Logaritem je vedno pozitiven. Lastnosti logaritmov in primeri njihovih rešitev

izhaja iz njegove definicije. In tako logaritem števila b z razlogom a definiran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).

Iz te formulacije sledi, da je izračun x=log a b, je enako reševanju enačbe ax=b. na primer dnevnik 2 8 = 3 Ker 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b z razlogom a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritma tesno povezana s temo potence števila.

Z logaritmi, kot z vsemi številkami, lahko izvajate operacije seštevanja, odštevanja in preobraziti na vse možne načine. A glede na to, da logaritmi niso povsem običajna števila, veljajo tu svoja posebna pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Seštevanje in odštevanje logaritmov.

Vzemite dva logaritma z isto osnovo: dnevnik x in prijavite se. Nato odstranite, da je mogoče izvajati operacije seštevanja in odštevanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = dnevnik x 1 + dnevnik x 2 + dnevnik x 3 + ... + log a x k.

Od izreki o kvocientnem logaritmu lahko dobimo še eno lastnost logaritma. Znano je, da log a 1 = 0, torej

dnevnik a 1 /b= dnevnik a 1 - dnevnik a b= -log a b.

Torej obstaja enakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dveh medsebojno vzajemnih števil na isti osnovi se bodo med seboj razlikovali le po predznaku. Torej:

Dnevnik 3 9= - dnevnik 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

osnovne lastnosti.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

isti razlogi

log6 4 + log6 9.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo.

Primeri reševanja logaritmov

Kaj pa, če je v osnovi ali argumentu logaritma stopnja? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo logaritem ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Prehod na novo podlago

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Poglej tudi:

Osnovne lastnosti logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je 2,7 in dvakratna letnica rojstva Leva Tolstoja.

Osnovne lastnosti logaritmov

Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

Primeri za logaritme

Vzemite logaritem izrazov

Primer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po lastnostih 3,5 računamo

2.

3.

4. kje .

2. primer Poiščite x, če

Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsako število, lahko seštevamo, odštevamo in pretvarjamo na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso čisto običajna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je treba poznati – brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vse se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z isto osnovo: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritemu količnika. Opomba: ključni trenutek tukaj - isti razlogi. Če so podlage različne, ta pravila ne delujejo!

Te formule bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevamo njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne obravnavajo ločeno. Toda po transformacijah se izkažejo povsem običajne številke. Na podlagi tega dejstva mnogi testne naloge. Da, nadzor - podobni izrazi z vso resnostjo (včasih - skoraj brez sprememb) so na voljo na izpitu.

Odstranjevanje eksponenta iz logaritma

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo logaritem ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. v sam logaritem lahko vpišete števila pred znakom logaritma. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu po prvi formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je imenovalec logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer potrebno je pojasnilo. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem.

Formule logaritmov. Logaritmi so primeri rešitev.

Predstavili so osnovo in argument logaritma, ki stoji tam v obliki stopinj, in vzeli indikatorje - dobili so "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec imata enako število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so podlage različne? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo bazo. Formuliramo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če postavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da je mogoče zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem je v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo naloge, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da sta argumenta obeh logaritmov natančen eksponent. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa obrnemo drugi logaritem:

Ker se produkt ne spremeni s permutacijo faktorjev, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa izračunali logaritme.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, ker je le vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se takole:

Dejansko, kaj se bo zgodilo, če število b dvignemo do te stopnje, da število b v tej stopnji da število a? Tako je: to je ista številka a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se "obesi" nanj.

Tako kot nove formule za pretvorbo baz je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - pravkar vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Glede na pravila za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita 🙂

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Na koncu bom podal dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - prej sta to posledica definicije logaritma. Nenehno se znajdejo v težavah in presenetljivo delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a iz te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena, je logaritem nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite težave.

Poglej tudi:

Logaritem števila b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti takšno moč x (), pri kateri je enakost resnična

Osnovne lastnosti logaritma

Zgornje lastnosti je treba poznati, saj se na njihovi podlagi rešujejo skoraj vsi problemi in primeri na podlagi logaritmov. Preostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunu se formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) pogosto srečujejo. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev kompleksnih izrazov in izračun njihovih vrednosti.

Pogosti primeri logaritmov

Nekateri pogosti logaritmi so tisti, pri katerih je osnova celo desetica, eksponentna ali dvojka.
Logaritem z osnovo deset običajno imenujemo logaritem z osnovo deset in ga preprosto označimo z lg(x).

Iz zapisnika je razvidno, da v zapisniku niso zapisane osnove. Na primer

Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je 2,7 in dvakratna letnica rojstva Leva Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

In še en pomemben logaritem z bazo dva je

Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko

Z odvisnostjo je določen integralni ali antiderivacijski logaritem

Zgornje gradivo je dovolj, da rešite širok razred problemov, povezanih z logaritmi in logaritmi. Za asimilacijo gradiva bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolskega kurikuluma in univerz.

Primeri za logaritme

Vzemite logaritem izrazov

Primer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po lastnostih 3,5 računamo

2.
Po različni lastnosti logaritmov imamo

3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo

4. kje .

Na videz zapleten izraz, ki uporablja niz pravil, je poenostavljen do oblike

Iskanje logaritmov

2. primer Poiščite x, če

rešitev. Za izračun uporabimo lastnosti 5 in 13 do zadnjega člena

Zamenjaj v zapisnik in žaluj

Ker sta bazi enaki, izraza enačimo

Logaritmi. Prva stopnja.

Podana naj bo vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Rešitev: Vzemite logaritem spremenljivke, da zapišete logaritem skozi vsoto členov

To je šele začetek spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti – pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode za reševanje takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili na drugo enako pomembno temo - logaritemske neenakosti ...

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsako število, lahko seštevamo, odštevamo in pretvarjamo na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso čisto običajna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo osnovne lastnosti.

Ta pravila je treba poznati – brez njih ni mogoče rešiti nobenega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vse se da naučiti v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z isto osnovo: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je logaritemu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka tukaj je - isti razlogi. Če so podlage različne, ta pravila ne delujejo!

Te formule bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevamo njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.

Ker so osnove logaritmov enake, uporabimo formulo vsote:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne obravnavajo ločeno. Toda po transformacijah se izkažejo povsem običajne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, nadzor - podobni izrazi z vso resnostjo (včasih - skoraj brez sprememb) so na voljo na izpitu.

Odstranjevanje eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je v osnovi ali argumentu logaritma stopnja? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo logaritem ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. v sam logaritem lahko vpišete števila pred znakom logaritma.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu po prvi formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je imenovalec logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da je treba zadnji primer pojasniti. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Predstavili so osnovo in argument logaritma, ki stoji tam v obliki stopinj, in vzeli indikatorje - dobili so "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec imata enako število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so podlage različne? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo bazo. Formuliramo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če postavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da je mogoče zamenjati osnovo in argument logaritma, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem je v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo naloge, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da sta argumenta obeh logaritmov natančen eksponent. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa obrnemo drugi logaritem:

Ker se produkt ne spremeni s permutacijo faktorjev, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa izračunali logaritme.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je v procesu reševanja potrebno število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, ker je le vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Imenuje se takole:

Dejansko, kaj se bo zgodilo, če število b dvignemo do te stopnje, da število b v tej stopnji da število a? Tako je: to je ista številka a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se "obesi" nanj.

Tako kot nove formule za pretvorbo baz je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite vrednost izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - pravkar vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Glede na pravila za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita 🙂

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Na koncu bom podal dve identiteti, ki ju je težko imenovati lastnosti - prej sta to posledica definicije logaritma. Nenehno se znajdejo v težavah in presenetljivo delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a iz te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa je argument ena, je logaritem nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite težave.

Kot veste, se pri množenju izrazov s potencami njihovi eksponenti vedno seštejejo (a b * a c = a b + c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, kasneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celoštevilskih indikatorjev. Prav ti so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije lahko najdemo skoraj povsod, kjer je potrebno okorno množenje poenostaviti v preprosto seštevanje. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako delati z njimi. Preprost in dostopen jezik.

Definicija v matematiki

Logaritem je izraz v naslednji obliki: log a b=c, to je logaritem katerega koli nenegativnega števila (to je katerega koli pozitivnega) "b" glede na njegovo osnovo "a" se šteje za potenco "c". ", na katero je treba dvigniti bazo "a", tako da na koncu dobimo vrednost "b". Analizirajmo logaritem s primeri, recimo, da obstaja izraz log 2 8. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno stopnjo, da od 2 do zahtevane stopnje dobite 8. Po nekaj izračunih v mislih dobimo številko 3! In prav je tako, saj 2 na potenco 3 da odgovor število 8.

Različice logaritmov

Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in se spomniti njihovih lastnosti in nekaterih pravil. Tam so drevesa določene vrste logaritemski izrazi:

1. Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e = 2,7).
2. Decimalno a, kjer je osnova 10.
3. Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.

Vsak od njih je rešen na standarden način, vključno s poenostavitvijo, redukcijo in kasnejšo redukcijo na en logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Da bi dobili pravilne vrednosti logaritmov, se moramo spomniti njihovih lastnosti in vrstnega reda dejanj pri svojih odločitvah.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, to pomeni, da niso predmet razprave in so resnične. Na primer, nemogoče je deliti številke z nič, prav tako je nemogoče izluščiti koren sode stopnje iz negativnih števil. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:

• osnova "a" mora biti vedno večja od nič, hkrati pa ne sme biti enaka 1, sicer bo izraz izgubil svoj pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaka svojim vrednostim;
• če je a > 0, potem a b > 0, se izkaže, da mora biti "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Naloga je bila na primer najti odgovor na enačbo 10 x \u003d 100. To je zelo enostavno, izbrati morate takšno moč, povečati število deset, na katero dobimo 100. To je seveda 10 2 \u003d 100.

Zdaj pa ta izraz predstavimo kot logaritemski. Dobimo log 10 100 = 2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično zbližajo z iskanjem stopnje, do katere je treba vnesti osnovo logaritma, da dobimo dano število.

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Videti je takole:

Kot lahko vidite, lahko nekatere eksponente ugibate intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa za velike vrednosti potrebujete tabelo stopinj. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki v zapletenih matematičnih temah sploh ne razumejo ničesar. Levi stolpec vsebuje števila (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost potence c, na katero je povzdignjeno število a. Na presečišču v celicah se določijo vrednosti števil, ki so odgovor (a c =b). Vzemimo na primer prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!

Enačbe in neenačbe

Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične numerične izraze zapišemo kot logaritemsko enačbo. Na primer, 3 4 =81 lahko zapišemo kot logaritem od 81 na osnovo 3, kar je štiri (log 3 81 = 4). Za negativne potence so pravila enaka: 2 -5 = 1/32 zapišemo kot logaritem, dobimo log 2 (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih razdelkov matematike je tema "logaritmov". Primere in rešitve enačb bomo obravnavali nekoliko nižje, takoj po preučevanju njihovih lastnosti. Zdaj pa poglejmo, kako so videti neenakosti in kako jih ločiti od enačb.

Podan je izraz v obliki: log 2 (x-1) > 3 - gre za logaritemsko neenakost, saj je neznana vrednost "x" pod predznakom logaritma. In tudi v izrazu se primerjata dve količini: logaritem želenega števila v osnovi dve je večji od števila tri.

Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenačbami je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem 2 x = √9) pomenijo eno ali več določenih številskih vrednosti v odgovoru, medtem ko pri reševanju neenačbe oba obsega sprejemljive vrednosti in točke, ki kršijo to funkcijo. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih števil, kot v odgovoru enačbe, ampak neprekinjen niz ali niz števil.

Osnovni izreki o logaritmih

Pri reševanju primitivnih nalog pri iskanju vrednosti logaritma njegove lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenačbe, je najprej treba jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. S primeri enačb se bomo seznanili kasneje, najprej podrobneje analizirajmo vsako lastnost.

1. Osnovna identiteta izgleda takole: a logaB =B. Velja le, če je a večje od 0, ni enako ena, in je B večji od nič.
2. Logaritem produkta je mogoče predstaviti z naslednjo formulo: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tem primeru je predpogoj: d, s 1 in s 2 > 0; a≠1. Za to formulo logaritmov lahko navedete dokaz s primeri in rešitvijo. Naj bo log a s 1 = f 1 in log a s 2 = f 2 , potem a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobimo, da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (lastnosti stopinj ), in dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kar je bilo treba dokazati.
3. Logaritem količnika izgleda takole: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log a q b n = n/q log a b.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma". Podobna je lastnostim navadnih stopinj in ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na pravilnih postulatih. Poglejmo dokaz.

Naj bo dnevnik a b \u003d t, izkaže se a t \u003d b. Če dvignete oba dela na potenco m: a tn = b n ;

ker pa je a tn = (a q) nt/q = b n, torej log a q b n = (n*t)/t, potem je log a q b n = n/q log a b. Izrek je dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejši tipi logaritemskih problemov so primeri enačb in neenačb. Najdemo jih v skoraj vseh nalogah, vključeni pa so tudi v obvezni del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar pa lahko za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo uporabimo določena pravila. Najprej bi morali ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali zmanjšati na splošni pogled. Dolge logaritemske izraze lahko poenostavite, če pravilno uporabite njihove lastnosti. Spoznajmo jih kmalu.

Pri reševanju logaritemskih enačb je treba ugotoviti, kakšen logaritem imamo pred seboj: primer izraza lahko vsebuje naravni ali decimalni logaritem.

Tukaj sta primera ln100, ln1026. Njihova rešitev se skrči na dejstvo, da morate določiti stopnjo, do katere bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za rešitve naravnih logaritmov je treba uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si primere reševanja logaritemskih problemov različnih vrst.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Torej, poglejmo primere uporabe glavnih izrekov o logaritmih.

1. Lastnost logaritma zmnožka lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba razširiti velik pomenštevila b na enostavnejše faktorje. Na primer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kot lahko vidite, nam je z uporabo četrte lastnosti stopnje logaritma uspelo rešiti na prvi pogled zapleten in nerešljiv izraz. Potrebno je le faktorizirati osnovo in nato vzeti vrednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Naloge iz izpita

Logaritme pogosto najdemo na sprejemnih izpitih, še posebej veliko logaritemskih problemov na Enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno te naloge niso prisotne samo v delu A (najlažji testni del izpita), temveč tudi v delu C (najtežje in najobsežnejše naloge). Izpit obsega natančno in popolno poznavanje teme "Naravni logaritmi".

Primeri in rešitve problemov so vzeti iz uradnih Možnosti UPORABE. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Podan log 2 (2x-1) = 4. Rešitev:
prepišimo izraz in ga malo poenostavimo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1 = 2 4 , torej 2x = 17; x = 8,5.

• Vse logaritme je najbolje reducirati na isto osnovo, da rešitev ni okorna in zmedena.
• Vsi izrazi pod znakom logaritma so označeni kot pozitivni, zato mora biti, ko vzamemo eksponent eksponenta izraza, ki je pod znakom logaritma in je njegova osnova, izraz, ki ostane pod logaritmom, pozitiven.

Eden od elementov algebre primitivne ravni je logaritem. Ime izvira iz grški iz besede "število" ali "moč" in pomeni potenco, na katero je treba dvigniti število na osnovi, da bi našli končno število.

Vrste logaritmov

• log a b je logaritem števila b na osnovo a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - decimalni logaritem (logaritemska osnova 10, a = 10);
• ln b - naravni logaritem (logaritemska osnova e, a = e).

Kako rešiti logaritme?

Logaritem števila b na osnovo a je eksponent, kar zahteva, da osnovo a dvignemo na število b. Rezultat se izgovori takole: "logaritem b na osnovo a". Rešitev logaritemskih problemov je, da morate določeno stopnjo določiti s številkami z navedenimi številkami. Obstaja nekaj osnovnih pravil za določanje ali reševanje logaritma, pa tudi za transformacijo samega zapisa. Z njimi se rešujejo logaritemske enačbe, najdejo odvodi, rešujejo integrali in izvajajo številne druge operacije. V bistvu je rešitev samega logaritma njegov poenostavljen zapis. Spodaj so glavne formule in lastnosti:

Za kateri koli a ; a > 0; a ≠ 1 in za vsak x ; y > 0.

• a log a b = b je osnovna logaritemska istovetnost
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x za k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formula za prehod na novo bazo
• log a x = 1/log x a

Kako rešiti logaritme - korak za korakom navodila za reševanje

• Najprej zapišite zahtevano enačbo.

Opomba: če je osnovni logaritem 10, se zapis skrajša, dobi se decimalni logaritem. Če obstaja naravno število e, potem zapišemo, reduciramo na naravni logaritem. Pomeni, da je rezultat vseh logaritmov potenca, na katero dvignemo osnovno število, da dobimo število b.

Neposredno je rešitev v izračunu te stopnje. Preden rešimo izraz z logaritmom, ga moramo poenostaviti po pravilu, to je z uporabo formul. Glavne identitete najdete tako, da se v članku vrnete malo nazaj.

Pri seštevanju in odštevanju logaritmov z dvema različnima številoma, vendar z isto osnovo, nadomestite z enim logaritmom z zmnožkom ali deljenjem števil b oziroma c. V tem primeru lahko uporabite formulo prehoda na drugo osnovo (glejte zgoraj).

Če uporabljate izraze za poenostavitev logaritma, je treba upoštevati nekatere omejitve. In to je: osnova logaritma a je le pozitivno število, ni pa enaka ena. Število b mora biti tako kot a večje od nič.

Obstajajo primeri, ko po poenostavitvi izraza ne boste mogli izračunati logaritma v numerični obliki. Zgodi se, da tak izraz nima smisla, ker je veliko stopinj iracionalnih števil. Pod tem pogojem pustite potenco števila kot logaritem.

Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo edinstvene ponudbe, promocije in drugi dogodki ter prihajajoči dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje tretjim osebam

Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodni red, v pravdanje, in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.

Varstvo osebnih podatkov

Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.