Homogeni sistemi linearnih enačb. Osnovni niz rešitev homogenega sistema linearnih enačb

Koristni namigi 14.10.2019

Koristni namigi

Tudi v šoli se je vsak od nas učil enačb in zagotovo sistemov enačb. Toda malo ljudi ve, da jih je mogoče rešiti na več načinov. Danes bomo podrobno analizirali vse metode za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb, ki so sestavljene iz več kot dveh enačb.

Zgodba

Danes je znano, da umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov izvira iz starega Babilona in Egipta. Vendar pa so se enakosti v običajni obliki pojavile po pojavu enakega znaka "=", ki ga je leta 1556 uvedel angleški matematik Record. Mimogrede, ta znak je bil izbran z razlogom: pomeni dva vzporedna enaka segmenta. Dejansko ni boljšega primera enakosti.

Utemeljitelj modernih črkovnih oznak neznank in stopinjskih znakov je francoski matematik, vendar so se njegove oznake bistveno razlikovale od današnjih. Kvadrat neznanega števila je na primer označil s črko Q (lat. "quadratus"), kocko pa s črko C (lat. "cubus"). Ti zapisi se zdaj zdijo nerodni, a takrat je bil to najbolj razumljiv način zapisovanja sistemov linearnih algebrskih enačb.

Vendar pa je bila pomanjkljivost takratnih metod reševanja ta, da so matematiki upoštevali le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativnih vrednosti ni bilo praktična uporaba. Tako ali drugače so bili italijanski matematiki Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Rafael Bombelli prvi, ki so se v 16. stoletju lotili negativnih korenin. AMPAK moderen videz, glavna metoda reševanja (skozi diskriminanto) je nastala šele v 17. stoletju zahvaljujoč delu Descartesa in Newtona.

Sredi 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Cramer ugotovil nov način da bi sprejeli odločitev sistemov linearne enačbe lažje. Po njem so to metodo kasneje poimenovali in jo uporabljamo še danes. Toda o Cramerjevi metodi bomo govorili malo kasneje, za zdaj pa bomo obravnavali linearne enačbe in metode za njihovo reševanje ločeno od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najenostavnejše enačbe s spremenljivkami. Uvrščamo jih med algebraične. zapiši v splošni pogled torej: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Njihovo predstavitev v tej obliki bomo potrebovali pri nadaljnjem prevajanju sistemov in matrik.

Sistemi linearnih algebrskih enačb

Opredelitev tega pojma je naslednja: gre za niz enačb, ki imajo skupne neznanke in skupna odločitev. Praviloma se je v šoli vse reševalo po sistemih z dvema ali celo tremi enačbami. Obstajajo pa sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih zapisati, da jih bo kasneje priročno rešiti. Prvič, sistemi linearnih algebrskih enačb bodo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zapisane kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 itd. Drugič, vse enačbe je treba pripeljati v kanonično obliko: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Po vseh teh dejanjih lahko začnemo govoriti o tem, kako najti rešitev za sisteme linearnih enačb. Za to so zelo uporabne matrice.

matrice

Matrika je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, na njihovem presečišču pa so njeni elementi. To so lahko specifične vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje se za označevanje elementov pod njimi postavijo indeksi (na primer 11 ali 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice, drugi pa številko stolpca. Na matricah, kot tudi na katerem koli drugem matematičnem elementu, lahko izvajate različne operacije. Tako lahko:

2) Pomnožite matriko z nekim številom ali vektorjem.

3) Transponiranje: spremeni matrične vrstice v stolpce in stolpce v vrstice.

4) Pomnožite matrike, če je število vrstic ene od njih enako številu stolpcev druge.

Vse te tehnike bomo obravnavali podrobneje, saj nam bodo v prihodnosti koristile. Odštevanje in seštevanje matrik je zelo enostavno. Ker vzamemo matrike enake velikosti, vsak element ene tabele ustreza vsakemu elementu druge tabele. Tako seštejemo (odštejemo) ta dva elementa (pomembno je, da sta v svojih matricah na istih mestih). Pri množenju matrike s številom ali vektorjem morate preprosto pomnožiti vsak element matrike s tem številom (ali vektorjem). Transpozicija je zelo zanimiv proces. Včasih ga je zelo zanimivo videti v resnično življenje, na primer, ko spremenite usmerjenost tablice ali telefona. Ikone na namizju so matrica in ko spremenite položaj, se prestavi in postane širša, vendar se zmanjša v višino.

Analizirajmo tak postopek kot Čeprav nam ne bo koristil, ga bo vseeno koristno poznati. Dve matriki lahko pomnožite le, če je število stolpcev v eni tabeli enako številu vrstic v drugi. Zdaj pa vzemimo elemente vrstice ene matrike in elemente ustreznega stolpca druge. Med seboj jih pomnožimo in nato seštejemo (to pomeni, da bo na primer produkt elementov a 11 in a 12 z b 12 in b 22 enak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako dobimo en element tabele, ki ga polnimo naprej na podoben način.

Zdaj lahko začnemo obravnavati, kako je sistem linearnih enačb rešen.

Gaussova metoda

Ta tema se začne v šoli. Dobro poznamo pojem "sistem dveh linearnih enačb" in znamo ju reševati. Kaj pa, če je število enačb večje od dveh? To nam bo pomagalo

Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Vendar ga ne morete preoblikovati in rešiti v čisti obliki.

Torej, kako je sistem linearnih Gaussovih enačb rešen s to metodo? Mimogrede, čeprav je ta metoda poimenovana po njem, so jo odkrili že v starih časih. Gauss predlaga naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi sčasoma celoten niz reduciral na stopničasto obliko. To pomeni, da je potrebno, da se od zgoraj navzdol (če je pravilno postavljeno) od prve do zadnje enačbe zmanjša ena neznanka. Z drugimi besedami, poskrbeti moramo, da dobimo recimo tri enačbe: v prvi - tri neznanke, v drugi - dve, v tretji - eno. Nato iz zadnje enačbe poiščemo prvo neznanko, njeno vrednost nadomestimo v drugo ali prvo enačbo in nato poiščemo preostali dve spremenljivki.

Cramerjeva metoda

Za obvladovanje te metode je nujno obvladati veščine seštevanja, odštevanja matrik, poleg tega pa morate znati najti determinante. Torej, če vse to počnete slabo ali sploh ne znate, se boste morali naučiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti tako, da dobimo sistem linearnih Cramerjevih enačb? Vse je zelo preprosto. Matriko moramo sestaviti iz numeričnih (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. To naredimo tako, da preprosto vzamemo števila pred neznankami in jih postavimo v tabelo v vrstnem redu, kot so zapisana v sistemu. Če je pred številko znak "-", potem zapišemo negativni koeficient. Torej smo sestavili prvo matriko koeficientov neznank, pri čemer ne vključujemo števil za enačaji (seveda je treba enačbo reducirati na kanonično obliko, ko je na desni le številka, vse neznanke pa z koeficienti so na levi). Nato morate ustvariti še več matrik - eno za vsako spremenljivko. Da bi to naredili, v prvi matriki po vrsti zamenjamo vsak stolpec s koeficienti s stolpcem številk za znakom enačaja. Tako dobimo več matrik in nato poiščemo njihove determinante.

Ko smo našli determinante, je stvar majhna. Imamo začetno matriko in nastalih je več matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da dobimo rešitve sistema, delimo determinanto nastale tabele z determinanto začetne tabele. Dobljeno število je vrednost ene od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznanke.

Druge metode

Obstaja več načinov za rešitev sistemov linearnih enačb. Na primer tako imenovana Gauss-Jordanova metoda, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe in je povezana tudi z uporabo matrik. Obstaja tudi Jacobijeva metoda za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Najlažje ga je prilagoditi računalniku in se uporablja v računalniški tehnologiji.

Težki primeri

Zapletenost običajno nastane, ko je število enačb manj kot številka spremenljivke. Potem lahko z gotovostjo trdimo, da je sistem nekonzistenten (torej nima korenin) ali pa se število njegovih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer, potem moramo zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebovala bo vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Prišli smo do konca. Povzemimo: analizirali smo, kaj sta sistem in matrika, se naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega so bile obravnavane tudi druge možnosti. Ugotovili smo, kako se rešuje sistem linearnih enačb: Gaussova metoda in Pogovarjali smo se o težkih primerih in drugih načinih iskanja rešitev.

Pravzaprav je ta tema veliko obsežnejša in če jo želite bolje razumeti, vam svetujemo, da preberete bolj specializirano literaturo.

Homogeni sistem linearnih enačb nad poljem

OPREDELITEV. Osnovni sistem rešitev sistema enačb (1) je neprazen linearno neodvisen sistem njegovih rešitev, katerega linearni razpon sovpada z množico vseh rešitev sistema (1).

Upoštevajte, da homogeni sistem linearnih enačb, ki ima samo ničelno rešitev, nima temeljnega sistema rešitev.

PREDLOG 3.11. Katera koli dva temeljna sistema odločanja homogeni sistem linearne enačbe so sestavljene iz enako število rešitve.

Dokaz. Dejansko sta katera koli dva temeljna sistema rešitev homogenega sistema enačb (1) enakovredna in linearno neodvisna. Zato so po predlogu 1.12 njuni rangi enaki. Zato je število rešitev, vključenih v en temeljni sistem, enako številu rešitev, vključenih v kateri koli drug temeljni sistem rešitev.

Če je glavna matrika A homogenega sistema enačb (1) enaka nič, potem je vsak vektor iz rešitev sistema (1); v tem primeru je vsaka zbirka linearno neodvisnih vektorjev iz temeljni sistem rešitev. Če je stolpčni rang matrike A , potem ima sistem (1) samo eno rešitev - nič; zato v tem primeru sistem enačb (1) nima temeljnega sistema rešitev.

IZREK 3.12. Če je rang glavne matrike homogenega sistema linearnih enačb (1) manjši od števila spremenljivk , potem ima sistem (1) temeljni sistem rešitev, sestavljen iz rešitev.

Dokaz. Če je rang glavne matrike A homogenega sistema (1) enak nič ali , potem je zgoraj prikazano, da izrek drži. Zato se v nadaljevanju predpostavlja, da Ob predpostavki , bomo predpostavili, da so prvi stolpci matrike A linearno neodvisni. V tem primeru je matrika A po vrsti enakovredna zmanjšani stopenjski matriki, sistem (1) pa je enakovreden naslednjemu sistemu enačb zmanjšanega koraka:

Preprosto je preveriti, da vsak sistem vrednosti prostih spremenljivk sistema (2) ustreza eni in samo eni rešitvi sistema (2) in s tem sistema (1). Zlasti samo ničelna rešitev sistema (2) in sistema (1) ustreza sistemu ničelnih vrednosti.

V sistemu (2) bomo eni od prostih spremenljivk dodelili vrednost enako 1, ostalim spremenljivkam pa ničelne vrednosti. Kot rezultat dobimo rešitve sistema enačb (2), ki jih zapišemo kot vrstice naslednje matrike C:

Sistem vrstic te matrike je linearno neodvisen. Dejansko za vse skalarje iz enakosti

sledi enakopravnost

in s tem enakost

Dokažimo, da linearni razpon sistema vrstic matrike C sovpada z množico vseh rešitev sistema (1).

Poljubna rešitev sistema (1). Nato vektor

je tudi rešitev sistema (1) in

Primer 1. Poiščite splošno rešitev in nek temeljni sistem rešitev za sistem

rešitev poiščite s kalkulatorjem. Algoritem reševanja je enak kot pri sistemih linearnih nehomogenih enačb.
Če operiramo le z vrsticami, najdemo rang matrike, osnovni minor; razglasimo odvisne in proste neznanke ter poiščemo splošno rešitev.

Prva in druga vrstica sta sorazmerni, ena od njih bo izbrisana:

.
Odvisne spremenljivke - x 2, x 3, x 5, proste - x 1, x 4. Iz prve enačbe 10x 5 = 0 najdemo x 5 = 0, torej

; .
Splošna rešitev izgleda takole:

Najdemo temeljni sistem rešitev, ki je sestavljen iz (n-r) rešitev. V našem primeru je n=5, r=3, torej temeljni sistem rešitev je sestavljen iz dveh rešitev, ti rešitvi pa morata biti linearno neodvisni. Da so vrstice linearno neodvisne, je nujno in zadostno, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstic, enak številu vrstic, to je 2. Zadostuje podati prosti neznanki x 1 in x 4 vrednosti iz vrstic determinante drugega reda, ki je različna od nič, in izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najenostavnejši neničelni determinant je .
Prva rešitev je torej:

, drugi -

.
Ti dve odločitvi sestavljata temeljni sistem odločanja. Upoštevajte, da temeljni sistem ni edinstven (determinant, ki niso nič, je mogoče sestaviti kolikor želite).

Primer 2. Poiščite splošno rešitev in temeljni sistem rešitev sistema
rešitev.

,
iz tega sledi, da je rang matrike 3 in je enak številu neznank. To pomeni, da sistem nima prostih neznank in ima zato edinstveno rešitev - trivialno.

telovadba . Raziščite in rešite sistem linearnih enačb.
Primer 4

telovadba . Poiščite splošne in posebne rešitve za vsak sistem.
rešitev. Zapišemo glavno matriko sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Matrico spravimo v trikotno obliko. Delali bomo samo z vrsticami, saj množenje vrstice matrike s številom, ki ni nič, in dodajanje drugi vrstici za sistem pomeni množenje enačbe z istim številom in dodajanje drugi enačbi, kar pa ne spremeni rešitve sistema .
2. vrstico pomnožite z (-5). Dodajmo 2. vrstico 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2. vrstico pomnožimo s (6). Pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodajmo 3. vrstico 2. vrstici:
Poiščite rang matrike.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Izbrani minor ima najvišji red (od vseh možnih minorov) in je različen od nič (je enak zmnožku elementov na recipročni diagonali), zato je rang(A) = 2.
Ta manjši je osnovni. Vključuje koeficiente za neznanke x 1, x 2, kar pomeni, da sta neznanki x 1, x 2 odvisni (osnovni), x 3, x 4, x 5 pa prosti.
Matriko preoblikujemo in pustimo le osnovni mol na levi strani.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Z metodo izločanja neznank najdemo netrivialna rešitev:
Dobili smo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke x 1 ,x 2 skozi proste x 3 ,x 4 ,x 5 , torej smo ugotovili skupna odločitev:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Najdemo temeljni sistem rešitev, ki je sestavljen iz (n-r) rešitev.
V našem primeru je n=5, r=2, zato je temeljni sistem rešitev sestavljen iz 3 rešitev, te rešitve pa morajo biti linearno neodvisne.
Da so vrstice linearno neodvisne, je nujno in zadostno, da je rang matrike, sestavljene iz elementov vrstic, enak številu vrstic, to je 3.
Dovolj je podati prostim neznankam x 3 ,x 4 ,x 5 vrednosti iz vrstic determinante 3. reda, ki so različne od nič, in izračunati x 1 ,x 2 .
Najenostavnejša neničelna determinanta je identitetna matrika.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Naloga. Poiščite temeljni niz rešitev homogenega sistema linearnih enačb.

Homogeni sistemi linearnih algebrskih enačb

V okviru lekcij Gaussova metoda in Nezdružljivi sistemi/sistemi s skupno rešitvijo smo upoštevali nehomogenih sistemov linearnih enačb, kje brezplačen član(ki je običajno na desni) vsaj en enačb je bilo različno od nič.
In zdaj, po dobrem ogrevanju z matrični rang, tehniko bomo še pilili elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih enačb.
Glede na prve odstavke se gradivo morda zdi dolgočasno in običajno, vendar je ta vtis varljiv. Poleg nadaljnjega razvoja tehnik bo na voljo veliko novih informacij, zato poskusite ne zanemariti primerov v tem članku.

Kaj je homogeni sistem linearnih enačb?

Odgovor se nakazuje sam od sebe. Sistem linearnih enačb je homogen, če je prosti člen vsi sistemska enačba je nič. Na primer:

Povsem jasno je, da homogeni sistem je vedno konsistenten, torej vedno ima rešitev. In najprej t.i trivialno rešitev . Trivialno, za tiste, ki sploh ne razumejo pomena pridevnika, pomeni bespontovoe. Seveda ne akademsko, ampak razumljivo =) ... Zakaj bi se pogovarjali, poglejmo, ali ima ta sistem še kakšne druge rešitve:

Primer 1

rešitev: za rešitev homogenega sistema je potrebno pisati sistemska matrika in ga s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopničaste oblike. Upoštevajte, da tukaj ni treba zapisati navpične vrstice in ničelnega stolpca brezplačnih članov - navsezadnje, karkoli naredite z ničlami, bodo ostale ničle:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -3.

(2) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -1.

Deljenje tretje vrstice s 3 nima pravega smisla.

Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo enakovredni homogeni sistem , in z uporabo obratne poteze Gaussove metode je enostavno preveriti, da je rešitev edinstvena.

Odgovori:

Oblikujmo očiten kriterij: homogeni sistem linearnih enačb ima le trivialna rešitev, če rang sistemske matrike(v ta primer 3) je enako številu spremenljivk (v tem primeru 3 kosi).

Ogrejemo in uglasimo naš radio na val elementarnih transformacij:

Primer 2

Rešite homogeni sistem linearnih enačb

Iz članka Kako najti rang matrike? spomnimo se racionalne metode naključnega zmanjševanja števil matrike. V nasprotnem primeru boste morali klati velike in pogosto grizeče ribe. Vzorec Vzorec naloga na koncu lekcije.

Ničle so dobre in priročne, vendar je v praksi veliko pogostejši primer, ko so vrstice matrike sistema linearno odvisen. In potem je pojav splošne rešitve neizogiben:

Primer 3

Rešite homogeni sistem linearnih enačb

rešitev: zapišemo matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami pripeljemo do stopničaste oblike. Prvo dejanje ni namenjeno le pridobivanju ene same vrednosti, temveč tudi zmanjšanju številk v prvem stolpcu:

(1) Tretja vrstica je bila dodana prvi vrstici, pomnožena z -1. Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. Levo zgoraj sem dobil enoto z "minusom", ki je velikokrat veliko bolj priročna za nadaljnje transformacije.

(2) Prvi dve vrstici sta enaki, ena je odstranjena. Iskreno, odločitve nisem prilagodil - zgodilo se je. Če izvajate transformacije v predlogi, potem linearna odvisnost vrstice bi se pokazale malo kasneje.

(3) Tretji vrstici dodajte drugo vrstico, pomnoženo s 3.

(4) Spremenjen je predznak prve vrstice.

Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo enakovreden sistem:

Algoritem deluje popolnoma enako kot za heterogenih sistemov. Spremenljivke, ki "sedijo na stopnicah", so glavne, spremenljivka, ki ni dobila "stopnic", je prosta.

Osnovne spremenljivke izrazimo s prosto spremenljivko:

Odgovori: skupna odločitev:

Trivialna rešitev je vključena v splošno formulo in je ni potrebno posebej pisati.

Preverjanje poteka tudi po običajni shemi: dobljeno splošno rešitev je treba nadomestiti v levo stran vsake enačbe sistema in za vse zamenjave dobimo legitimno ničlo.

S tem bi se lahko mirno končalo, vendar je pogosto treba predstaviti rešitev homogenega sistema enačb v vektorski obliki z uporabo temeljni sistem odločanja. Prosim, začasno pozabite analitično geometrijo, saj bomo zdaj govorili o vektorjih v splošnem algebraičnem smislu, ki sem ga nekoliko odprl v članku o tem matrični rang. Terminologije ni treba zasenčiti, vse je precej preprosto.

Še naprej bomo pilili tehniko elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih enačb.
Glede na prve odstavke se gradivo morda zdi dolgočasno in običajno, vendar je ta vtis varljiv. Poleg nadaljnjega razvoja tehnik bo na voljo veliko novih informacij, zato poskusite ne zanemariti primerov v tem članku.

Kaj je homogeni sistem linearnih enačb?

Odgovor se nakazuje sam od sebe. Sistem linearnih enačb je homogen, če je prosti člen vsi sistemska enačba je nič. Na primer:

Primer 1

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -3.

(2) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -1.

Deljenje tretje vrstice s 3 nima pravega smisla.

Kot rezultat elementarnih transformacij dobimo enakovredni homogeni sistem , in z uporabo obratne poteze Gaussove metode je enostavno preveriti, da je rešitev edinstvena.

Odgovori:

Oblikujmo očiten kriterij: homogeni sistem linearnih enačb ima le trivialna rešitev, če rang sistemske matrike(v tem primeru 3) je enako številu spremenljivk (v tem primeru 3 kosi).

Ogrejemo in uglasimo naš radio na val elementarnih transformacij:

Primer 2

Rešite homogeni sistem linearnih enačb

Da končno popravimo algoritem, analizirajmo končno nalogo:

Primer 7

Reši homogeni sistem, odgovor zapiši v vektorski obliki.

rešitev: zapišemo matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami pripeljemo do stopničaste oblike:

(1) Predznak prve vrstice je spremenjen. Še enkrat opozarjam na večkrat uporabljeno tehniko, ki vam omogoča, da bistveno poenostavite naslednje dejanje.

(1) Prva vrstica je bila dodana 2. in 3. vrstici. Prva vrstica, pomnožena z 2, je bila dodana 4. vrstici.

(3) Zadnje tri vrstice so sorazmerne, dve sta odstranjeni.

Kot rezultat dobimo standardno matriko korakov in rešitev se nadaljuje vzdolž narebričene proge:

– osnovne spremenljivke;
so proste spremenljivke.

Osnovne spremenljivke izrazimo s prostimi spremenljivkami. Iz 2. enačbe:

- zamenjava v 1. enačbi:

Splošna rešitev je torej:

Ker so v obravnavanem primeru tri proste spremenljivke, osnovni sistem vsebuje tri vektorje.

Zamenjajmo trojček vrednosti v splošno rešitev in dobimo vektor, katerega koordinate zadoščajo vsaki enačbi homogenega sistema. In še enkrat ponavljam, da je zelo zaželeno preveriti vsak prejeti vektor - ne bo vzelo toliko časa, vendar bo prihranilo sto odstotkov pred napakami.

Za trojček vrednosti poiščite vektor

In končno za trojko dobimo tretji vektor:

Odgovori: , kje

Tisti, ki se želijo izogniti delnim vrednostim, lahko razmislijo o trojčkih in dobite odgovor v enakovredni obliki:

Ko smo že pri ulomkih. Poglejmo matriko, dobljeno v nalogi in postavite vprašanje - ali je mogoče poenostaviti nadaljnjo rešitev? Konec koncev smo tukaj najprej izrazili osnovno spremenljivko z ulomki, nato osnovno spremenljivko z ulomki in, moram reči, ta postopek ni bil najlažji in ne najbolj prijeten.

Druga rešitev:

Ideja je poskusiti izberite druge osnovne spremenljivke. Poglejmo matriko in opazimo dve enici v tretjem stolpcu. Zakaj torej ne bi dobili ničle na vrhu? Naredimo še eno osnovno transformacijo: