Napaka približka. Relativna napaka približnega števila

rezultat meritve

Napaka merilnega rezultata nam omogoča, da določimo tiste rezultate, ki so zanesljivi. Pri izračunu vrednosti napake, zlasti z uporabo kalkulatorjev, se vrednost napake dobi z veliko število znaki. To ustvarja vtis visoke merilne natančnosti, kar ni res, saj so začetni podatki za izračun največkrat standardizirane vrednosti napak uporabljenega SI, ki so označene le z eno ali dvema pomembnima številkama. Posledično končna vrednost izračunane napake ne sme vsebovati več kot dveh pomembnih številk. V meroslovju veljajo naslednja pravila:

1. Napaka merilnega rezultata je označena z dvema pomembnima števkama, če je prva 3 ali manj, in z eno, če je prva številka 4 ali več.

Za pomembne števke števila se štejejo vse števke od prve števke na levi, ki ni nič, do zadnje števke na desni, pri čemer se ničle, zapisane kot faktor 10 n, ne upoštevajo.

2. Merilni rezultat se zaokroži na isto decimalno mesto, na katerem se konča zaokrožena absolutna vrednost napake. (Na primer, rezultat je 85,6342, napaka 0,01. Rezultat je zaokrožen na 85,63. Isti rezultat z napako znotraj 0,012 je treba zaokrožiti na 85,634).

3. Zaokroževanje se izvede le pri končnem odgovoru, vsi predhodni izračuni pa se izvedejo z eno ali dvema dodatnima števkama.

4. Zaokrožiti je treba takoj na želeno število pomembnih številk, postopno zaokroževanje vodi do napak.

Pri zaokroževanju vrednosti številske napake in rezultatov meritev je treba upoštevati naslednja splošna pravila zaokroževanja.

Dodatne števke v celih številih se nadomestijo z ničlami, v decimalkah pa se zavržejo. (Na primer, število 165245 je pri ohranjanju štirih pomembnih številk zaokroženo na 165200, število 165,245 pa je zaokroženo na 165,2).

Če se decimalni ulomek konča z ničlami, se te zavržejo samo do števke, ki ustreza števki napake. (Na primer, rezultat meritve je 235,200, napaka 0,05. Rezultat je zaokrožen na 235,20. Isti rezultat z napako znotraj 0,015 je treba zaokrožiti na 235,200).

Če je prva (šteto od leve proti desni) števk, zamenjanih z ničlami ​​ali zavrženih, manjša od 5, preostale števke ne spremeniti .

Če je prva od teh števk 5 in ji ne sledi nobena števka ali ničla, potem če je zadnja številka v številu, ki ga zaokrožujemo, sodo ali nič, ostane nespremenjeno , Če liho - poveča se za eno . (Na primer, število 1234,50 je zaokroženo na 1234, število 8765,50 pa je zaokroženo na 8766).

Če je prva številka, ki jo je treba nadomestiti z ničlami ​​ali zavreči, večja od 5 ali enaka 5, vendar ji sledi pomembna številka, potem se zadnja preostala številka poveča za eno . (Na primer, število 6783,6 je ob ohranitvi štirih pomembnih številk zaokroženo na 6784, število 12,34520 pa je zaokroženo na 12,35).

Pri zapisovanju merilnega rezultata brez navedbe napake moramo biti še posebej previdni, saj je zapis rezultata 2,4 10 3 V in 2400 V niso enaki . Prvi vnos pomeni da so številke tisoč in sto voltov pravilne in prava vrednost je lahko v območju od 2,351 kV do 2,449 kV. Vnos 2400 pomeni, da so pravilne tudi enote volti, zato je prava vrednost napetosti lahko v območju od 2399,51 V do 2400,49 V.

Zato zapisovanje rezultata brez označevanja napake zelo nezaželeno .

Končno lahko pravila za beleženje rezultatov meritev formuliramo na naslednji način.

1) Med vmesnimi izračuni se vrednosti napak ohranijo na tri ali štiri pomembne številke.

2) Končna vrednost napake in rezultat se zaokrožita v skladu z zgoraj navedenimi pravili.

3) Pri posameznih tehničnih meritvah, ko se upošteva samo glavna napaka SI (SI se uporabljajo v normalnih delovnih pogojih), se rezultat zapiše v obliki:

(Na primer rezultat meritve napetosti
B, napaka
B. Rezultat lahko zapišemo kot:)

4) Pri posameznih tehničnih meritvah v obratovalnih pogojih, ko se glavne in dodatne napake upoštevajo v skladu s standardnimi podatki o SI in je nastala napaka določena s formulo (1.35), je rezultat zapisan v obliki:

5) Pri statističnih meritvah, ko je v obliki intervala zaupanja določena samo vrednost naključne napake normalno porazdeljenih podatkov, se rezultat zapiše v skladu z (1.31):

Če so meje intervala zaupanja asimetrične, so označene ločeno.

na primer

6) Pri statističnih meritvah, ko so ocenjene meje neizključenih sistematičnih napak rezultata (NSE) in interval zaupanja naključne napake normalno porazdeljenih podatkov, vendar se rezultat uporablja kot vmesni za iskanje drugih vrednosti ​(na primer pri statističnih posrednih meritvah) ali je namenjena primerjavi z drugimi rezultati podobnega merilnega eksperimenta, se rezultat zapiše v skladu z (1.39):

če
, potem je to dodatno navedeno, kot v 5. odstavku.

Če so meje NSP ali meje intervala zaupanja asimetrične, so označene ločeno:

7) Če so med merjenjem pridobljene ocene napak pod pogoji, določenimi v klavzuli 6, vendar je rezultat dokončen in ni namenjen nadaljnji analizi in primerjavi z drugimi rezultati, potem se zapiše v skladu z (1.41):

Kje
določeno s formulo (1.40),

če
, to je dodatno navedeno, kot v 5. odstavku.

8) Pri statističnih meritvah, ko so ocenjene meje NSP in interval zaupanja naključne napake, vendar je pri obdelavi rezultatov ugotovljen porazdelitveni zakon, ki ni normalen, ocene vrednosti merilnega rezultata in intervala zaupanja naključne napake najdemo z ustreznimi formulami, rezultat je predstavljen v obliki, ki je podobna predstavitvi rezultata na strani 6, vendar je dodatno podana informacija o vrsti porazdelitvenega zakona eksperimentalnih podatkov.

9) Če se, kot v odstavku 8, obdelajo rezultati statičnih meritev in je vnaprej znano, da se zakon porazdelitve eksperimentalnih podatkov razlikuje od običajnega, vendar se ne izvede noben ukrep za identifikacijo vrste realnega zakona za iz nekega razloga se lahko rezultat predstavi v obliki, podobni predstavitvi rezultata v odstavku 6, vendar se interval zaupanja naključne napake določi v skladu s priporočili GOST 11.001-73 kot
z verjetnostjo zaupanja
.

Rezultat bi lahko izgledal na primer takole:

(pri
);
;
;
.

Verjetnost zaupanja, pri kateri je določen skupni ERP -
, v tem primeru se lahko razlikuje od
.

Pri izračunu vrednosti sistematičnih, naključnih in skupnih napak, zlasti pri uporabi elektronskega kalkulatorja, dobimo vrednost z velikim številom znakov. Vendar se vhodni podatki za te izračune vedno poročajo z eno ali dvema pomembnima številkama. Dejansko je razred točnosti instrumenta na njegovi lestvici označen z največ dvema pomembnima ciframa in standardnega odklona ni smiselno pisati z več kot dvema pomembnima ciframa, saj natančnost te ocene pri 10 meritvah ni večja. kot 30 %. Posledično je treba v končni vrednosti izračunane napake pustiti le prvi eno ali dve pomembni števki. Upoštevati je treba naslednje. Če se dobljeno število začne s številko 1 ali 2, potem zavrženje druge številke povzroči zelo veliko napako (do 30–50%), kar je nesprejemljivo. Če se dobljeno število začne na primer s številko 9, potem je ohranitev drugega znaka, to je označevanje napake, na primer 0,94 namesto 0,9, napačna informacija, saj izvirni podatki ne zagotavljajo takšne natančnosti.

Posledično lahko oblikujemo pravila zaokroževanja izračunana vrednost napake in dobljen rezultat eksperimentalne meritve:

1. Absolutna napaka merilnega rezultata je označena z dvema pomembnima številkama, če je prva 1 ali 2, in eno, če je prva 3 ali več.

2. Povprečna vrednost izmerjene vrednosti se zaokroži na isto decimalno mesto, na katerem se konča zaokrožena vrednost absolutne napake.

3. Dovolj je, da relativno napako, izraženo v odstotkih, zapišete z dvema pomenljivima številkama.

4. Zaokroževanje se izvede le pri končnem odgovoru, vsi predhodni izračuni pa se izvedejo z enim dodatnim znakom.

primer:
Na voltmetru razreda točnosti 2,5 z mejo merjenja 300 V Izvedenih je bilo več ponovljenih meritev iste napetosti. Izkazalo se je, da so vse meritve dale enak rezultat 267,5 V.

Odsotnost razlik med znaki pomeni, da je naključna napaka zanemarljiva, tako da skupna napaka sovpada s sistematično (glej sliko 1a).

Najprej poiščemo absolutno in nato relativno napako. Absolutna napaka kalibracije naprave je:

Ker je prva pomembna številka absolutne napake večja od tri, je treba to vrednost zaokrožiti na 8 V. Relativna napaka:

V vrednosti relativne napake je treba shraniti dve pomembni števki: 2,8 %.

Tako mora končni odgovor poročati o »Izmerjeni napetosti U=(268+8) V z relativno napako dU=2,8 % ”.

Pri izvajanju izračunov je pogosto treba zaokrožiti števila, tj. pri zamenjavi s številkami z manj pomembnimi številkami.

Obstajajo trije načini zaokroževanja številk:

Zaokrožimo navzdol na k Tha pomembna cifra je sestavljena iz zavrženja vseh števk od (k+1) th.

Zaokroževanje navzgor se od zaokroževanja navzdol razlikuje po tem, da se zadnja shranjena številka poveča za eno.

Boljše zaokroževanje se od zaokroževanja razlikuje po tem, da se zadnja številka, ki jo je treba obdržati, poveča za ena samo, če je prva števka, ki jo je treba zavreči, večja od 4.

Izjema: če se zaokroževanje z najmanjšo napako zmanjša na zavrženje samo ene števke 5, se zadnja ohranjena številka ne spremeni, če je soda, in se poveča za 1, če je liha.

Iz zgornjih pravil za zaokroževanje približnih števil izhaja, da napaka, ki jo povzroči zaokroževanje z najmanjšo napako, ne presega polovice enote zadnje ohranjene števke, pri zaokroževanju s primanjkljajem ali presežkom pa je lahko napaka večja od polovice enote. zadnje ohranjene števke, vendar ne več kot cela enota tega praznjenja.

Poglejmo si to na naslednjih primerih.

1. Napaka seštevka. Pustiti x A, pri-- nekaj približka vrednosti b. Pustiti X in pri-- absolutne napake ustreznih aproksimacij X in pri. Poiščimo mejo absolutne napake h a+b zneski x+y, kar je približek vsote a+b.

a = x + x,

b = y + y.

Seštejmo ti dve enakosti in dobimo

a + b = x + y + x + y.

Očitno je napaka v vsoti približkov x in pri enaka vsoti napak členov, tj.

(x + y) = x + y

Znano je, da je modul vsote manjši ali enak vsoti modulov členov. Zato

(x + y) = x + y x + l

Iz tega sledi, da absolutna napaka vsote aproksimacij ne presega vsote absolutnih napak členov. Posledično lahko vsoto meja absolutnih napak členov vzamemo kot mejo absolutne napake vsote.

Po določitvi meje absolutne napake vrednosti A skozi h a, in vrednosti b skozi h b bo imel

h a+b = h a + h b

2. Napaka razlike. Naj sta x in y napaki približkov x oziroma y količin a in b.

a = x + x,

b = y + y.

Odštejemo drugo od prve enakosti, dobimo

a - b = (x - y) + (x - y)

Očitno je napaka razlike med aproksimacijami enaka razliki med napakama minuend in subtrahend, tj.

(x - y) = x - y),

(x - y) = x + (-y)

In potem, razmišljanje na enak način kot v primeru dodajanja, bomo imeli

(x - y) = x + (-y) x + l

Iz tega sledi, da absolutna napaka razlike ne presega vsote absolutnih napak minuenda in subtrahenda.

Mejo absolutne napake razlike lahko vzamemo kot vsoto meja absolutnih napak minuend in subtrahend. torej.

h a-b = h a + h b (9)

Iz formule (9) sledi, da meja absolutne napake razlike ne more biti manjša od meje absolutne napake posameznega približka. To vodi do pravila za odštevanje približkov, ki se včasih uporablja pri izračunih.

Pri odštevanju števil, ki so približki določenih količin, mora rezultat pustiti toliko števk za decimalno vejico, kot je približek z najmanjše številoštevilke za decimalno vejico.

3. Napaka izdelka. Razmislite o produktu števil X in pri, ki so približki količin a in b. Označimo z x napaka približka X, in skozi pri-- napaka približka pri,

a = x + x,

b = y + y.

Če pomnožimo ti dve enakosti, dobimo

Popolna napaka izdelka xy enako

In zato

Obe strani dobljene neenakosti delimo z xy, dobimo

Ob upoštevanju, da je modul produkta enak produktu modulov faktorjev, bomo imeli

Tu leva stran neenakosti predstavlja relativno napako produkta xy, -- relativna napaka približka X, in je relativna napaka približka pri. Posledično, če zavržemo majhno vrednost tukaj, dobimo neenakost

Tako relativna napaka produkta približkov ne presega vsote relativnih napak faktorjev. Iz tega sledi, da je vsota meja relativnih napak faktorjev meja relativne napake produkta, tj.

E ab =E a +E b (10)

Iz formule (10) sledi, da meja relativne napake produkta ne more biti manjša od meje relativne napake najmanj natančnega faktorja. Zato tukaj, tako kot v prejšnjih korakih, ni smiselno shranjevati prevelikega števila pomembnih številk v faktorjih.

Včasih je pri izračunih koristno uporabiti naslednje pravilo za zmanjšanje količine dela: Pri množenju približkov z različnim številom pomembnih števk mora rezultat ohraniti toliko pomembnih števk, kot jih ima približek z najmanjšim številom pomembnih števk.

4. Napaka količnika. Če je x približek količine a, katerega napaka je x, in je y približek količine b z napako y, potem

Najprej izračunajmo absolutno napako količnika:

in nato relativna napaka:

Upoštevajoč to l malo v primerjavi z l, se lahko absolutna vrednost ulomka šteje za enako ena. Potem

Iz zadnje formule sledi, da relativna napaka količnika ne presega vsote relativnih napak dividende in delitelja. Posledično lahko predpostavimo, da je meja relativne napake količnika enaka vsoti meja relativnih napak dividende in delitelja, tj.

5. Napaka stopnje in korena. 1) Naj u = a n, Kje n je naravno število in naj bo x. Potem, če E a-- meja relativne aproksimacijske napake x količine a, To

in zato

Tako je meja relativne napake stopnje enaka produktu meje relativne napake osnove in eksponenta, tj.

E u = n E a (11)

2) Naj kje n-- naravno število in pustimo Oh.

Po formuli (11)

in zato

napaka odšteti izračun

Tako je meja relativne napake korena n diplomo in n krat manjša od meje relativne napake radikalnega števila.

6. Inverzni problem približnih izračunov. V neposrednem problemu je potrebno najti približno vrednost funkcije u=f(x,y,...,n) z uporabo danih približnih vrednosti argumentov

in mejo napak h a, ki se izraža skozi napake argumentov določene funkcije

h u = (h x , h l , …, h z ) (12)

V praksi je pogosto treba rešiti inverzni problem, pri katerem je treba ugotoviti, s kakšno natančnostjo je treba določiti vrednosti argumentov x, y, …, z za izračun ustreznih funkcijskih vrednosti u = f(x, y, …, z) z vnaprej določeno natančnostjo h u .

Tako so pri reševanju inverznega problema iskane meje meje napake argumentov, povezanih z dano mejo napake funkcije h u enačbe (12), reševanje inverznega problema pa je reducirano na sestavljanje in reševanje enačbe h u = (h x , h l , …, h z ) relativno h x , h l , …, h z. Takšna enačba ima neskončno število rešitev ali pa sploh nima rešitev. Težava se šteje za rešeno, če je najdena vsaj ena rešitev take enačbe.

Za rešitev inverznega problema, ki je pogosto negotov, je treba vnesti dodatne pogoje o razmerjih iskanih napak, na primer jih šteti za enake in s tem reducirati problem na enačbo z eno neznanko.

Ukvarjanje z neskončnimi izračuni decimalke, zaradi udobja je treba te številke približati, tj. zaokrožiti. Približne številke dobimo tudi z različnimi meritvami.

Koristno je vedeti, koliko se približna vrednost števila razlikuje od njegove natančne vrednosti. Jasno je, da čim manjša je ta razlika, tem bolje, bolj natančno je izvedena meritev oziroma izračun.

Za ugotavljanje točnosti meritev (izračunov) se uporablja koncept, kot je npr napaka približka. Imenujejo ga drugače absolutna napaka. Napaka približka je razlika po modulu med točno vrednostjo števila in njegovo približno vrednostjo.

Če je a točna vrednost števila, b pa njegova približna vrednost, potem je napaka približka določena s formulo |a – b|.

Predpostavimo, da smo kot rezultat meritev dobili število 1,5. Vendar pa je kot rezultat izračuna po formuli natančna vrednost te številke 1,552. V tem primeru bo napaka aproksimacije enaka |1,552 – 1,5| = 0,052.

Pri neskončnih ulomkih je aproksimacijski pogrešek določen z isto formulo. Namesto točnega števila je zapisan sam neskončni ulomek. Na primer |π – 3,14| = |3,14159... – 3,14| = 0,00159... . Tu se izkaže, da je napaka približka izražena z iracionalnim številom.

Kot je znano, lahko aproksimacijo izvedemo tako s pomanjkanjem kot s presežkom. Enako število π pri aproksimaciji s primanjkljajem z natančnostjo 0,01 je enako 3,14, pri aproksimaciji s presežkom z natančnostjo 0,01 pa 3,15. Razlog, zakaj izračun uporablja približek svoje pomanjkljivosti, je uporaba pravil zaokroževanja. V skladu s temi pravili, če je prva številka, ki jo je treba zavreči, pet ali večja od pet, se izvede presežni približek. Če manj kot pet, potem zaradi pomanjkanja. Ker je tretja številka za decimalno vejico števila π 1, se pri približevanju z natančnostjo 0,01 izvaja s pomanjkljivostjo.

Dejansko, če izračunamo napake približka 0,01 števila π s pomanjkanjem in presežkom, dobimo:

|3,14159... – 3,14| = 0,00159...
|3,14159... – 3,15| = 0,0084...

Od 0,00159 ...

Ko govorimo o aproksimacijski napaki, pa tudi pri sami aproksimaciji (s presežkom ali pomanjkanjem), je navedena njena natančnost. Torej je treba v zgornjem primeru s številom π povedati, da je enako številu 3,14 z natančnostjo 0,01. Navsezadnje modul razlike med samim številom in njegovo približno vrednostjo ne presega 0,01 (0,00159 ... ≤ 0,01).

Podobno je π enako 3,15 z natančnostjo 0,01, saj je 0,0084... ≤ 0,01. Če pa govorimo o večji natančnosti, na primer do 0,005, potem lahko rečemo, da je π enak 3,14 z natančnostjo 0,005 (saj je 0,00159... ≤ 0,005). Tega ne moremo trditi glede na približek 3,15 (saj je 0,0084 ... > 0,005).

Absolutna in relativna napaka števil.

Kot značilnosti točnosti približnih količin katerega koli izvora so uvedeni koncepti absolutnih in relativnih napak teh količin.

Označimo z a približek točnega števila A.

Določite. Količina se imenuje napaka približnega števila a.

Opredelitev. Absolutna napaka približno število a imenujemo količina
.

Praktično natančna številka A običajno ni znana, vendar lahko vedno navedemo meje, znotraj katerih se absolutna napaka spreminja.

Opredelitev. Največja absolutna napaka približno število a imenujemo najmanjša zgornja meja za količino , ki jih je mogoče najti s to metodo pridobivanja številka.

V praksi, kot izberite eno od zgornjih meja za , čisto blizu najmanjšega.

Zaradi
, To
. Včasih pišejo:
.

Absolutna napaka je razlika med rezultatom meritve

in prava (realna) vrednost izmerjena količina.

Absolutna napaka in največja absolutna napaka ne zadostujeta za opredelitev točnosti meritve ali izračuna. Kvalitativno je velikost relativne napake pomembnejša.

Opredelitev. Relativna napaka Približno število imenujemo količina:

Opredelitev. Največja relativna napaka približna številka a recimo količini

Ker
.

Tako relativna napaka pravzaprav določa velikost absolutne napake na enoto izmerjenega ali izračunanega približnega števila a.

Primer. Zaokrožite točna števila A na tri pomembne številke, določite

absolutni D in relativni δ pogrešek dobljenega približka

podano:

Najti:

∆-absolutna napaka

δ – relativna napaka

rešitev:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

odgovor:=0,027; δ=0,203 %

2. Decimalni zapis približnega števila. Pomembna številka. Pravilna števnost števil (definicija pravilnih in pomembnih števk, primeri; teorija razmerja med relativno napako in številom pravilnih števk).

Pravilni znaki številk.

Opredelitev. Pomembna števka približnega števila a je katera koli števka, ki ni nič, in nič, če se nahaja med pomembnimi števkami ali je predstavnik shranjenega decimalnega mesta.

Na primer, v številki 0,00507 =
imamo 3 pomembne številke in v številu 0,005070=
pomembne številke, tj. ničla na desni, ki ohranja decimalno mesto, je pomembna.

Odslej se dogovorimo, da pišemo ničle na desno, če so le pomembne. Potem, z drugimi besedami,

Vse števke a so pomembne, razen ničel na levi.

V decimalnem številskem sistemu lahko vsako število a predstavimo kot končno ali neskončno vsoto (decimalni ulomek):

Kje
,
- prva pomembna številka, m - celo število, ki se imenuje najpomembnejše decimalno mesto števila a.

Na primer, 518,3 =, m=2.

Z uporabo zapisa uvedemo koncept pravilnih decimalnih mest (v pomembnih številkah) približno -

na 1. dan.

Opredelitev. Rečeno je, da so v približnem številu a oblike n prve pomembne števke ,

kjer je i= m, m-1,..., m-n+1 so pravilne, če absolutna napaka tega števila ne presega polovice enote števke, izražene z n-to pomembno števko:

Sicer zadnja številka
imenovano dvomljivo.

Pri pisanju približnega števila brez navedbe njegove napake je obvezno, da so zapisana vsa števila

bili zvesti. Ta zahteva je izpolnjena v vseh matematičnih tabelah.

Izraz "n pravilnih števk" označuje le stopnjo točnosti približnega števila in ga ne smemo razumeti tako, da prvih n pomembnih števk približnega števila a sovpada z ustreznimi števkami točnega števila A. Na primer, za števila A = 10, a = 9,997, vse pomembne števke so različne, vendar ima število a 3 veljavne pomembne števke. Dejansko je tukaj m=0 in n=3 (najdemo ga z izbiro).