세 개의 투영 평면에 선을 투영합니다. 도면 가역성

직각의 부분 투영에 관한 정리

직각 평면이 투영 평면에 수직이 아니고 평행도 아니고 적어도 한쪽이 이 평면과 평행하면 직각이 왜곡 없이 투영됩니다.

코너를 보자 알파벳– 직선(그림 65) 및 측면 해|| N따라서 투영은 기원전|| 기원전. 옆 AB비행기와 교차할 때까지 계속 N그리고 그 점을 통해서 에게우리는 직접 수행 KN|| 기원전. 따라서, KN || 기원전.

다음은 각도이다. BKN- 똑바로. 세 수직 정리에 따르면 각도는 bKN– 직선이므로 각도 KBC= 90°.

쌀. 65. 직각 투영의 공간 모델

메모. 직각 투영에 대한 이 정리는 두 개의 역 정리에 해당합니다(증거는 제공되지 않음).

1. 평면 각도의 투영이 직각이면 이 각도의 변 중 적어도 하나가 투영 평면과 평행한 경우에만 투영 각도가 직각이 됩니다.

2. 한 변이 투영면과 평행한 특정 각도의 투영이 직각을 나타내면 투영된 각도도 직각입니다.

이러한 정리를 바탕으로 그림 1에 표시된 각도를 설정할 수 있습니다. 66, 우주에서 - 직선.

비

ㅏ

쌀. 66. Monge 다이어그램에 직각 투영:

ㅏ– 각도의 측면 중 하나가 수평입니다. 비– 모서리 측면 중 하나 – 전면

각도를 고려하세요 안에(그림 66 ㅏ).

공간의 각도 안에직선은 다이어그램에 직선이 표시되어 있기 때문입니다. AB수평( 시간'|| 엑스) 및 ∠ ㅏ= 90°(첫 번째 역 정리에 따름).

각도를 고려하세요 안에(그림 66 비).

공간의 각도 안에똑바로, 왜냐하면 그 측면 중 하나가 앞면이기 때문입니다( AB|| V;ab|| 엑스) 및 정면 투영 ∠ 비' = 90°.

이 정리로부터 간단한 결론이 도출됩니다. 직선이 자연 크기로 투영되는 직선에 수직선을 그릴 수 있습니다.

기술기하학의 위치 문제와 미터법 문제를 해결할 때 이러한 정리를 바탕으로 서로 수직인 두 개의 직선을 구성하는 것이 가능하며, 이를 통해 궁극적으로 거리를 결정하고 상호 수직인 평면을 구성하는 것이 가능해집니다.

이 자료의 주제에 대한 몇 가지 문제를 고려해 보겠습니다.

작업 1.포인트를 통해 ㅏ선에 수직으로 선을 긋다 중(그림 67).

문제의 그래픽 상태를 분석해 보면 다음과 같습니다. 중|| 엑스, 즉 직선을 의미한다. 중정면이다( 중|| V).

따라서 원하는 직선의 구성은 정면 투영부터 시작하여 투영에 수직으로 그려야합니다. 중׳, 투영의 정면 평면에는 직선이 있기 때문입니다. 중왜곡 없이 투영의 정면 평면에 투영됩니다. V주어진 직선과 새로 구성된 직선 사이의 직각은 왜곡 없이 투영됩니다.

1. 원하는 세그먼트의 정면 투영을 구성합니다. a′b′⊥ 중′.

2. 포인트의 위치를 ​​결정합니다 비׳ 투사 중 중׳ 그리고 투영 연결을 통해 수평 투영을 결정합니다. 비투사 중 중.

3. 원하는 세그먼트의 수평 투영을 구성합니다. ab.

쌀. 67. 선에 수직인 구성 중쌀. 68. Δ 단위로 높이 구성 알파벳

작업 2.상단을 통해 와 함께삼각형의 높이를 그려라 알파벳(그림 68).

해결책. 우리는 다이어그램을 분석하고 삼각형의 변이 AB|| 시간, 수평 투영은 자연스러운 크기로 표시됩니다.

그러므로 높이의 구성은 수평적 투영에서부터 시작되어야 한다.

작업의 그래픽 부분 실행 순서:

1. 한 지점에서 와 함께측면에 수직인 세그먼트를 그립니다. ab.

2. 포인트 디– 기본 높이, CD– 높이의 수평 투영.

3. 포인트 투영 디측면의 정면 투영에 a′b′그리고 우리는 점의 정면 투영을 얻습니다. 디'정면 높이 투영을 구축합니다. CD'.

작업 3.한 지점으로부터의 거리 결정 에게직선으로 N(그림 69).

해결책. 거리 결정 문제를 해결할 때 거리의 투영을 구성하는 것뿐만 아니라 거리의 자연적 가치도 결정해야 한다는 점에 유의해야 합니다.

한 점에서 선까지의 최단 거리는 이 점에서 선까지 그은 수직선의 값입니다. 다이어그램을 분석해 보면 직선이 N정면이고 왜곡 없이 정면 투영에 표시됩니다.

그러므로 수직 투영을 구성하려면 정면 투영부터 시작해야 합니다.

작업의 그래픽 부분 실행 순서:

1. 한 지점에서 케이'선의 투영에 대한 수직을 낮추십시오. N', 우리는 요점을 이해합니다 이자형'.수직의 정면 투영 – 케이′ 이자형′.

2. 결과 점을 선의 수평 투영에 투영합니다. N,우리는 요점을 얻습니다 이자형수직선의 수평 투영 케.

3. 투영으로 판단하면 직선 KE일반적인 입장. 직각 삼각형 방법을 사용하여 자연 크기를 결정합니다 | 케|.

지점으로부터의 거리 에게직선으로 N세그먼트의 길이와 같습니다 - 에게영형 이자형'.

KE, N = 케이영형 이자형'= 30mm.

3.5. 비행기의 특수 노선

평면에서 특별한 위치를 차지하는 직선:

1. 평면 레벨 라인.

2. 투영면에 대한 평면의 최대 경사선.

평면 레벨 라인

평면 레벨 라인– 주어진 평면에 있고 투영 평면과 평행한 직선: 수평, 정면, 프로필 직선.

수평면 –주어진 평면에 있고 투영 평면에 평행한 직선 N.동일한 평면의 모든 수평선은 서로 평행하다는 점을 기억해야 합니다.

수평의 수평 투영은 평면의 수평 궤적과 평행하고, 평면의 수평 궤적은 평면의 수평 0입니다. 평면에 수평선을 구성하려면 아르 자형, 흔적에 의해 주어진 정면 투영에 있어야합니다 PV점을 표시하다 디" –수평 추적의 정면 투영 (그림 67) ㅏ). 이를 통해 축에 평행한 수평의 정면 투영을 그립니다. 엑스. 축에서 엑스수평 투영을 찾아라 디. 한 점에서 그린 직선 디산책로와 평행 R N평면은 수평의 수평 투영을 나타냅니다.

그림에서. 70 비수평 투영은 점의 투영을 통해 그려집니다. 디그리고 점 1 똑바로 유럽 ​​연합삼각형으로 정의된 평면 CDE.수평의 구성은 항상 정면 투영으로 시작됩니다. d"1", 축과 평행한 엑스. 소속의 성질을 이용하여 점의 수평사영을 구함 1 그리고 수평의 수평 투영을 수행합니다.

ㅏ

비

쌀. 70. 수평면:

ㅏ– 비행기에서 아르 자형, 추적으로 제공됨; 비– Δ로 지정된 평면에서 СDE

전면– 투영면과 평행하고 평면에 놓인 직선 V(그림 71).

정면 및 윤곽선의 구성은 수평 선의 투영에 대한 알려진 속성과 소속 속성을 기반으로 수평 구성과 유사하게 수행되며 해당 투영 축에 평행한 투영으로 시작됩니다. 같은 평면의 모든 정면은 서로 평행합니다. 평면 레벨의 프로파일 직선에 대해서도 마찬가지입니다.

평면 레벨의 프로파일 직선주어진 평면에 놓여 있고 돌출부의 프로파일 평면과 평행한 직선입니다(그림 72).

비

ㅏ

쌀. 71. 전면:

ㅏ– 비행기에서 아르 자형, 추적으로 제공됨; 비– Δ로 지정된 평면에서 СDE

쌀. 72. 레벨 프로파일 라인 BE비행기 Δ 알파벳

공간에서 직선의 위치는 두 점에 의해 완전히 결정됩니다. 일반적으로 선의 투영은 직선이지만, 특별한 경우에는 선이 투영 평면에 수직이면 점이 됩니다. 선의 투영을 구성하려면 두 점의 투영 또는 선의 한 점의 투영과 공간에서의 선 방향이 있으면 충분합니다.

투영 평면을 기준으로 한 공간에서의 위치에 따라 직선은 다음과 같이 나뉩니다. 일반적인 위치, 수평 및 투영의 직선 .

2.2.1. 일반 라인.이는 투영 평면에 평행하지도 수직도 아닌 직선입니다. 예상 A 1 B 1, A 2 B 2그리고 가 3 비 3분절 AB똑바로 AB일반 위치(그림 2.18, ㅏ) 축에 대해 예각으로 기울어짐 x 12 , y 13그리고 즈 23. 이 선의 세그먼트 투영 길이는 항상 세그먼트 자체보다 짧습니다. 두 점으로 구성된 일반적인 위치의 선분을 세 장으로 그린 ​​복잡한 그림 ㅏ그리고 안에, 그림 2.18에 나와 있습니다. 비.

2.2.2. 직선 수준.이는 투영 평면 중 하나와 평행한 직선입니다. 피 1,피 2또는 피 3. 결과적으로 세 가지 유형의 레벨 라인이 있습니다.

1) 수평 수준ㅏ (수평의 ), 평행한 피 1(똑바로 ㅏ세그먼트가 있는 AB그림에서 그것에. 2.19, ㅏ, 비);

2) 프론트 레벨 (정면 ), 평행한 피 2(똑바로 비세그먼트 포함 CD그림에서 그것에. 2.20, ㅏ);

3) 프로필 수준 , 평행한 피 3(똑바로 와 함께세그먼트가 있는 EF그림에서 그것에. 2.20, 비). 그림에서. 2.20 직선의 시각적 이미지 비그리고 씨투영 평면에 상대적인 것은 표시되지 않습니다.

레벨의 동일한 이름 직선 세그먼트의 투영은 전체 크기로 투영되며 반대쪽은 동일한 직선 세그먼트와 분리하는 축에 평행합니다. 또한 가로의 경우에는 같은 이름의 투영이 가로, 다른 이름의 투영은 정면, 옆면 등이 됩니다.

직선의 경사각 ㅏ,비그리고 씨투영 평면에 피 1, 피 2그리고 피 3그에 따라 지정하는 것이 관례입니다. α , β 그리고 γ (그림 2.19에서 모서리 α , β 그리고 γ 표시되지 않음).

2.2.3. 직선 투영.이는 투영 평면 중 하나에 수직이고 다른 두 평면에 평행한 직선입니다. 결과적으로 세 가지 유형의 투영 선이 있습니다.

1) 수평으로 투영 직선, 수직 피 1(똑바로 ㅏ세그먼트가 있는 AB그림에서 그것에. 2.21, ㅏ);

2) 전면 투영 직선, 수직 피 2(똑바로 비세그먼트가 있는 CD그림에서 그것에. 2.21, 비);

3)프로필 투영 직선, 수직 피 3(똑바로 씨세그먼트가 있는 E.F.그림에서 그것에. 2.21, V).

그림에서. 2.21 보이지 않는 점의 투영은 괄호 안에 표시됩니다. 투영에서 점의 가시성을 결정하는 문제는 아래의 "교차선" 단락에서 자세히 설명합니다.

투영 선의 경우 동일한 이름의 투영은 투영이 수행되는 투영 선의 본질에서 따르는 점입니다.

투영 직선의 각각의 서로 다른 투영은 동일한 이름의 투영에서 이를 분리하는 축에 수직이며, 레벨 라인에 있는 세그먼트의 서로 다른 투영은 이 세그먼트의 자연스러운 크기입니다.

2.2.4. 일반적인 위치에서 선분의 자연적 가치를 결정합니다.특정 위치의 직선의 실제 크기는 이 직선의 복잡한 도면에서 즉시 결정될 수 있습니다.

일반적인 위치에서 직선 세그먼트의 자연 값을 결정하려면 이전에 설명한 내용을 적용할 수 있습니다(섹션 2.1.2 참조). 투영면 교체 방법 . 그림 2.22는 자연 크기의 정의를 보여줍니다( N.V..) 세그먼트 AB일반적인 위치의 직선과 그 경사각을 결정하는 것 Π 1(모서리 α ) 그리고 Π 2(모서리 β ) 이런 방법으로.

추가 비행기 Π 4병렬로 진행됨 AB (x 14 ||A 1 B 1). 똑바로 AB정면 위치로 전환되었으므로 가 4 비 4– 자연스러운 크기 AB.

추가 평면을 그려서 Π 5 ||AB(x 25 ||A 2 B 2) 실제 크기를 확인할 수도 있습니다. AB. 가 5 비 5– 자연스러운 크기 AB. 똑바로 AB시스템에서 Π 2-Π 5수평이 되었습니다.

그림 2.23은 자연 크기의 정의를 보여줍니다. AB 삼각법을 사용한다. 세그먼트의 자연 값은 직각 삼각형의 빗변과 같습니다. 한쪽 다리는 세그먼트의 투영 중 하나이고 다른 쪽 다리는 평면에서 끝 부분까지의 거리에 대한 대수적 차이입니다. Π 1(ΔZ).

2.2.5. 라인의 상호 위치.공간의 직선은 평행할 수도 있고, 교차할 수도 있고, 교차할 수도 있습니다.

평행선.평행 투영의 속성에 따르면 공간의 선이 평행하면 동일한 이름을 가진 세 쌍의 투영이 모두 평행합니다. 반대 상황도 분명합니다. 같은 이름의 선 투영이 평행하면 공간의 선도 평행합니다.

선의 평행성을 결정하려면 일반적으로 동일한 이름을 가진 두 쌍의 투영의 평행성으로 충분합니다. 레벨 선의 평행도가 결정되면 두 쌍의 평행 투영 중 하나는 동일한 이름의 평면에 대한 투영이어야 합니다.

그림에서. 2.24는 평행선의 투영을 보여줍니다. ㅏ그리고 비일반적인 입장, 여기서 a 1 ║ b 1그리고 a 2 ║ b 2. 그림에서. 2.25는 두 개의 수평선을 보여줍니다 씨그리고 디. 수평의 경우 정면 및 프로필 투영은 항상 동일한 이름의 수평 투영과 분리하는 축과 평행합니다. c 2║일 2║12개그리고 c 3║디 3║y 3. 그러나 수평 투영은 평행하지 않습니다. c 1╫디 1. 그러므로 직선 씨그리고 디평행하지 않음.

교차하는 선.두 개의 교차선은 동일한 평면에 있고 하나의 공통점을 갖습니다. 평행 투영의 속성으로 인해 점이 선 위에 있으면 그 투영도 선 투영 위에 놓이는 것으로 알려져 있습니다. 점이 두 선, 즉 선의 교차점에 있는 경우 해당 투영은 동시에 동일한 선의 두 투영에 있어야 하며 따라서 선 투영의 교차점에 있어야 합니다.

따라서 세그먼트의 경우 AB그리고 CD두 선이 한 점에서 교차한다 케이, 세그먼트의 투영 가 1 비 1그리고 C1D1한 지점에서 교차 K 1, 이는 점의 투영입니다. 케이(그림 2.26, ㅏ). 그렇기 때문에, 같은 이름의 선 투영이 투영 연결의 동일한 선에 있는 점에서 교차하면 선이 공간에서 교차합니다. (그림 2.26, 비).

선이 교차하는지 여부를 확인하려면 두 투영에 대해 이 조건이 충족되는 것으로 충분합니다. 교차하는 선 중 하나가 프로필 수준인 경우는 예외입니다. 이 경우 선의 교차점을 확인하려면 프로파일 투영을 구성해야 합니다.

요점을 살펴보자 ㅏ수평선을 긋는 것이 필요하다 비, 선을 교차 ㅏ(그림 2.27, ㅏ). 그러기 위해서는 포인트를 통해 A 2수행하다 b 2 ║ x 12(1단계) 교차로까지 2그 시점에 K2(그림 2.27, 비). 다음으로 프로젝션 통신선을 이용하여 1요점을 찾아라 K 1(2단계) 그리고 점들을 연결하기 A 1그리고 K 1(3단계), 우리는 비 1.

직선을 건너는 것. 도를 넘었다 ㅏ그리고 비동일한 평면에 놓여 있지 않으므로 평행하지 않고 공통점도 없습니다(그림 2.28, ㅏ). 따라서 선이 교차하는 경우 동일한 이름의 투영 중 적어도 한 쌍은 평행하지 않으며 동일한 이름의 투영 교차점은 동일한 투영 연결 선에 있지 않습니다 (그림 2.28) , 비).

이러한 교차점은 각각 직선에 속하는 두 점의 투영입니다. 이 두 점은 동일한 투영 광선 위에 있으며 호출됩니다. 경쟁하다 .

공간에서 직선의 위치는 두 점의 위치에 따라 결정됩니다. 따라서 직선의 투영을 구성하려면 해당 직선에 속하는 두 점의 투영을 구성하고 서로 연결하면 충분합니다.

투영면을 기준으로 한 위치에 따라 일반 위치와 특정 위치의 직선이 구별됩니다.

직선 사적인 상황하나 또는 두 개의 투영 평면에 평행합니다.

직선 레벨 라인- 하나의 투영 평면에 평행하고 다른 두 평면에 경사진 직선. 이러한 선에는 세 가지 유형이 있습니다.

슈,~라고 불리는 수평의직선이고 문자로 표시됨 에게(그림 3.1). 해당 세그먼트가 평면에 투영됩니다. sch왜곡 없이. 수평 투영 사이의 각도 에게 "축 오평면에 대한 수평 직선의 경사각 f 2와 같습니다. 엔 2,투영 사이의 각도 에게"와 축 OU -평면 ts 3에 대한 경사각 f 3. 동일한 수평 직선 위의 모든 점은 동일한 좌표를 갖습니다. ъ

평면과 평행한 직선 엔 2,~라고 불리는 정면직선이며 문자 /로 표시됩니다 (그림 3.2). 해당 세그먼트는 왜곡 없이 평면 7G에 투영됩니다. 2 - 평면에 대한 정면 선의 경사각은 실제 크기로 동일한 평면에 투영됩니다. 엘(각도 f[) 및 평면 l 3 (각도 f 3). 동일한 정면 직선 위의 모든 점은 동일한 좌표를 갖습니다. 유.

평면 l 3에 평행한 직선을 호출합니다. 프로필똑바로 아르 자형(그림 3.3). 해당 세그먼트는 왜곡 없이 평면 l 3에 투영됩니다. 이에 대해

평면은 7Гі 평면(각도(pi) 및 평면 l 2(각도(p 2))에 대한 프로파일 직선 경사각의 실제 값으로 투영됩니다. 프로파일 직선의 모든 점은 동일한 좌표를 갖습니다. 엑스.

직선 투영- 하나의 투영 평면에 수직이고 다른 두 평면에 평행한 직선.

평면 l에 수직인 직선을 수평으로 투영(그림 3.4). 점 형태로 l i 평면에 투영되며 정면 및 프로필 투영이 축과 평행합니다. 01. 수평으로 투영된 직선의 세그먼트가 왜곡 없이 l2 및 lz 평면에 투영됩니다. 따라서 수평으로 돌출된 라인은 정면과 옆면 모두 아르 자형일직선.

평면 l 2에 수직인 직선을 호출합니다. 정면으로 돌출(그림 3.5). 점 형태로 l 2 평면에 투영되며 수평 및 프로필 투영은 축과 평행합니다. OU.정면으로 돌출한 직선의 한 부분이 Li 및 l3 평면에 왜곡 없이 투영됩니다. 정면으로 돌출된 라인도 수평이다. 에게그리고 프로필 아르 자형똑바로.

평면 l 3에 수직인 직선을 호출합니다. 프로필 투영(그림 3.6). 그 윤곽 투영은 점이며 수평 및 정면 투영은

나는 축과 평행하다 오.이러한 직선의 세그먼트는 평면 A] 및 712의 실제 값에 투영되므로 수평이기도 합니다. 그리고,그리고 정면/직선.

주 투영 평면과 평행하지 않은 직선을 직선이라고 합니다. 일반적인 입장(그림 3.7). 표면에 피, 피 2 7G 3의 세그먼트는 기울어져 있고 도면의 경사각도 왜곡되어 있기 때문에 왜곡되어 투영됩니다. 따라서 일반적인 위치의 직선 그리기에서는 해당 세그먼트의 길이나 투영 평면에 대한 경사각을 측정하는 것이 불가능합니다. 이러한 수량을 결정하려면 추가 구성이 필요합니다.

직접 투영.

도면 가역성

도면 가역성. 하나의 투영 평면에 투영함으로써 묘사된 물체의 모양과 치수를 명확하게 결정할 수 없는 이미지가 얻어집니다. 투영 A 1(그림 1.4 참조)은 투영 평면 P 1에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 알 수 없기 때문에 공간에서 점 자체의 위치를 ​​결정하지 않습니다. 그러한 경우에 우리는 다음과 같이 이야기합니다. 되돌릴 수 없음그림 , 왜냐하면 그러한 그림을 사용하여 원본을 재현하는 것은 불가능하기 때문입니다. 불확실성을 없애기 위해 이미지에 필요한 데이터가 추가됩니다. 실제로 단일 투영 도면을 보완하기 위해 다양한 방법이 사용됩니다.

제 2 장

직선은 두 평면의 교차 결과로 간주될 수 있습니다(그림 2.1, 2.2.).

우주의 직선은 무한합니다. 선의 제한된 부분을 세그먼트라고 합니다.

선을 투영하는 것은 임의의 두 점을 투영하는 것으로 귀결됩니다. 왜냐하면 두 점이 공간에서 선의 위치를 ​​완전히 결정하기 때문입니다. 점 A와 B (그림 2.2)에서 평면 P 1과의 교차점까지 수직선을 낮추면 수평 투영 A 1 및 B 1이 결정됩니다. 세그먼트 A 1 B 1 – 직선 AB의 수평 투영. 선 AB의 임의의 점에서 P 1에 수직을 그리면 유사한 결과가 얻어집니다. 이러한 수직선(투영 광선)의 조합은 직선 A 1 B 1(직선 AB의 수평 투영)을 따라 평면 P 1과 교차하는 수평 투영 평면 a를 형성합니다. 동일한 고려 사항을 바탕으로 직선 AB의 정면 투영 A 2 B 2가 얻어집니다(그림 2.2).

직선의 한 투영은 공간에서의 위치를 ​​결정하지 않습니다. 실제로 세그먼트 A 1 B 1(그림 2.1)은 투영 평면 a에 있는 임의 세그먼트의 투영일 수 있습니다. 공간에서 선의 위치는 두 투영의 조합에 의해 고유하게 결정됩니다. 수평점 A 1 B 1과 정면 P 1 및 P 2를 재구성하여 단일 직선 AB를 따라 교차하는 두 개의 투영 평면 a 및 b를 얻습니다.

복잡한 그림(그림 2.3)은 일반적인 위치의 직선 세그먼트 AB를 보여줍니다. 여기서 A 1 B 1은 수평이고 A 2 B 2는 정면이고 A 3 B 3은 세그먼트의 윤곽 투영입니다. 세그먼트의 세 번째 투영을 구성합니다. 두 개의 데이터를 사용하여 직선 세그먼트의 세 번째 투영을 구성하려면 점의 세 번째 투영을 구성하는 것과 동일한 방법(투영(그림 2.4.), 좌표(그림 2.5.) 및 상수 직선 사용)을 사용할 수 있습니다. 도면의 선 (그림 2.6.).

2.2. 투영 평면을 기준으로 한 선의 위치입니다.

그림에서. 1.5. 상단이 잘린 평행육면체와 임의의 삼각형 피라미드를 묘사합니다. 평행육면체와 피라미드의 모서리는 투영 평면을 기준으로 공간에서 서로 다른 위치를 차지합니다. 도면을 작성하고 읽으려면 직선의 위치를 ​​분석할 수 있어야 합니다. 직선은 공간에서의 위치에 따라 사적직선과 일반직선으로 구분된다.

직접 민간 조항투영적이고 직접적인 수준이 될 수 있습니다.

투영선은 투영 평면 중 하나에 수직인 선입니다. 다른 두 평면 P 1에 평행한 것을 수평으로 돌출한 직선이라고 합니다. 수평 투영 A 1 B 1 은 점이고 정면 및 프로필 투영은 O z 축에 평행한 직선입니다. 투영 평면 P 2에 수직인 직선 CD(그림 2.7.)를 정면 투영 직선이라고 합니다. 정면 투영 C 2 D 2 는 점이고 수평 및 프로필 투영은 Oy 축에 평행한 직선입니다. 투영 평면 P 3에 수직인 직선 MN(그림 2.8.)을 프로파일 투영 직선이라고 합니다. 그 윤곽 투영 M 3 N 3 은 점이고 수평 및 정면 투영은 Ox 축에 평행한 직선입니다.

결과적으로 투영 평면 중 하나에서 투영 직선은 점으로 표시되고 다른 두 평면에서는 수평 또는 수직 위치를 차지하는 세그먼트 형태로 표시되며 크기는 수평 또는 수직이며 크기는 다음과 같습니다. 직선 세그먼트 자체의 자연 값과 같습니다.

레벨 선은 투영 기준면 중 하나에 평행한 선입니다. 투영 P 1의 수평면에 평행 한 직선 AB (그림 2.9.)를 수평 직선 또는 간단히 수평이라고합니다. 정면 투영 A 2 B 2는 투영 축 Ox와 평행하고 수평 투영 A 1 B 1은 직선 세그먼트 (A 1 B 1 = AB)의 자연 값과 같습니다. 수평 투영 A 1 B 1과 Ox 축 사이의 각도 b는 투영 평면 P 2에 대한 직선 AB의 경사각의 자연 값과 같습니다.

투영 P 2의 정면 평면에 평행한 직선 CD (그림 2.10.)를 정면 직선, 간단히 말해서 정면이라고 합니다. 수평 투영 C 1 D 1은 Ox 축과 평행하고 정면 투영 C 2 D 2는 직선 세그먼트의 자연 값(C 2 D 2 = CD)과 같습니다. 정면 투영 C 2 D 2 와 Ox 축 사이의 각도 a는 투영 평면 P 1 에 대한 직선의 실제 경사각과 같습니다.

돌출부 P 3의 프로파일 평면에 평행한 직선 MN(그림 2.11)을 프로파일 직선이라고 합니다. 정면 M 2 N 2 및 수평 M 1 N 1 투영은 Ox 축에 수직이며 프로필 투영은 세그먼트의 자연 크기(M 3 N 3 = MN)와 동일합니다. 프로파일 투영과 Oy 3 및 Oz 축 사이의 각도 a 및 b는 투영 P 1 및 P 2 평면에 대한 직선의 경사각의 실제 값과 같습니다.

결과적으로 레벨의 직선은 투영 평면 중 하나에 전체 크기로 투영되고 다른 두 평면에는 축소된 크기의 세그먼트 형태로 도면에서 수직 또는 수평 위치를 차지합니다. 도면에서 투영 평면에 대한 직선의 경사각을 결정할 수 있습니다.

직선이 투영 평면에 있는 경우 해당 투영 중 하나(동일한 이름)는 직선 자체와 일치하고 나머지 두 개는 투영 축과 일치합니다. 예를 들어 직선 AB(그림 2.12)는 평면 P1에 있습니다. 수평 투영 A 1 B 1은 직선 AB와 병합되고 정면 투영 A 2 B 2는 Ox 축과 병합됩니다. 이러한 직선을 점(z 좌표)의 높이가 0이므로 제로 수평선이라고 합니다.

일반 위치의 직통 라인모든 투영면에 대해 기울어진 직선을 직선이라고 합니다. 투영은 Ox, Oy 및 Oz 축과 예각 또는 둔각을 형성합니다. 투영 중 어느 것도 축에 평행하거나 수직이 아닙니다. 일반적인 위치에서 선의 투영 크기는 항상 세그먼트 자체의 원래 크기보다 작습니다. 추가 구성 없이 도면에서 직접 직선의 실제 크기와 투영 평면에 대한 경사각을 결정하는 것은 불가능합니다.

점이 선 위에 있으면 점의 투영은 선의 동일한 투영과 공통 연결선에 있습니다.

그림에서. 2.13. 점 C는 직선 AB 위에 있습니다. 그 투영 C 1과 C 2는 각각 수평 A 1 B 1에 있고 직선의 정면 A 2 B 2 투영에 있기 때문입니다. 점 M과 N은 선에 속하지 않습니다. 각 점의 투영 중 하나가 동일한 이름의 선 투영 위에 있지 않기 때문입니다.

점의 투영은 점 자체가 선분을 나누는 것과 동일한 비율로 선의 투영을 나눕니다. 이 규칙을 사용하여 주어진 직선 세그먼트를 필요한 비율로 나눕니다. 예를 들어, 그림. 2.14. 직선 EF는 3:5의 비율로 점 K로 나누어집니다. 분할은 기하학적 도면에서 알려진 방식으로 이루어집니다.

이 기사에서는 평면에 점 투영을 생성하는 방법과 이 투영의 좌표를 결정하는 방법에 대한 질문에 대한 답변을 찾을 수 있습니다. 이론적인 부분에서는 투영의 개념에 의존할 것입니다. 용어를 정의하고 그림과 함께 정보를 제공하겠습니다. 예제를 풀면서 습득한 지식을 통합해 봅시다.

투영, 투영 유형

공간적 그림을 보는 편의를 위해 이러한 그림을 묘사한 그림이 사용됩니다.

정의 1

평면에 인물 투영– 공간적 그림 그리기.

분명히 투영을 구성하는 데 사용되는 여러 규칙이 있습니다.

정의 2

투사– 구성 규칙을 사용하여 평면에 공간 도형의 그림을 구성하는 과정입니다.

투영면- 이미지가 구성되는 평면입니다.

특정 규칙의 사용에 따라 투영 유형이 결정됩니다. 본부또는 평행한.

평행 투영의 특별한 경우는 수직 투영 또는 직교 투영입니다. 기하학에서는 주로 사용됩니다. 이러한 이유로 "수직"이라는 형용사 자체는 종종 연설에서 생략됩니다. 기하학에서는 단순히 "그림의 투영"이라고 말하며 이는 수직 투영 방법을 사용하여 투영을 구성하는 것을 의미합니다. 물론 특별한 경우에는 다른 사항이 합의될 수도 있습니다.

평면에 그림을 투영하는 것은 본질적으로 이 그림의 모든 점을 투영한다는 사실에 주목합시다. 따라서 도면에서 공간도형을 연구하기 위해서는 점을 평면에 투영하는 기본적인 기술을 습득하는 것이 필요하다. 아래에서 이야기 할 내용.

기하학에서 평면 투영에 관해 말할 때 수직 투영을 사용하는 것을 의미하는 경우가 가장 많다는 것을 기억해 봅시다.

점을 평면에 투영하는 것에 대한 정의를 얻을 수 있는 기회를 제공하는 구성을 만들어 보겠습니다.

3차원 공간이 주어지고 그 안에 평면 α와 평면 α에 속하지 않는 점 M1이 있다고 가정해 보겠습니다. 주어진 점 M을 지나는 직선을 그리시오. ㅏ주어진 평면 α에 수직. 직선 a와 평면 α의 교차점을 H 1로 표시하며, 구성에 따라 점 M 1에서 평면 α로 떨어지는 수직선의 밑면 역할을 합니다.

주어진 평면 α에 속하는 점 M 2가 주어지면 M 2는 평면 α에 대한 투영 역할을 합니다.

정의 3

- 이것은 점 자체(주어진 평면에 속하는 경우)이거나 주어진 점에서 주어진 평면으로 떨어진 수직선의 밑면입니다.

평면에 점을 투영하는 좌표 찾기, 예

3차원 공간에 다음이 주어집니다: 직각 좌표계 O x y z, 평면 α, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1). 주어진 평면에 점 M 1을 투영하는 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해법은 점을 평면에 투영하는 위에 주어진 정의에서 분명히 따릅니다.

점 M 1 을 평면 α에 투영하는 것을 H 1 로 표시하겠습니다. 정의에 따르면, H 1은 주어진 평면 α와 점 M 1을 통해 그려진 직선 a(평면에 수직)의 교차점입니다. 저것들. 우리에게 필요한 점 M1의 투영 좌표는 직선 a와 평면 α의 교차점 좌표입니다.

따라서 평면에 대한 점 투영 좌표를 찾으려면 다음이 필요합니다.

평면 α의 방정식을 구합니다(지정되지 않은 경우). 여기서는 평면 방정식의 유형에 관한 기사가 도움이 될 것입니다.

점 M 1을 통과하고 평면 α에 수직인 선 a의 방정식을 결정합니다(주어진 평면에 수직인 주어진 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 주제를 연구합니다).

직선 a와 평면 α의 교차점 좌표를 찾습니다(기사-평면과 선의 교차점 좌표 찾기). 얻은 데이터는 점 M 1을 평면 α에 투영하는 데 필요한 좌표가 됩니다.

실제 사례를 통해 이론을 살펴보겠습니다.

실시예 1

점 M 1 (-2, 4, 4)을 평면 2 x – 3 y + z - 2 = 0에 투영하는 좌표를 결정합니다.

해결책

보시다시피, 평면의 방정식이 우리에게 주어집니다. 컴파일할 필요가 없습니다.

점 M 1을 통과하고 주어진 평면에 수직인 직선 a의 표준 방정식을 적어 보겠습니다. 이러한 목적을 위해 직선 a의 방향 벡터 좌표를 결정합니다. 선 a는 주어진 평면에 수직이므로 선 a의 방향 벡터는 평면 2 x - 3 y + z - 2 = 0의 법선 벡터입니다. 따라서, a → = (2, - 3, 1) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 점 M 1 (-2, 4, 4)을 통과하고 방향 벡터를 갖는 공간의 선의 표준 방정식을 작성해 보겠습니다. a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

필요한 좌표를 찾으려면 다음 단계는 직선 x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1과 평면의 교차점 좌표를 결정하는 것입니다. 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . 이러한 목적을 위해 우리는 표준 방정식에서 두 교차 평면의 방정식으로 이동합니다.

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

방정식 시스템을 만들어 보겠습니다.

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

그리고 Cramer의 방법을 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다.

Δ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 Δ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = Δ x Δ = 0 - 28 = 0 Δ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = Δ y Δ = - 28 - 28 = 1 Δ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = Δ z Δ = - 140 - 28 = 5

따라서 주어진 평면 α에서 주어진 점 M 1의 필요한 좌표는 (0, 1, 5)입니다.

답변: (0 , 1 , 5) .

실시예 2

3차원 공간의 직각 좌표계 O x y z에서 점 A(0, 0, 2)가 주어집니다. B(2, - 1, 0); C(4, 1, 1) 및 M 1(-1, -2, 5). 평면 A B C에 대한 투영 M 1의 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

우선, 주어진 세 점을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다.

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

평면 A B C에 수직인 점 M 1을 통과하는 선 a의 매개변수 방정식을 적어 보겠습니다. 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0에는 좌표가 (1, -)인 법선 벡터가 있습니다. 2, 2), 즉 벡터 a → = (1, - 2, 2) – 직선 a의 방향 벡터.

이제 선 M 1의 점 좌표와 이 선의 방향 벡터 좌표를 사용하여 공간에서 선의 매개변수 방정식을 작성합니다.

그런 다음 평면 x – 2 y + 2 z – 4 = 0과 직선의 교차점 좌표를 결정합니다.

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

이를 위해 평면 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

이제 매개변수 방정식 x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ를 사용하여 λ = - 1에 대한 변수 x, y 및 z의 값을 찾습니다. x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

따라서 점 M 1을 평면 A B C에 투영하면 좌표가 (-2, 0, 3)됩니다.

답변: (- 2 , 0 , 3) .

좌표 평면과 좌표 평면에 평행한 평면에 점을 투영하는 좌표를 찾는 문제에 대해 별도로 살펴보겠습니다.

점 M 1 (x 1, y 1, z 1)과 좌표 평면 O x y, O x z 및 O y z가 주어집니다. 이 평면에 대한 이 점의 투영 좌표는 각각 (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) 및 (0, y 1, z 1)입니다. 주어진 좌표 평면에 평행한 평면도 고려해 보겠습니다.

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

그리고 주어진 점 M 1을 이 평면에 투영하면 좌표가 x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 및 - DA, y 1, z 1인 점이 됩니다.

이 결과가 어떻게 얻어졌는지 보여드리겠습니다.

예를 들어, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면 A x + D = 0에 투영하는 것을 정의해 보겠습니다. 나머지 경우도 비슷하다.

주어진 평면은 좌표 평면 O y z와 평행하고 i → = (1, 0, 0)은 법선 벡터입니다. 동일한 벡터가 Oyz 평면에 수직인 선의 방향 벡터 역할을 합니다. 그런 다음 점 M 1을 통해 그려지고 주어진 평면에 수직인 직선의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

이 선과 주어진 평면의 교차점의 좌표를 찾아봅시다. 먼저 등식을 A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 방정식에 대입하고 다음을 얻습니다. A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = -DA-x1

그런 다음 λ = - D A - x 1인 직선의 매개변수 방정식을 사용하여 필요한 좌표를 계산합니다.

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

즉, 점 M 1 (x 1, y 1, z 1)을 평면에 투영하면 좌표가 D A, y 1, z 1인 점이 됩니다.

실시예 2

점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 좌표 평면 O x y와 평면 2 y - 3 = 0에 투영하는 좌표를 결정해야 합니다.

해결책

좌표 평면 O x y는 평면 z = 0의 불완전한 일반 방정식에 해당합니다. 평면 z = 0에 점 M 1을 투영하면 좌표가 (-6, 0, 0)됩니다.

평면 방정식 2 y - 3 = 0은 y = 3 2 2로 쓸 수 있습니다. 이제 점 M 1 (-6, 0, 1 2)을 y = 3 2 2 평면에 투영한 좌표를 적어보세요.

6 , 3 2 2 , 1 2

답변:(- 6 , 0 , 0) 및 - 6 , 3 2 2 , 1 2

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