenul progresiei geometrice prin formulă și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:

Grupați expresia. Ar trebui să obțineți:

Tot ce rămâne de făcut este să exprim:

În consecință, în acest caz.

Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? O serie de numere identice este corectă, deci formula va arăta astfel:

Există multe legende despre progresia aritmetică și geometrică. Una dintre ele este legenda lui Set, creatorul șahului.

Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la sine și i-a ordonat să-i ceară tot ce își dorește, promițându-i că-și va îndeplini și cea mai pricepută dorință.

Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, l-a surprins pe rege cu modestia fără precedent a cererii sale. A cerut să dea un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, un bob de grâu pentru al doilea, un bob de grâu pentru al treilea, un al patrulea etc.

Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regelui, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate pătratele tablei.

Și acum întrebarea: folosind formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?

Să începem să raționăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea etc., atunci vedem că problema este despre o progresie geometrică. Cu ce ​​este egal în acest caz?
Corect.

Total pătrate ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, tot ce rămâne este să le introducem în formulă și să calculăm.

Pentru a ne imagina cel puțin aproximativ „scara” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:

Desigur, dacă doriți, puteți lua un calculator și calcula cu ce număr ajungeți, iar dacă nu, va trebui să mă credeți pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Adică:

quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.

Uf) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați cât de mare ar fi necesar un hambar pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Dacă hambarul are m înălțime și m lățime, lungimea lui ar trebui să se extindă pe km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.

Dacă regele ar fi fost puternic în matematică, l-ar fi putut invita pe omul de știință însuși să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar fi nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioane, boabele ar trebui să fie numărate pe tot parcursul vieții.

Acum să rezolvăm o problemă simplă care implică suma termenilor unei progresii geometrice.
Un elev din clasa 5A Vasya s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane, care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. În clasă sunt doar oameni. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?

Deci, primul termen al progresiei geometrice este Vasya, adică o persoană. Al treilea termen al progresiei geometrice sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a termenilor de progres este egală cu numărul de studenți 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:

Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:

Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” studenților. A funcționat? Uite cum mi se pare:

Calculați singur câte zile ar fi nevoie pentru ca elevii să se îmbolnăvească de gripă dacă fiecare ar infecta o persoană și ar fi o singură persoană în clasă.

Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.

După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare ulterior „aduce” oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ați aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în general) nu ar aduce pe nimeni, în consecință, ar pierde tot ceea ce a investit în această înșelătorie financiară.

Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.

Deci, mai întâi, să ne uităm din nou la acest desen al unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:

Acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau

Pentru ce ne străduim? Așa este, graficul arată că tinde spre zero. Adică at, va fi aproape egal, respectiv, atunci când calculăm expresia vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.

- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma infinit numarul de membri.

Dacă este specificat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.

Acum haideți să exersăm.

1. Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice cu și.
2. Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.

Sper că ai fost extrem de atent. Să comparăm răspunsurile noastre:

Acum știți totul despre progresia geometrică și este timpul să treceți de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme de progresie geometrică întâlnite la examen sunt problemele de calcul al dobânzii compuse. Acestea sunt cele despre care vom vorbi.

Probleme la calcularea dobânzii compuse.

Probabil ați auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce înseamnă? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că odată ce înțelegeți procesul în sine, veți înțelege imediat ce legătură are progresia geometrică cu el.

Mergem cu toții la bancă și știm că există condiții diferite pentru depozite: acesta include un termen, servicii suplimentare și dobândă cu două moduri diferite de calcul - simplu și complex.

CU simplu interes totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se acumulează o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă spunem că depunem 100 de ruble pentru un an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului vom primi ruble.

Dobânda compusă- aceasta este o opțiune în care apare capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al veniturilor nu din suma inițială, ci din suma depozitului acumulat. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare frecvență. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.

Să presupunem că depunem aceleași ruble anual, dar cu capitalizarea lunară a depozitului. ce facem?

Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să ne dăm seama pas cu pas.

Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:

De acord?

O putem scoate din paranteze și apoi obținem:

De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu ceea ce am scris la început. Mai rămâne doar să ne dai seama de procente

În enunțul problemei ni se spune despre ratele anuale. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în fracții zecimale, adică:

Corect? Acum vă puteți întreba, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: enunțul problemei spune despre ANUAL dobânda care se acumulează LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, în consecință, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:

Ti-ai dat seama? Acum încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Te-ai descurcat? Să comparăm rezultatele:

Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: scrieți cât va fi creditat în contul nostru în a doua lună, ținând cont că se acumulează dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce am primit:

Sau, cu alte cuvinte:

Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul acestuia sau, cu alte cuvinte, ce sumă de bani vom primi la sfârșitul lunii.
A făcut-o? Să verificăm!

După cum puteți vedea, dacă puneți bani într-o bancă timp de un an la o dobândă simplă, veți primi ruble, iar dacă la o dobândă compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar asta se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă capitalizarea este mult mai profitabilă:

Să ne uităm la un alt tip de problemă care implică dobânda compusă. După ceea ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci, sarcina:

Compania Zvezda a început să investească în industrie în 2000, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003 dacă profiturile nu ar fi retrase din circulație?

Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.

Sau putem scrie pe scurt:

Pentru cazul nostru:

2000, 2001, 2002 și 2003.

Respectiv:
ruble
Vă rugăm să rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici după, nici după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți o problemă privind dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este calculat și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.

Antrenamentul.

1. Aflați termenul progresiei geometrice dacă se știe că și
2. Aflați suma primilor termeni ai progresiei geometrice dacă se știe că și
3. Compania MDM Capital a început să investească în industrie în 2003, cu capital în dolari. În fiecare an, din 2004, a primit un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania MSK Cash Flows a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 USD, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari este capitalul unei companii mai mare decât al celeilalte la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?

Raspunsuri:

1. Deoarece enunțul problemei nu spune că progresia este infinită și este necesar să se găsească suma unui anumit număr al termenilor săi, calculul se efectuează conform formulei:
2. 
   Compania MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - crește cu 100%, adică de 2 ori.
   Respectiv:
   ruble
   Compania MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - crește cu, adică cu ori.
   Respectiv:
   ruble
   ruble

Să rezumam.

1) Progresia geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

2) Ecuația termenilor progresiei geometrice este .

3) poate lua orice valoare cu excepția și.

• dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - ei sunt pozitive;
• dacă, atunci toți termenii ulterioare ai progresiei semne alternative;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

4) , at - proprietatea progresiei geometrice (termeni adiacenți)

sau
, la (termeni echidistanti)

Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri.

De exemplu,

5) Suma termenilor progresiei geometrice se calculează folosind formula:
sau

Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
sau

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.

6) Problemele privind dobânda compusă se calculează și folosind formula celui de-al treilea termen al unei progresii geometrice, cu condiția ca fondurile să nu fi fost retrase din circulație:

PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.

Numitorul progresiei geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.

• Dacă, atunci toți termenii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
• dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei se alternează semne;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

Ecuația termenilor de progresie geometrică - .

Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau

Să luăm în considerare o anumită serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Aceasta înseamnă că această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere, a cărei caracteristică principală este că următorul număr se obține din cel anterior prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z ·q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care la școală se studiază progresia geometrică este clasa a IX-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr dintr-o serie, trebuie să-l înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a seta această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceasta, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element ulterior. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi, succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| este mai mică de unu, adică înmulțirea cu ea este echivalentă cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea de numere poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Semn alternativ. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3, q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi, succesiunea de numere poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Există multe formule pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice:

• Formula cu termenul Z. Vă permite să calculați un element sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, o 1 = 4. Se cere numărarea celui de-al patrulea element al progresiei.

Soluţie:o 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente al căror număr este egal cu z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de numere care se repetă la infinit.

Suma progresiei geometrice, exemple:o 1 = 2, q= -2. Calculați S5.

Soluţie:S 5 = 22 - calcul folosind formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:o 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• Proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție functioneaza pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · oz+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr dintr-o progresie geometrică se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undet- distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qdată.
• Logaritmii elementelor unei progresii formează și ei o progresie, dar una aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemple cu soluții pentru clasa 9 pot ajuta.

• Conditii:o 1 = 3, o 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq dată.Este necesar să exprimați unele elemente în termenii altora folosind un numitor.

Prin urmare,o 3 = q 2 · o 1

La înlocuireq= 4

• Conditii:o 2 = 6, o 3 = 12. Calculați S 6.

Soluţie:Pentru a face acest lucru, doar găsiți q, primul element și înlocuiți-l în formulă.

o 3 = q· o 2 , prin urmare,q= 2

a 2 = q · a 1 ,De aceea a 1 = 3

S 6 = 189

• · o 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Un client bancar a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia, în fiecare an, clientul va avea 6% din acesta adăugat la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Aceasta înseamnă că la un an de la investiție contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii și numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de probleme pentru calcularea sumelor:

Progresia geometrică este utilizată în diverse probleme. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

o 1 = 4, q= 2, calculeazăS 5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• o 2 = 6, o 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

În geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma trebuie să cunoașteți elementulo 1 și numitorulq.

o 2 · q = o 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsițio 1 , știindo 2 Şiq.

o 1 · q = o 2

a 1 =2

S 6 = 728.