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角度の入門
任意の 2 つの光線を与えてみましょう。 重ねて置きましょう。 それから
定義 1
同じ原点を持つ 2 つの光線を角度と呼びます。
定義 2
定義 3 の枠組み内の光線の始点である点は、この角度の頂点と呼ばれます。
頂点、一方の光線上の点、もう一方の光線上の点の 3 つの点で角度を表します。角度の頂点はその指定の中央に書かれます (図 1)。
角度の大きさを決定してみましょう。
これを行うには、単位として使用するある種の「基準」角度を選択する必要があります。 ほとんどの場合、この角度は、展開角度の $\frac(1)(180)$ 部分に等しい角度です。 この量は度数と呼ばれます。 そのような角度を選択した後、角度をその角度と比較し、その値を見つける必要があります。
角度は4種類あります。
定義 3
$90^0$ 未満の角度は鋭角と呼ばれます。
定義 4
$90^0$ より大きい角度は鈍角と呼ばれます。
定義5
$180^0$ に等しい場合、その角度は展開済みと呼ばれます。
定義6
$90^0$ に等しい場合、角度は直角と呼ばれます。
上で説明した角度のタイプに加えて、互いの角度のタイプ、つまり垂直角度と隣接角度を区別することができます。
隣接する角度
逆角 $COB$ を考えてみましょう。 その頂点から光線 $OA$ を描きます。 この光線は、元の光線を 2 つの角度に分割します。 それから
定義7
2 つの辺の一方のペアが展開角で、もう一方のペアが一致する場合、その 2 つの角を隣接していると呼びます (図 2)。
で この場合角度 $COA$ と $BOA$ は隣接しています。
定理1
隣接する角度の合計は $180^0$ です。
証拠。
図 2 を見てみましょう。
定義 7 により、角度 $COB$ は $180^0$ に等しくなります。 隣接する角度の辺の 2 番目のペアが一致するため、光線 $OA$ は展開角度を 2 で割ります。
$∠COA+∠BOA=180^0$
定理は証明されました。
この考え方を使って問題の解決を考えてみましょう。
例1
下の図から角度 $C$ を求めます
定義 7 により、角度 $BDA$ と $ADC$ が隣接していることがわかります。 したがって、定理 1 により、次のようになります。
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
三角形の角度の和に関する定理により、次のようになります。
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
答え: $40^0$。
垂直角度
展開角度 $AOB$ と $MOC$ を考えてみましょう。 これらの角度の辺が重ならないように、頂点を互いに揃えましょう (つまり、点 $O"$ を点 $O$ 上に置きます)。
定義8
2 つの辺のペアが展開角であり、その値が一致する場合、2 つの角を垂直と呼びます (図 3)。
この場合、角度 $MOA$ と $BOC$ は垂直であり、角度 $MOB$ と $AOC$ も垂直です。
定理2
垂直角は互いに等しい。
証拠。
図 3 を見てみましょう。たとえば、角度 $MOA$ が角度 $BOC$ に等しいことを証明してみましょう。
2 つの角度の一方の側が共通であり、これらの角度のもう一方の側が相補的な光線である場合、2 つの角度は隣接していると呼ばれます。 図 20 では、角度 AOB と BOC が隣接しています。
隣り合う角度の和は180°
定理 1. 隣接する角度の和は 180°です。
証拠。 ビーム OB (図 1 を参照) は、展開されたアングルの側面の間を通過します。 それが理由です ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.
定理 1 から、2 つの角度が等しい場合、それらの隣接する角度は等しいことがわかります。
垂直角は等しい
一方の角度の側面がもう一方の側面の補光線である場合、2 つの角度は垂直と呼ばれます。 2 本の直線の交点で形成される角度 AOB と COD、BOD と AOC は垂直です (図 2)。
定理 2. 垂直角は等しい。
証拠。 考えてみましょう 垂直角 AOB と COD (図 2 を参照)。 角度 BOD は、角度 AOB および COD のそれぞれに隣接しています。 定理 1 より、∠ AOB + ∠ BOD = 180°、∠ COD + ∠ BOD = 180°。
このことから、∠ AOB = ∠ COD と結論付けられます。
系 1. 直角に隣接する角は直角です。
交差する 2 つの直線 AC と BD を考えてみましょう (図 3)。 それらは 4 つの角を形成します。 そのうちの 1 つが直線 (図 3 の角度 1) であれば、残りの角度も直角になります (角度 1 と 2、1 と 4 は隣接しており、角度 1 と 3 は垂直です)。 この場合、これらの線は直角に交差し、垂直（または相互に垂直）と呼ばれると言われています。 線 AC と BD の垂直度は、AC ⊥ BD で表されます。
セグメントの垂直二等分線は、このセグメントに垂直で、その中点を通過する線です。
AN - 線に垂直
直線 a と、その上にない点 A を考えてみましょう (図 4)。 線分のある点Aと点Hを直線aで結んでみましょう。 線分 AN と線分 a が垂直であれば、点 A から線分 a に引いた垂線と呼ばれます。 点 H は垂線の底辺と呼ばれます。
描画正方形
次の定理が成り立ちます。
定理 3. 直線上にない任意の点から、この直線に対して垂線を引くことができますが、その垂線は 1 つだけです。
図面上で点から直線に垂線を引くには、描画正方形を使用します (図 5)。
コメント。 定理の定式化は通常 2 つの部分で構成されます。 ある部分では、与えられたものについて話します。 この部分を定理の条件といいます。 他の部分では、何を証明する必要があるかについて説明します。 この部分を定理の結論と呼びます。 たとえば、定理 2 の条件は、角度が垂直であることです。 結論 - これらの角度は等しい。
どのような定理も、その条件が「if」で始まり、その結論が「then」という言葉で詳細に表現できます。 たとえば、定理 2 は次のように詳しく説明できます。「2 つの角度が垂直であれば、それらは等しい」。
例1.隣接する角度の 1 つは 44° です。 もう一方は何と等しいでしょうか?
解決。
別の角度の度数を x で表し、定理 1 に従います。
44° + x = 180°。
結果の方程式を解くと、x = 136°であることがわかります。 したがって、もう一方の角度は 136°です。
例2。図 21 の角度 COD を 45° とします。 角度AOBとAOCは何ですか?
解決。
角度 COD と AOB は垂直であるため、定理 1.2 により、それらは等しくなります。つまり、∠ AOB = 45°です。 角度 AOC は角度 COD に隣接しており、これは定理 1 に従うことを意味します。
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°。
例 3.一方が他方よりも 3 倍大きい場合、隣接する角度を見つけます。
解決。
小さい方の角度の度数を x で表します。 この場合、大きい方の角度の度数は 3x になります。 隣接する角度の合計は 180° に等しいため (定理 1)、x + 3x = 180°、つまり x = 45° となります。
これは、隣接する角度が 45° と 135° であることを意味します。
例4. 2 つの頂角の合計は 100° です。 4つの角のそれぞれの大きさを求めます。
解決。
図 2 が問題の条件を満たしているとします。COD と AOB が等しいとします (定理 2)。これは、それらの度数も等しいことを意味します。 したがって、∠ COD = ∠ AOB = 50° (条件によるそれらの和は 100°) となります。 角度 BOD (角度 AOC とも) は角度 COD に隣接しているため、定理 1 に従います。
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°。
片面が共通で、もう片面が同一直線上にある角度（図では角度1と角度2が隣接）。 米。 アートへ。 隣接する角度 … ソビエト大百科事典
隣接するコーナー- 共通の頂点と 1 つの共通の辺を持ち、他の 2 つの辺が同じ直線上にある角度... ポリテクニック大百科事典
角度を参照... 大きい 百科事典
隣接する角度、合計が 180°となる 2 つの角度。 これらの角度はそれぞれ、他の角度を完全に補完します... 科学技術事典
「角度」を参照してください。 * * * 隣接するコーナー 隣接するコーナー、角度を参照 (角度を参照) ... 百科事典
- (隣接する角度) 共通の頂点と共通の辺を持つもの。 ほとんどの場合、この名前はそのようなC.角度を指し、その他の2つの辺は頂点を通って引かれた1本の直線の反対方向にあります... 百科事典 F.A. ブロックハウスと I.A. エフロン
角度を参照... 自然科学。 百科事典
2 本の直線が交差して、一対の垂直角を作成します。 1 つのペアは角度 A と B で構成され、もう 1 つのペアは角度 C と D で構成されます。幾何学では、2 つの角度が 2 つの交差によって作成される場合、2 つの角度は垂直と呼ばれます。
90 度まで相互に補完する一対の補角 補角は、90 度まで相互に補完する一対の角度です。 2 つの相補的な角度が隣接している場合 (つまり、共通の頂点があり、離れているだけです... ... Wikipedia
最大 90 度まで互いに補い合う一対の補角 補角とは、最大 90 度まで互いに補い合う一対の角度です。 2 つの補角が一致する場合... ウィキペディア
本
- 幾何学における証明について、A.I. Fetisov この本は、プリント オン デマンド技術を使用して、ご注文に応じて作成されます。 むかしむかし、一番最初の頃学年
- , 女の子二人の会話を聞かなければなりませんでした。 彼らの長男は...
知識をモニタリングするための包括的なノートブック。 幾何学模様。 7年生。 連邦州教育基準、バベンコ・スヴェトラーナ・パブロヴナ、マルコヴァ・イリーナ・セルゲイヴナ。 このマニュアルには、7 年生の知識の現在、テーマ別、および最終的な品質管理を行うための幾何学的な制御および測定材料 (CMM) が示されています。 マニュアルの内容は・・・質問1.
どのような角度を隣接と呼びますか?答え。
2 つの角は、一方の辺が共通しており、これらの角のもう一方の辺が相補的な半線である場合、隣接していると呼ばれます。
図 31 では、角度 (a 1 b) と (a 2 b) が隣接しています。 共通の辺 b があり、辺 a 1 と a 2 は追加のハーフラインです。質問2。
どのような角度を隣接と呼びますか? 隣接する角度の和が180°であることを証明してください。定理2.1。
隣り合う角度の和は180°です。証拠。
角度 (a 1 b) と角度 (a 2 b) に隣接する角度を与えます (図 31 を参照)。 光線 b は、直角の辺 a 1 と a 2 の間を通過します。 したがって、角度 (a 1 b) と (a 2 b) の合計は展開角度、つまり 180° に等しくなります。 Q.E.D.質問3。
どのような角度を隣接と呼びますか?
2 つの角度が等しい場合、隣接する角度も等しいことを証明します。 2.1
定理より
2 つの角度が等しい場合、隣接する角度も等しいということになります。
角度 (a 1 b) と (c 1 d) が等しいとします。 角度 (a 2 b) と (c 2 d) も等しいことを証明する必要があります。
隣り合う角度の和は180°です。 これから、a 1 b + a 2 b = 180°、c 1 d + c 2 d = 180°ということがわかります。 したがって、a 2 b = 180° - a 1 b および c 2 d = 180° - c 1 d となります。 角度 (a 1 b) と (c 1 d) は等しいため、a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d が得られます。 等号の推移性の性質により、a 2 b = c 2 d となります。 Q.E.D.どの角度を直角(鋭角、鈍角)といいますか?
どのような角度を隣接と呼びますか? 90°に等しい角度を直角といいます。
90°未満の角度を鋭角と呼びます。
90°を超え、180°未満の角度は鈍角と呼ばれます。
質問5。直角に隣接する角は直角であることを証明します。
どのような角度を隣接と呼びますか?隣接する角度の和に関する定理から、直角に隣接する角度は直角であることがわかります: x + 90° = 180°、x = 180° - 90°、x = 90°。
質問6。どの角度を垂直と呼びますか?
どのような角度を隣接と呼びますか?一方の角の辺がもう一方の辺の相補的な半線である場合、2 つの角は垂直と呼ばれます。
質問7。垂直角が等しいことを証明してください。
答え。 定理2.2。 垂直角は等しい。
隣り合う角度の和は180°です。(a 1 b 1) と (a 2 b 2) を所定の頂角とします (図 34)。 角度 (a 1 b 2) は、角度 (a 1 b 1) および角度 (a 2 b 2) に隣接しています。 ここから、隣接する角度の和に関する定理を使用して、角度 (a 1 b 1) と (a 2 b 2) のそれぞれが角度 (a 1 b 2) を 180°、つまり 180° まで補完すると結論付けます。 角度 (a 1 b 1) と (a 2 b 2) は等しいです。 Q.E.D.
質問8。 2 本の線が交差するとき、そのうちの 1 つの角が直角であれば、他の 3 つの角も直角であることを証明してください。
どのような角度を隣接と呼びますか?線分 AB と線分 CD が点 O で交差するとします。角度 AOD が 90° であるとします。 隣接する角度の合計は 180°であるため、AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° となります。 角度 COB は角度 AOD に対して垂直なので、それらは等しいです。 つまり、角度COB = 90°です。 角度 COA は角度 BOD に対して垂直なので、それらは等しいです。 つまり、角度 BOD = 90°です。 したがって、すべての角度は 90° に等しく、つまりすべて直角になります。 Q.E.D.
質問9。どの線が垂直と呼ばれますか? 線の直角度を示す記号は何ですか?
どのような角度を隣接と呼びますか? 2 本の線が直角に交差する場合、垂直と呼ばれます。
線の垂直度は記号 \(\perp\) で示されます。 エントリ \(a\perp b\) には、「線分 a は線分 b に垂直です。」と書かれています。
質問10。線上の任意の点を通って、それに垂直な線を 1 本だけ引くことができることを証明してください。
答え。 定理2.3。各線を通して、それに垂直な線を 1 本だけ引くことができます。
隣り合う角度の和は180°です。 a を指定された直線、A をその線上の指定された点とします。 始点 A を持つ直線 a の半直線の 1 つを a 1 で表すことにします (図 38)。 半線 a 1 から 90° に等しい角度 (a 1 b 1) を引きます。 このとき、光線ｂ １ を含む直線は、直線ａに対して垂直となる。
同様に点 A を通り、線 a に垂直な別の線があると仮定します。 光線ｂ １ と同じ半平面内にあるこの線の半線をｃ １ で表すことにする。
それぞれ 90°に等しい角度 (a 1 b 1) と (a 1 c 1) が、半線 a 1 からの 1 つの半平面上に配置されます。 しかし、半線 a 1 からは、90° に等しい角度が 1 つだけ、所定の半平面に入ることができます。 したがって、点 A を通り、線 a に垂直な別の線は存在できません。 定理は証明されました。
質問11。線に垂直とは何ですか?
どのような角度を隣接と呼びますか?指定された線に対する垂線は、指定された線に対して垂直な線分のセグメントであり、その終端の 1 つが交点にあります。 セグメントのこの端はと呼ばれます 基礎垂直。
質問12。矛盾による証明がどのような構成になっているかを説明してください。
どのような角度を隣接と呼びますか?定理 2.3 で使用した証明方法は、矛盾による証明と呼ばれます。 この証明方法は、定理が述べていることと反対の仮定を最初に立てるというものです。 次に、公理と証明された定理に頼って推論することにより、定理の条件、公理の 1 つ、または以前に証明された定理のいずれかに矛盾する結論に達します。 これに基づいて、私たちの仮定は間違っており、したがって定理の記述は正しいと結論付けます。
質問13。角の二等分線は何ですか?
どのような角度を隣接と呼びますか?角の二等分線は、角の頂点から発し、その辺の間を通過して角を半分に分割する光線です。
このレッスンでは、隣接する角度の概念を見て理解します。 それらに関係する定理を考えてみましょう。 「頂角」という概念をご紹介します。 これらの角度についての裏付けとなる事実をいくつか見てみましょう。 次に、垂直角の二等分線間の角度に関する 2 つの系を定式化して証明します。 レッスンの最後に、このトピックに関するいくつかの問題を見ていきます。
「隣接角度」の概念からレッスンを始めましょう。 図1は、展開角∠AOCと、この角度を2つの角度に分割する光線OBを示しています。
米。 1. 角度∠AOC
角度∠AOBと∠BOCを考えてみましょう。 共通の側面 VO があり、側面 AO と OS が反対であることは明らかです。 光線 OA と OS は互いに補完し合い、同じ直線上にあることを意味します。 角∠AOBと∠BOCは隣接しています。
定義: 2 つの角度に共通の側面があり、他の 2 つの側面が相補的な光線である場合、これらの角度は次のように呼ばれます。 隣接.
定理 1: 隣接する角度の合計は 180 度です。
米。 2. 定理 1 の作図
∠MOL + ∠LON = 180° 光線 OL が展開角 ∠MON を 2 つの隣接する角に分割するため、このステートメントは真実です。 つまり、隣接する角度の度数はわかりませんが、それらの合計である 180 度だけがわかります。
2 本の線の交点を考えてみましょう。 この図は、点 O での 2 つの直線の交点を示しています。
米。 3. 垂直角∠ВОАと∠СOD
定義: 1 つの角の辺が 2 番目の角の連続である場合、そのような角は垂直と呼ばれます。 このため、図には 2 組の頂角、∠AOB と ∠COD、および ∠AOD と ∠BOC が示されています。
定理 2: 垂直角は等しい。
図 3 を使用してみましょう。回転角度 ∠AOC を考えてみましょう。 ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 180 o - β。 回転角∠BODを考えてみましょう。 ∠COD = ∠BОD - ∠BOC = 180 o - β。
これらの考察から、∠AOB = ∠COD = α と結論付けられます。 同様に、∠AOD = ∠BOS = βとなります。
系 1: 隣接する角の二等分線間の角度は 90°です。
米。 4. 系1の描画
OL は角 ∠BOA の二等分線であるため、∠BOA = と同様に、角 ∠LOB = になります。 ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
。 これらの角度は隣接しているため、角度 α + β の合計は 180° に等しくなります。
系 2: 頂角の二等分線間の角度は 180°に等しい。
米。 5. 系2の描画
KOは二等分線∠AOB、LOは二等分線∠CODです。 明らかに、∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o です。 これらの角度は隣接しているため、角度 α + β の合計は 180° に等しくなります。
いくつかのタスクを見てみましょう。
∠AOC = 111°の場合、∠AOCに隣接する角度を求めます。
タスク用の絵を描いてみましょう。
米。 6. 作図例1
∠AOC = β と ∠COD = α は隣接する角度なので、α + β = 180° となります。 つまり、111°+β=180°となります。
これはβ = 69°を意味します。
このタイプの問題は、隣接角の和の定理を利用します。
隣接する角の 1 つは直角ですが、もう 1 つの角 (鋭角、鈍角、または直角) は何ですか?
一方の角度が直角で、2 つの角度の合計が 180° の場合、もう一方の角度も直角になります。 この問題では、隣接する角度の合計に関する知識がテストされます。
隣接する角度が等しい場合、それらは直角になるというのは本当ですか?
方程式を作ってみましょう: α + β = 180 °ですが、α = β なので、β + β = 180 °、つまり β = 90 °です。
回答: はい、その記述は真実です。
2 つの等しい角度が与えられます。 隣り合う角度も等しくなるって本当ですか？
米。 7. 作図例4
2 つの角度が α に等しい場合、それらに対応する隣接する角度は 180° - α になります。 つまり、それらは互いに等しいことになります。
回答: その記述は正しいです。
- Alexandrov A.D.、Werner A.L.、Ryzhik V.I. 幾何学 7. - M.: 教育。
- アタナシアン L.S.、ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B. 幾何学 7. 第 5 版 - M.: 啓蒙。
- \ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B.、プラソロヴァ V.V. ジオメトリー 7 / V.F. ブツゾワ、S.B. カドムツェフ、V.V. プラソロフ、V.A.編集 サドヴニチゴ。 - M.: 教育、2010 年。
- セグメントの測定 ()。
- 7 年生の幾何学の一般授業 ()。
- 直線、セグメント ()。
- No. 13、14. ブトゥーゾフ V.F.、カドムツェフ S.B.、プラソロヴァ V.V. ジオメトリー 7 / V.F. ブツゾワ、S.B. カドムツェフ、V.V. プラソロフ、V.A.編集 サドヴニチゴ。 - M.: 教育、2010 年。
- 一方が他方の 4 倍である場合、2 つの隣接する角度を見つけます。
- 角度を考えると。 それに隣接する角度と垂直な角度を作成します。 このような角度はいくつ構築できるでしょうか?
- * 3 つの直線が 1 点で交差する場合と 3 点で交差する場合、どちらの場合により多くの頂角のペアが得られますか?
