Vrstice drugega reda. Krivulje drugega reda

To je splošno sprejeta standardna oblika enačbe, ko v nekaj sekundah postane jasno, kateri geometrijski objekt določa. Poleg tega je kanonična oblika zelo priročna za reševanje številnih praktičnih nalog. Tako na primer po kanonični enačbi "ravna" ravna, prvič, takoj je jasno, da je to ravna črta, in drugič, točka, ki ji pripada, in smerni vektor sta preprosto vidna.

Očitno, katerikoli Vrstica 1. reda predstavlja ravno črto. V drugem nadstropju nas ne čaka več hišnik, ampak veliko bolj pestra družba devetih kipov:

Klasifikacija črt drugega reda

S pomočjo posebnega nabora dejanj se vsaka enačba črte drugega reda reducira na eno od naslednjih vrst:

( in sta pozitivna realna števila)

1) je kanonična enačba elipse;

2) je kanonična enačba hiperbole;

3) je kanonična enačba parabole;

4) – namišljeno elipsa;

5) - par sekajočih se črt;

6) - par namišljeno sekajoče se črte (z edino pravo presečiščem v izhodišču);

7) - par vzporednih črt;

8) - par namišljeno vzporedne črte;

9) je par sovpadajočih črt.

Nekateri bralci bodo morda dobili vtis, da je seznam nepopoln. Na primer, v odstavku številka 7 enačba določa par neposredno, vzporedna z osjo, in postavlja se vprašanje: kje je enačba, ki določa premice, vzporedne z osjo y? Odgovori ne velja za kanon. Ravne črte predstavljajo isto standardno ohišje, zasukano za 90 stopinj, dodaten vnos v klasifikacijo pa je odveč, saj ne prinaša nič bistveno novega.

Tako obstaja devet in samo devet različnih tipov vodov 2. reda, vendar so v praksi najpogostejši elipsa, hiperbola in parabola.

Poglejmo najprej elipso. Kot ponavadi se osredotočim na tiste točke, ki imajo velik pomen za reševanje problemov in če potrebujete podrobno izpeljavo formul, dokaze izrekov, si oglejte na primer učbenik Bazylev / Atanasyan ali Aleksandrov ..

Elipsa in njena kanonična enačba

Črkovanje ... prosim, ne ponavljajte napak nekaterih uporabnikov Yandexa, ki jih zanima "kako zgraditi elipso", "razlika med elipso in ovalom" in "elebsova ekscentričnost".

Kanonična enačba elipse ima obliko , kjer so pozitivna realna števila in . Kasneje bom oblikoval definicijo elipse, zdaj pa je čas, da si oddahnemo od pogovora in rešimo skupno težavo:

Kako sestaviti elipso?

Ja, vzemi in samo nariši. Naloga je običajna in velik del učencev se z risbo ne spopade povsem kompetentno:

Primer 1

Konstruirajte elipso, podano z enačbo

rešitev: enačbo najprej pripeljemo v kanonično obliko:

Zakaj prinesti? Ena od prednosti kanonične enačbe je, da vam omogoča takojšnjo določitev oglišča elipse, ki so na točkah . Preprosto je videti, da koordinate vsake od teh točk izpolnjujejo enačbo .

AT ta primer :


Odsek črte klical glavna os elipsa;
odsek črte – manjša os;
število klical velika pol osi elipsa;
število – manjša pol os.
v našem primeru: .

Če si želite hitro predstavljati, kako izgleda ta ali ona elipsa, samo poglejte vrednosti "a" in "be" njene kanonične enačbe.

Vse je v redu, urejeno in lepo, vendar obstaja eno opozorilo: risbo sem naredil s programom. In lahko rišete s katero koli aplikacijo. Vendar v kruti realnosti na mizi leži kos papirja, po rokah pa nam plešejo miši. Ljudje z umetniškim talentom se seveda lahko prepirajo, vendar imate tudi miši (čeprav manjše). Človeštvo ni zaman izumilo ravnilo, šestilo, kotomer in druge preproste pripomočke za risanje.

Zaradi tega je malo verjetno, da bi lahko natančno narisali elipso, če poznamo le oglišča. Še vedno je v redu, če je elipsa majhna, na primer s polosemi. Druga možnost je, da zmanjšate merilo in s tem dimenzije risbe. Toda v splošnem primeru je zelo zaželeno najti dodatne točke.

Obstajata dva pristopa za konstruiranje elipse - geometrijski in algebraični. Ne maram graditi s šestilom in ravnilom zaradi kratkega algoritma in precejšnje nereda risbe. V nujnih primerih se obrnite na učbenik, v resnici pa je veliko bolj racionalno uporabiti orodja algebre. Iz enačbe elipse na osnutku hitro izrazimo:

Enačba se nato razdeli na dve funkciji:
– definira zgornji lok elipse;
– določa spodnji lok elipse.

Vsaka elipsa je simetrična glede na koordinatne osi, pa tudi glede na izhodišče. In to je super – simetrija je skoraj vedno znanilec brezplačnika. Očitno je dovolj, da se ukvarjamo s 1. koordinatno četrtino, zato potrebujemo funkcijo . Predlaga iskanje dodatnih točk z abscisami . Na kalkulatorju smo zadeli tri SMS-e:

Seveda je tudi prijetno, da če pride do resne napake v izračunih, se bo to takoj pokazalo med gradnjo.

Na risbi označite točke (rdeča barva), na ostalih lokih simetrične točke (modra barva) in celotno podjetje previdno povežite s črto:


Začetno skico je bolje narisati tanko in tanko in šele nato pritisniti na svinčnik. Rezultat bi morala biti precej spodobna elipsa. Mimogrede, bi radi vedeli, kakšna je ta krivulja?

Vrstice drugega reda

ravne črte, kartezični pravokotne koordinate ki so zadovoljni algebrska enačba 2. stopnja

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Enačba (*) morda ne določa dejanske geometrijske podobe, vendar zaradi splošnosti v takih primerih pravimo, da določa namišljeno linearno predstavitev. n Odvisno od vrednosti koeficientov splošna enačba(*) se lahko transformira z vzporedno translacijo izhodišča in zasuka koordinatnega sistema za določen kot na enega od 9 spodnjih kanoničnih pogledov, od katerih vsak ustreza določenemu razredu črt. točno,

nezlomljive črte:

y 2 = 2px - parabole,

prelomne vrstice:

x 2 - a 2 \u003d 0 - pari vzporednih črt,

x 2 + a 2 \u003d 0 - pari namišljenih vzporednih črt,

x 2 = 0 - pari sovpadajočih vzporednih črt.

Raziskava pogleda L. in. lahko izvedemo brez redukcije splošne enačbe na kanonično obliko. To dosežemo s skupnim upoštevanjem vrednot t.i. osnovne invariante L.v. n - izrazi, sestavljeni iz koeficientov enačbe (*), katerih vrednosti se ne spremenijo z vzporednim prenosom in vrtenjem koordinatnega sistema:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Tako je na primer za elipse kot nerazpadajoče črte značilno dejstvo, da je zanje Δ ≠ 0; pozitivna vrednost invariantne δ razlikuje elipse od drugih vrst nepadajočih črt (za hiperbole δ

Tri glavne invariante Δ, δ in S določajo LV. (razen v primeru vzporednih premic) do gibanja (glej Gibanje) evklidske ravnine: če so ustrezne invariante Δ, δ in S dveh premic enake, potem se takšne premice lahko prekrivajo z gibanjem. Z drugimi besedami, te premice so enakovredne glede na skupino gibanj ravnine (metrično enakovredne).

Obstajajo klasifikacije L. z vidika drugih skupin transformacij. Tako sta relativno bolj splošni kot skupina gibanj - skupina afinih transformacij (glej afine transformacije) - kateri koli dve premici, definirani z enačbami iste kanonične oblike, enakovredni. Na primer, dva podobna L. in. n. (glej podobnost) veljajo za enakovredne. Povezave med različnimi afinimi razredi linearnih c.v. nam omogoča vzpostavitev klasifikacije z vidika projektivne geometrije (glej projektivna geometrija), v kateri elementi v neskončnosti ne igrajo posebne vloge. Pravi nerazpadljivi L. in. itd.: elipse, hiperbole in parabole tvorijo en projektivni razred - razred realnih ovalnih premic (ovalov). Prava ovalna premica je elipsa, hiperbola ali parabola, odvisno od tega, kako se nahaja glede na neskončno premico: elipsa seka nepravilno premico v dveh namišljenih točkah, hiperbola v dveh različnih realnih točkah, parabola se dotika nepravilne premice ; obstajajo projektivne transformacije, ki te premice popeljejo eno v drugo. Obstaja samo 5 projektivnih ekvivalenčnih razredov L.v. n. Natančno,

nedegenerirane črte

(x 1, x 2, x 3- homogene koordinate):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - pravi oval,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - namišljeni oval,

degenerirane črte:

x 1 2 - x 2 2= 0 - par realnih črt,

x 1 2 + x 2 2= 0 - par namišljenih črt,

x 1 2= 0 - par sovpadajočih realnih črt.

A. B. Ivanov.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Oglejte si, kaj je "vrstice drugega reda" v drugih slovarjih:

Ravnine, katerih pravokotne koordinate točk zadovoljujejo algebraično enačbo 2. stopnje. Med črtami drugega reda so elipse (zlasti krogi), hiperbole, parabole ... Velik enciklopedični slovar

Ravnine, katerih pravokotne koordinate točk zadovoljujejo algebraično enačbo 2. stopnje. Med črtami drugega reda so elipse (zlasti krogi), hiperbole, parabole. * * * VRSTICE DRUGEGA REDA VRSTICE DRUGEGA REDA,… … enciklopedični slovar

Ravne črte, pravokotne koordinate točk k px zadoščajo algebram. urnij 2. stopnje. Med L. in. n. elipse (zlasti krogi), hiperbole, parabole ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Ravna črta, kartezične pravokotne koordinate, da roj zadosti algebraiki. enačba 2. stopnje Enačba (*) morda ne določa dejanske geometrije. podobo, vendar za ohranitev splošnosti v takih primerih pravijo, da določa ... ... Matematična enciklopedija

Množica točk tridimenzionalnega realnega (ali kompleksnega) prostora, katerih koordinate v kartezičnem sistemu zadoščajo algebraiku. enačba 2. stopnje (*) Enačba (*) morda ne določa dejanske geometrijske. slike, v takšnih ... ... Matematična enciklopedija

Ta beseda, ki se zelo pogosto uporablja v geometriji ukrivljenih črt, ima ne povsem določen pomen. Ko se ta beseda uporablja za nezaprte in nerazvejane ukrivljene črte, potem veja krivulje pomeni vsako neprekinjeno posamezno ... ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Premice drugega reda, dva premera, od katerih vsak razpolavlja tetive te krivulje, vzporedno z drugim. SD igrajo pomembno vlogo v splošni teoriji črt drugega reda. Z vzporedno projekcijo elipse v krog njene S. d. ... ...

Premice, ki jih dobimo s presekom pravilnega krožnega stožca z ravninami, ki ne potekajo skozi njegovo oglišče. K. s. je lahko treh vrst: 1) rezalna ravnina seka vse generatorje stožca na točkah ene njegove votline; vrstica…… Velika sovjetska enciklopedija

Premice, ki jih dobimo s presekom pravilnega krožnega stožca z ravninami, ki ne potekajo skozi njegovo oglišče. K. s. je lahko treh vrst: 1) rezalna ravnina seka vse generatorje stožca na točkah ene od njegovih votlin (slika, a): črta presečišča ... ... Matematična enciklopedija

Oddelek za geometrijo. Osnovni pojmi algebrske geometrije so najenostavnejše geometrijske slike (točke, premice, ravnine, krivulje in ploskve drugega reda). Glavna raziskovalna sredstva v A. g. so metoda koordinat (glej spodaj) in metode ... ... Velika sovjetska enciklopedija

knjige

• Kratek tečaj analitične geometrije, Efimov Nikolaj Vladimirovič. Predmet proučevanja analitične geometrije so figure, ki so v kartezičnih koordinatah podane z enačbami prve ali druge stopnje. Na ravnini so to premice in premice drugega reda. ...

8.3.15. Točka A leži na premici. Razdalja od točke A do ravnine

8.3.16. Napišite enačbo za premico, ki je simetrična premici

glede na ravnino .

8.3.17. Sestavite enačbe projekcij na ravnino naslednje vrstice:

a) ;

b)

v) .

8.3.18. Poiščite kot med ravnino in premico:

a) ;

b) .

8.3.19. Poiščite točko, ki je simetrična točki glede na ravnino, ki poteka skozi premice:

in

8.3.20. Točka A leži na premici

Razdalja od točke A do premice enako . Poiščite koordinate točke A.

§ 8.4. KRIVULJE DRUGEGA REDA

Vzpostavimo pravokotni koordinatni sistem na ravnini in obravnavamo splošno enačbo druge stopnje

pri čemer .

Množica vseh točk v ravnini, katerih koordinate zadoščajo enačbi (8.4.1), se imenuje ukrivljen (linija) drugega reda.

Za vsako krivuljo drugega reda obstaja pravokotni koordinatni sistem, imenovan kanoničen, v katerem ima enačba te krivulje eno od naslednjih oblik:

1) (elipsa);

2) (namišljena elipsa);

3) (par namišljenih sekajočih se črt);

4) (hiperbola);

5) (par sekajočih se črt);

6) (parabola);

7) (par vzporednih črt);

8) (par namišljenih vzporednih črt);

9) (par sovpadajočih črt).

Enačbe 1) - 9) se imenujejo kanonične enačbe krivulj drugega reda.

Rešitev problema redukcije enačbe krivulje drugega reda na kanonično obliko vključuje iskanje kanonične enačbe krivulje in kanoničnega koordinatnega sistema. Zmanjšanje na kanonično obliko vam omogoča izračun parametrov krivulje in določitev njene lokacije glede na prvotni koordinatni sistem. Prehod iz prvotnega pravokotnega koordinatnega sistema do kanoničnega se izvede z vrtenjem osi prvotnega koordinatnega sistema okoli točke O za nek kot j in kasnejšim vzporednim prenosom koordinatnega sistema.

Invariante krivulj drugega reda(8.4.1) se imenujejo takšne funkcije koeficientov njegove enačbe, katerih vrednosti se ne spremenijo pri prehodu iz enega pravokotnega koordinatnega sistema v drugega istega sistema.

Za krivuljo drugega reda (8.4.1) je vsota koeficientov pri kvadratih koordinat

,

determinanta, sestavljena iz koeficientov vodilnih členov

in determinanta tretjega reda

so invariante.

Z vrednostjo invariant s, d, D lahko določimo vrsto in sestavimo kanonično enačbo krivulje drugega reda.

Tabela 8.1.

Klasifikacija krivulj drugega reda na podlagi invariant

Oglejmo si podrobneje elipso, hiperbolo in parabolo.

Elipsa(slika 8.1) je geometrijsko mesto točk v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh fiksnih točk to letalo, imenovano triki z elipso, je konstantna vrednost (večja od razdalje med žarišči). To ne izključuje sovpadanja žarišč elipse. Če sta žarišči enaki, potem je elipsa krog.

Polovična vsota razdalj od točke elipse do njenih žarišč je označena z a, polovične razdalje med žarišči - c. Če je pravokotni koordinatni sistem na ravnini izbran tako, da se žarišča elipse nahajajo na osi Ox simetrično glede na izhodišče, potem je v tem koordinatnem sistemu elipsa podana z enačbo

, (8.4.2)

klical kanonična enačba elipse, kje .

riž. 8.1

Pri podani izbiri pravokotnega koordinatnega sistema je elipsa simetrična glede na koordinatne osi in izhodišče. Simetrijske osi elipse imenujemo sekire, središče simetrije pa je središče elipse. Hkrati se številki 2a in 2b pogosto imenujeta osi elipse, številki a in b pa velik in manjša pol os oz.

Točke presečišča elipse z njenimi osmi se imenujejo oglišča elipse. Oglišča elipse imajo koordinate (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Ekscentričnost elipse poklical številko

Od 0£c

.

To kaže, da ekscentričnost označuje obliko elipse: bližje kot je e nič, bolj je elipsa videti kot krog; ko e narašča, se elipsa bolj razteza.

Zdaj bomo pokazali, da je afina klasifikacija krivulj drugega reda podana z imeni samih krivulj, tj. da so afini razredi krivulj drugega reda razredi:

prave elipse;

namišljene elipse;

hiperbola;

pari pravih sekajočih se premic;

pari namišljenih (konjugiranih) sekajočih se;

pari vzporednih pravih premic;

pari vzporednih namišljenih konjugiranih črt;

pari sovpadajočih realnih premic.

Dokazati moramo dve izjavi:

A. Vse istoimenske krivulje (to je vse elipse, vse hiperbole itd.) so med seboj afino enakovredne.

B. Dve krivulji z različnimi imeni nista nikoli afino enakovredni.

Dokažemo trditev A. Že v 3. odstavku XV. poglavja je bilo dokazano, da so vse elipse afino enakovredne eni izmed njih, in sicer krogi in vse hiperbole so hiperbole. Zato so vse elipse oziroma vse hiperbole afino ekvivalentne drug drugega. Vse namišljene elipse, ki so afino enakovredne krogu - - 1 polmera, so tudi afino enakovredne druga drugi.

Dokažimo afino ekvivalenco vseh parabol. Dokazali bomo še več, in sicer, da so si vse parabole med seboj podobne. Zadostuje dokazati, da je parabola podana v nekem koordinatnem sistemu s svojo kanonično enačbo

kot parabola

Da bi to naredili, podvržemo ravnino transformaciji podobnosti s koeficientom - :

Nato tako, da pod našo transformacijo krivulja

gre v ovinek

torej v parabolo

Q.E.D.

Preidimo na razpadajoče krivulje. V § formulah (9) in (11), str. 401 in 402) je bilo dokazano, da ima krivulja, ki se v nekem (tudi pravokotnem) koordinatnem sistemu razgradi na par sekajočih se premic, enačbo

Izvajanje dodatne transformacije koordinat

vidimo, da ima vsaka krivulja, ki se razgradi na par sekajočih se realnih oziroma namišljenih konjugiranih ravnih črt, v nekem afinem koordinatnem sistemu enačbo

Kar zadeva krivulje, ki se razcepijo na par vzporednih črt, lahko vsako od njih (tudi v nekem pravokotnem koordinatnem sistemu) podamo z enačbo

zares oz

za imaginarno, neposredno. Transformacija koordinat nam omogoča, da vnesemo te enačbe (ali za sovpadajoče premice).To implicira afino ekvivalenco vseh razpadajočih krivulj drugega reda, ki imajo isto ime.

Prehajamo na dokaz trditve B.

Najprej omenimo, da pri afini transformaciji ravnine vrstni red algebrske krivulje ostane nespremenjen. Nadalje: vsaka upadajoča krivulja drugega reda je par premic in pri afini transformaciji premica preide v premico, par sekajočih se premic preide v par sekajočih se in par vzporednih premic v par vzporednih; poleg tega realne črte postanejo realne, namišljene pa namišljene. To izhaja iz dejstva, da so vsi koeficienti v formulah (3) (poglavje XI, § 3), ki definirajo afino transformacijo, realna števila.

Iz povedanega sledi, da je premica, ki je afino ekvivalentna dani upadajoči krivulji drugega reda, istoimenska upadajoča krivulja.

Prehajamo na nerazgradljive krivulje. Spet pri afini transformaciji realna krivulja ne more preiti v imaginarno in obratno. Zato je razred imaginarnih elips afino invarianten.

Upoštevajte razrede realnih nerazpadljivih krivulj: elipse, hiperbole, parabole.

Med vsemi krivuljami drugega reda vsaka elipsa in samo elipsa leži v nekem pravokotniku, medtem ko se parabole in hiperbole (pa tudi vse padajoče krivulje) raztezajo v neskončnost.

Pri afini transformaciji bo pravokotnik ABCD, ki vsebuje dano elipso, prešel v paralelogram, ki vsebuje transformirano krivuljo, ki torej ne more iti v neskončnost in je zato elipsa.

Tako je krivulja, ki je afino enaka elipsi, nujno elipsa. Iz dokazanega sledi, da krivulja, ki je afino ekvivalentna hiperboli ali paraboli, ne more biti elipsa (in, kot vemo, tudi ne padajoča krivulja. Zato ostane samo dokazati, da pod afino transformacije ravnine, hiperbola ne more preiti v parabolo, in nasprotno, to najverjetneje najpreprosteje sledi iz dejstva, da parabola nima simetričnega središča, hiperbola pa ga. Ker pa odsotnost simetrijnega središča za parabolo bomo dokazali šele v naslednjem poglavju, zdaj pa bomo podali drugi, prav tako zelo preprost dokaz afine neekvivalence hiperbole in parabole.

Lema. Če ima parabola skupne točke z vsako od dveh polravnin, določenih v ravnini dane premice d, potem ima s premico vsaj eno skupno točko.

Dejansko smo videli, da obstaja koordinatni sistem, v katerem ima dana parabola enačbo

Naj ima premica d glede na ta koordinatni sistem enačbo

Po predpostavki sta na paraboli dve točki, od katerih ena, predpostavimo, leži v pozitivni, druga pa v negativni polravnini glede na enačbo (1). Zato se spomnimo, da lahko pišemo

Da bi to ponazoril s konkretnim primerom, vam bom pokazal, kaj v tej interpretaciji ustreza naslednji izjavi: (realna ali namišljena) točka P leži na (resnični ali namišljeni) premici g. V tem primeru je seveda treba razlikovati med naslednjimi primeri:

1) realna točka in realna črta,

2) realna točka in namišljena premica,

Primer 1) od nas ne zahteva posebnega pojasnila; tukaj imamo eno od osnovnih relacij navadne geometrije.

V primeru 2) mora skupaj z dano namišljeno premico skozi dano realno točko nujno potekati z njo konjugiran črtni kompleks; posledično mora ta točka sovpadati z ogliščem snopa žarkov, s katerim upodabljamo namišljeno premico.

Podobno mora biti v primeru 3) realna premica enaka nosilcu tiste premočrtne involucije točk, ki služi kot predstavnik dane imaginarne točke.

Najbolj zanimiv primer je 4) (slika 96): tukaj mora očitno tudi kompleksna konjugirana točka ležati na kompleksni konjugirani premici, zato mora vsak par točk involucije točk, ki predstavljajo točko P, ležati na na nekem paru črt involucije črt, ki predstavljajo ravno črto g, tj. da morata biti obe ti involuciji nameščeni perspektivno ena glede na drugo; poleg tega se izkaže, da sta tudi puščici obeh involucij postavljeni v perspektivo.

Na splošno v analitični geometriji ravnine, ki posveča pozornost tudi kompleksni domeni, dobimo popolno realno sliko te ravnine, če množici vseh njenih realnih točk in premic kot nove elemente dodamo množico involucijskih ravnin. slike, obravnavane zgoraj, skupaj s puščicami njihovih smeri. Tukaj bo dovolj, če v splošnih orisah orišem, kakšno obliko bi imela konstrukcija takšne realne slike kompleksne geometrije. Pri tem bom sledil vrstnemu redu, v katerem so zdaj običajno predstavljeni prvi predlogi elementarne geometrije.

1) Začnejo z aksiomi obstoja, katerih namen je podati natančno formulacijo prisotnosti pravkar omenjenih elementov na območju, razširjenem v primerjavi z navadno geometrijo.

2) Nato aksiomi povezave, ki pravijo, da tudi v razširjenem območju, opredeljenem v točki 1)! ena in samo ena premica poteka skozi (vsaki) dve točki in da imata (katerikoli) dve premici eno in samo eno skupno točko.

Hkrati moramo, kot smo imeli zgoraj, vsakič ločiti štiri primere glede na to, ali so dani elementi resnični, in zdi se zelo zanimivo razmišljati, katere resnične konstrukcije z involucijami točk in črt služijo kot slika teh zapletenih odnosov.

3) Kar zadeva aksiome ureditve (reda), tu v primerjavi z dejanskimi razmerji nastopijo povsem nove okoliščine; zlasti vse realne in kompleksne točke, ki ležijo na eni fiksni črti, kot tudi vsi žarki, ki gredo skozi eno fiksno točko, tvorijo dvodimenzionalni kontinuum. Navsezadnje se je vsak od nas s študijem teorije funkcij naučil navade predstavljanja celotne vrednosti kompleksne spremenljivke z vsemi točkami ravnine.

4) Končno, glede aksiomov kontinuitete, bom tukaj samo pokazal, kako predstaviti kompleksne točke, ki ležijo kolikor želite blizu neke realne točke. Če želite to narediti, morate skozi vzeto realno točko P (ali skozi katero drugo realno točko blizu nje) narisati neko ravno črto in na njej upoštevati dva para točk, ki se ločujeta (t.j. ležita na "križani poti" ") pari točk (slika . 97), tako da dve točki, vzeti iz različnih parov, ležita blizu druga drugi in do točke P; če zdaj točke zbližamo za nedoločen čas, potem se involucija, ki jo definirajo imenovani pari točk, degenerira, to pomeni, da obe njeni doslej kompleksni dvojni točki sovpadata s točko.Vsaka od dveh namišljenih točk, ki ju ta involucija predstavlja (skupaj z eno oz. druga puščica) poteka, torej neprekinjeno do neke točke blizu P ali celo neposredno do P. Seveda, da bi lahko te pojme kontinuitete dobro uporabili, je treba z njimi delati podrobno.

Čeprav je vsa ta gradnja precej okorna in dolgočasna v primerjavi z običajno realno geometrijo, lahko da neprimerljivo več. Zlasti je sposoben dvigniti na raven popolne geometrijske jasnosti algebrske podobe, razumljene kot množice njihovih realnih in kompleksnih elementov, in z njegovo pomočjo lahko na samih figurah jasno razumemo takšne izreke, kot je temeljni izrek algebre ali Bezoutov izrek, da imata dva reda krivulj na splošno točno skupne točke. V ta namen bi bilo seveda potrebno temeljna določila razumeti v mnogo bolj natančni in nazorni obliki kot doslej; literatura pa že vsebuje vse potrebno gradivo za take preiskave.

Toda v večini primerov bi uporaba te geometrijske interpretacije z vsemi njenimi teoretičnimi prednostmi vendarle privedla do takšnih zapletov, da se je treba zadovoljiti z njeno temeljno možnostjo in se dejansko vrniti k bolj naivnemu stališču, ki je naslednje: kompleksna točka je skupek treh kompleksnih koordinat in z njo lahko delujemo na povsem enak način kot z realnimi točkami. Dejansko se je takšna uvedba imaginarnih elementov, ki se vzdrži kakršnega koli temeljnega razmišljanja, vedno izkazala za plodno v primerih, ko imamo opravka z namišljenimi cikličnimi točkami ali s krogelnim krogom. Kot že omenjeno, je Poncelet prvič začel uporabljati imaginarne elemente v tem smislu; njegovi privrženci v tem pogledu so bili drugi francoski geometri, predvsem Chall in Darboux; v Nemčiji so številni geometri, zlasti Lie, prav tako zelo uspešno uporabljali to razumevanje imaginarnih elementov.

S tem odmikom v kraljestvo domišljije zaključujem celoten drugi del svojega predmeta in prehajam na novo poglavje,