칼리닌그라드 무역경제대학은 러시아연방 대통령 산하의 러시아 국민경제행정아카데미 분교입니다. 칼리닌그라드 무역경제대학 - 러시아 국가경제아카데미 분교

칼리닌그라드 무역경제대학의 역사는 1946년부터 쓰여진 지역 역사의 한 페이지이다. 지난 시간 동안 25,000명이 넘는 전문가가 이 대학을 졸업했습니다.

2004년부터 이 대학은 "지역 내 성인 교육 센터 및 개방형 교육 센터 설립 및 조직에 대한 유럽 경험 전파"라는 주제로 모스크바 중등 직업 교육 개발 연구소의 실험 플랫폼이 되었습니다. 10년 동안 그는 러시아 마케팅 협회의 회원이었으며 사회 대학 자격을 가지고 있습니다. 후자는 사회적으로 불리한 학생, 교사, 퇴직자, 군인 및 그 가족, 현직 교사 및 교직원에 대한 지속적인 지원으로 지역 행정부로부터 대학에 수여되었습니다.

학생들은 칼리닌그라드 무역 경제 대학에서 기술 및 서비스, 마케팅 관리, 법률, 경제 및 회계, 비전통적 형태의 교육 등 5개 학부에서 교육을 받습니다. 대학의 교육 분야에는 16개의 전문 분야가 있습니다. 여기에는 음식 준비 기술, 식품 상거래, 무역 상거래, 관리, 마케팅, 회계사-변호사, 은행, 호텔 단지 내 서비스 조직, 금융, 관광 등이 포함됩니다.

이 대학에는 진로지도 및 지원자 교육 센터가 있습니다. 비전통적인 형태의 교육 학부에서는 자격을 향상시킬 수 있을 뿐만 아니라 직업을 중단하지 않고 새로운 전문 분야를 습득할 수도 있습니다. 현재 개방형 교육 센터는 20개 이상의 전문 분야에 대한 전문 교육 지원을 제공하는 데 중점을 두고 있습니다. 여기에서 기술을 향상하고 재교육을 받을 수 있습니다. 방법은 다양합니다: 비즈니스 게임, 교육, 세미나, 연습, 공개 회의, 컨퍼런스, 프로젝트 작업 이 모든 것을 통해 학생들은 제안된 자료를 최대한 이해할 수 있습니다.

칼리닌그라드 주립 대학, 칼리닌그라드 주립 기술 대학 및 발트해 주립 아카데미와의 협력을 통해 대학은 지식이 자본이 되고 지역 경제 발전의 주요 자원이 되는 전문가를 양성할 수 있습니다. 수년간의 상호 작용을 통해 200명 이상의 졸업생이 단기 학습 기간으로 특수 학부에서 고등 교육을 받았습니다. 그들 모두는 지역 경제 단지의 수요가 많으며 많은 사람들이 지역 기업가 집단의 엘리트에 합류했습니다.

칼리닌그라드 무역 경제 대학은 덴마크, 스웨덴, 독일, 폴란드, 핀란드와 커뮤니케이션을 구축하고 적극적으로 상호 작용하고 있습니다. 팀은 국제 교육 프로젝트에 참여합니다. 그들의 주제는 다양하며, 여기에는 "중소기업 발전을 위한 칼리닌그라드 당국 지원", "이후 취업을 위해 민간 전문 분야 취득을 위해 임원 및 실업자 가족 지원", "교육 교사 양성"과 같은 중요한 주제가 포함됩니다. 칼리닌그라드에서 안드라고지 및 기업가 훈련 프로그램 활동 개발' 등이 포함됩니다.

1999년 국제 프로젝트의 일환으로 학술 담당 부국장인 Lydia Ivanovna Motolyanets의 노력 덕분에 실제 무역 조직의 활동을 반영하는 기업 모델, 효과적인 전문 형태인 시뮬레이션 회사가 만들어졌습니다. 중소기업 분야에서 일하는 모든 수준의 인력을 위한 고급 교육입니다.

사회의 요구를 충족하고 온전한 인격 형성에 기여할 교육을 보장하는 팀의 사명이 완전히 이행되었습니다. 칼리닌그라드 무역 경제 대학은 전문성, 책임, 명성입니다.

케이텍
경제 및 회계 PCC

15부, 2006년

소개. 4

파생상품의 개념. 5

부분 파생 상품. 열하나

변곡점. 16

해결하기 위한 연습. 17

시험. 20

연습 문제의 답.. 21

문학. 23

소개

에프(엑스 엑스, 그리고 그들은 전화한다 한계생산물; 만약에 g(x) g(x) g'(x)~라고 불리는 한계비용.

예를 들어, 기능을 알려주세요 당신=유(티) 유일하는 동안 티. Δ티=티 1 - 티 0:

z 평균 =

z 평균. ~에 Δt→ 0: .

생산 단가 케이 엑스, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 K=K(x) Δx K(x+Δx). Δx ΔK=K(x+Δx)- K(x).

한계 ~라고 불리는

파생상품의 개념

x 0 지점에서 함수의 미분인수의 증가가 0이 되는 경향이 있는 경우 인수의 증가에 대한 함수의 증가 비율의 한계라고 합니다.

미분 함수 표기법:

저것. 사전에:

도함수를 찾는 알고리즘:

기능을 보자 y=f(x)세그먼트에서 연속 , x

1. 인수의 증분을 찾으십시오.

엑스– 새로운 인수 값

x 0- 초기 값

2. 함수의 증분을 찾습니다.

에프엑스(f(x))– 새로운 기능 값

에프(x0)-함수의 초기값

3. 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율을 찾습니다.

4. 발견된 비율의 한계를 다음에서 찾으십시오.

도함수의 정의를 바탕으로 함수의 도함수를 구합니다.

해결책:

주자 엑스증가 Δх,그러면 함수의 새 값은 다음과 같습니다.

함수의 새 값과 초기 값의 차이로 함수의 증가분을 찾아 보겠습니다.

인수 증가에 대한 함수 증가의 비율을 찾습니다.

.

다음과 같은 경우 이 비율의 한계를 찾아보겠습니다.

따라서 파생물의 정의에 따르면 다음과 같습니다. .

함수의 도함수를 구하는 것을 호출합니다. 분화.

기능 y=f(x)~라고 불리는 미분가능한구간(a;b)에서 구간의 각 지점에 도함수가 있는 경우.

정리함수가 주어진 점에서 미분 가능한 경우 x 0, 그러면 이 시점에서 연속입니다.

반대 진술은 거짓이므로 어떤 점에서는 연속이지만 그 점에서는 미분할 수 없는 함수가 있습니다. 예를 들어, x 0 =0 지점에서의 함수입니다.

함수의 도함수 찾기

1) .

2) .

함수의 동일한 변환을 수행해 보겠습니다.

고차 파생 상품

2차 미분 1차 도함수의 도함수라고 합니다. 지정

n차의 파생(n-1)차 도함수의 도함수라고 합니다.

예를 들어,

부분 파생 상품

편미분이들 변수 중 하나에 대한 여러 변수의 함수를 다른 모든 변수가 일정하게 유지된다면 이 변수에 대해 취해진 도함수라고 합니다.

예를 들어, 기능의 경우 1차 편도함수는 다음과 같습니다.

최대 및 최소 기능

함수의 값이 가장 큰 인수 값을 호출합니다. 최대 포인트.

함수의 값이 가장 작은 인수 값을 호출합니다. 최소 포인트.

함수의 최대점은 함수가 증가에서 감소로 전환되는 경계점이고, 함수의 최소점은 감소에서 증가로 전환되는 경계점입니다..

기능 y=f(x)(로컬) 있음 최고모든 경우에 시점에서 엑스

기능 y=f(x)(로컬) 있음 최저한의모든 경우에 시점에서 엑스, 불평등에 충분히 가깝습니다.

함수의 최대값과 최소값을 합쳐서 호출합니다. 과격한 수단, 도달한 지점을 이라고 합니다. 극한점.

정리 (극한 존재의 필요 조건) 함수를 구간으로 정의하고 그 지점에서 가장 큰(가장 작은) 값을 가지도록 합니다. 그런 다음 한 지점에서 이 함수의 파생물이 있으면 0과 같습니다. .

증거:

함수가 x 0 지점에서 가장 큰 값을 가지도록 하고 다음 부등식에 대해 .

어떤 지점에서든

x > x 0이면, 즉

만약 x< x 0 , то , т.е.

왜냐하면 , 0과 같을 때만 가능한 것이 있습니다. 그러므로 .

결과:

한 지점에서 미분 가능한 함수가 가장 큰(가장 작은) 값을 취하면 해당 지점에서 이 함수 그래프의 접선은 Ox 축과 평행합니다.

1차 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점을 호출합니다. 비판적인 -이는 가능한 극한점입니다.

1차 도함수가 0과 같다는 것은 극값의 필수 조건일 뿐이므로 가능한 극값의 각 지점에 극값이 존재하는지에 대한 문제를 더 조사할 필요가 있습니다.

정리(극값이 존재하기 위한 충분조건)

기능을 보자 와이 = 에프(엑스)은 점의 일부 인근에서 연속적이고 미분 가능합니다. x 0.만약, 한 지점을 통과할 때 x 0왼쪽에서 오른쪽으로, 1차 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로(마이너스에서 플러스로) 변경한 다음 해당 지점에서 x 0기능 와이 = 에프(엑스)에는 최대값(최소값)이 있습니다. 1차 도함수의 부호가 변하지 않으면 이 함수는 해당 점에서 극값을 가지지 않습니다. x 0 .

극값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1. 함수의 1차 도함수를 구합니다.

2. 1차 도함수를 0으로 동일시합니다.

3. 방정식을 풀어보세요. 방정식의 발견된 근은 중요한 점입니다.

4. 발견된 임계점을 수치 축에 표시합니다. 우리는 일련의 간격을 얻습니다.

5. 각 구간에서 1차 도함수의 부호를 결정하고 함수의 극값을 나타냅니다.

6.그래프를 그리려면:

Ø 극한점에서 함수의 값을 결정합니다.

Ø 좌표축과의 교차점 찾기

Ø 추가 포인트 찾기

주석 캔은 반경이 둥근 원통 모양입니다. 아르 자형그리고 높이 시간. 캔을 만드는 데 확실히 정해진 양의 주석이 사용된다고 가정할 때, 아르 자형그리고 시간항아리의 부피가 가장 커집니다.

사용되는 주석의 양은 캔의 전체 표면적과 같습니다. . (1)

이 평등으로부터 우리는 다음을 발견합니다:

그런 다음 다음 공식을 사용하여 부피를 계산할 수 있습니다. . 문제는 함수의 최대값을 찾는 것으로 줄어들 것입니다. V(r). 이 함수의 1차 도함수를 찾아보겠습니다. . 1차 도함수를 0과 동일시해 보겠습니다.

. 우리는 찾는다: . (2)

이 지점이 최대 지점이기 때문에 1차 도함수는 에서 양수이고 에서 음수입니다.

이제 가장 큰 볼륨이 발생하는 뱅크의 반경과 높이 사이의 비율을 설정해 보겠습니다. 이렇게 하려면 평등 (1)을 다음과 같이 나눕니다. r 2관계식 (2)를 사용하여 에스. 우리는 다음을 얻습니다: . 따라서 높이가 지름과 같은 병의 부피가 가장 큽니다.

때로는 가능한 극점의 왼쪽과 오른쪽에 대한 1차 도함수의 부호를 연구하는 것이 매우 어렵습니다. 그런 다음 다음을 사용할 수 있습니다. 극한값에 대한 두 번째 충분조건:

정리기능을 보자 와이 = 에프(엑스) 그 시점에 x 0가능한 극한 유한 이차 도함수. 그런 다음 기능 y = f(x)시점에 있다 x 0경우 최대 , 그리고 최소의 경우 .

참고 이 정리는 주어진 점에서 함수의 2차 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 경우 점에서 함수의 극값 문제를 해결하지 못합니다.

변곡점

볼록한 부분과 오목한 부분이 분리되는 곡선의 점을 호출합니다. 변곡점.

정리 (변곡점의 필요조건): 함수의 그래프에 변곡점이 있고 함수가 x 0 지점에서 연속적인 2차 도함수를 갖는다고 가정하면,

정리 (변곡점에 대한 충분한 조건): 함수의 왼쪽과 오른쪽에 서로 다른 부호를 갖는 점 x 0 근처에서 2차 도함수를 갖습니다. x 0. 그러면 함수의 그래프는 점에서 변곡점을 갖습니다.

변곡점을 찾는 알고리즘:

1. 함수의 2차 도함수를 구합니다.

2. 2차 도함수를 0으로 동일시하고 방정식을 풉니다. 수직선에 결과 근을 표시합니다. 우리는 일련의 간격을 얻습니다.

3. 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. 두 개의 인접한 간격에서 2차 도함수의 부호가 다르면 주어진 근의 값에 대한 변곡점이 있고, 부호가 동일하면 변곡점이 없습니다.

4. 변곡점의 좌표를 찾습니다.

곡선의 볼록함과 오목함을 검사합니다. 변곡점을 찾아보세요.

1) 이차 도함수를 찾습니다.

2) 불평등 2x 해결<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) x에 대한 부등식 2x>0 x>0을 해결합니다. 곡선은 오목합니다.

4) 2차 도함수를 0과 동일시하는 변곡점을 찾아보겠습니다. 2x=0 x=0. 왜냐하면 x=0 지점에서 2차 도함수는 왼쪽과 오른쪽에 서로 다른 부호를 가지며, x=0은 변곡점의 가로좌표입니다. 변곡점의 세로 좌표를 찾아 보겠습니다.

(0;0) 변곡점.

해결을 위한 연습

1번 이 함수의 파생 상품을 찾고, 주어진 인수 값에 대한 파생 상품의 값을 계산합니다.

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

2번 복잡한 함수의 도함수 찾기:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

3번 문제 해결:

1. x=3 지점에서 포물선에 그려진 접선의 각도 계수를 구합니다.

2. x=1 지점에서 포물선 y=3x 2 -x에 접선과 법선을 그립니다. 방정식을 만들어 보세요.

3. 포물선의 접선 y=x 2 +3x-10이 OX 축과 135 0 각도를 이루는 점의 좌표를 찾습니다.

4. OX 축과의 교차점에서 함수 y=4xx2의 그래프에 대한 접선에 대한 방정식을 만듭니다.

5. x의 어떤 값이 직선 y=x에 평행한 함수 y=x 3 -x의 그래프에 대한 접선이 되는가?

6. S=2t 3 -3t 2 +4 법칙에 따라 점이 직선으로 움직입니다. 3초가 끝나는 지점의 가속도와 속도를 구합니다. 어느 시점에서 가속도가 0이 될까요?

7. S=t 2 -4t+5 법칙에 따라 움직이는 점의 속도는 언제 0과 같습니까?

#4 도함수를 사용하여 함수 탐색:

1. 함수 y = x 2의 단조성을 조사합니다.

2. 증가 및 감소 함수의 간격 찾기 .

3. 함수의 증가와 감소의 간격을 구합니다.

4. 최대 및 최소 기능 탐색 .

5. 극한값에 대한 함수 조사 .

6. 극값에 대한 함수 y=x3을 조사합니다.

7. 극한값에 대한 함수 조사 .

8. 숫자 24를 두 항으로 나누어 곱이 가장 커지도록 하세요.

9. 이 직사각형의 둘레가 가장 작도록 종이에서 100cm 2 면적의 직사각형을 잘라야합니다. 이 직사각형의 변은 무엇이 되어야 합니까?

10. 극값에 대한 함수 y=2x 3 -9x 2 +12x-15를 조사하고 그래프를 구성합니다.

11. 곡선의 오목함과 볼록함을 검사합니다.

12. 곡선의 볼록함과 오목함의 간격 찾기 .

13. 함수의 변곡점을 찾으십시오. a) ; 비) .

14. 함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다.

15. 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다.

16. 기능 탐색 그리고 그것을 계획하십시오.

17. 세그먼트에서 함수 y=x 2 -4x+3의 최대값과 최소값을 찾습니다.

테스트 문제 및 예시

1. 파생물을 정의합니다.

2. 인수 증가란 무엇입니까? 함수 증가?

3. 도함수의 기하학적 의미는 무엇입니까?

4. 차별화란 무엇인가?

5. 파생상품의 주요 특성을 나열하세요.

6. 컴플렉스라고 불리는 기능은 무엇입니까? 뒤집다?

7. 2차 미분의 개념을 제시하시오.

8. 복잡한 함수를 미분하는 규칙을 공식화 하시겠습니까?

9. 물체는 S=S(t) 법칙에 따라 직선으로 움직인다. 다음과 같은 경우 움직임에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

5. 일정 간격으로 함수가 증가합니다. 이로부터 그 도함수는 이 구간에서 양수라는 결론이 나오나요?

6. 함수의 극값이란 무엇입니까?

7. 특정 구간에서 함수의 가장 큰 값은 반드시 최대점의 함수 값과 일치합니까?

8. 이 기능은 에 정의되어 있습니다. x=a 지점이 이 함수의 극점일 수 있습니까?

10. x 0 지점에서 함수의 미분은 0입니다. 이것으로부터 x 0이 이 함수의 극점이라는 결론이 나오나요?

시험

1. 다음 함수의 도함수를 찾습니다.

ㅏ)	이자형)
비)	그리고)
와 함께)	시간)
디)	그리고)

2. 포물선에 대한 접선의 방정식을 쓰십시오. y=x 2 -2x-15: a) 가로좌표가 있는 지점에서 x=0; b) 포물선과 가로축의 교차점.

3. 함수의 증가 및 감소 간격을 결정합니다.

4. 함수를 탐색하고 그래프로 표현하기

5. 시간 t=0에서 s =2e 3 t 법칙에 따라 움직이는 점의 속도와 가속도를 구합니다.

연습 문제에 대한 답변

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (몫 미분 공식을 적용하여 결과를 얻었습니다). 이 예를 다르게 해결할 수 있습니다.

5.

8. 각 항이 12이면 곱이 가장 커집니다.

9. 직사각형의 변의 길이가 10cm이면 직사각형의 둘레가 가장 작아집니다. 정사각형을 잘라야합니다.

17. 세그먼트에서 함수는 다음과 같은 경우에 3과 같은 가장 큰 값을 취합니다. x=0가장 작은 값은 -1과 같습니다. x=2.

문학

1.	Vlasov V.G. 고등 수학에 관한 강의 노트, Moscow, Iris, 96.
2.	타라소프 N.P. 기술 학교를 위한 고등 수학 과정, M., 87
3.	I.I.발루타, G.D. 기술 학교를 위한 Diligul 수학, M., 과학, 90g
4.	I.P.Matskevich, G.P.Svirid 고등 수학, 민스크, 고등. 학교, 93
5.	VS Shchipachev 고등 수학 기초, M. Higher School89
6.	VS Shchipachev 고등 수학, M. 고등 학교 85
7.	V.P.Minorsky 고등 수학 문제 모음, M. Nauka 67g
8.	O.N.Afanasyeva 기술 학교 수학 문제 모음, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik 수학, M.고등학교 91g
10.	N.V. Bogomolov 수학 실용 수업, M. 고등학교 90
11.	경제학자를 위한 H.E. Krynsky 수학, M. 통계 70g
12.	L.G.Korsakova 관리자를 위한 고등 수학, Kaliningrad, KSU, 97.

칼리닌그라드 무역경제대학

주제를 공부하면서

"함수 파생"

080110 "경제 및 회계" 전문 학생, 080106 "금융",
080108 "은행업", 230103 "자동화된 정보 처리 및 관리 시스템"

E.A. Fedorova가 편집함

칼리닌그라드

검토자: Natalya Vladimirovna Gorskaya, 칼리닌그라드 무역 경제 대학 교사

이 매뉴얼은 미분의 기본 개념을 검토합니다. 미분의 개념, 미분의 속성, 분석 기하학 및 역학의 적용, 기본 미분 공식이 제공되고 이론적 자료를 설명하기 위한 예가 제공됩니다. 매뉴얼에는 독립적인 작업을 위한 연습, 이에 대한 답변, 질문 및 중급 지식 제어를 위한 샘플 작업이 보충되어 있습니다. 중등 전문 교육 기관에서 "수학" 과목을 공부하거나, 풀타임, 파트타임, 저녁, 외부 공부 또는 자유 출석을 하는 학생들을 대상으로 합니다.

케이텍
경제 및 회계 PCC

15부, 2006년

소개. 4

지식과 기술에 대한 요구 사항... 5

파생상품의 개념. 5

파생어의 기하학적 의미. 7

파생어의 기계적 의미. 7

차별화의 기본 규칙. 8

기본 기능을 구별하는 공식. 9

역함수를 파생합니다. 9

복잡한 기능의 차별화. 10

더 높은 주문의 파생상품. 열하나

부분 파생 상품. 열하나

도함수를 사용하여 함수를 연구합니다. 열하나

증가 및 감소 기능. 열하나

최대 및 최소 기능. 13

곡선의 볼록함과 오목함. 15

변곡점. 16

함수를 연구하고 그래프를 구성하는 일반적인 방식입니다. 17

해결하기 위한 연습. 17

시험 문제와 예시.. 20

시험. 20

연습 문제의 답.. 21

문학. 23

소개

수학적 분석은 경제학자가 작동하는 함수, 극한, 도함수, 적분, 미분 방정식 등 다양한 기본 개념을 제공합니다. 경제 연구에서는 파생상품을 지칭하기 위해 특정 용어가 자주 사용됩니다. 예를 들어, 에프(엑스)는 요소 비용에 대한 모든 제품의 출력 의존성을 표현하는 생산 함수입니다. 엑스, 그리고 그들은 전화한다 한계생산물; 만약에 g(x)비용 함수가 있습니다. 즉, 기능 g(x)생산량 x에 대한 총 비용의 의존성을 표현한 다음 g'(x)~라고 불리는 한계비용.

경제학의 한계 분석– 생산량, 소비량 등이 변할 때 비용 또는 결과의 변화하는 가치를 연구하기 위한 일련의 기술입니다. 한계값 분석을 기반으로 합니다.

예를 들어, 노동생산성을 찾는다.기능을 알려주세요 당신=유(티), 생산된 제품의 수량을 표현 유일하는 동안 티.시간이 지남에 따라 생산되는 제품의 양을 계산해 봅시다. Δ티=티 1 - 티 0:

유=유(티 1)-유(티 0)=유(티 0 +Δ티)-유(티 0).

평균 노동 생산성생산된 제품의 양과 소비된 시간의 비율, 즉 z 평균 =

작업자 생산성현재 t 0에서 그것이 경향이 있는 한계를 호출합니다. z 평균. ~에 Δt→ 0: .따라서 노동 생산성 계산은 파생 상품 계산으로 귀결됩니다.

생산 단가 케이균질생산은 생산량의 함수이다 엑스, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 K=K(x). 생산량이 다음과 같이 증가한다고 가정하자. Δx. 생산 수량 x+Δx는 생산 비용에 해당합니다. K(x+Δx).이에 따라 제품의 양도 늘어나고 Δx생산비 증가에 해당 ΔK=K(x+Δx)- K(x).

생산 비용의 평균 증가는 ΔK/Δx입니다. 이는 생산량이 증가하면 단위당 생산 비용이 증가하는 것입니다.

한계 ~라고 불리는 한계 생산 비용.