Фізика - коливання та хвилі. Коливання та хвилі, закони та формули Формули з фізики механічні коливання хвилі

Якщо подивитися на пшеничне поле у ​​вітряну погоду, ми побачимо, що воно «хвилюється», що вздовж нього щось переміщається. Не зрозуміло, що стебла залишаються на місці. Вони лише нахиляються, випрямляються, знову нахиляються тощо. Якщо взяти шнур і закріпити один його кінець, а інший привести в коливальний рух, ми побачимо, що вздовж шнура «біжить» хвиля. Якщо ми кинемо камінь у воду, то довкола місця падіння каменю «піде кола». Ці кола теж хвилі.

Джерелами хвиль є коливання. Коливаються стебла рослин, що деформуються вітром, коливаються частинки води, коливається кінець шнура. А коливання, що виникли в одному місці, передаються іншим часткам. Те, що ми називаємо хвилею, є поширення коливань від точки до точки, від частинки до частки.

Моделью утворення хвилі в шнурі може служити ланцюжок кульок, що мають масу, між якими діє сила пружності. Уявімо, що між кульками розташовані маленькі пружинки.

Нехай кулька 1 відведена вгору і відпущена. Пружинка, що зв'язує його з кулькою 2, при цьому розтягнеться, виникне сила пружності, яка діє не тільки на кульку 1, а й на кульку 2. Отже, почне вагатися і кулька 2. Це призведе до деформації наступної пружинки, так що почне коливати та кулька 3 і т.д.
Оскільки у всіх кульок однакові маси і силу пружності, то всі кульки будуть коливатись – кожен біля свого положення рівноваги – з однаковими періодами та однаковими амплітудами. Проте всі кульки мають інертність (оскільки в них є маса), тому коливання кульок почнуться не одночасно, оскільки на зміну їх швидкості потрібен час. Тому 2-а точка почне вагатися пізніше, ніж 1-я, 3-я пізніше, ніж 2-а, 4-а пізніше, ніж 3-я і т.д.

Якщо спостерігати за будь-якою точкою шнура, ми побачимо, що кожна точка здійснює коливання з тим же періодом Т. Хоча всі точки шнура коливаються з однаковою частотою, ці коливання зміщені відносно один одного в часі. Саме внаслідок цього усунення у часі і виникає хвиля. Наприклад, коливання точки 2 відстають від коливань точки 1 на чверть періоду . А коливання точки 3 відстають від коливань точки 2 один цілий період Т. Звідси випливає важливий висновок: точки 2 і 3 рухаються однаково.

Відстань між найближчими точками хвилі, які рухаються однаково, називається довжиною хвиліі позначається λ .

Отже, механічні хвилі – це механічні коливання, що поширюються у просторі з часом.

Швидкість хвилі

За час, що дорівнює одному періоду Т, кожна точка середовища здійснила однеколивання і, отже, повернулася у те саме положення. Отже, хвиля змістилася у просторі якраз на однудовжину хвилі. Таким чином, якщо визначити швидкість поширення хвилі υ , отримаємо, що швидкість хвилі

λ = υ Т

Оскільки Т = 1/ ν тоді отримаємо, що швидкість хвилі, довжина хвилі і частота хвилі пов'язані співвідношенням

υ = λ ν

Що переносять хвилі?

У наведених прикладах видно, що речовина не переміщається вздовж напрямку поширення хвилі, тобто. хвилі не переносять речовину .
Однак хвилі переносять енергію: адже хвиля - це коливання, що розповсюджуються в просторі, а будь-які коливання мають енергію.

Коливання– це фізичні процеси, які точно чи приблизно повторюються через однакові інтервали часу. Якщо коливальний процес поширюється у просторі з часом, то говорять про поширення хвиль.

Коливальні рухи часто зустрічаються в природі та техніці: коливаються дерева в лісі, струни музичних інструментів, поршні двигуна, голосові зв'язки, серце тощо. Коливальні рухи відбуваються в житті – землетруси, припливи та відливи, стискання та розширення нашого Всесвіту.

Коливання виникають у системах завжди, якщо ці системи мають стійкі положення рівноваги. При відхиленні від положення рівноваги виникає сила, що «повертає», яка намагається повернути систему в положення рівноваги. Оскільки тілам властива інертність, всі вони «проскакують» положення рівноваги і тоді відхилення відбувається у протилежному напрямі. І тоді процес починає періодично повторюватись.

Залежно від фізичної природи розрізняють механічні та електромагнітні коливання. Однак коливання і хвилі незалежно від їхньої природи описуються кількісно одними і тими ж рівняннями.

Механічні коливання - це такі рухи тіл, при яких через рівні інтервали часу координати тіла, що рухається, його швидкість і прискорення приймають вихідні значення.

Основні види коливань

1. Вільні
2. Вимушені
3. Автоколивання

Вільні коливання

Вільні коливання - Це коливання, що виникають в системі під дією внутрішніх сил після того, як систему вивели із положення рівноваги. Тобто такі коливання відбуваються лише рахунок запасу енергії, повідомленого системі.

Умови виникнення вільних коливань:
1. Система знаходиться поблизу положення стійкої рівноваги (для виникнення сили, що «повертає»);
2. Тертя в системі має бути досить мало (інакше коливання швидко загаснуть або взагалі не виникнуть).

Вимушені коливання

Вимушені коливання - Це коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються.

Відмінність від вільних коливань:
1. Частота вимушених коливань завжди дорівнює частоті періодичної сили, що змушує.
2. Амплітуда вимушених коливань не зменшується з часом, навіть якщо в системі є тертя. Оскільки втрати механічної енергії поповнюються рахунок роботи зовнішніх сил.

Автоколивання

Автоколивання- Це незатухаючі коливання, які можуть існувати в системі без впливу на неї зовнішніх періодичних сил. Такі коливання існують рахунок надходження енергії від постійного джерела (який має система) і регулюється самою системою.

До автоколивальних систем відносяться: годинник з маятником, електричний дзвінок з переривником, наше серце та легені тощо.

Особливості автоколивань:
1. Частота автоколивань дорівнює частоті вільних коливань коливальної системи і не залежить від джерела енергії (Відмінність від вимушених коливань).
2. Амплітуда автоколивань не залежить від енергії, повідомленої системі, а встановлюється самою системою (На відміну від вільних коливань).

Гармонічні коливання

Коливання, у яких зміщення залежить від часу за законом косинуса чи синуса, називають гармонійними.

Рівняння гармонійного коливання

х = X max cosωt

Величини, що характеризують коливальні рухи

Амплітуда

Амплітуда коливань – максимальне значення величини, яка зазнає коливань за гармонійним законом.

Фізичний сенс X max – максимальне значення усунення тіла від положення рівноваги при гармонійних коливаннях.

Період та частота

Період гармонійного коливанняТ- Це час одного повного коливання, тобто проміжок часу, через який рух повністю повторюється.

Одиниця виміру періоду [ Т] = 1с

Частота коливань ν - Це число повних коливань N, що здійснюються тілом за одиницю часу t.

Одиниця виміру частоти [ ν ] = 1 Гц = 1/с

Циклічна частота коливань

Циклічна частота коливань ω - Це число повних коливань, що здійснюються за 2 π секунд.

Одиниця виміру циклічної частоти [ ω ] = 1 рад/с

Графік гармонійного коливання

приклад

КОЛИВАННЯ І ХВИЛИ.Коливаннями називаються процеси, у яких рухи чи стану системи регулярно повторюються у часі. Найбільш наочно демонструє коливальний процес маятник, що коливається, але коливання властиві практично всім явищам природи. Коливальні процеси характеризуються такими фізичними величинами.

Період коливань Т– проміжок часу, через який стан системи набувають однакових значень: u(t + T) = u(t).

Частота коливань n або f- Число коливань в 1 секунду, величина, зворотна періоду: n = 1/Т. Вимірюється у герцах (Гц), має розмірність з -1. Маятник, що робить одне гойдання за секунду, коливається з частотою 1 Гц. У розрахунках нерідко використовують кругову або циклічну частоту w = 2pn.

Фаза коливань j- Величина, що показує, яка частина коливання пройшла з початку процесу. Вимірюється у кутових величинах – градусах чи радіанах.

Амплітуда коливань А– максимальне значення, яке набуває коливальна система, «розмах» коливання.

Періодичні коливання можуть мати різну форму, але найбільший інтерес представляють так звані гармонічні, або синусоїдальні коливання. Математично вони записуються у вигляді

u(t) = A sin j = A sin( w t + j 0),

де A- Амплітуда, j- Фаза, j 0 – її початкове значення, w- Кругова частота, t- Аргумент функції, поточний час. У разі строго гармонійного, незагасаючого коливання, величини А, wі j 0 не залежать від t.

Будь-яке періодичне коливання найскладнішої форми може бути представлене у вигляді суми кінцевого числа гармонійних коливань, а неперіодичне (наприклад, імпульс) - нескінченною їх кількістю (теорема Фур'є).

Система, виведена з рівноваги і надана сама собі, здійснює вільні чи власні коливання, частота яких визначається фізичними параметрами системи. Власні коливання можуть бути представлені як суми гармонійних, про нормальних коливань, чи мод.

Порушення коливань може відбуватися трьома шляхами. Якщо на систему діє періодична сила, що змінюється із частотою f(маятник розгойдують періодичними поштовхами), система вагатиметься з цією – вимушеною – частотою. Коли частота вимушальної сили fдорівнює чи кратна частоті власних коливань системи n, виникає резонанс - різке зростання амплітуди коливань.

Якщо параметри системи (наприклад, довжина підвісу маятника) періодично змінюються, відбувається параметричне збудження коливань. Воно найбільше ефективно, коли частота зміни параметра системи дорівнює її подвоєної власної частоти: fпар = 2 nсоб.

Якщо коливальні рухи виникають спонтанно (система «самозбуджується»), говорять про виникнення автоколивань, що мають складний характер.

Під час коливальних процесів відбувається періодичне перетворення потенційної енергії системи на кінетичну. Наприклад, відхиливши маятник убік і, отже, піднявши його на висоту h, йому повідомляють потенційну енергію mgh. Вона повністю перетворюється на кінетичну енергію руху mv 2 /2, коли вантаж проходить положення рівноваги та швидкість його максимальна. Якщо при цьому відбувається втрата енергії, коливання стають загасаючими.

У фізиці окремо розглядаються механічні та електромагнітні коливання – пов'язані коливання електричного та магнітного поля (світло, рентгенівське випромінювання, радіо). У просторі вони поширюються у вигляді хвиль.

Хвиля називається обурення (зміна стану середовища), яке поширюється в просторі і несе енергію, не переносячи речовини. Найбільш часто зустрічаються пружні хвилі, хвилі на поверхні рідини та електромагнітні хвилі. Пружні хвилі можуть збуджуватися тільки в середовищі (газ, рідина, тверде тіло), а електромагнітні хвилі поширюються і у вакуумі.

Якщо обурення хвилі спрямоване перпендикулярно до напряму її поширення, хвиля називається поперечною, якщо паралельно - поздовжньої. До поперечних відносяться хвилі, що біжать поверхнею води і вздовж струни, а також електромагнітні хвилі – вектори напруженості електричного та магнітного полів перпендикулярні вектору швидкості хвилі. Типовий приклад поздовжньої хвилі – звук.

Рівняння, що описує хвилю, можна вивести з вираження гармонійних коливань. Нехай у якійсь точці середовища відбувається періодичний рух згідно із законом А = A 0 sin w t. Цей рух передаватиметься від шару до шару – по середовищі побіжить пружна хвиля. Крапка, що знаходиться на відстані xвід точки збудження, буде здійснювати коливальні рухи, відстаючи на якийсь час t, необхідне проходження хвилею відстані х: t = x/c, де c- Швидкість хвилі. Тому законом її руху буде

A x = A 0 sin w(t – x/c),

або, оскільки w= 2p / T, де T- період коливань,

A x = A 0 sin 2p ( t/T – x/cT).

Це – рівняння синусоїдальної, або монохроматичної хвилі, що розповсюджується зі швидкістю зв напрямку х. Усі точки хвилі в момент часу tмають різні усунення. Але ряд точок, що віддаляються на відстань cTодна від одної, у будь-який момент часу зміщені однаково (бо аргументи синусів у рівнянні відрізняються на 2p і, отже, їх значення рівні). Ця відстань і є довжина хвилі l = сТ. Вона дорівнює шляху, який проходить хвиля за період коливання.

Фази коливань двох точок хвилі, що знаходяться на відстані D ходна від одної, відрізняються на D j = 2p D х/l, і, отже, на 2 pна відстані, кратному довжині хвилі. Поверхня, у всіх точках якої хвиля має однакові фази, називається хвильовим фронтом. Поширення хвилі відбувається перпендикулярно йому, тому може розглядатися як рух хвильового фронту серед. Крапки хвильового фронту формально вважають фіктивними джерелами вторинних сферичних хвиль, що додають хвилю вихідної форми (принцип Гюйгенса-Френеля).

Швидкість зміщення елементів середовища змінюється за тим самим законом, що і саме зміщення, але зі зсувом по фазі p/2: швидкість досягає максимуму, коли зсув падає до нуля. Тобто хвиля швидкостей зрушена щодо хвилі зміщень (деформацій середовища) за часом на Т/4, а у просторі на l/4. Хвиля швидкостей несе кінетичну енергію, а хвиля деформацій – потенційну. Енергія постійно переноситься у напрямі поширення хвилі. хзі швидкістю з.

Введена вище швидкість звідповідає поширенню лише нескінченної синусоїдальної (монохроматичної) хвилі. Вона визначає швидкість переміщення її фази jі називається фазовою швидкістю зф. Але на практиці набагато частіше зустрічаються як хвилі складнішої форми, так і хвилі, обмежені в часі (цуги), а також спільне поширення великого набору хвиль різної частоти (наприклад, біле світло). Подібно до складних коливань, хвильові цуги і негармонічні хвилі можуть бути представлені у вигляді суми (суперпозиції) синусоїдальних хвиль різних частот. Коли фазові швидкості всіх цих хвиль однакові, то вся їхня група (хвильовий пакет) рухається з однією швидкістю. Якщо ж фазова швидкість хвилі залежить від її частоти w, спостерігається дисперсія – хвилі різних частот йдуть із різною швидкістю. Нормальна, чи негативна дисперсія тим більше, що вища частота хвилі. За рахунок дисперсії, наприклад, промінь білого світла у призмі розкладається у спектр, у краплях води – у веселку. Хвильовий пакет, який можна представити як набір гармонійних хвиль, що лежать у діапазоні w 0 ± D wчерез дисперсію розпливається. Його форма - оглітаюча амплітуд компонент цуга - спотворюється, але переміщається у просторі зі швидкістю vгр, що називається груповою швидкістю. Якщо при розповсюдженні хвильового пакета максимуми хвиль, що його складають, рухаються швидше, ніж обгинає, фазова швидкість сигналу вище групової: зф > vгр. При цьому в хвостовій частині пакета за рахунок складання хвиль виникають нові максимуми, які пересуваються вперед і пропадають в його головній частині. Прикладом нормальної дисперсії є середовища, прозорі для світла – скла та рідини.

У ряді випадків спостерігається також аномальна (позитивна) дисперсія середовища, при якій групова швидкість перевищує фазову: vгр > зф, причому можлива ситуація, коли ці швидкості спрямовані у протилежні сторони. Максимуми хвиль з'являються в головній частині пакета, переміщаються назад і зникають у хвості. Аномальна дисперсія спостерігається, наприклад, під час руху дуже дрібних (так званих капілярних) хвиль на воді ( vгр = 2зф).

Усі методи вимірювання часу і швидкості поширення хвиль, що базуються на запізнюванні сигналів, дають групову швидкість. Саме її враховують при лазерній, гідро- та радіолокації, зондуванні атмосфери, в системах радіокерування тощо.

При поширенні хвиль у середовищі відбувається їхнє поглинання – незворотний перехід енергії хвилі до інших її видів (зокрема – у теплоту). Механізм поглинання хвиль різної природи різний, але поглинання у будь-якому випадку призводить до послаблення амплітуди хвилі за експоненційним законом: А 1 /А 0 = е a , де a- Так званий логарифмічний декремент згасання. Для звукових хвиль, як правило, a ~ w 2: високі звуки поглинаються значно сильніше за низькі. Поглинання світла – падіння його інтенсивності I– відбувається за законом Бугера I = I 0 exp(– k l l), де exp( x) = e x, k l – показник поглинання коливання із довжиною хвилі l, l- Шлях, пройдений хвилею в середовищі.

Розсіювання звуку на перешкодах та неоднорідностях середовища призводить до розпливання звукового пучка і, як наслідок, – до загасання звуку в міру його поширення. При розмірі неоднорідності L< l/2 розсіювання хвилі відсутнє. Розсіяння світла відбувається за складними законами і залежить не тільки від розміру перешкод, а й від їх фізичних характеристик. У природних умовах найбільше проявляється розсіювання на атомах і молекулах, що відбувається пропорційно w 4 або, що те саме, l-4 (Закон Релея). Саме релеївським розсіянням обумовлений блакитний колір неба та червоний – Сонця на заході сонця. Коли розмір часток стає порівнянним із довжиною хвилі світла ( r ~ l), розсіювання перестає залежати від довжини хвилі, світло розсіюється більше вперед, ніж назад. Розсіювання на великих частках ( r >> l) відбувається з урахуванням законів оптики - відображення та заломлення світла.

При складанні хвиль, різниця фаз яких постійна ( см. КОГЕРЕНТНІСТЬ) виникає стійка картина інтенсивності сумарних коливань – інтерференція. Відображення хвилі від стінки рівносильне доданню двох хвиль, що йдуть назустріч одна одній з різницею фаз p. Їхня суперпозиція створює стоячу хвилю, в якій через кожну половину періоду Т/2 лежать нерухомі точки (вузли), а між ними – точки, що коливаються з максимальною амплітудою А(Пучності).

Хвиля, що падає на перешкоду або проходить крізь отвір, огинає краї і заходить в область тіні, даючи картину у вигляді системи смуг. Це називається дифракцією; воно стає помітним, коли розмір перешкоди (діаметр отвору) Dпорівняємо з довжиною хвилі: D~ l.

У поперечній хвилі може спостерігатися явище поляризації, при якому обурення (зміщення в пружній хвилі, вектори напруженості електричного та магнітного полів електромагнітної) лежить в одній площині (лінійна поляризація) або обертається (кругова поляризація), змінюючи при цьому інтенсивність (еліптична поляризація).

При русі джерела хвиль назустріч спостерігачеві (чи, що те саме – спостерігача назустріч джерелу) спостерігається підвищення частоти f, при видаленні – зниження (ефект Доплера). Це явище можна спостерігати біля залізничної колії, коли мимо проноситься локомотив із сиреною. У той момент, коли він виявляється поряд із спостерігачем, відбувається помітне зниження тону гудку. Математично ефект записується як f = f 0 /(1± v/c), де f- спостерігається частота, f 0 – частота випромінюваної хвилі, v- Відносна швидкість джерела, c- Швидкість хвилі. Знак "+" відповідає наближенню джерела, знак "-" - його видалення.

Незважаючи на принципово різну природу хвиль, закони, що визначають їхнє поширення, мають багато спільного. Так, пружні хвилі в рідинах або газах і електромагнітні хвилі в однорідному просторі, випромінювані малим джерелом, описуються одним і тим же рівнянням, а хвилі на воді, подібно до світла і радіохвиль, відчувають інтерференцію і дифракцію.

Сергій Транковсій

Школа №283 м. Москва

РЕФЕРАТ:

ПО ФІЗИЦІ

«Коливання та хвилі»

Виконав:

Учень 9 «б» школи №283

Грач Євген.

Вчитель фізики:

Шаришева

Світлана

Володимирівна

Вступ. 3

1. Коливання. 4

· Періодичне рух 4

· Вільні коливання 4

· Маятник. Кінематика його коливань

· Гармонічне коливання. Частота 5

· Динаміка гармонійних коливань 6

· Перетворення енергії при вільних коливаннях 6

· Період 7

· Зсув фаз 8

· Вимушені коливання 8

· Резонанс 8

2. Хвилі. 9

· Поперечні хвилі в шнурі 9

· Поздовжні хвилі в стовпі повітря 10

· Звукові коливання 11

· Музичний тон. Гучність та висота тону 11

· Акустичний резонанс 12

· Хвилі на поверхні рідини 13

· Швидкість поширення хвиль 14

· Відображення хвиль 15

· Перенесення енергії хвилями 16

3. Застосування 17

· Акустичний динамік та мікрофон 17

· Ехолот 17

· Ультразвукова діагностика 18

4. Приклади завдань із фізики 18

5. Висновок 21

6. Список використаної літератури 22

Вступ

Коливаннями називаються процеси, що відрізняються тим чи іншим ступенем повторюваності. Такою властивістю повторюваності володіють, наприклад, коливання маятника годинника, коливання струни або ніжок камертону, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача і т.п.

Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання: механічні, електромагнітні, електромеханічні і т. д. У даному рефераті розглядаються механічні коливання.

Цей розділ фізики є ключовим у питанні «Чому руйнуються мости?» (Див. стор 8)

Разом про те коливальні процеси лежать у основі різних галузей техніки.

Так, наприклад, на коливальних процесах заснована вся радіотехніка, зокрема акустичний динамік (див. стор. 17)

Про реферат

У першій частині реферату («Коливання» стор.4-9) докладно описано, що таке механічні коливання, які бувають види механічних коливань, величини, що характеризують коливання, а як і, що таке резонанс.

У другій частині реферату («Хвилі» стор. 9-16) розповідається про те, що таке хвилі, як вони виникають, які бувають хвилі, що таке звук, його характеристики, з якою швидкістю поширюються хвилі, як відбиваються і як хвилями переноситься енергія .

У третій частині реферату («Застосування» стор. 17-18) розказано у тому, навіщо нам це потрібно знати, і у тому, де у техніці й у повсякденні застосовуються механічні коливання і хвилі.

У четвертій частині реферату (стор. 18-20) наводиться кілька прикладів завдань із фізики з цієї теми.

Закінчується реферат котким узагальненням всього сказаного («Висновок» стор. 21) та списком використаної літератури (стор. 22)

Коливання.

періодичний рух.

Серед різноманітних механічних рухів, що відбуваються навколо нас, часто зустрічаються повторювані рухи. Будь-яке рівномірне обертання є рухом, що повторюється: при кожному обороті всяка точка рівномірно обертового тіла проходить ті ж положення, що і при попередньому обороті, причому в такій же послідовності і з такою ж швидкістю.

Насправді не завжди і не за будь-яких умов повторення абсолютно однаково. В одних випадках кожен новий цикл дуже точно повторює попередній, в інших випадках різницю між наступними один за одним циклами може бути помітним. Відхилення від абсолютно точного повторення часто настільки малі, що ними можна знехтувати і вважати рух повторюваним цілком точно, тобто. вважати його періодичним.

Періодичним називається повторюваний рух, у якого кожен цикл точно відтворює будь-який інший цикл.

Тривалість одного циклу називається періодом. Вочевидь, період рівномірного обертання дорівнює тривалості одного обороту.

Вільні вагання.

У природі, і особливо у техніці, надзвичайно велику роль грають коливальні системи, тобто. ті тіла та пристрої, які самі по собі здатні здійснювати періодичні рухи. «Самі собою» - це означає не будучи примушені до цього процесом періодичних зовнішніх сил. Такі коливання називаються тому вільними коливаннями на відміну від вимушених, що протікають під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються.

Всім коливальним системам властивий ряд загальних властивостей:

1. Кожна коливальна система має стан стійкої рівноваги.

2. Якщо коливальну систему вивести зі стану стійкої рівноваги, з'являється сила, що повертає систему у стійке положення.

3. Повернувшись у стійкий стан, тіло, що коливається, не може відразу зупинитися.

Маятник; кінематика його вагань.

Маятником є ​​всяке тіло, підвішене так, що його центр тяжіння знаходиться нижче за точку підвісу. Молоток, що висить на цвяху, ваги, вантаж на мотузку - все це коливальні системи, подібні до маятника стінного годинника.

Кожна система, здатна здійснювати вільні коливання, має стійке положення рівноваги. У маятника це положення, при якому центр ваги знаходиться на вертикалі під точкою підвісу. Якщо ми виведемо маятник з цього положення або штовхнемо його, то він почне вагатися, відхиляючись то в один бік, то в інший бік положення рівноваги. Найбільше відхилення положення рівноваги, до якого доходить маятник, називається амплітудою коливань. Амплітуда визначається тим початковим відхиленням або поштовхом, яким маятник був наведений у рух. Ця властивість – залежність амплітуди від умов на початку руху – характерна не тільки для вільних коливань маятника, але й взагалі для вільних коливань багатьох коливальних систем.

Прикріпимо до маятника волосок і рухатимемо під цим волоском закопчену скляну пластинку. Якщо рухати пластинку з постійною швидкістю в напрямку, перпендикулярному до площини коливань, то волосинка прокреслить хвилясту лінію на пластинки. Ми маємо у цьому досвіді найпростіший осцилограф – так називаються прилади для запису коливань. Таким чином хвиляста лінія є осцилограмою коливань маятника.

Амплітуда коливань зображується на цій осцилограмі відрізком AB, період зображується відрізком CD, що дорівнює відстані, на яку пересувається платівка за період маятника.

Оскільки ми рухаємо закопчену пластинку поступово, то її переміщення пропорційно часу, протягом якого воно відбувалося. Ми можемо сказати тому, що вздовж осі xу певному масштабі відкладено час. З іншого боку, у напрямку, перпендикулярному до xволосок зазначає на платівці відстань кінця маятника з його положення рівноваги, тобто. шлях пройдений кінцем маятника від цього положення.

Як ми знаємо, нахил лінії на такому графіку зображує швидкість руху. Через положення рівноваги маятник проходить із найбільшою швидкістю. Відповідно до цього і нахил хвилястої лінії найбільший у тих точках, де вона перетинає вісь x.Навпаки, у моменти найбільших відхилень швидкість маятника дорівнює нулю. Відповідно до цього і хвиляста лінія в тих точках, де вона найбільш віддалена від осі x,має дотичну паралельну x, тобто. нахил дорівнює нулю

Гармонійне коливання. Частота.

Коливання, яке здійснює при рівномірному русі точки по колу проекція цієї точки на якусь пряму, називається гармонійним (або простим) коливанням.

Гармонічне коливання є спеціальним, окремим видом періодичного коливання. Цей спеціальний вид коливання дуже важливий, так як він надзвичайно часто зустрічається в різних коливальних системах. Коливання вантажу на пружині, камертону, маятника, затиснутої металевої пластинки якраз і є за своєю формою гармонійним. Слід зауважити, що при великих амплітудах коливання зазначених систем має дещо складнішу форму, але вони тим ближче до гармонійного, чим менше амплітуда коливань.

Коливання– зміни будь-якої фізичної величини, у яких ця величина набуває одні й самі значення. Параметри коливань:

• 1) Амплітуда – величина найбільшого відхилення стану рівноваги;
• 2) Період – час одного повного коливання, обернена величина – частота;
• 3) Закон зміни величини, що коливається, з часом;
• 4) Фаза – характеризує стан коливань у час t.

F x = -r k - відновлююча сила

Гармонічні коливання- коливання, у яких величина, що викликає відхилення системи від стійкого стану, змінюється згідно із законом синуса чи косинуса. Гармонічні коливання є окремим випадком періодичних коливань. Коливання можна представляти графічним, аналітичним (наприклад, x(t) = Asin (?t + ?), де? - Початкова фаза коливання) і векторним способом (довжина вектора пропорційна амплітуді, вектор обертається в площині креслення з кутовою швидкістю? навколо осі, перпендикулярній площині креслення, що проходить через початок вектора, кут відхилення вектора від осі X є початковою фазою?). Рівняння гармонійних коливань:

Складання гармонійних коливань, що відбуваються вздовж однієї прямої з однаковими або близькими частотами Розглянемо два гармонійні коливання, що відбуваються з однією частотою: x1(t) = A1sin(?t + ?1); x2(t) = A2sin(?t + ?2).

Вектор, що являє собою суму цих коливань, обертається з кутовою швидкістю? Амплітуда сумарних коливань – векторна сума двох амплітуд. Її квадрат дорівнює A?2 = A12 + A22 + 2A1A2cos (? 2 -? 1).

Початкова фаза визначається так:

Тобто. тангенс? дорівнює відношенню проекцій амплітуди сумарного коливання координатні осі.

Якщо частоти коливань відрізняються на величину 2?: ?1 = ?0 + ?; ?2 = ?0 - ?, де?<< ?. Положим также?1 = ?2 = 0 и А1 = А2:

X 1 (t) + X 2 (t) = A (Sin (W o +?) t + Sin ((W o +?) t) X 1 (t) + X 2 (t) = 2ACos?t SinW?.

Розмір 2Аcos?t є амплітуда отриманого коливання. Вона повільно змінюється у часі.

Биття. Результат суми таких коливань називається биттям. У разі, якщо А1? А2, то амплітуда биття змінюється не більше від А1 + А2 до А1 – А2.

У обох випадках (при рівних і за різних амплітудах) сумарне коливання перестав бути гармонійним, т.к. його амплітуда не постійна, а повільно змінюється у часі.

Складання перпендикулярних коливань.Розглянемо два коливання, напрями яких перпендикулярні один до одного (частоти коливань рівні, початкова фаза першого коливання дорівнює нулю):

y = bsin (? t +?).

З рівняння першого коливання маємо: . Друге рівняння можна перетворити так

sin?t?cos? + cos?t?sin? = y/b

Зведемо обидві частини рівняння квадрат і скористаємося основним тригонометричним тотожністю. Отримаємо(див. нижче): . Отримане рівняння є рівнянням еліпса, осі якого дещо повернені щодо осей координат. При? = 0 чи? =? еліпс набуває вигляду прямий y = bx/a; при? = ?/2 осі еліпса збігаються з осями координат.

Фігури Ліссажу . Якщо?1? ?2, форма кривої, яку описує радіус вектор сумарного коливань набагато складніша, залежить від відношення?1/?2. Якщо це відношення дорівнює цілому числу (?2 кратна?1), при складанні коливань виходять фігури, які називаються фігурами Ліссажу.

Гармонійний осциллятор - система, що коливається, потенційна енергія якої пропорційна квадрату відхилення від положення рівноваги.

Маятник , Тверде тіло, що здійснює під дією прикладених сил коливання біля нерухомої точки або осі. У фізиці під М. зазвичай розуміють М., що здійснює коливання під дією сили тяжіння; при цьому його вісь не повинна проходити через центр ваги тіла. Найпростіший М. складається з невеликого масивного вантажу C, підвішеного на нитці (або легкому стрижні) довжиною l. Якщо вважати нитку нерозтяжною і знехтувати розмірами вантажу порівняно з довжиною нитки, а масою нитки порівняно з масою вантажу, то вантаж на нитки можна розглядати як матеріальну точку, що знаходиться на незмінній відстані від точки підвісу O (рис. 1, а). Такий М. називається математичним. Якщо ж, як це зазвичай має місце, тіло, що коливається, не можна розглядати як матеріальну точку, то М. називається фізичним.

Математичний маятник . Якщо М., відхилений від рівноважного положення C0, відпустити без початкової швидкості або повідомити точці C швидкість, спрямовану перпендикулярно OC і лежачу в площині початкового відхилення, то М. буде коливати в одній вертикальній площині по дузі кола (плоский або круговий математичний М .). У цьому випадку положення М. визначається однією координатою, наприклад, кутом j, на який М. відхилений від положення рівноваги. У випадку коливання М. є гармонійними; їх період T залежить від амплітуди. Якщо ж відхилення М. малі, він здійснює коливання, близькі до гармонійних, з періодом:

де g – прискорення вільного падіння; у цьому випадку період T не залежить від амплітуди, тобто ізохронні коливання.

Якщо відхиленому М. повідомити початкову швидкість, що не лежить у площині початкового відхилення, то точка C описуватиме на сфері радіуса l криві, укладені між двома паралелями z = z1 та z = z2, а), де значення z1 та z2 залежать від початкових умов (Сферичний маятник). В окремому випадку, при z1 = z2, б) точка C описуватиме коло в горизонтальній площині (конічний маятник). З некругових М. особливий інтерес представляє циклоїдальний маятник, коливання якого ізохронні за будь-якої величини амплітуди.

Фізичний маятник . Фізичним М. зазвичай називається тверде тіло, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо горизонтальної осі підвісу (рис. 1 б). Рух такого М. цілком аналогічний руху кругового математичного М. При малих кутах відхилення j М. також здійснює коливання, близькі до гармонійних, з періодом:

де I - момент інерціїМ. щодо осі підвісу, l - відстань від осі підвісу O до центру тяжкості C, M - маса М. Отже, період коливань фізичного М. збігається з періодом коливань такого математичного М., який має довжину l0 = I/Ml. Ця довжина називається наведеною довжиною даного фізичного М.

Пружинний маятник- це вантаж масою m, закріплений на абсолютно пружній пружині і що здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили Fпр = - k x, де k - коефіцієнт пружності, у разі пружини зв. жорсткістю. Ур руху маятника: або.

З наведених виразів випливає, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання згідно із законом х = A cos (w0 t +?j), з циклічною частотою

та періодом

Формула справедлива для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука (Fпр = - k x), тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.

Потенційна енергія пружинного маятника дорівнює

U = k x2/2 = m w02 x2/2.

Вимушені коливання. Резонанс. Вимушені коливання відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили. Частота вимушених коливань визначається зовнішнім джерелом і не залежить від параметрів самої системи. Рівняння руху вантажу на пружині може бути отримано формальним введенням рівняння певної зовнішньої сили F(t) = F0sin?t: . Після перетворень, аналогічних висновку рівняння загасаючих коливань, отримуємо:

Де f0 = F0/m. Рішенням цього диференціального рівняння є функція x(t) = Asin(?t +?).

Доданок? з'являється через інерційність системи. Запишемо f0sin(?t - ?) = f(t) = f0sin(?t + ?), тобто. сила діє з деяким випередженням. Тоді можна записати:

x(t) = A sin ?t.

Знайдемо А. Для цього підрахуємо першу та другу похідні останнього рівняння та підставимо їх у диференціальне рівняння вимушених коливань. Після наведення подібних отримаємо:

Тепер освіжимо у своїй пам'яті уявлення про векторний запис коливань. Що ми бачимо? Вектор f0 являє собою суму векторів 2??A і A(?02 - ?2), причому ці вектори (чомусь) перпендикулярні. Запишемо теорему Піфагора:

4?2?2A2 + A2(?02 - ?2)2 = f02:

Звідси висловлюємо А:

Таким чином, амплітуда А є функцією від частоти зовнішнього впливу. Однак якщо система, що коливається, має слабке згасання?<< ?, то при близких значениях? и?0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.