Poiščite površino vrtilnega telesa. Kako najti vrtilno površino z uporabo integrala

Če je krivulja podana s parametričnimi enačbami, se površina, dobljena z vrtenjem te krivulje okoli osi, izračuna po formuli . Pri tem je brezbrižna “smer risanja” črte, o kateri je bilo v članku polomljenih toliko kopij. Toda, kot v prejšnjem odstavku, je pomembno, da se krivulja nahaja zgoraj abscisna os - v nasprotnem primeru bo funkcija "odgovorna za igralce" imela negativne vrednosti in pred integralom boste morali postaviti znak minus.

Primer 3

Izračunajte površino krogle, ki jo dobite z vrtenjem kroga okoli osi.

rešitev: iz materialov članka o ploščini in prostornini s parametrično dano premico veste, da enačbe določajo krog s središčem v izhodišču s polmerom 3.

no in krogla , za tiste, ki so pozabili, je površina žoga(oz sferično površino).

Držimo se izdelane sheme rešitev. Poiščimo izpeljanke:

Sestavimo in poenostavimo koren "formule":

Ni treba posebej poudarjati, da se je izkazalo za sladkarije. Za primerjavo si oglejte, kako se je Fikhtengoltz udarjal po glavah s kvadratom elipsoid revolucije.

Glede na teoretično opombo upoštevamo zgornji polkrog. "Nariše se" pri spreminjanju vrednosti parametra znotraj (to je enostavno videti na tem intervalu), torej:

Odgovori:

Če je problem rešen v splošni pogled, potem dobite točno šolsko formulo za površino krogle, kjer je njen polmer.

Nekaj ​​boleče preprostega problema, celo sram me je bilo .... Predlagam, da odpravite to napako =)

Primer 4

Izračunajte površino, ki jo dobite z vrtenjem prvega loka cikloide okoli osi.

Naloga je ustvarjalna. Poskusite izpeljati ali zaznati formulo za izračun površine, ki jo dobite z vrtenjem krivulje okoli osi y. In seveda je treba ponovno opozoriti na prednost parametričnih enačb - ni jih treba nekako spreminjati; ni potrebe po iskanju drugih meja integracije.

Cikloidni graf si lahko ogledate na strani Površina in prostornina, če je linija nastavljena parametrično. Površina vrtenja bo podobna ... sploh ne vem, s čim bi jo primerjal ... nekaj nezemeljskega - zaokroženo s koničasto vdolbino na sredini. Tu se je za primer vrtenja cikloide okoli osi takoj spomnila asociacija - podolgovata žoga za ragbi.

Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Naš zanimiv pregled zaključujemo s primerom polarne koordinate. Da, pregled je, če pogledate v učbenike o matematični analizi (Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov in drugi avtorji), lahko dobite dober ducat (ali celo opazno več) standardnih primerov, med katerimi je povsem mogoče, da boste našli težavo, ki jo potrebujete.

Kako izračunati vrtilno površino,
če je premica podana v polarnem koordinatnem sistemu?

Če je krivulja nastavljena na polarne koordinate enačba in ima funkcija zvezni odvod na danem intervalu, potem se površina, dobljena z vrtenjem te krivulje okoli polarne osi, izračuna po formuli , kjer so kotne vrednosti, ki ustrezajo koncem krivulje.

V skladu z geometrijskim pomenom problema je integrand , in to je doseženo le, če je ( in ) znano, da sta nenegativni. Zato je treba upoštevati vrednosti kotov iz območja, z drugimi besedami, krivuljo je treba locirati zgoraj polarne osi in njenih podaljškov. Kot lahko vidite, ista zgodba kot v prejšnjih dveh odstavkih.

Primer 5

Izračunajte površino površine, ki jo tvori vrtenje kardioida okoli polarne osi.

rešitev: graf te krivulje si lahko ogledate v 6. primeru lekcije o polarni koordinatni sistem. Kardioida je simetrična glede na polarno os, zato upoštevamo njeno zgornjo polovico na vrzeli (kar je pravzaprav tudi posledica zgornje opombe).

Površina vrtenja bo podobna mekovemu očesu.

Tehnika rešitve je standardna. Poiščimo izpeljanko glede na "phi":

Sestavite in poenostavite koren:

Upam, da s presežniki trigonometrične formule nihče ni imel težav.

Uporabljamo formulo:

Vmes , Posledično: (V članku sem podrobno opisal, kako se pravilno znebiti korenine Dolžina loka krivulje).

Odgovori:

Zanimiva in kratka naloga za samostojno reševanje:

Primer 6

Izračunajte površino sferičnega pasu,

Kaj je kroglični pas? Na mizo položite okroglo neolupljeno pomarančo in vzemite nož. Naredi dva vzporedno prerežemo in s tem sadje razdelimo na 3 dele poljubne velikosti. Zdaj vzemite sredino, v kateri je na obeh straneh izpostavljena sočna kaša. To telo se imenuje sferična plast, in njegova mejna površina (pomarančna lupina) - kroglični pas.

Bralci seznanjeni polarne koordinate, enostavno predstavil risbo problema: enačba definira krog s središčem na polu polmera , iz katerega žarki odrezati manjša lok. Ta lok se vrti okoli polarne osi in tako dobimo sferični pas.

Zdaj lahko jeste pomarančo s čisto vestjo in lahkim srcem, na tej okusni noti bomo končali lekcijo, ne pokvarite si apetita z drugimi primeri =)

Rešitve in odgovori:

Primer 2:rešitev : izračunajte površino površine, ki jo tvori vrtenje zgornje veje okoli x-osi. Uporabljamo formulo .
V tem primeru: ;

V to smer:


Odgovori:

Primer 4:rešitev : uporabite formulo . Prvi lok cikloide je definiran na segmentu .
Poiščimo izpeljanke:

Sestavite in poenostavite koren:

Torej je vrtilna površina:

Vmes , zato

Prvi integralintegrirati po delih :

V drugem integralu uporabljamotrigonometrična formula .


Odgovori:

Primer 6:rešitev : uporabite formulo:


Odgovori:

Višja matematika za dopisne študente in ne samo >>>

(Pojdi na glavno stran)

Kako izračunati določen integral
z uporabo formule trapeza in Simpsonove metode?

Numerične metode so precej velik del višje matematike in resni učbeniki na to temo imajo na stotine strani. V praksi, v kontrolno delo tradicionalno predlagano za reševanje nekaterih problemov z numeričnimi metodami, eden od pogostih problemov pa je - približen izračun določeni integrali. V tem članku bom obravnaval dve metodi za približen izračun določenega integrala − trapezna metoda in simpsonova metoda.

Kaj morate vedeti, da obvladate te metode? Sliši se smešno, vendar morda sploh ne znate vzeti integralov. In niti ne razumejo, kaj so integrali. Od tehnična sredstva rabiš kalkulator. Da, da, čakamo na rutinske šolske izračune. Še bolje, prenesite moj polavtomatski kalkulator za trapezoidno metodo in Simpsonovo metodo. Kalkulator je napisan v Excelu in vam bo omogočil kar desetkrat skrajšati čas reševanja in obdelave nalog. Priložen je video priročnik za čajnike Excel! Mimogrede, prvi video z mojim glasom.

Najprej si zastavimo vprašanje, zakaj sploh potrebujemo približne izračune? Zdi se, da je mogoče najti protiodvod funkcije in uporabiti Newton-Leibnizovo formulo za izračun natančne vrednosti določenega integrala. Kot odgovor na vprašanje takoj razmislimo o demo primeru s sliko.

Izračunaj določen integral

Vse bi bilo v redu, vendar v tem primeru integral ni vzet - pred vami ni vzet, tako imenovani integralni logaritem. Ali ta integral sploh obstaja? Upodobimo graf integranda na risbi:

Vse je vredu. Integrand neprekinjeno na segmentu in določeni integral je številčno enak osenčenemu območju. Ja, to je samo ena zanka - integral ni vzet. In v takih primerih na pomoč priskočijo numerične metode. V tem primeru se težava pojavi v dveh formulacijah:

1) Približno izračunaj določen integral , rezultat zaokrožite na določeno decimalno mesto. Na primer do dve decimalni mesti, do tri decimalna mesta itd. Recimo, da dobite približen odgovor 5,347. Pravzaprav morda ni povsem pravilen (pravzaprav je recimo natančnejši odgovor 5,343). Naša naloga je samo v tem da zaokrožite rezultat na tri decimalna mesta.

2) Približno izračunaj določen integral, z določeno natančnostjo. Na primer, izračunajte določeni integral približno z natančnostjo 0,001. Kaj to pomeni? To pomeni, da če dobimo približen odgovor 5,347, potem vseštevilke morajo biti armiranobetonske pravilno. Če smo natančnejši, se mora odgovor 5,347 od modula resnice (v eno ali drugo smer) razlikovati za največ 0,001.

Obstaja več osnovnih metod za približen izračun določenega integrala, ki se pojavi v problemih:

Metoda pravokotnika. Segment integracije je razdeljen na več delov in izdelana je stopnička ( Stolpični diagram), ki je po območju blizu želenega območja:

Ne sodite strogo po risbah, natančnost ni popolna - le pomagajo razumeti bistvo metod.

V tem primeru je segment integracije razdeljen na tri segmente:
. Očitno je, da pogostejša ko je particija (več manjših vmesnih segmentov), ​​večja je natančnost. Metoda pravokotnikov daje grob približek površine, očitno je zato v praksi zelo redka (spomnil sem se samo enega praktičnega primera). V zvezi s tem ne bom upošteval metode pravokotnikov in niti ne bom dal preproste formule. Ne zaradi lenobe, ampak zaradi načela moje reševalne knjige: tisto, kar je v praktičnih nalogah izjemno redko, se ne upošteva.

Trapezna metoda. Ideja je podobna. Integracijski segment je razdeljen na več vmesnih segmentov, graf integranda pa se približuje prekinjena črta vrstica:

Torej je naše območje (modro senčenje) približno ocenjeno z vsoto ploščin trapezov (rdeče). Od tod tudi ime metode. Preprosto je videti, da metoda trapeza daje veliko boljši približek kot metoda pravokotnika (z enakim številom predelnih segmentov). In seveda, več manjših vmesnih segmentov upoštevamo, večja bo natančnost. Trapezno metodo občasno srečamo v praktičnih nalogah, v tem članku pa bomo analizirali več primerov.

Simpsonova metoda (metoda parabole). To je bolj popoln način - grafu integranda se ne približa zlomljena črta, temveč majhne parabole. Koliko vmesnih segmentov - toliko majhnih parabol. Če vzamemo iste tri segmente, potem bo Simpsonova metoda dala še natančnejši približek kot metoda pravokotnika ali metoda trapeza.

Ne vidim smisla v gradnji risbe, saj bo vizualno približek prekrival graf funkcije (zlomljena črta prejšnjega odstavka - in tudi takrat je skoraj sovpadala).

Naloga izračuna določenega integrala z uporabo Simpsonove formule je najbolj priljubljena naloga v praksi. Metodi parabol bo posvečena precejšnja pozornost.

primer: Poiščite prostornino krogle s polmerom R.

V prerezih krogle dobimo kroge spremenljivega polmera y. Odvisno od trenutne koordinate x je ta polmer izražen s formulo .

Potem ima funkcija površine preseka obliko: Q(x) = .

Dobimo prostornino krogle:

primer: Poiščite prostornino poljubne piramide z višino H in osnovno ploščino S.

Pri prečkanju piramide z ravninami, ki so pravokotne na višino, v prerezu dobimo figure, podobne osnovi. Koeficient podobnosti teh številk je enak razmerju x / H , kjer je x razdalja od presečne ravnine do vrha piramide.

Iz geometrije je znano, da je razmerje ploščin podobnih likov enako koeficientu podobnosti na kvadrat, tj.

Od tu dobimo funkcijo površin prečnega prereza:

Iskanje volumna piramide:

Prostornina vrtilnih teles.

Upoštevajte krivuljo, podano z enačbo y=f(x ). Predpostavimo, da funkcija f(x ) je zvezna na segmentu [ a , b ]. Če je ustrezen krivočrtni trapez z osnovama a in b zavrtimo okoli osi x, potem dobimo t.i telo revolucije.

y=f(x)

Površina vrtilnega telesa.

M in B

definicija: Površina vrtenja krivulja AB okoli dane osi je meja, h kateri težijo površine vrtilnih površin lomljenih črt, včrtanih v krivuljo AB, ko največja dolžina členov teh lomljenih črt teži k nič.

Razčlenimo lok AB na n delov po točkah M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Koordinate oglišč dobljene lomljene črte imajo koordinate x i in y i . Ko se lomljena črta vrti okoli osi, dobimo površino, sestavljeno iz stranskih ploskev prisekanih stožcev, katerih površina je enaka D P i . To območje je mogoče najti s formulo:

Preden nadaljujemo s formulami za površino vrtilne površine, podamo kratko formulacijo same vrtilne površine. Vrtilna površina ali, kar je enako, površina vrtilnega telesa je prostorska figura, ki nastane z vrtenjem segmenta. AB krivulja okoli osi Ox(slika spodaj).

Predstavljajmo si krivočrtni trapez, ki ga od zgoraj omejuje omenjeni segment krivulje. Telo, ki nastane z vrtenjem tega trapeza okoli iste osi Ox, in obstaja telo revolucije. In površina vrtenja ali površina telesa vrtenja je njegova zunanja lupina, ne da bi šteli kroge, ki nastanejo z vrtenjem okoli osi črt x = a in x = b .

Upoštevajte, da je telo vrtenja in s tem njegovo površino mogoče oblikovati tudi z vrtenjem figure ne okoli osi Ox, in okoli osi Oj.

Izračun površine vrtilne površine, podane v pravokotnih koordinatah

Pustimo pravokotne koordinate na ravnini z enačbo l = f(x) podana je krivulja, katere vrtenje okoli koordinatne osi tvori vrtilno telo.

Formula za izračun vrtilne površine je naslednja:

(1).

Primer 1 Poiščite površino paraboloida, ki nastane z vrtenjem okoli osi Ox lok parabole, ki ustreza spremembi x od x= 0 do x = a .

rešitev. Eksplicitno izrazimo funkcijo, ki definira lok parabole:

Poiščimo izpeljanko te funkcije:

Preden uporabimo formulo za iskanje površine vrtilne površine, zapišimo del njenega integranda, ki je koren, in nadomestimo derivat, ki smo ga pravkar našli tam:

Odgovor: Dolžina loka krivulje je

.

Primer 2 Poiščite površino površine, ki jo tvori vrtenje okoli osi Ox astroidi.

rešitev. Dovolj je, da izračunamo površino, ki je posledica vrtenja ene veje astroida, ki se nahaja v prvi četrtini, in jo pomnožimo z 2. Iz enačbe astroida eksplicitno izrazimo funkcijo, ki jo bomo morali nadomestiti v formuli da bi našli površino vrtenja:

.

Integracijo izvajamo od 0 do a:

Izračun vrtilne površine podane parametrično

Razmislite o primeru, ko je krivulja, ki tvori vrtilno površino, podana s parametričnimi enačbami

Nato se površina vrtilne površine izračuna po formuli

(2).

Primer 3 Poiščite površino vrtilne površine, ki jo tvori vrtenje okoli osi Oj lik, omejen s cikloido in premico l = a. Cikloida je podana s parametričnimi enačbami

rešitev. Poiščite presečišče cikloide in premice. Izenačenje cikloidne enačbe in enačba premice l = a, najti

Iz tega izhaja, da meje integracije ustrezajo

Zdaj lahko uporabimo formulo (2). Poiščimo izpeljanke:

V formulo zapišemo radikalni izraz in nadomestimo najdene derivate:

Poiščimo koren tega izraza:

.

Najdeno nadomestite s formulo (2):

.

Naredimo zamenjavo:

In končno najdemo

Pri transformaciji izrazov smo uporabili trigonometrične formule

Odgovor: Območje vrtilne površine je .

Izračun površine vrtilne površine, podane v polarnih koordinatah

Naj bo krivulja, katere rotacija tvori površino, podana v polarnih koordinatah.

Lep pozdrav, dragi študenti Univerze Argemony!

Danes bomo nadaljevali s preučevanjem materializacije predmetov. Zadnjič smo vrteli ravne figure in dobili tridimenzionalna telesa. Nekateri med njimi so zelo mamljivi in ​​uporabni. Mislim, da se lahko marsikaj, kar izumi čarovnik, uporabi v prihodnosti.

Danes bomo vrteli krivulje. Jasno je, da na ta način lahko dobimo nekakšen predmet z zelo tankimi robovi (stožec ali steklenico za napitke, vazo za rože, kozarec za pijačo itd.), saj lahko vrtljiva krivulja ustvari prav takšne predmete. . Z drugimi besedami, z vrtenjem krivulje lahko dobimo nekakšno površino - zaprto z vseh strani ali ne. Zakaj ravno zdaj sem se spomnil na luknjasto skodelico, iz katere je ves čas pil sir Shurf Lonley-Lockley.

Tako bomo ustvarili puščajočo posodo in neperforirano posodo ter izračunali površino ustvarjene površine. Mislim, da bo iz nekega razloga (na splošno površina) potrebna - no, vsaj za nanašanje posebne čarobne barve. In po drugi strani so območja magičnih artefaktov morda potrebna za izračun magičnih sil, ki se uporabljajo zanje, ali kaj drugega. Naučili se bomo, kako ga najti, in našli bomo, kje ga uporabiti.

Torej, kos parabole nam lahko da obliko sklede. Vzemimo najenostavnejši y=x 2 na intervalu . Vidimo, da ko se vrti okoli osi OY, dobimo samo skledo. Brez dna.

Urok za izračun površine vrtenja je naslednji:

Tukaj |y| je razdalja od osi vrtenja do katere koli točke na krivulji, ki se vrti. Kot veste, je razdalja pravokotna.
Malo težje z drugim elementom uroka: ds je diferencial loka. Te besede nam ne dajo ničesar, zato se ne trudimo, ampak preklopimo na jezik formul, kjer je ta razlika eksplicitno predstavljena za vse nam znane primere:
- kartezični koordinatni sistem;
- zapise krivulje v parametrični obliki;
- polarni koordinatni sistem.

V našem primeru je razdalja od osi vrtenja do katere koli točke na krivulji x. Upoštevamo površino nastale luknjaste sklede:

Če želite narediti skledo z dnom, morate vzeti drug kos, vendar z drugačno krivuljo: na intervalu je to črta y=1.

Jasno je, da ko se vrti okoli osi OY, dobimo dno sklede v obliki kroga enotskega polmera. In vemo, kako se izračuna površina kroga (po formuli pi * r ^ 2. V našem primeru bo površina kroga enaka pi), vendar jo bomo izračunali z uporabo nove formule - za preverjanje.
Razdalja od osi vrtenja do katere koli točke tega dela krivulje je prav tako x.

No, naši izračuni so pravilni, kar veseli.

In zdaj Domača naloga.

1. Poiščite površino, ki jo dobite z vrtenjem lomljene črte ABC, kjer je A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), okoli osi OX.
nasvet. Posnemite vse segmente v parametrični obliki.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Mimogrede, kako izgleda nastali predmet?

2. No, zdaj pa si nekaj izmisli sam. Trije predmeti so po mojem mnenju dovolj.

5. Iskanje površine revolucijskih teles

Naj bo krivulja AB graf funkcije y = f(x) ≥ 0, kjer je x [a; b], funkcija y \u003d f (x) in njen derivat y "\u003d f" (x) sta zvezna na tem segmentu.

Poiščimo površino S površine, ki jo tvori vrtenje krivulje AB okoli osi Ox (slika 8).

Uporabimo shemo II (diferencialna metoda).

Skozi poljubno točko x [a; b] narišimo ravnino P, pravokotno na os Ox. Ravnina P seka vrtilno površino po krožnici s polmerom y - f(x). Vrednost S površine dela vrtilne figure, ki leži levo od ravnine, je funkcija x, tj. s = s(x) (s(a) = 0 in s(b) = S).

Dajmo argumentu x prirastek Δх = dх. Skozi točko x + dx [a; b] narišemo tudi ravnino, pravokotno na os x. Funkcija s = s(x) bo prejela prirastek Δs, prikazan na sliki kot "pas".

Poiščimo diferencial ploščine ds, pri čemer lik, ki nastane med odseki, nadomestimo s prisekanim stožcem, katerega generatrisa je enaka dl, polmera baz pa sta enaka y in y + dy. Njegova stranska površina je: = 2ydl + dydl.

Če zavržemo produkt dу d1 kot infinitezimal višjega reda od ds, dobimo ds = 2уdl ali, ker je d1 = dx.

Z integracijo nastale enakosti v območju od x = a do x = b dobimo

Če je krivulja AB podana s parametričnimi enačbami x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, potem postane formula za ploščino vrtilne površine

S=2 dt.

Primer: Poiščite površino krogle s polmerom R.

S=2 =

6. Iskanje dela spremenljive sile

Delo spremenljive sile

Pustiti materialna točka M se premika vzdolž osi Ox pod vplivom spremenljive sile F = F(x), ki je usmerjena vzporedno s to osjo. Delo, ki ga opravi sila pri premikanju točke M iz položaja x = a v položaj x = b (a

Kolikšno delo je treba opraviti, da se vzmet raztegne za 0,05 m, če sila 100 N raztegne vzmet za 0,01 m?

Po Hookovem zakonu je prožnostna sila, ki razteza vzmet, sorazmerna s tem raztezanjem x, tj. F = kx, kjer je k sorazmernostni koeficient. Po pogoju naloge sila F = 100 N raztegne vzmet za x = 0,01 m; torej 100 = k 0,01, od koder je k = 10000; torej F = 10000x.

Želeno delo na podlagi formule

A=

Poiščite delo, ki ga je treba porabiti za črpanje tekočine čez rob iz navpičnega cilindričnega rezervoarja z višino H m in osnovnim polmerom R m (slika 13).

Delo, porabljeno za dvig telesa s težo p na višino h, je enako p H. Toda različne plasti tekočine v rezervoarju so na različnih globinah in višina dviga (do roba rezervoarja) različne plasti niso enake.

Za rešitev problema uporabimo shemo II (diferencialna metoda). Predstavimo koordinatni sistem.

1) Delo, porabljeno za črpanje plasti tekočine debeline x (0 ≤ x ≤ H) iz rezervoarja, je funkcija x, tj. A \u003d A (x), kjer (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Najdemo glavni del prirastka ΔA, ko se x spremeni za Δx = dx, tj. poiščemo diferencial dA funkcije A(x).

Glede na majhnost dx predpostavimo, da je "elementarna" plast tekočine na isti globini x (od roba rezervoarja). Potem je dА = dрх, kjer je dr teža te plasti; enaka je g AV, kjer je g gravitacijski pospešek, gostota tekočine, dv prostornina »elementarne« plasti tekočine (na sliki je označena), tj. dr = g. Prostornina te tekoče plasti je očitno enaka , kjer je dx višina valja (plasti), je površina njegove baze, tj. dv = .

Tako je dр = . in

3) Z integracijo nastale enakosti v območju od x \u003d 0 do x \u003d H, najdemo

A

8. Izračun integralov s programom MathCAD

Pri reševanju nekaterih aplikativnih problemov je potrebna uporaba operacije simbolne integracije. Program MathCad je v tem primeru lahko uporaben tako v začetni fazi (dobro je vedeti odgovor vnaprej oz. vedeti, da obstaja) kot v končni fazi (dobro je preveriti dobljeni rezultat z odgovorom drugega vir ali rešitev druge osebe).

Pri reševanju velikega števila problemov lahko opazite nekatere značilnosti reševanja problemov s programom MathCad. Poskusimo z nekaj primeri razumeti, kako ta program deluje, analizirati rešitve, pridobljene z njegovo pomočjo, in te rešitve primerjati z rešitvami, pridobljenimi z drugimi metodami.

Glavne težave pri uporabi programa MathCad so naslednje:

a) program ne daje odgovora v obliki znanih osnovnih funkcij, temveč v obliki posebnih funkcij, ki še zdaleč niso znane vsem;

b) v nekaterih primerih "zavrača" odgovor, čeprav ima problem rešitev;

c) včasih je nemogoče uporabiti dobljeni rezultat zaradi njegove obsežnosti;

d) problem reši nepopolno in rešitve ne analizira.

Za rešitev teh težav je treba uporabiti prednosti in slabosti programa.

Z njegovo pomočjo je enostavno in preprosto izračunati integrale ulomkov racionalnih funkcij. Zato je priporočljiva uporaba metode zamenjave spremenljivke, tj. predhodno pripravimo integral za rešitev. Za te namene se lahko uporabijo zgoraj obravnavane zamenjave. Upoštevati je treba tudi, da je treba dobljene rezultate preučiti glede sovpadanja domen definicije prvotne funkcije in dobljenega rezultata. Poleg tega nekatere pridobljene rešitve zahtevajo dodatne raziskave.

Program MathCad študenta ali raziskovalca osvobodi rutinskega dela, ne more pa ga osvoboditi dodatnih analiz tako pri postavljanju problema kot pri pridobivanju rezultatov.

V tem prispevku so bile obravnavane glavne določbe, povezane s preučevanjem aplikacij določenega integrala pri pouku matematike.

– opravljena je bila analiza teoretičnih osnov za reševanje integralov;

- gradivo je bilo podvrženo sistematizaciji in posploševanju.

Med tečajem so bili obravnavani primeri praktičnih problemov s področja fizike, geometrije, mehanike.

Zaključek

Zgoraj obravnavani primeri praktičnih problemov nam dajejo jasno predstavo o pomenu določenega integrala za njihovo rešljivost.

Težko je poimenovati znanstveno področje, na katerem metode integralnega računa na splošno in zlasti lastnosti določenega integrala ne bi bile uporabljene. Tako smo v procesu izvajanja tečaja obravnavali primere praktičnih nalog s področja fizike, geometrije, mehanike, biologije in ekonomije. Seveda pa to še zdaleč ni izčrpen seznam ved, ki uporabljajo integralno metodo za iskanje določene vrednosti pri reševanju določenega problema in ugotavljanje teoretičnih dejstev.

Prav tako se določeni integral uporablja za preučevanje same matematike. Na primer pri reševanju diferencialnih enačb, ki pa so nepogrešljiv prispevek k reševanju praktičnih problemov. Lahko rečemo, da je določeni integral neke vrste osnova za študij matematike. Zato je pomembno vedeti, kako jih rešiti.

Iz vsega navedenega je jasno, zakaj do seznanjanja z določenim integralom pride tudi v okviru srednje šole, kjer učenci poleg pojma integrala in njegovih lastnosti preučujejo tudi nekatere njegove aplikacije.

Literatura

1. Volkov E.A. Numerične metode. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Diferencialni in integralni račun. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Višja matematika. M., Višja šola, 1990.