Vjačeslav Kovtun je ukrajinski politolog in televizijska zvezda, priljubljena...
Izrek o delni projekciji pravih kotov
Če ravnina pravega kota ni pravokotna in ni vzporedna z ravnino projekcij in je vsaj ena stran vzporedna s to ravnino, potem se pravi kot projicira nanjo brez popačenja.
Naj kotiček ABC– naravnost (slika 65) in stransko sonce|| n, torej projekcija pr|| B.C.. strani AB nadaljujte, dokler se ne preseka z ravnino n in skozi točko TO izvajamo direktno KN|| pr. torej KN || B.C..
Iz tega sledi, da kot BKN- naravnost. Po izreku o treh pravokotnicah je kot bKN– ravna torej kot Kbc= 90°.
riž. 65. Prostorski model pravokotne projekcije
Opomba. Ta izrek o projekciji pravega kota ustreza dvema nasprotnima izrekoma (dokazi niso navedeni).
1. Če je projekcija ravninskega kota pravi kot, bo projicirani kot pravi le, če je vsaj ena od strani tega kota vzporedna z ravnino projekcij.
2. Če projekcija nekega kota, katerega ena stranica je vzporedna s projekcijsko ravnino, predstavlja pravi kot, potem je tudi projicirani kot pravi kot.
Na podlagi teh izrekov je mogoče ugotoviti, da so koti, prikazani na sl. 66, v prostoru - ravne črte.
|
|
riž. 66. Projiciranje pravega kota na Mongejev diagram:
A– ena od stranic kota je vodoravna; b– ena od strani vogala – spredaj
Upoštevajte kot IN(Slika 66 A).
Kot v prostoru IN ravna, ker diagram kaže, da ravna črta AB je vodoravna ( h′|| X) in ∠ a= 90° (v skladu s prvim obratnim izrekom).
Upoštevajte kot IN(Slika 66 b).
Kot v prostoru IN naravnost, ker je ena od njegovih strani sprednja ( AB|| V;ab|| X) in čelno projekcijo ∠ b′ = 90°.
Iz tega izreka sledi preprost zaključek - na premico lahko narišemo pravokotno črto, kjer je premica projicirana v naravni velikosti.
Pri reševanju položajnih in metričnih problemov opisne geometrije je na podlagi teh izrekov mogoče konstruirati dve medsebojno pravokotni ravni črti, kar na koncu omogoča določanje razdalj in konstruiranje medsebojno pravokotnih ravnin.
Razmislimo o več težavah na temo tega gradiva.
Naloga 1. Skozi točko A narišite črto pravokotno na črto M(Slika 67).
Pri analizi grafičnega stanja problema ugotavljamo, da m|| X, kar pomeni, da ravna črta M je čelni ( M|| V).
Zato je treba konstrukcijo želene ravne črte začeti s čelno projekcijo in jo narisati pravokotno na projekcijo m׳, ker je na čelni ravnini projekcij ravna črta M se projicira brez popačenja in na čelno ravnino projekcij V pravi kot med dano in novo zgrajeno ravnino bo projiciran brez popačenja.
1. Konstruirajte čelno projekcijo želenega segmenta a′b′⊥ m′.
2. Določite položaj točke b׳ na projekciji m׳ in s projekcijsko povezavo določimo vodoravno projekcijo b na projekciji m.
3. Konstruirajte vodoravno projekcijo želenega segmenta ab.
riž. 67. Konstrukcija navpičnice na premico M riž. 68. Konstrukcijska višina v ∆ ABC
Naloga 2. Skozi vrh Z nariši višino trikotnika ABC(Slika 68).
rešitev. Analiziramo diagram in opazimo, da je stranica trikotnika AB|| H, njegova horizontalna projekcija pa je prikazana v naravni velikosti.
Zato se mora konstrukcija višine začeti z vodoravno projekcijo.
Vrstni red izvajanja grafičnega dela naloge:
1. Iz točke z narišite segment pravokotno na stran ab.
2. Točka d– višina osnove, CD– horizontalna projekcija višine.
3. Projicirajte točko d na čelno projekcijo stranice a′b′ in dobimo čelno projekcijo točke d′ in zgradite čelno višinsko projekcijo c′d′.
Naloga 3. Določite razdaljo od točke TO na ravno črto n(Slika 69).
rešitev. Treba je opozoriti, da je pri reševanju problemov določanja razdalj potrebno sestaviti ne le projekcije razdalje, temveč tudi določiti njeno naravno vrednost.
Najkrajša razdalja od točke do premice je vrednost navpičnice, narisane iz te točke na premico. Pri analizi diagramov ugotavljamo, da je ravna črta n je frontalna in je prikazana na čelni projekciji brez popačenja.
Zato se mora izdelava pravokotne projekcije začeti z njeno čelno projekcijo.
Vrstni red izvajanja grafičnega dela naloge:
1. Iz točke k′ spustite navpičnico na projekcijo premice n′, razumemo bistvo e′.Čelna projekcija pravokotnice – k′ e′.
2. Dobljeno točko projiciramo na vodoravno projekcijo premice n, dobimo točko e in vodoravna projekcija navpičnice ke.
3. Po projekcijah sodeč naravnost KE splošni položaj. Z metodo pravokotnega trikotnika določimo njegovo naravno velikost | KE|.
Oddaljenost od točke TO na ravno črto n enaka dolžini segmenta - TO O e′.
KE, n = K o e′= 30 mm.
3.5. Posebne linije letala
Ravne črte, ki zasedajo poseben položaj v ravnini:
1. Črte nivoja ravnine.
2. Črte največjega naklona ravnine na projekcijske ravnine.
Črte nivoja ravnine
Črte nivoja ravnine– ravne črte, ki ležijo v dani ravnini in so vzporedne z ravninami projekcij: vodoravne, čelne, profilne ravne črte.
Vodoravna ravnina - premica, ki leži v dani ravnini in je vzporedna s projekcijsko ravnino n. Ne smemo pozabiti, da so vse vodoravne črte iste ravnine med seboj vzporedne.
Horizontalna projekcija horizontale je vzporedna z vodoravno sledjo ravnine, vodoravna sled ravnine je ničelna horizontala ravnine. Konstruirati vodoravno črto v ravnini R, podana s sledmi, mora biti na čelni projekciji P V označite točko d" –čelna projekcija vodoravne sledi (sl. 67 A). Skozenj narišemo čelno projekcijo vodoravnice vzporedno z osjo X. Na osi X poiščite vodoravno projekcijo d. Ravna črta, potegnjena iz točke d vzporedno s potjo R N ravnina, predstavlja horizontalno projekcijo horizontale.
Na sl. 70 b horizontalne projekcije narišemo skozi projekcije točke D in pike 1 naravnost EU ravnina, ki jo določa trikotnik CDE. Konstrukcija horizontale se vedno začne s čelno projekcijo d"1", ki je vzporedna z osjo X. Z uporabo lastnosti pripadnosti poiščite vodoravno projekcijo točke 1 in izvedite vodoravno projekcijo vodoravnice.
|
|
riž. 70. Vodoravna ravnina:
A– v letalu R, ki ga dajejo sledi; b– v ravnini, določeni z ∆ СDE
Sprednja ravnina– premica, ki leži v ravnini in je vzporedna z ravnino projekcij V(Slika 71).
Konstrukcija čelne in profilne črte poteka podobno kot konstrukcija horizontale, pri čemer se opira na znane lastnosti projekcij nivojskih črt in lastnost pripadnosti, začnejo pa se s projekcijo, ki je vzporedna z ustrezno osjo projekcije. Vse fronte iste ravnine so med seboj vzporedne. Enako lahko rečemo za profilne ravne črte nivoja ravnine.
Profil ravne črte nivoja ravnine je ravna črta, ki leži v dani ravnini in je vzporedna s profilno ravnino projekcij (slika 72).
|
|
riž. 71. Sprednja ravnina:
A– v letalu R, ki ga dajejo sledi; b– v ravnini, določeni z ∆ СDE
riž. 72. Ravna profilna linija BITI ravnina ∆ ABC
Položaj premice v prostoru je popolnoma določen s katerima koli dvema njenima točkama. V splošnem je projekcija premice premica, v posameznem primeru pa točka, če je premica pravokotna na projekcijsko ravnino. Za izdelavo projekcij črte je dovolj, da imamo bodisi projekciji dveh njenih točk bodisi projekcijo ene točke črte in smer črte v prostoru.
Glede na njihovo lego v prostoru glede na projekcijske ravnine se ravne črte delijo na ravne črte splošnega položaja, ravni in štrline .
2.2.1. Splošne črte. To so ravne črte, ki niso niti vzporedne niti pravokotne na projekcijske ravnine. Projekcije A 1 B 1, A 2 B 2 in A 3 B 3 segment AB naravnost AB splošni položaj (slika 2.18, A) nagnjena pod ostrimi koti na osi x 12, y 13 in z 23. Dolžine projekcij segmentov te premice so vedno manjše od segmenta samega. Trislikovna kompleksna risba črte v splošnem položaju, sestavljena iz dveh točk A in IN, prikazano na sliki 2.18, b.
2.2.2. Ravne ravni. To so ravne črte, vzporedne z eno od projekcijskih ravnin - P 1,P 2 oz P 3. Posledično imamo tri vrste nivojskih črt:
1) vodoravna raven a (vodoravno ), vzporedno P 1(ravno a s segmentom AB na njej na sl. 2.19, A, b);
2) sprednji nivo (čelni ), vzporedno P 2(ravno b s segmentom CD na njej na sl. 2.20, A);
3) ravni profila , vzporedno P 3(ravno z s segmentom EF na njej na sl. 2.20, b). Na sl. 2.20 vizualne podobe ravnih črt b in c glede na projekcijske ravnine niso prikazane.
Projekcije istoimenskih ravnih odsekov ravni so projicirane v polni velikosti, nasprotne pa so vzporedne z osemi, ki jih ločujejo od istih. Poleg tega je za vodoravno istoimenska projekcija vodoravna, različna pa čelna in profilna itd.
Naklonski koti ravnih črt a,b in c na projekcijske ravnine P 1, P 2 in P 3 običajno je ustrezno označiti α , β in γ (na sliki 2.19 vogali α , β in γ ni prikazano).
2.2.3. Projiciranje ravnih črt. To so ravne črte, pravokotne na eno od projekcijskih ravnin in vzporedne z drugima dvema. Posledično imamo tri vrste štrlečih črt:
1) vodoravno štrleče ravno, pravokotno P 1(ravno A s segmentom AB na njej na sl. 2.21, A);
2) sprednja projekcija ravno, pravokotno P 2(ravno b s segmentom CD na njej na sl. 2.21, b);
3)profilno projektiranje ravno, pravokotno P 3(ravno c s segmentom E.F. na njej na sl. 2.21, V).
Na sl. 2.21 so projekcije nevidnih točk v oklepajih. Vprašanje določanja vidnosti točk na projekcijah bo podrobneje obravnavano v nadaljevanju v odstavku "Prečkanje črt".
Za projekcijske premice so istoimenske projekcije točke, kar izhaja iz bistva projekcijske premice, vzdolž katere se izvaja projekcija.
Vsaka drugačna projekcija štrleče ravne črte je pravokotna na os, ki jo ločuje od istoimenske projekcije, drugačna projekcija segmenta, ki se nahaja na ravni črti, pa je naravna velikost tega segmenta.
2.2.4. Določitev naravne vrednosti daljice v splošnem položaju. Dejansko velikost ravne črte določenega položaja je mogoče takoj določiti na kompleksni risbi te ravne črte.
Za določitev naravne vrednosti odseka ravne črte v splošnem položaju lahko uporabite prej obravnavano (glejte razdelek 2.1.2) način zamenjave projekcijskih ravnin
. Slika 2.22 prikazuje definicijo naravne velikosti ( N.V..) segment AB ravna črta v splošnem položaju in določanje kotov njenega naklona Π 1(kotiček α
) in do Π 2(kotiček β
) na ta način.
Dodatno letalo Π 4 izvajati vzporedno AB (x 14 ||A 1 B 1). Naravnost AB spremenjen v čelni položaj, torej A 4 B 4– naravna velikost AB.
Z risanjem dodatne ravnine Π 5 ||AB(x 25 ||A 2 B 2), lahko določite tudi dejansko velikost AB. A 5 B 5– naravna velikost AB. Naravnost AB v sistemu Π 2-Π 5 postala vodoravna.
Slika 2.23 prikazuje definicijo naravne velikosti AB z uporabo metode trikotnika.
Naravna vrednost segmenta je enaka hipotenuzi pravokotnega trikotnika, katerega ena noga je ena od projekcij segmenta, druga pa je algebrska razlika v oddaljenosti njegovih koncev od ravnine. Π 1(ΔZ).
2.2.5. Medsebojna lega črt. Premice v prostoru so lahko vzporedne, sekajo in križajo.
Vzporedne črte. Iz lastnosti vzporednih projekcij izhaja, da če so premice v prostoru vzporedne, potem so vsi trije pari njihovih istoimenskih projekcij vzporedni. Očitna je tudi obratna situacija: če sta projekciji istoimenskih premic vzporedni, potem sta premici v prostoru vzporedni.
Za določitev vzporednosti premic v splošnem primeru zadostuje vzporednost dveh parov istoimenskih projekcij. Če je določena vzporednost nivelet, mora biti eden od dveh parov vzporednih projekcij projekcija na istoimensko ravnino.
Na sl. 2.24 prikazuje projekcije vzporednih črt a in b splošni položaj, kjer a 1 ║ b 1 in a 2 ║ b 2. Na sl. 2.25 prikazuje dve vodoravni črti c in d. Pri horizontalah so čelne in profilne projekcije vedno vzporedne z osemi, ki jih ločujejo od istoimenskih horizontalnih projekcij, tj. c 2║d 2║x 12 in c 3║d 3║y 3. Toda njihove vodoravne projekcije niso vzporedne, tj. c 1╫d 1. Zato naravnost c in d ne vzporedno.
Presekajoče črte. Dve sekajoči se premici ležita v isti ravnini in imata eno skupno točko. Iz lastnosti vzporednih projekcij je znano, da če točka leži na premici, potem njene projekcije ležijo na projekcijah premice. Če točka leži na obeh premicah, to je na presečišču črt, mora njena projekcija ležati na dveh projekcijah istih črt hkrati in torej na presečišču projekcij črt.
Torej, če segmenti AB in CD dve črti se sekata v točki K, nato pa projekcije segmentov A 1 B 1 in C 1 D 1 sekajo v točki K 1, ki je projekcija točke K(slika 2.26, A). Zato, če se projekcije istoimenskih premic sekajo v točkah, ki ležijo na isti premici projekcijske povezave, potem se premice sekajo v prostoru (slika 2.26, b).
Da ugotovimo, ali se črti sekata ali ne, je dovolj, da je ta pogoj izpolnjen za katerikoli dve projekciji. Izjema je primer, ko je ena od sečišč profilna raven. V tem primeru je za preverjanje presečišča črt potrebno izdelati projekcijo profila.
Pusti skozi točko A potrebno je narisati vodoravno črto b, ki seka črto a(slika 2.27, A). Če želite to narediti, skozi točko A 2 izvajati b 2 ║ x 12(1. etapa) do križišča z a 2 na točki K2(Slika 2.27, b). Nato uporabite projekcijsko komunikacijsko linijo a 1 poišči bistvo K 1(2. korak) in povezovanje pik A 1 in K 1(faza 3), dobimo b 1.
Prečkanje ravnih črt.
Prečkati mejo a in b ne ležijo v isti ravnini in zato niso vzporedni in nimajo skupnih točk (sl. 2.28, A). Torej, če se črte križajo, potem vsaj en par njihovih istoimenskih projekcij ni vzporeden in točke presečišča istoimenskih projekcij ne ležijo na isti liniji projekcijske povezave (sl. 2.28 , b).
Vsako tako presečišče je projekcija dveh točk, ki pripadata ravnim črtam; ti dve točki ležita na istem štrlečem žarku in se imenujeta tekmujejo .
Položaj premice v prostoru je določen s položajem njenih dveh točk. Zato je za izdelavo projekcij ravne črte dovolj, da zgradimo projekciji dveh točk, ki ji pripadata, in ju povežemo med seboj.
Glede na položaj glede na projekcijske ravnine ločimo ravne črte splošnega in posebnega položaja.
Ravne črte zasebna situacija vzporedno z eno ali dvema projekcijskima ravninama.
Ravne ravni črte- ravne črte, vzporedne z eno projekcijsko ravnino in nagnjene na drugi dve. Obstajajo tri vrste takih linij.
sch, klical vodoravno ravni in označeni s črko Za(slika 3.1). Njegov segment je projiciran na ravnino sch brez popačenja. Kot med vodoravno projekcijo Za " in os OH enak kotu naklona f 2 vodoravne ravne črte na ravnino n 2, in kot med njegovo projekcijo Za" in os OU - naklonski kot f 3 na ravnino ts 3. Vse točke na isti vodoravni premici imajo enako koordinato ъ
Premica, vzporedna z ravnino n 2, klical čelni ravna in označena s črko / (slika 3.2). Njegov segment je projiciran brez popačenja na ravnino 7G 2 - koti naklona čelne črte NA RAVNINO so projicirani na isto ravnino v njihovi resnični velikosti L(kota f[) in ravnine l 3 (kota f 3). Vse točke na isti čelni premici imajo enako koordinato u.
Ravnica, vzporedna z ravnino l 3, se imenuje profil naravnost R(slika 3.3). Njegov segment je projiciran na ravnino l 3 brez popačenja. Na tem istem
ravnina se projicira v pravo vrednost kotov naklona premice profila NA RAVNINO 7Gí (kota (pi) in ravnine l 2 (kota (p 2). Vse točke premice profila imajo enako koordinato X.
Projiciranje ravnih črt- ravne črte, pravokotne na eno projekcijsko ravnino in vzporedne na drugi dve.
Premica, pravokotna na ravnino l, se imenuje vodoravno štrleče(slika 3.4). Projicira se na ravnino l i v obliki točke, njegova čelna in profilna projekcija pa sta vzporedni z osjo 01. Odsek vodoravno štrleče ravne črte se projicira brez popačenja na ravnini l 2 in lz. Zato je vodoravno štrleča linija hkrati frontalna in profilna R ravna črta.
Ravnica, pravokotna na ravnino l 2, se imenuje čelno štrleče(slika 3.5). Projicira se na ravnino l 2 v obliki točke, njegova vodoravna in profilna projekcija pa sta vzporedni z osjo OU. Odsek čelno štrleče ravne črte se projicira brez popačenja na ravnini Li in l 3. Čelno štrleča linija je prav tako vodoravna Za in profil R naravnost.
Ravnica, pravokotna na ravnino l 3, se imenuje projektiranje profila(slika 3.6). Njegova profilna projekcija je točka, vodoravna in čelna projekcija pa sta
na i so vzporedni z osjo OH. Odsek take premice je projiciran v pravo vrednost na ravnino A] in 712, zato je tudi vodoraven IN, in čelno/ravno.
Ravna črta, ki ni vzporedna z nobeno od glavnih projekcijskih ravnin, se imenuje premica splošni položaj(slika 3.7). Na površini p, P 2 in 7G 3 je njen segment projiciran popačeno, saj je nagnjen proti njima in so tudi naklonski koti na risbi popačeni. Tako iz risbe ravne črte v splošnem položaju ni mogoče izmeriti dolžine njenega segmenta ali naklonskih kotov na projekcijske ravnine. Za določitev teh količin so potrebne dodatne konstrukcije.
Neposredne projekcije.
Reverzibilnost risanja
Reverzibilnost risanja. S projiciranjem na eno projekcijsko ravnino dobimo sliko, ki ne omogoča nedvoumne določitve oblike in dimenzij prikazanega predmeta. Projekcija A 1 (glej sliko 1.4.) Ne določa položaja same točke v prostoru, saj ni znano, kako daleč je oddaljena od projekcijske ravnine P 1. V takih primerih govorimo o nepovratnost risanje , saj je s takšno risbo nemogoče reproducirati original. Za odpravo negotovosti so slike dopolnjene s potrebnimi podatki. V praksi se uporabljajo različne metode za dopolnitev risbe z eno projekcijo.
POGLAVJE 2
Ravno črto lahko obravnavamo kot rezultat presečišča dveh ravnin (slika 2.1, 2.2.).
Ravna črta v prostoru je brezmejna. Omejeni del črte imenujemo odsek.
Projiciranje črte se zmanjša na konstrukcijo projekcij dveh poljubnih točk le-te, saj dve točki popolnoma določata položaj črte v prostoru. S spuščanjem navpičnic iz točk A in B (sl. 2.2.) na presečišče z ravnino P 1 se določita njihovi vodoravni projekciji A 1 in B 1. Odsek A 1 B 1 – vodoravna projekcija premice AB. Podoben rezultat dobimo, če iz poljubnih točk premice AB potegnemo navpičnico na P 1 . Kombinacija teh navpičnic (štrlečih žarkov) tvori vodoravno štrlečo ravnino a, ki seka z ravnino P 1 vzdolž premice A 1 B 1 - vodoravno projekcijo premice AB. Na podlagi istih premislekov dobimo čelno projekcijo A 2 B 2 premice AB (slika 2.2).
Ena projekcija premice ne določa njenega položaja v prostoru. Dejansko je segment A 1 B 1 (slika 2.1.) lahko projekcija poljubnega segmenta, ki leži v projekcijski ravnini a. Položaj črte v prostoru je enolično določen s kombinacijo njenih dveh projekcij. Če rekonstruiramo iz vodoravne točke A 1 B 1 in čelnih P 1 in P 2, dobimo dve projicirani ravnini a in b, ki se sekata vzdolž ene ravne črte AB.
Kompleksna risba (slika 2.3) prikazuje odsek ravne črte AB v splošnem položaju, kjer je A 1 B 1 vodoravna, A 2 B 2 čelna in A 3 B 3 profilna projekcija odseka. Za izdelavo tretje projekcije segmenta. Za izdelavo tretje projekcije odseka ravne črte z uporabo dveh podatkov lahko uporabite enake metode kot za izdelavo tretje projekcije točke: projekcijo (slika 2.4.), koordinato (slika 2.5.) in uporabo konstantne ravnine. črta risbe (slika 2.6.).
2.2. Položaj premice glede na projekcijsko ravnino.
Na sliki 1.5. upodablja paralelepiped z odrezanim vrhom in poljubno trikotno piramido. Robovi paralelepipeda in piramide zavzemajo različne položaje v prostoru glede na projekcijske ravnine. Če želite sestaviti in brati risbe, morate biti sposobni analizirati položaje ravne črte. Po položaju v prostoru se ravne črte delijo na zasebne ravne črte in splošne ravne črte.
Neposredne zasebne določbe lahko projektivna in direktna raven.
Projekcijske premice so tiste, ki so pravokotne na eno od projekcijskih ravnin, tj. vzporedna z dvema drugima ravninama P 1, se imenuje vodoravno štrleča ravna črta; njena vodoravna projekcija A 1 B 1 je točka, njena čelna in profilna projekcija pa sta premici, vzporedni z osjo O z. Ravna črta CD (slika 2.7.), pravokotna na projekcijsko ravnino P 2, se imenuje čelno štrleča ravna črta; njena čelna projekcija C 2 D 2 je točka, njena vodoravna in profilna projekcija pa sta premici, vzporedni z osjo Oy. Ravna črta MN (slika 2.8.), pravokotna na projekcijsko ravnino P 3, se imenuje profil, ki štrli ravno črto; njegova profilna projekcija M 3 N 3 je točka, vodoravna in čelna projekcija pa sta premici, vzporedni z osjo Ox.
Posledično je na eni od projekcijskih ravnin projicirana ravna črta upodobljena kot točka, na drugih dveh pa v obliki segmentov, ki zavzamejo vodoravni ali navpični položaj, katerih velikost je vodoravna ali navpična, katerih velikost je enaka naravni vrednosti samega ravninskega odseka.
Ravne črte so črte, vzporedne z eno od projekcijskih ravnin. Ravnica AB (slika 2.9.), vzporedna z vodoravno ravnino projekcij P 1, se imenuje vodoravna premica ali na kratko vodoravna. Njegova čelna projekcija A 2 B 2 je vzporedna z osjo projekcij Ox, vodoravna projekcija A 1 B 1 pa je enaka naravni vrednosti odseka ravne črte (A 1 B 1 = AB). Kot b med vodoravno projekcijo A 1 B 1 in osjo Ox je enak naravni vrednosti kota naklona ravne črte AB na projekcijsko ravnino P 2.
Ravna črta CD (slika 2.10.), Vzporedna s čelno ravnino projekcij P 2, se imenuje čelna ravna črta ali na kratko fronta. Njegova vodoravna projekcija C 1 D 1 je vzporedna z osjo Ox, njena čelna projekcija C 2 D 2 pa je enaka naravni vrednosti odseka premice (C 2 D 2 = CD). Kot a med čelno projekcijo C 2 D 2 in osjo Ox je enak dejanskemu kotu naklona premice na projekcijsko ravnino P 1.
Ravna črta MN (sl. 2.11.), vzporedna s profilno ravnino projekcij P 3, se imenuje profilna ravnina. Njegova čelna M 2 N 2 in horizontalna M 1 N 1 projekcija sta pravokotni na os Ox, profilna projekcija pa je enaka naravni velikosti segmenta (M 3 N 3 = MN). Kota a in b med projekcijo profila in osi Oy 3 in Oz sta enaka dejanski vrednosti kotov naklona ravne črte na ravnino projekcij P 1 in P 2.
Posledično se ravne črte nivoja projicirajo na eno od projekcijskih ravnin v naravni velikosti, na drugi dve pa v obliki segmentov zmanjšane velikosti, ki zasedajo navpični ali vodoravni položaj na risbi. Iz risbe lahko določite kote naklona teh ravnih črt na projekcijske ravnine.
Če ravna črta leži v projekcijski ravnini, potem ena od njenih projekcij (isto ime) sovpada s samo ravno črto, drugi dve pa sovpadata z osmi projekcij. Na primer, ravna črta AB (sl. 2.12) leži v ravnini P 1. Njena vodoravna projekcija A 1 B 1 se združi z ravno črto AB, čelna projekcija A 2 B 2 pa z osjo Ox. Takšna ravna črta se imenuje ničelna vodoravna črta, saj je višina njenih točk (koordinata z) enaka nič.
Direktna linija v splošnem položaju imenovana ravna črta, nagnjena na vse projekcijske ravnine. Njene projekcije tvorijo ostre ali tope kote z osmi Ox, Oy in Oz, tj. nobena od njegovih projekcij ni vzporedna ali pravokotna na osi. Velikost projekcij premice v splošnem položaju je vedno manjša od naravne velikosti samega segmenta. Neposredno iz risbe, brez dodatnih konstrukcij, ni mogoče določiti dejanske velikosti ravne črte in njenega naklona na projekcijske ravnine.
Če točka leži na premici, potem so projekcije točke na iste projekcije premice in na skupno vezno premico.
Na sl. 2.13. točka C leži na premici AB, saj sta njeni projekciji C 1 in C 2 na vodoravni A 1 B 1 oziroma na čelni A 2 B 2 projekciji premice. Točki M in N ne pripadata premici, saj ena od projekcij vsake točke ni na projekciji istoimenske premice.
Projekcije točke delijo projekcije premice v enakem razmerju, v katerem sama točka deli odsek premice, tj. S tem pravilom razdelite dani odsek ravne črte v zahtevanem razmerju. Na primer na sl. 2.14. premico EF deli točka K v razmerju 3:5. Razdelitev je narejena na način, znan iz geometrijskega risanja.
V tem članku bomo našli odgovore na vprašanja o tem, kako ustvariti projekcijo točke na ravnino in kako določiti koordinate te projekcije. V teoretičnem delu se bomo oprli na koncept projekcije. Opredelili bomo pojme in podali informacije z ilustracijami. Pridobljeno znanje utrdimo z reševanjem primerov.
Projekcija, vrste projekcij
Za udobje gledanja prostorskih figur se uporabljajo risbe, ki prikazujejo te figure.
Definicija 1
Projekcija figure na ravnino– risanje prostorske figure.
Očitno obstaja več pravil, ki se uporabljajo za izdelavo projekcije.
Definicija 2
Projekcija– postopek konstruiranja risbe prostorskega lika na ravnini s konstrukcijskimi pravili.
Projekcijska ravnina- to je ravnina, v kateri je zgrajena slika.
Uporaba določenih pravil določa vrsto projekcije: osrednji oz vzporedno.
Poseben primer vzporedne projekcije je pravokotna projekcija ali ortogonalna: v geometriji se uporablja predvsem. Zaradi tega se v govoru pridevnik »pravokotno« pogosto izpušča: v geometriji preprosto rečejo »projekcija figure« in s tem mislijo na konstrukcijo projekcije z metodo pravokotne projekcije. V posebnih primerih se seveda lahko še kaj dogovori.
Opozorimo na dejstvo, da je projekcija figure na ravnino v bistvu projekcija vseh točk te figure. Zato je za preučevanje prostorskega lika na risbi potrebno pridobiti osnovno veščino projiciranja točke na ravnino. O čem bomo govorili spodaj.
Spomnimo se, da najpogosteje v geometriji, ko govorimo o projekciji na ravnino, mislimo na uporabo pravokotne projekcije.
Naredimo konstrukcije, ki nam bodo dale možnost, da dobimo definicijo projekcije točke na ravnino.
Recimo, da je podan tridimenzionalni prostor, v njem pa sta ravnina α in točka M 1, ki ne pripada ravnini α. Skozi dano točko M nariši premico A pravokotna na dano ravnino α. Točko presečišča premice a in ravnine α označimo kot H 1, po konstrukciji bo služila kot osnova navpičnice, spuščene iz točke M 1 na ravnino α.
Če je podana točka M 2, ki pripada dani ravnini α, bo M 2 služila kot projekcija same sebe na ravnino α.
Definicija 3
- to je bodisi sama točka (če pripada dani ravnini) bodisi osnova navpičnice, spuščene iz dane točke na dano ravnino.
Iskanje koordinat projekcije točke na ravnino, primeri
Naj bo v tridimenzionalnem prostoru podan: pravokotni koordinatni sistem O x y z, ravnina α, točka M 1 (x 1, y 1, z 1). Treba je najti koordinate projekcije točke M 1 na dano ravnino.
Rešitev očitno izhaja iz zgornje definicije projekcije točke na ravnino.
Označimo projekcijo točke M 1 na ravnino α kot H 1 . Po definiciji je H 1 presečišče dane ravnine α in premice a, narisane skozi točko M 1 (pravokotno na ravnino). Tisti. Koordinate projekcije točke M1, ki jih potrebujemo, so koordinate presečišča premice a in ravnine α.
Tako je za iskanje koordinat projekcije točke na ravnino potrebno:
Pridobite enačbo ravnine α (če ni navedena). Tukaj vam bo v pomoč članek o vrstah ravninskih enačb;
Določite enačbo premice a, ki poteka skozi točko M 1 in je pravokotna na ravnino α (preučite temo o enačbi premice, ki poteka skozi dano točko pravokotno na dano ravnino);
Poiščite koordinate presečišča premice a in ravnine α (članek - iskanje koordinat presečišča ravnine in premice). Dobljeni podatki bodo koordinate, ki jih potrebujemo za projekcijo točke M 1 na ravnino α.
Oglejmo si teorijo s praktičnimi primeri.
Primer 1
Določite koordinate projekcije točke M 1 (- 2, 4, 4) na ravnino 2 x – 3 y + z - 2 = 0.
rešitev
Kot vidimo, nam je podana enačba ravnine, tj. ni ga treba prevajati.
Zapišimo kanonične enačbe premice a, ki poteka skozi točko M 1 in je pravokotna na dano ravnino. V te namene določimo koordinate usmerjevalnega vektorja premice a. Ker je premica a pravokotna na dano ravnino, je smerni vektor premice a normalni vektor ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0. torej a → = (2, - 3, 1) – smerni vektor premice a.
Zdaj pa sestavimo kanonične enačbe premice v prostoru, ki poteka skozi točko M 1 (- 2, 4, 4) in ima smerni vektor a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Za iskanje zahtevanih koordinat je naslednji korak določitev koordinat presečišča premice x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 in ravnine 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Za te namene preidemo s kanoničnih enačb na enačbe dveh sekajočih se ravnin:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Ustvarimo sistem enačb:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
In rešimo jo s Cramerjevo metodo:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Tako bodo zahtevane koordinate dane točke M 1 na dani ravnini α: (0, 1, 5).
odgovor: (0 , 1 , 5) .
Primer 2
V pravokotnem koordinatnem sistemu O x y z tridimenzionalnega prostora so podane točke A (0, 0, 2); B (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) in M 1 (-1, -2, 5). Treba je najti koordinate projekcije M 1 na ravnino A B C
rešitev
Najprej zapišemo enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Zapišimo parametrične enačbe premice a, ki bo potekala skozi točko M 1 pravokotno na ravnino A B C. Ravnina x – 2 y + 2 z – 4 = 0 ima normalni vektor s koordinatami (1, - 2, 2), tj. vektor a → = (1, - 2, 2) – smerni vektor premice a.
Zdaj, ko imamo koordinate točke črte M 1 in koordinate vektorja smeri te črte, zapišemo parametrične enačbe črte v prostoru:
Nato določimo koordinate presečišča ravnine x – 2 y + 2 z – 4 = 0 in premice
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ
Da bi to naredili, v enačbo ravnine nadomestimo:
x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ
Zdaj z uporabo parametričnih enačb x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ najdemo vrednosti spremenljivk x, y in z za λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Tako bo imela projekcija točke M 1 na ravnino A B C koordinate (- 2, 0, 3).
odgovor: (- 2 , 0 , 3) .
Ločeno se posvetimo vprašanju iskanja koordinat projekcije točke na koordinatne ravnine in ravnine, ki so vzporedne s koordinatnimi ravninami.
Podane naj bodo točke M 1 (x 1, y 1, z 1) in koordinatne ravnine O x y, O x z in O y z. Koordinate projekcije te točke na te ravnine bodo: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) in (0, y 1, z 1). Upoštevajmo tudi ravnine, vzporedne z danimi koordinatnimi ravninami:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
In projekcije dane točke M 1 na te ravnine bodo točke s koordinatami x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 in - D A, y 1, z 1.
Pokažimo, kako je bil dosežen ta rezultat.
Za primer definirajmo projekcijo točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravnino A x + D = 0. Preostali primeri so podobni.
Dana ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino O y z in i → = (1, 0, 0) je njen normalni vektor. Isti vektor služi kot smerni vektor premice, pravokotne na ravnino O y z. Potem bodo parametrične enačbe ravne črte, narisane skozi točko M 1 in pravokotne na dano ravnino, imele obliko:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Poiščimo koordinate presečišča te premice in dane ravnine. V enačbo A x + D = 0 najprej nadomestimo enačbe: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 in dobimo: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Nato izračunamo zahtevane koordinate z uporabo parametričnih enačb premice z λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
To pomeni, da bo projekcija točke M 1 (x 1, y 1, z 1) na ravnino točka s koordinatami - D A, y 1, z 1.
Primer 2
Določiti je treba koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na koordinatno ravnino O x y in na ravnino 2 y - 3 = 0.
rešitev
Koordinatna ravnina O x y bo ustrezala nepopolni splošni enačbi ravnine z = 0. Projekcija točke M 1 na ravnino z = 0 bo imela koordinate (- 6, 0, 0).
Enačbo ravnine 2 y - 3 = 0 lahko zapišemo kot y = 3 2 2. Sedaj samo zapišite koordinate projekcije točke M 1 (- 6, 0, 1 2) na ravnino y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
odgovor:(- 6 , 0 , 0) in - 6 , 3 2 2 , 1 2
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
