1.6.2 Обробка результатів спостережень та оцінювання похибок вимірювань

Оцінку похибки результату виміру виконують розробки МВИ. Джерелами похибок є модель ОІ, метод вимірювання, СІ, оператор, фактори умов вимірювань, що впливають, алгоритм обробки результатів спостережень. Як правило, похибка результату вимірювання оцінюється за довірчої ймовірності Р= 0,95.

При виборі значення Р необхідно враховувати ступінь важливості результату вимірювань. Наприклад, якщо помилка у вимірі може призвести до загибелі людей або важких екологічних наслідків, значення Р має бути збільшено.

1. Вимірювання з одноразовими спостереженнями. За результат виміру в цьому випадку приймають результат одноразового спостереження х (з введенням поправки, якщо вона є), використовуючи попередньо отримані (наприклад, при розробці МВІ) дані про джерела похибки.

Довірчі межі НВП результату вимірювання Θ( Р) обчислюють за формулою

де k(P) - коефіцієнт, який визначається прийнятою Рі числом m 1складових НВП: Θ( Р) - знайдені нестатистичними методами кордону j-ї складової НСП (кордону інтервалу, всередині якого знаходиться ця складова, що визначаються за відсутності відомостей про ймовірність її знаходження в цьому інтервалі). При Р - 0,90 і Р = 0,95 k(P) дорівнює 0,95 і 1,1 відповідно за будь-якої кількості доданків m 1. При Р = 0,99 значення k(P) наступні (табл. 3.3): Таблиця 3.3

Якщо складові НВП розподілені рівномірно і задані довірчими межами 0(Р), то довірчу межу НВП результату вимірювання обчислюють за формулою

Середнє квадратичне відхилення (СКО) результату виміру з одноразовим спостереженням обчислюють одним із наступних способів:

2. Вимірювання з багаторазовими спостереженнями. Обробку результатів у разі рекомендується розпочати з перевірки відсутність промахів (грубих похибок). Промах - це результат х nокремого спостереження, що входить у ряд із п спостережень, який даних умов вимірювань різко відрізняється від інших результатів цього ряду. Якщо оператор у ході вимірювання виявляє такий результат і достовірно знаходить його причину, він має право його відкинути та провести (за потреби) додаткове спостереження замість відкинутого.

При обробці наявних результатів спостережень довільно відкидати окремі результати не можна, оскільки це може призвести до фіктивного підвищення точності результату виміру. Тому застосовують таку процедуру. Обчислюють середнє арифметичне х результатів спостережень х i за формулою

Потім обчислюють оцінку СКО результату спостереження як

передбачуваного промаху х n від х:

За кількістю всіх спостережень n(включаючи х n) та прийнятому для вимірювання значенню Р(зазвичай 0,95) або будь-якому довіднику але теорії ймовірностей знаходять z( Р, n)нормоване вибіркове відхилення нормального розподілу. Якщо V n< zS(x)то спостереження х n не є промахом; якщо V n > z S(x), то х n промах, що підлягає виключенню. Після виключення х n повторюють процедуру визначення хі S(x)для ряду результатів спостережень, що залишився, і перевірки на промах найбільшого з ряду відхилень від нового значенням, що залишився (обчисленого виходячи з n - 1).

За результат вимірювання приймають середнє арифметичне х [див. формулу (3.9)] результатів спостережень xh Похибка х містить випадкову та систематичну складові. Випадкову складову, що характеризується СКО результату вимірювання, оцінюють за формулою

Приналежність результатів спостережень x i до нормального розподілу при n ≥ 20 легко перевірити, застосувавши правило Зσ: якщо відхилення від хне перевищує З?, то випадкова величина розподілена нормально. Довірчі межі випадкової похибки результату вимірювання за довірчої ймовірності Рзнаходять за формулою

де t - Коефіцієнт Стьюдента.

Довірчі межі Θ( Р) НСП результату вимірювання з багаторазовими спостереженнями визначають точно так само, як і при вимірюванні з одноразовим спостереженням - за формулами (3.3) або (3.4).

Підсумовування систематичної та випадкової складових похибки результату вимірювання при обчисленні Δ( Р) рекомендується здійснювати з використанням критеріїв та формул (3.6-3.8), у яких при цьому S(x)замінюється на S(Х) = S(X)/√n;

3. . Значення вимірюваної величини А знаходять за результатами вимірювань аргументів alf ait ат, пов'язаних з величиною шуканої рівнянням

Вигляд функції визначається при встановленні моделі ОІ.

Шукана величина А пов'язана з вимірюваними аргументами рівнянням

Де b i - Постійні коефіцієнти

Передбачається, що кореляція між похибками вимірів a i відсутня. Результат виміру Аобчислюють за формулою

де а i- Результат виміру а iіз введеними поправками. Оцінку СКО результату виміру S(A)обчислюють за формулою

де S(a i)- Оцінка СКО результату вимірювань a i.

Довірчі межі ∈( Р) випадкової похибки А при нормальному розподілі похибок a i

де t(P, n еф)- Коефіцієнт Стьюдента, що відповідає довірчій ймовірності Р(зазвичай 0,95, у виняткових випадках 0,99) та ефективному числу спостережень n ефобчислюваному за формулою

де n i-число спостережень при вимірі a i.

Довірчі межі Θ( Р) НСП результату такого виміру, суму Θ( Р) та ∈( Р) для одержання остаточного значення Δ( Р) рекомендується обчислювати з використанням критеріїв та формул (3.3), (3.4), (3.6) - (3.8), в яких m i ,Θ i, і S(x)замінюються відповідно на m, b i Θ i, і s(A)
Непрямі виміри при нелінійній залежності.При некорельованих похибках вимірів a iвикористовується метод лінеаризації шляхом розкладання функції ƒ(a 1 ,…,a m) до ряду Тейлора, тобто

де Δ a i = a i - a- Відхилення окремого результату спостереження a iвід a i ; R- Залишковий член.

Метод лінеаризації допустимо, якщо збільшення функції можна замінити її повним диференціалом. Залишковим членом нехтують, якщо

де S(a)- Оцінка СКО випадкових похибок результату вимірювання a i. При цьому відхилення Δ a i(мають бути взяті з можливих значень похибок і такими, щоб вони максимізували R.
Результат виміру Aобчислюють за формулою Â = ƒ(â … m).

Оцінку СКО випадкової складової похибки результату такого непрямого виміру s(Â)обчислюють за формулою

a ∈( P) - За формулою (3.13). Значення n ефкордон НВП Θ( P) та похибка Δ( P) результату непрямого виміру при лінійній залежності обчислюють так само, як і при лінійній залежності, але із заміною коефіцієнтів b iна δƒ/δa i

Метод наведення(Для непрямих вимірювань з нелінійною залежністю) застосовується при невідомих розподілах похибок вимірювань а iта при кореляції між похибками а iдля отримання результату непрямого виміру та визначення його похибки. При цьому передбачається наявність ряду nрезультатів спостережень а ij. вимірюваних аргументів a i. Поєднання а ijотриманих у jексперименті, підставляють у формулу (3.12) та обчислюють ряд значень A jвимірюваної величини A. Результат виміру Â обчислюють за формулою

Оцінку СКО s(Â)- Випадкової складової погнішності Â - обчислюють за формулою

а ∈ ( Р) -за формулою (3.11). Кордони НВП Θ( Р) та похибка Δ( Р) результату вимірювання Â визначають описаними вище способами для нелінійної залежності.

1.1. Визначення метрології.

1.2. Визначення виміру.

1.3. Види засобів вимірів.

1.4. Види та методи вимірювань.

1.5. Точність вимірів.

1.6. Подання результатів вимірів.

1.7. Правила заокруглення.

1.8. Єдність вимірів.

1.9. Висновок у розділі.

2. Оцінка похибок вимірів за заданими метрологічними характеристиками засобів вимірів.

2.1. Нормовані метрологічні характеристики засобів вимірювальної техніки.

2.1.1. Призначення Н.М.Х.

2.1.2. Номенклатура Н.М.Х., прийнятих у час.

2.1.2.1. Н.М.Х., необхідні визначення результату виміру.

2.1.2.2. Н.М.Х., необхідні визначення похибки виміру.

2.1.3. Тенденція розвитку комплексів Н.М.Х.

2.2. Оцінка похибок прямих вимірювань з одноразовими спостереженнями.

2.2.1. Складові похибки виміру.

2.2.2. Підсумовування складових похибки виміру.

2.2.3. Приклади оцінки похибки прямих вимірів.

2.3. Оцінка похибок непрямих вимірів.

2.3.1. складники похибок непрямих вимірів.

2.3.2. Підсумовування похибок.

2.3.3. Приклади оцінки похибок прямих вимірів.

2.4. Оцінка похибок непрямих вимірів.

2.4.1. складники похибок непрямих вимірів.

2.4.2. Підсумовування похибок прямих вимірів

2.4.3. Приклади оцінки похибки непрямих вимірів.

3. Способи зниження похибок вимірів.

3.1. Способи зниження впливу випадкових похибок.

3.1.1. Багаторазові спостереження за прямих вимірів.

3.1.2. Багаторазові спостереження при непрямих вимірах.

3.1.3. Згладжування експериментальних залежностей методом найменших квадратів, при спільних вимірах.

3.2. Способи зниження впливу систематичних похибок.

4. Стандартизація.

Основи метрології та стандартизація.

Тюрін Н.І. Введення у метрологію. - М: Видавництво стандартів, 1976.

1. Основні поняття метрології.

Метрологія порівн.: біологія, геологія, метереологія.

Логос – слово, ставлення (логометр).

«Логія» - наука про...

Метрологія метро? метро – метрополітен (франц.) – буквально: столичний (1863 – Лондон; 1868 – Нью – Йорк; 1900 – Париж; 1935 – Москва)

Метро поліс- метрополій, головне місто.

Метрдотель - метрд, головний, перший - співвідношення, міра верховенства.

Метр - міра довжини, але: метрологія набагато старша за метр; метр «народився» в 1790 р., метр - від грецької - міра.

Метрологія - вчення про заходи (старовинний словник).

"Російська метрологія або таблиця порівняння російських заходів, ваг і монет з французькими".

Лінійні та погонні заходи:

1 вершок = 4.445см;

1 аршин=16вершків=28 дюймів - труби

1 сажень = 3 аршини;

1 верста = 500 сажнів

Заходи місткості:

1 бочка = 40 відер;

1 відро = 10 кухлів (штофів);

1 кружка=10 чарок=2 бутлі=20 шкаликів=1.229 л

Міри ваги:

1 пуд = 40 фунтів = 16.380 кг;

1 фунт = 32 лоти;

1 лот = 3 золотники;

1 золотник = 96 часток = 4.266 р.

"Мала штучка червінчик, а ціна велика".

1 фунт медичної ваги = 12 унцій = 96 драхам = 288 = 5760 граней = 84 золотника.

Скрупульозно:ні грана.

Монети:

1 імперіал = 10 рублів (золотом);

Срібло:карбованець, півтинник, четвертак, двогривенник, гривеньник, п'ятак.

Мідь:трикопієчник, гріш (2 коп.), 1 копійка = 2 грошики = 4 півшки.

Покохав багатий - бідну,

Покохав вчений - дурну,

Покохав рум'яний - бліду,

Золотий - мідну полушку...

М. Цвєтаєва.

Йдеться про поняття, як міри довжини, міри місткості, міри ваги...

Відповідно, існує поняття довжини; місткості, або сучасною мовою - обсягу; ваги, або, як ми тепер знаємо, краще сказати маси, температури тощо.

Як усі ці поняття об'єднати?

Тепер ми говоримо, що все це – фізичні величини.

Як визначити, що таке фізична величина? Як дають визначення у такій точній науці, як, наприклад, математика? Наприклад, у геометрії. Що таке трикутник? Потрібно в ієрархічних сходах понять знайти вищестояще, яке поняття стоїть над поняттям фізична величина? Вищим поняттям є властивість об'єкта.

Довжина, колір, запах, смак, маса – це різні властивості об'єкта, але не всі вони – фізичні величини. Довжина, маса – фізичні величини, а колір, запах – ні. Чому? У чому різниця цих властивостей?

Довжина, маса – це те, що ми вміємо вимірювати. Можна вимірювати довжину столу і з'ясувати, що вона становить стільки метрів. Але не можна виміряти запах, т.к. йому ще встановлено одиниці виміру. Однак запахи можна порівнювати: ця квітка пахне сильніше, ніж ця, тобто. до запаху застосовується поняття більш-менш.

Порівняння властивостей об'єктів за типом більше - менше - це більш примітивна процедура порівняно з виміром чого-небудь. Але це також спосіб пізнання. Існує альтернативне уявлення, коли всі параметри та відносини предметів та явищ позначають як три класи фізичних величин.

До першого класу фізичних величин відносять :

величини, кількості розмірів яких, твердіше, м'якше, холодніше тощо. Твердість (здатність чинити опір проникненню), температура як рівень нагрітості тіла, сила землетрусу.

Другий вигляд: Відношення порядку та еквівалентностіне тільки між розмірами величин, а й між різницями у парах їх розмірів. Час, потенціал, енергія, температура, пов'язана із шкалою термометра.

Третій вид: адитивні фізичні величини.

Адитивними фізичними величинами називаються величини, на безлічі розмірів яких визначено як відносини порядку і еквівалентності, а й операції складання і віднімання.

Операція вважається певної, Якщо її результат теж є розміром тієї ж фізичної величини і є спосіб її технічної реалізації. Наприклад: довжина, маса, термодинамічна температура, сила струму, ЕРС, електричний опір.

Як сприймає світ дитина? Спершу він, звичайно, виміряти нічого не вміє. На першому етапі у нього формуються поняття більше – менше. Потім настає етап, що ближче стоїть до виміру – це рахунок предметів, подій тощо. Тут уже є щось спільне із виміром. Що ж? Те, що результатом рахунку та виміру є число. Чи не співвідношення типу більше - менше, а число. Чим відрізняються ці числа, тобто. число як результат рахунку та число, як результат виміру?

Результат виміру - іменоване число, наприклад 215м. Саме число 2.15 виражає скільки одиниць виміру довжини міститься у цій довжині столу чи іншого предмета. А результат рахунку 38 штук – чогось. Рахунок - це рахунок, а вимір - це вимір.

Так відбувається процес розвитку пізнання світу в дитини, як і приблизно так ішов розвиток первісної людини, тобто. на першому етапі порівняння речей на кшталт більше - менше, потім - рахунок.

Потім настає наступний етап, коли хочеться висловити у вигляді числа щось таке, що не піддається штучному рахунку - обсяг рідини, площа ділянки землі і т.д. щось безперервне, а чи не дискретне.

Отже, вимірюють різні фізичні величини, причому фізична величина - це властивість об'єкта, якісному відношенні загальне багатьом об'єктів, а кількісному відношенні індивідуальне кожному за даного об'єкта.

Чи існує багато фізичних величин? З розвитком людського суспільства їх перелік постійно зростає. Спочатку були лише довжина, площа, обсяг, просторові величини та час, потім додалися механічні - маса, сила, тиск та ін., теплові - температура та ін. У минулому столітті додалися електричні та магнітні величини - сила струму, напруга, опір та ін. В даний час налічується понад 100 фізичних величин. Для стислості, надалі, слово «фізичні» можна опускати і говорити просто Величина..

Концепція величинамістить в собі якіснийознака, тобто. що це за величина, наприклад довжина, та кількіснийознака, наприклад, довжина стала 2.15м. Але ту саму довжину того ж столу можна виразити в інших одиницях, наприклад, у дюймах і вийде інше число. Однак ясно, що кількісний зміст поняття «довжина столу» залишається при цьому незмінним.

У зв'язку з цим запроваджується поняття розмірвеличини та поняття значеннявеличини. Розмір залежить від цього, у яких одиницях виражена величина, тобто. він інваріантенстосовно вибору одиниці.

Формулою розмірностіназивається математичний вираз, що показує, у скільки разів зміниться похідна одиниця за певних змін основних одиниць. Для ознайомлення з побудовою формул розмірності корисно спочатку розглянути випадок, коли різні системи використовують одні й самі основні величини й одні й самі визначальні співвідношення. Такими системами, наприклад, є системи СГС та СІ, у яких для механічних величин основними обрані маса, довжина та час. Ці системи відрізняються лише розміром основних механічних одиниць.

Якщо зі зміною основної одиниці в n разів похідна одиниць і змінюється в n P разів, то кажуть, що дана похідна одиниця має розмірність р щодо основної одиниці.

Найпростіший приклад: розмірність площі чи обсягу тих систем одиниць, де основний є одиниця довжини. Розмірність площі дорівнює двом, розмірність обсягу – трьом, т. до.

У більш складних випадках, якщо одиниця деякої величини має розмірність р , q і r щодо одиниць довжини, маси і часу, то формула розмірності записується у вигляді:

де символи L , М і Т є узагальнені позначення одиниць довжини, маси і сили без конкретного вказівки розміру одиниць. Це означає, що якщо кожну з основних одиниць збільшити у 10 разів, то похідна одиниця збільшується у 10 pqr разів.

Може виявитися, що розмір похідної одиниці залежить від жодної з основних одиниць. У цьому випадку кажуть, що похідна одиниця безрозмірна або має нульову розмірність. За будь-якого вибору основних одиниць формула розмірності є одночленом, складеним із символів основних одиниць, причому ці ступені можуть бути позитивними, негативними, цілими або дробовими.

При утворенні формул розмірності користуватися такими теоремами:

Теорема 1. Якщо числове значення величини дорівнює твору числових значень величин А і В, то розмірність дорівнює твору розмірностей А і В, тобто.

(2.2)

Теорема 2. Якщо числове значення величини дорівнює відношенню числових значень А і В, то розмірність дорівнює відношенню розмірностей А і В, тобто.

Теорема 3. Якщо числове значення величини дорівнює ступеня n числового значення величини А, то розмірність дорівнює ступеня n розмірності А, тобто.

(2.4)

Докази цих теорем дуже прості, що можна проілюструвати доказом першої.

Нехай числове значення дорівнює твору числових значень А і В. При вимірі їх одиницями c 1 , a 1 і b 1 маємо

(2.5)

де C1 = С/c1; A 1 = А/a 1; в = в/b 1 .

Відповідно при вимірюванні тих самих величин одиницями c 2 , a 2 і b 2

(2.6)

де C 2 = С/c 2; A 2 = А/a 2; B 2 = В/b 2 .

Зі зіставлення З, А і В, виражених різними одиницями, отримуємо:

(2.7)

Якщо тепер

(2.8)

(2.9)

(2.10)

що й потрібно було довести.

Аналогічно неважко довести інші дві теореми. Важливо відзначити, що розмірність залежить від наявності чи відсутності у побудові похідної одиниці постійних безрозмірних множників чи безрозмірних величин. Це означає, наприклад, розмірність площі квадрата

(2.11)

та площі кола

(2.12)

будуть однаковими, оскільки коефіцієнт залежить від розміру основних одиниць.

На закінчення розгляду понять розмірності розглянемо, які у формулах розмірності відбудуться при різному виборі основних одиниць. Очевидно, що в цьому випадку у формулах розмірності стоятимуть зовсім інші вирази, оскільки зв'язок похідних одиниць, наприклад, у механіці, істотно зміниться при заміні основної одиниці маси на основну одиницю сили. Наприклад, позначаючи розмірність основної одиниці системи МКГСС-сили символом F отримаємо розмірність маси:

(2.13)

Розмірність енергії у системі МКГСС буде

(2.14)

З цього виразу відразу стає зрозумілою привабливість системи МКГСС для механічних розрахунків, оскільки енергія настільки просто залежить від основних одиниць - сили та довжини.

На закінчення розділу, присвяченому огляду різних систем одиниць, згадаємо, що розмірність похідних одиниць залежить від визначення розміру похідної одиниці. Наприклад, якщо виражати площі плоских фігур у квадратних метрах, коли одиницею площі вибирається площа квадрата зі стороною рівної одиниці довжини, а потім виразити ту ж площу в «круглих» метрах, тобто одиницю площі визначити як площу кола з діаметром, рівним одиниці довжини, то розмірність площі при такому перевизначенні не зміниться і дорівнюватиме .

Як зазначалося вище, у систему СІ включено сім основних, т. е. обраних довільно, одиниць фізичних величин. Ці одиниці та їх позначення наведені у табл. 2.1.

Таблиця 2.1.

Основні одиниці міжнародної системи СІ

Величина		Одиниці СІ
Найменування	Розмірність	Найменування одиниці	Позначення
			міжнародне	російська
Довжина	L	метр	m	м
Маса	M	кілограм	kg	кг
Час	T	секунда	S	з
Сила електричного струму	I	Ампер	A	А
Термодинамічна температура	Θ	Кельвін	K	До
Кількість речовини	N	моль	mol	моль
Сила світла	J	кандела	cd	кд

Основним одиницям системи СІ було надано відповідні визначення. Розглянемо докладніше кожну з цих одиниць з поясненнями так званої реалізації, тобто основних принципів незалежного відтворення в міжнародних еталонах.