Definicija in metode specifikacije končnih avtomatov. Opredelitev državnih strojev

To je očitno k,r,s enako številu števk v binarni predstavitvi števil t, p, r. Na primer, če t - 5, p= 17, p = 3, potem k = 3, r = 5, s = 2.

2. Kodiranje stanj vhodnih in izhodnih simbolov vira
stroj.

Za vsak q j Q ena proti ena povezujejo binarno zaporedje dolžine r- binarna koda = z 1 z 2 z r . Podobno vsakemu a i X in b k Y dodelimo binarna zaporedja ena proti ena =x 1 x 2 x k ; =y 1 y 2 y s.

Upoštevajte, da je kodiranje stanj, vhodnih in izhodnih simbolov možno na več načinov. Nekatera zaporedja (kode) pa se ne smejo uporabiti.

3. Naredimo naslednjo tabelo:

Ta tabela vsebuje k+r+r+s stolpce in 2 k + r vrstice. najprej k+r stolpcih so izpisani vsi nizi dolžin k+r. Vsak tak niz ustreza paru (), kjer je možna koda nekega stanja, koda vhodnega simbola.

4. Izpolnjevanje zadnjih stolpcev v tabeli (prejšnji korak).

Za vsak par (a i ,q j), kjer je a i X; q j Q , poiščite kodo in . Iz avtomatske tabele (ali Moorovega diagrama) določimo in \|/(a; q) = Y. Nato najdemo kodo = " 1 " 2 ... ",. in kodo .

V vrstico tabele, ki ustreza nizu

dodajte komplet

5. Definicija sistema logičnih funkcij.

Po zaključku prejšnjega koraka se lahko izkaže, da so vse vrstice v tabeli izpolnjene. To se bo zgodilo, če bo vsaj eno od števil m, n ni potenca 2. Tako funkcije ne bodo popolnoma definirane - na nekaterih nizih njihove vrednosti niso definirane. Nato jih poljubno redefiniramo. Praviloma je razširitev funkcij izvedena tako, da nastale popolnoma definirane funkcije izpolnjujejo določene pogoje optimalnosti, na primer, lahko jih predstavimo z minimalnimi DNF.

Ko je ta korak končan, bo prvotni avtomat definiral sistem popolnoma definiranih logičnih funkcij

3.2 Začetni jeziki.

Avtomat opisujejo na vedenjski ravni. Primarni jeziki vključujejo:

1) jeziki logičnih vezij in graf diagramov algoritmov;

2) jezik regularnih izrazov algebre dogodkov;

3) formalne in avtomatske slovnice.

Če je podan opis (4) popolnoma definiranega avtomata v standardni obliki, potem za poljubno začetno stanje avtomata s(0) in zaporedja vhodnih simbolov v(0)v(1)v(2)…v(t) je možno izračunati odziv avtomata v obliki zaporedja izhodnih simbolov w(0)w(1)…w(t).

Primeri.

Primer 1. Časopis SELLER avtomat sprejema kovance v apoenih po 1 rubelj in 2 rublja. Če je vsota kovancev enaka 3 rubljem, potem stroj izda časopis. Če je znesek večji od 3 rubljev, potem stroj vrne ves denar. Uvedemo zapis za vhodne in izhodne simbole ter stanja avtomata.

Vnos znakov:

v 1 - kovanec v vrednosti 1 rublja se spusti;

v 2 - kovanec v vrednosti 2 rubljev je izpuščen.

Izhodni znaki:

w 1 - sporočilo "Sprejet znesek 1 rubelj.";

w 2 - sporočilo "Sprejet znesek 2 rubljev.";

w 3 - izdaja časopisa;

w 4 - vračilo denarja.

Stroj navaja:

s 0 - znesek 0 rubljev je sprejet. (začetno stanje);

s 1 - znesek 1 rubelj je sprejet;

s 2 - znesek 2 rubljev je sprejet.

V tabeli 2 predstavljamo prehodno funkcijo, v tabeli 3 pa izhodno funkcijo.

Isti avtomat lahko podamo v obliki označenega digrafa, katerega oglišča ustrezajo stanjem avtomata, loki pa ustrezajo prehodom (slika 3).

Spodaj je primer reakcije avtomata SELLER na vhodno zaporedje v 1 v 1 v 2 v 2 v 1 v 2 v 2 v 1 v 1 v 1 …:

Primer 2 Za zgoraj obravnavani avtomat SELLER je mogoče sestaviti enakovredni Moorov avtomat, ki ga označuje tabela prehodov/izhodov (tabela 4).

Tabela 4

Slika 4 prikazuje graf prehodov/izhodov avtomata SELLER, ki ustreza tabeli 4. Začetno stanje enakovrednega Moorovega stroja vključuje vhodni simbol v(0). Zato je treba prestaviti tok vnosnih znakov: .

Naj opišemo vedenje starša, ki je sina poslal v šolo. Sin prinese dvojke in petice. Oče ne želi vsakič prijeti za pas, takoj ko sin dobi še eno dvojko, in izbere bolj subtilno taktiko vzgoje. Avtomat je priročno definirati z grafom, v katerem oglišča ustrezajo stanjem, rob iz stanja s v stanje q, označen z x/y, pa je narisan, ko avtomat iz stanja s pod vplivom vhodnega signala x preide v stanje q z izhodno reakcijo y. Graf avtomata, ki simulira pametno vedenje starša, je prikazan na sl. 5.

riž. 5. Avtomat, ki opisuje obnašanje "pametnega" očeta

Ta avtomat ima štiri stanja (s0, s1, s2, s3) in dva vhodna signala - ocene, ki jih sin dobi v šoli: (2,5). Od začetnega stanja s0 (označeno je z vhodno puščico) avtomat pod vplivom vhodnih signalov prehaja iz enega stanja v drugo in oddaja izhodne signale - reakcije na vhode. Izhodi avtomata (y0,...,y5) bodo interpretirani kot dejanja starša, kot sledi:

y0: - vzemite pas;

yl: - zmerjati sina;

y2: - pomiriti sina;

uZ: - upanje;.

y4: - veselite se;

y5: - veselite se.

Sin, ki je dobil enako oceno - dvojko, pričakuje doma povsem drugačen odziv očeta, odvisno od študijskega ozadja. Oče se spominja, kako je njegov sin študiral prej, in gradi svojo vzgojo ob upoštevanju njegovih prejšnjih uspehov in neuspehov. Na primer, po tretji dvojki v zgodovini 2,2 bodo 2 sinova srečali s pasom, v zgodovini 2, 2, 5, 2 pa bodo pomirjeni. Vsaka zgodovina določa trenutno stanje avtomata in nekatere vhodne zgodovine so enakovredne (in sicer tiste, ki avtomat pripeljejo v isto stanje): zgodovina 2, 2, 5 je enakovredna prazni zgodovini, ki ustreza začetnemu stanju.

Trenutno stanje avtomata predstavlja vse, kar avtomat ve o preteklosti v smislu njegovega prihodnjega obnašanja – reakcije na poznejše vnose. Ta zgodovina v koncentrirani obliki je določena s trenutnim stanjem, določeno pa je vse prihodnje vedenje avtomata kot njegova reakcija na naslednje vhodne signale. namreč trenutno stanje, ne pa način, kako je do njega prišel avtomat.

Torej je stanje stroj naprava, ki deluje v diskretnih časih (ciklih). Na vhodu končnega avtomata v vsakem ciklu prejme enega od možnih vhodnih signalov, na njegovem izhodu pa se pojavi izhodni signal, ki je funkcija njegovega trenutnega stanja in prejetega vhodnega signala. Spremeni se tudi notranje stanje avtomata. Sprožilne točke (cikli) se določijo bodisi s prisilnimi taktnimi signali ure bodisi asinhrono z nastopom zunanjega dogodka - prihodom signala.

Definirajmo končni avtomat formalno.

Poleg grafičnega prikaza za avtomat lahko uporabite tudi tabelarni, pri čemer nastavite funkcije prehodov in izhodov v obliki tabel. Primer avtomata bo predstavljen z naslednjimi tabelami.

tabela 5, a definira prehodno funkcijo takole:

in zavihek. 5b določa funkcijo izhodov : .(s0, 2) = y2; (s2, 5) = y3; ....

Predstavitev končnega avtomata je pravzaprav reducirana na opis avtomatskih funkcij, ki ga definirajo.

Obstajajo trije načini za definiranje končnih avtomatov:

· Tabelarno (matrice prehodov in izhodov);

Grafični (z uporabo grafov);

· Analitično (z uporabo formul).

Analitična metoda– avtomat je podan s sistemom enačb. Iz takega sistema sledi, da se za končno število možnih notranjih stanj končno izkaže tudi število možnih vrednosti avtomatskih funkcij. Primer takšne naloge je sistem enačb, ki definirajo Mealyjeve in Moorejeve avtomate

tabelarni način. Za prehodno funkcijo - δ in izhodno funkcijo se sestavi tabela stanja avtomata. pri čemer:

stolpci tabele ustrezajo elementom vnosne abecede x,

vrstice tabele ustrezajo stanjem (elementom končne množice Q).

Presečišče i-te vrstice in j-tega stolpca ustreza celici (i, j), ki je argument funkcij 8 in λ avtomata v trenutku, ko je ta v stanju qi na njenem vhodu – beseda x j, in v ustrezno celico zapišemo vrednosti funkcij 8 in λ. Tako celotna miza ustreza kompletu Q X x.

Pri izpolnjevanju prehodne tabele je vsaka celica enolično določena s parom simbolov: simbolom naslednjega stanja in simbolom izhodnega signala.

V praksi so avtomatske funkcije podane z dvema poimenovanima končnima tabelama prehodna matrika in zaključna matrika. V tem primeru so vrstice označene s črkami vhodne abecede, stolpci pa s črkami notranje abecede (simboli, ki kodirajo notranje stanje avtomata).

V prehodni matriki je na presečišču vrstice x k in stolpca q r vrednost prehodne funkcije δ(q i , X) in sklepne funkcije λ(q, X). V nekaterih primerih sta obe tabeli združeni v eno tabelo.

Grafični način.

Avtomat je specificiran z uporabo grafa, diagrama, grafa itd. Dodelitev z uporabo usmerjenega grafa je bolj priročna in kompaktna oblika opisovanja avtomata.

avtomatski graf vsebuje

· vrhovi, ustreza državi qiОQ,

· loki, povezovalna vozlišča so prehodi avtomata iz enega stanja v drugo. Na lokih je običajno označevati pare vhodnih in izhodnih signalov - prehodne signale.

Če avtomat preide iz drž q 1 v stanje q2 pod vplivom več vhodnih signalov, bo ta različica predstavljena na ustreznem loku grafa skozi disjunkcijo. Za predstavitev avtomata se uporabljajo bipolarni grafi z ločenimi začetnimi in končnimi stanji.

Razvoj lestvice "kapacitivnega merilnika".

Slika 2.5. Graf lestvice naprave za merjenje kapacitivnosti

Zaključek

Ker uporaba generatorjev z nihajnimi krogi (tip RC) za generiranje visokofrekvenčnih nihanj ne zadošča, je bilo za razviti generator vzeto vezje tipa LC (kot fazno vezje je bilo vzeto tritočkovno vezje z avtotransformatorsko sklopko, aktivni element je tranzistor).

V teoretičnem delu te naloge so bili obravnavani elementi generatorjev tipa LC. Upoštevana je bila tudi klasifikacija generatorjev tipa LC, njihov namen in različna generatorska vezja. Kot tudi tehnične značilnosti elementov generatorja.

V praktičnem delu je bila razkrita tema o kodirnikih, dekoderjih, njihovem namenu, izdelane pa so bile tudi električne funkcionalne in električne sheme dajalnikov in dekodirnikov. Razkrita je bila tema kart Karnot. Razvit je bil tudi segment "b" sedemsegmentnega indikatorja. Za lestvico instrumenta za merjenje kapacitivnosti je bil razvit avtomat stanja in graf zanj.

Osnovne definicije n Končni avtomat je sistem M =(А, B, S, y), v katerem je n n n А = (а 1, . . . , am) končna vhodna abeceda, B = (b 1, . . . . . , bk ) - končna izhodna abeceda, S =(s 1, . . . , sn) - končna abeceda stanj, : A S S - prehodna funkcija, y: A S B - izhodna funkcija. n Če je v avtomatu M izbrano eno stanje, imenovano začetno stanje (običajno se šteje, da je to s 1), potem nastali avtomat imenujemo začetno in ga označimo z (M, s 1). n Obstajata dva načina za definiranje avtomata: avtomatska tabela, prehodni diagram

Tabela avtomata n 1) 2) 3) 4) Primer: nastavite avtomat za branje besede "001", če sta vnesena znaka "0" in "1". Vhodna abeceda A=(0, 1) Izhodna abeceda A=(Y, N) Abeceda stanja S=(s 0 "", s 1 "0", s 2 "00" s 3 "001") Samodejna tabela na dva načina . 1) Vrstice so stanja avtomata. Stolpci so vhodni simboli. Na presečišču vrstic in stolpcev so označene funkcije, y. 2) S, A, y so podani s stolpci. Vaja 25 Sestavite avtomat za iskanje besede CAKADU SA 0 1 S 0 "" S 1, N S 0, N S 1 "0" S 2, N S 0, N S 2 "00" S 2, N S 3, Y S 3 "001 " S 1 , N S 0, N S In y S 0 0 S 1 N 1 S 0 N 0 S 2 N 1 S 3 Y 0 S 1 N 1 S 0 N S 1 S 2 S 3

Prehodni diagram n Orientirani multigraf, imenovan prehodni diagram, je multigraf, prehod ali graf, ki ustreza stanjem. Če je (Si, aj)=Sk, y(Si, aj)=bl, potem od oglišča Si do oglišča Sk poteka lok, na katerem je zapisano (aj, bl) n Na vsakem oglišču si veljajo pogoji pravilnosti : 0 1 S 0 "" S 1, N S 0, N S 1 "0" n Oglišča, y S 2, N S 0, N S 2 "00" S 2, N S 3, Y S 3 "001" S 1, N S 0, N 1, N izpolnjeno 1) ima za vsako vhodno črko aj lok, ki izhaja iz si, na katerem piše aj (pogoj popolnosti); 2) katera koli črka aj se pojavi samo na enem robu, ki izhaja iz si (pogoj konsistentnosti ali determiniranosti) S 0 S 1 (0, N) (1, N) (0, N) (1, N) S 2 (1, Y) S 3

Avtomati in vhodne besede n Za dani avtomat M sta njegovi funkciji M in y. M lahko definiramo ne le na množici A vseh vhodnih črk, ampak tudi na množici A* vseh vhodnih besed. n Za poljubno vhodno besedo = aj 1 aj 2. . . ajk (si, aj 1 aj 2. . . ajk) = ((… (si, aj 1), aj 2), . . . , ajk-1), ajk). y (si, aj 1 aj 2. . . ajk) = y((… (si, aj 1), aj 2), . . . , ajk-1), ajk).

Primer: Avtomati in vhodne besede Primer: = 0101 (S 1, 0101) = ((S 1, 0), 1) (S 1, 0101) = (((S 2, 1), 0), 1) (S 1, 0101) = ((S 3, 0), 1) (S 1, 0101) = (S 1, 1) (S 1, 0101) = S 0 0 1 S 0 "" S 1, N S 0, N S 1 "0" S 2, N S 0, N S 2 "00" y(S 1, 0101) = y((((S 1, 0), 1) y(S 1, 0101) = y(((S 2) , 1), 0), 1) y(S 1, 0101) = y((S 3, 0), 1) y(S 1, 0101) = y(S 1, 1) y(S 1, 0101) \u003d N, y S 2, N S 3, Y S 3 "001" S 1, N S 0, N

Avtomatska preslikava n Popravimo začetno stanje S 0 v M in za vsako vhodno besedo = a 1 a 2. . . ak priredimo besedo v izhodni abecedi: = y (S 0, a 1) y(S 0, a 1 a 2). . . y(S 0, a 1. . . ak). (3 a) n Ta korespondenca, ki preslika vhodne besede v izhodne besede, se imenuje avtomatska preslikava. n Če je rezultat uporabe operatorja na besedo izhodna beseda, bo to ustrezno označeno z M() = .

Primer: Samodejno preslikavo Dodelimo vhodno besedo = 0101 besedi v izhodni abecedi: = y (S 0, 0) y(S 0, 01)y(S 0, 0101). y (S 0, 0)= N, y 0 S 0 "" S 1, N S 0, N S 1 "0" S 2, N S 0, N S 2 "00" S 2, N S 3, Y 1 S 3 "001 » S 1, N S 0, N y(S 0, 01) = y((S 0, 0), 1) = y(S 1, 1) = N y(S 0, 010) = y(((S 0, 0), 1), 0) = y((S 1, 1), 0) = y(S 0, 0)=N y(S 0, 0101) = y((((S 0, 0) , 1) =y(((S 1, 1), 0), 1) = = y((S 0, 0), 1) = y(S 0, 1) = NNNN

Lastnosti prikaza avtomatov 1) besede in = M() imajo enako dolžino: | | = | | (lastnost ohranjanja dolžine); 2) if = 1 2 in M(1 2) = 1 2, kjer je | 1| = | 1|, potem je M(1) = 1; z drugimi besedami, podoba odseka dolžine i je enaka odseku podobe enake dolžine.

Vrste avtomatov n Splošni model končnega avtomata (S-končnega), ki smo ga obravnavali prej, imenujemo Mealyjev avtomat. n Avtomat se imenuje avtonomen, če je njegova vhodna abeceda sestavljena iz ene črke: A=(a). Vse vhodne besede avtonomnega avtomata imajo obliko aa. . . a. n Končni avtomat se imenuje Moorov avtomat, če je njegova izhodna funkcija odvisna samo od stanj, tj. za vsak s, ai, aj velja y(s, ai) = y(s, aj). Izhodna funkcija Moorovega avtomata je seveda en argument; običajno je označena s črko in se imenuje funkcija oznak. V grafu Moorejevega avtomata izhod ni zapisan na robovih, ampak na vrhu.

Izrek o Moorovih avtomatih: Za vsak Mealyjev avtomat obstaja enakovreden Moorov avtomat. n Pri proučevanju možnosti avtomatov zadošča uporaba Moorovih avtomatov. To je priročno, ker lahko na Moorov avtomat gledamo kot na avtomat brez izhodov, katerih stanja so označena na različne načine.

Primer avtonomnega avtomata SA a S 1 S 3, 0 S 2 S 4, 0 S 3 S 4, 0 S 4 S 7, 0 S 5 S 4, 2 S 6 S 5, 0 S 7 S 6, 1 S 8 S 9, 0 S 9, 1 S S S S S A=(a), B=(0, 1, 2), S=(S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7, S 8, S9)

Nerazločljiva stanja n Naj sta M in T dva avtomata z isto vhodno in izhodno abecedo. Za stanje s avtomata M in stanje r avtomata T pravimo, da se ne razlikujeta, če je za katero koli vhodno besedo M(s,) = T(r,). n Avtomata M in T imenujemo nerazločljiva, če za katero koli stanje s avtomata M obstaja stanje r avtomata T, ki se od njega ne razlikuje, in obratno, za kateri koli r iz T obstaja stanje s, ki se ne razlikuje od M. n Nerazločljiva stanja imenujemo enakovredna

Minimalni avtomat n Prehod z avtomata M na enakovredni avtomat imenujemo ekvivalentna transformacija avtomata M. n Postavljamo si lahko različne probleme iskanja avtomatov, ki so ekvivalentni danemu avtomatu in imajo dane lastnosti. Med takimi problemi je najbolj raziskan problem minimiziranja števila stanj avtomata: med avtomati, enakovrednimi M, poiščite avtomat z najmanjšim številom stanj - minimalni avtomat.

Vidiki »dela« avtomatov Ločimo lahko dva glavna vidika »dela« avtomatov: 1) avtomati prepoznajo vhodne besede, tj. odgovarjajo na vprašanje, ali vhodna beseda pripada dani množici (to so avtomati prepoznavalci) ; 2) avtomati pretvorijo vhodne besede v izhodne besede, tj. izvajajo avtomatske preslikave (transformatorski avtomati).

TA v okviru metamatematike n Predmet teorije algoritmov in formalnih sistemov v okviru metamatematike - katere predmete in dejanja na njih je treba obravnavati kot natančno definirane, kakšne lastnosti in zmožnosti imajo kombinacije elementarnih dejanj, kaj je mogoče in česa ne. opravljeno z njihovo pomočjo. n Glavna uporaba teorije algoritmov je dokazovanje nezmožnosti algoritemske (tj. natančne in nedvoumne) rešitve določenih matematičnih problemov.

Algoritem n Algoritem je predpis, ki enolično podaja proces transformacije začetnih podatkov v zahtevani rezultat n Sam proces transformacije je sestavljen iz elementarnih diskretnih korakov, katerih uporaba končno številokrat vodi do rezultata

Osnovne vrste algoritmov n Teorija algoritmov je metateorija, ki proučuje različne (kvalitativne in kvantitativne) lastnosti algoritmov. n Za preučevanje kvalitativnih lastnosti so opredeljeni 3 glavni tipi algoritmov: 1) Rekurzivne funkcije 2) Turingov stroj 3) Kanonični Postovi sistemi in normalni Markovljevi algoritmi.

Najenostavnejše rekurzivne funkcije n S 1(x) = x+1 - funkcija je odvisna od ene spremenljivke x in je enaka x+1. n On(x 1…xn) =0 - funkcija je odvisna od n spremenljivk in je vedno enaka 0. n Imn(x 1…xn) = xm - funkcija je odvisna od n spremenljivk in je vedno enaka vrednosti spremenljivke xm

Primitivna rekurzija n Funkcijo f(x 1…xn+1) dobimo z algoritmom primitivne rekurzije iz funkcij g(x 1…xn) in h(x 1…xn+2), če je f(x 1, …xn, 0) = g (x 1, …xn) (1) f(x 1, …xn, y+1) = h(z), kjer je z=f(x 1, …xn, y) (2) Funkcija f imenujemo primitivno rekurzivno, če ga lahko dobimo iz najenostavnejših funkcij S 1, On, Imn s končnim številom superpozicij in primitivnih rekurzijskih operacij.

Primer n Da bi dokazali, da je funkcija primitivno rekurzivna: 1) V skladu z enačbama (1) in (2) eksplicitno definirajte funkciji g() in h(). 2) Pokažite, da sta g() in h() najenostavnejši funkciji S 1, On, Imn ali prej dokazani primitivni rekurzivni funkciji. Naloga 26: Dokaži, da je funkcija f(x, y) = x+y primitivno rekurzivna Churchova teza: Razred algoritemsko izračunljivih numeričnih funkcij sovpada z razredom vseh rekurzivnih funkcij.

Turingov stroj n Turingov stroj vsebuje: n 1) Zunanji pomnilnik - trak z n celicami. Vsaka i-ta celica je v stanju ai. Abeceda držav je postavljena. Trak je lahko neskončen v obe smeri. Prazna stanja so izpuščena. n 2) Notranji pomnilnik stroja - naprava je trenutno v stanju qi. Podana je abeceda notranjega stanja. Začetno stanje q 1, končno q 0 ali qz. n 3) Kazalec - kaže na trenutno celico in se premika po traku. n 4) Krmilna naprava - prebere znak celice, na katero kaže kazalec. V skladu s programom spremeni stanje celice in premakne kazalec.

Stanje in program MT n Stanje Turingovega stroja se imenuje beseda n ​​n n n a 1…ak-1 qi ak…ar , ki nastane z vstavljanjem simbola notranjega stanja pred nadzorovano celico. Program Turingovega stroja je niz ukazov, ki jih lahko izvede stroj qi aj qi' aj' D, kjer je qi notranje stanje stroja, aj je stanje nadzorovane celice, qi' je novo stanje stroja. aj' je nov znak, zapisan v nadzorovano celico D = ( L, R, E) - znaki, ki simbolizirajo premik kazalca za eno celico v levo, v desno oziroma odsotnost premika.

Primer MT Vaja 27: Poiščite končno stanje Turingovega stroja. Začetna abeceda: A = (0, 1) Abeceda notranjega stanja: Q = (q 0, q 1, q 2) Program: ( 1) q 10 q 20 R, 2)q 20 q 01 E, 3) q 11 R, 4) q 21 R ) Začetna beseda: q 111

Primer MT Control 28 Poiščite končno stanje Turingovega stroja Začetna abeceda: A \u003d (0, 1, ) Abeceda notranjega stanja: Q \u003d (q 0, q 1, q 2, q 3) Program: ( 1 ) q 1 q 00 R, 2) q 11 q 20 R, 3) q 21 R, 4) q 2 q 31 L, 5) q 30 q 00 R, 6) q 31 L) A) Začetna beseda: q 111 1 B) Začetna beseda: q 11 111

Turingova teza Turingova teza: za vsak algoritem A je mogoče zgraditi Turingov stroj, ki ob enakih začetnih podatkih daje enake rezultate kot algoritem A. n Če je 1 q 1 2 1 qz 2, potem bomo rekli, da je stroj T predela besedo 1 2 v besedo 1 2 in jo označi s T(1 2) = 1 2. n Zapis T() je oznaka stroja T z začetnimi vrednostmi.

Normalni Markov algoritmi n Normalni Markov algoritmi (NAM) pretvarjajo besede končne dolžine eno v drugo z uporabo zamenjave. n Naloga NAM Zamenjava Abeceda u v Končna zamenjava u v n Kontrola 29 Podan je običajni Markovljev algoritem: Abeceda je abeceda ruskega jezika. Nadomestna shema (I U, L U, S M, V B, RT, T R, O X, N A) n Začetna beseda SLON. n Poišči končno besedo.

Ocenjevanje kompleksnosti algoritmov n Predpostavimo, da funkciji f(n) in g(n) merita zmogljivost dveh algoritmov, običajno ju imenujemo funkciji časovne kompleksnosti. Rekli bomo, da vrstni red rasti funkcije f(n) ni večji od vrstnega reda g(n), če obstaja pozitivna konstanta C, taka da | f(n) |

Učinkovitost algoritmov A B C D E n 3 n 2 2 n 2+4 n n 3 2 n 1 1 ms 3 ms 6 ms 2 ms 10 10 ms 300 ms 240 ms 1024 s 100 ms 30 s 20,4 ms 0,28 h 4*1017 centurij 0,16 h dni 10176 centurij 1000 ms 0,83 h 1 ms

Teorija algoritmov n Teorija algoritmov - razvršča probleme po kompleksnosti. V tem primeru so razvrščene le naloge prepoznavanja. n Prepoznavna naloga je naloga, ki odgovarja na vprašanje, ali ima vhodni podatek kakšno lastnost. V našem primeru: vhodni podatek je graf, lastnost - ali je graf hamiltonski?

Razreda P in NP n Kompleksnostni razred P: obstaja algoritem A, ki reši problem v polinomskem času. n Kompleksnostni razred NP - obstaja algoritem A, ki preveri predlagano rešitev v polinomskem času. n Problem Hamiltonovega cikla je ugotoviti, ali ima dani graf G Hamiltonov cikel, ki pripada NP-razredu.

Primeri problemov NP n Problem logične zadovoljivosti: iz dane logične formule ugotoviti, ali je vanjo vključen niz spremenljivk, ki jo spremeni v 1. n Problem klike: iz danega grafa ugotoviti, ali obstajajo klike (popolne podgrafov) dane velikosti v njem. n Problem obstoja Hamiltonovega cikla v grafu. n Obstoj celoštevilske rešitve sistema linearnih neenačb.

Možnost reševanja problemov NP z naštevanjem n Rešitev na začetku ni znana. Zato je pomembno, da je vsak problem, povezan z NP-razredom, mogoče rešiti v eksponentnem času s preštevanjem vseh možnih kombinacij n, kar se zgodi v algoritmu za iskanje Hamiltonovega cikla

Odnos med R in NP n Katera koli naloga iz P spada v NP. n Tako razred NP vključuje razred P. Trenutno ni znano, ali sta razreda P in NP enaka, vendar večina strokovnjakov meni, da nista.

Razmerje P in NP n Če se izkaže, da je P = NP 1) Naloge NP bodo rešene v razumnem času. 2) Obstaja več problemov, ki namerno uporabljajo probleme eksponentne kompleksnosti (tj. ob predpostavki, da problema ni mogoče rešiti). Na primer, v kriptografiji obstaja razdelek o šifriranju javnih ključev, ki ga je skoraj nemogoče dešifrirati. Če nenadoma P = NP, potem bodo številne skrivnosti prenehale biti takšne.

NP-popolni problemi n Najbolj prepričljiv razlog za domnevo, da je P ≠ NP, je obstoj NP-popolnih problemov. n Neformalno!!! se problem Q reducira na problem Q′, če je problem Q mogoče rešiti v polinomskem času za kateri koli vhod, ob predpostavki, da je znana rešitev problema Q′ za nek drug vhod. Na primer, problem reševanja linearne enačbe se zmanjša na problem reševanja kvadratne enačbe.

NP-popolni problemi n NP-popolni problem je problem iz razreda NP, na katerega je mogoče reducirati katerikoli drug problem iz razreda NP. n NP-popolni problemi tvorijo podmnožico "najtežjih" problemov v razredu NP. Če za kateri koli NP-popoln problem najdemo algoritem polinomske rešitve, potem lahko kateri koli drug problem iz razreda NP rešimo v polinomskem času. n Vse navedene težave NP so NP-popolne. Vključno s problemom Hamiltonovega cikla.

Baranov Viktor Pavlovič Diskretna matematika. Sekcija 6. Končni avtomati in formalni jeziki.

Predavanje 31 Sintetična naloga. Elementarni avtomati

Predavanje 30

PROBLEM SINTEZE. ELEMENTARNI AVTOMATIZI

Načrt predavanja:

1. Definicija končnega avtomata.

2. Metode za definiranje končnega avtomata.

1. Problem sinteze avtomatov.
2. Elementarni stroji.
3. Problem popolnosti osnove avtomata.
4. Kanonična metoda za avtomatsko sintezo.

1. Definicija državnega stroja

SFE ne upošteva dejstva, da prave naprave delujejo v času. V primerjavi s SFE je končni avtomat natančnejši model diskretnega pretvornika informacij. Hkrati je koncept končnega avtomata, kot vsak model, povezan s številnimi poenostavljenimi predpostavkami.

Prvič, predpostavimo, da sta lahko vhod in izhod avtomata kadar koli le v enem od končnega števila različnih stanj. Če ima pravi pretvornik zvezen vhodni signal, potem je za opis s končnim avtomatom potrebno ta signal kvantizirati. V formalni definiciji avtomata imenujemo končno množico vhodnih in izhodnih stanj avtomata vhodna oziroma izhodna abeceda, posamezna stanja pa črke teh abeced.

Drugič, predpostavlja se, da se čas spreminja diskretno. Vhodna in izhodna stanja ustrezajo diskretnemu časovnemu zaporedju Ker je trenutek časa enolično določen s svojim indeksom, bomo zaradi poenostavitve predpostavili, da ima čas vrednosti 1, 2, ..., ... Časovni interval se imenuje takt.

Delovanje stroja je predstavljeno na naslednji način.

Vhod avtomata sprejema signale iz vhodne abecede, kar vodi do pojava signalov na izhodu iz vhodne abecede. Odvisnost izhodnega zaporedja od vhodnega je odvisna od notranje zgradbe avtomata. Upoštevajte, da je za razliko od SFE, ki nimajo pomnilnika, avtomat naprava s pomnilnikom, tj. izhod avtomata ni določen le z vhodom, temveč tudi s predzgodovino. Predzgodovino upoštevamo z odvisnostjo izhodnega signala ne samo od vhodnega, temveč tudi od trenutnega stanja, ki ga označujemo.

Dajmo formalno definicijo avtomata.

Državni stroj je niz petih predmetov

končna množica, imenovana vhodna abeceda; eno od možnih vstopnih stanj;

končna množica, imenovana izhodna abeceda; elementi tega niza določajo možna izhodna stanja;

končna množica, imenovana abeceda notranjih stanj;

avtomatska prehodna funkcija: ; ta funkcija dodeli stanje vsakemu paru "vhodno stanje";

funkcija strojnih izhodov: ; ta funkcija poveže vsak par vhodno stanje z izhodno vrednostjo.

Zakon delovanja avtomata: avtomat spreminja svoja stanja v skladu s funkcijo in generira izhodne signale v skladu s funkcijo:

1. Načini definiranja državnega stroja

1. Tabelarni način nastavitve. Ker pri funkcijah obseg in vrednosti pripadajo končnemu naboru, so podani s pomočjo tabel.

Primer 1. Definirajmo avtomat takole: , .Funkcijo definiramo s prehodno tabelo, funkcijo pa z izhodno tabelo.

Tabela 1. Preskočna tabela Tabela 2. Izhodna tabela

Če je zaporedje signalov na vhodu avtomata znano, potem je izhodno zaporedje enolično določeno s tabelami prehodov in izhodov.

2. Grafični način nastavitve. Uporabljen je diagram prehod-izhod. Je usmerjen multigraf, v katerem vsako notranje stanje avtomata ustreza točki. Prehodi avtomata iz stanja v stanje so prikazani s puščicami, na vsaki izmed njih pa sta zapisana vhodni simbol, ki povzroči ta prehod, in izhodni simbol, ki ga generira avtomat.

Slika 1 Diagram prehodov-izhodov

Primer 2. Potrebno je zgraditi avtomat, ki bi deloval na naslednji način: v vsakem ciklu so na vhodu avtomata prejete naslednje binarne števke izrazov, avtomat generira ustrezno binarno števko njihove vsote. Za dvomestne člene imamo: , .

Avtomat je v stanju 1, če med seštevanjem prejšnjih števk pride do prenosa, sicer pa v stanju 0. Diagram prehod-izhod je prikazan na sl. 2.

1. Problem sinteze avtomatov

Po analogiji s problemom sinteze SFE lahko postavimo problem sinteze za avtomate. Obstaja neomejen nabor osnovnih avtomatov. Potrebno je sestaviti avtomat z vnaprej določenim delovanjem. Hkrati se naloga sinteze sooča z določenimi težavami.

Predpostavimo, da morate izhod avtomata povezati z vhodom avtomata. To je mogoče pod pogojem, saj sicer drugi avtomat ne bo razumel signalov, ki prihajajo iz prvega. To vodi v zmedo, ko nekatere povezave niso mogoče.

Za premagovanje te ovire je uveden koncept strukturnega avtomata, v katerem so vse abecede (vhod, izhod in notranja stanja) kodirane v binarnih besedah.

Naj bo končna množica elementov in niz binarnih besed dolžine, kjer je. Poljubno injektivno preslikavo bomo imenovali kodiranje niza z binarnimi besedami.

Kodirajmo abecede za poljuben avtomat:

Označimo kodiran vhod, izhod in stanje avtomata v trenutku. Nato bo zakon delovanja predstavljen v obliki

Avtomat, dobljen po kodiranju, se imenuje strukturni avtomat. Predpostavimo, da ima strukturni avtomat binarne vhode, binarne izhode, notranje stanje avtomata pa je podano z binarno besedo dolžine. Na sl. Slika 3 prikazuje abstraktni avtomat in njegov ustrezen strukturni avtomat.

Prehod na strukturni avtomat zagotavlja dve pomembni prednosti za sintezo.

1. Združljivost vhodov in izhodov, saj se prek njih prenašajo binarne informacije. Ne bomo podali splošne definicije vezja iz strukturnih avtomatov, podobno je SFE.

2. Zapišimo relacije (2) v "koordinatah":

Iz (3) sledi, da je zakon delovanja strukturnega avtomata podan s sistemom Boolovih funkcij.

1. Elementarni avtomati

Izločimo najpreprostejše strukturne avtomate in jih poimenujemo.

Najprej upoštevajte, da lahko funkcionalni element, ki ima samo eno stanje, obravnavamo kot avtomat brez pomnilnika.

Pojdimo k avtomatom z dvema stanjema. Naj ima avtomat en binarni vhod in en binarni izhod, ki sovpadata z notranjim stanjem: :

Za nastavitev avtomata, prikazanega na sl. 4, je dovolj, da nastavite samo prehodno tabelo:

Tabela 3

Namesto zvezdic morate postaviti 0 in 1. To lahko storite na 16 načinov, vendar niso vsi sprejemljivi. Recimo, da sta v prvem stolpcu tabele 3 oba elementa ničli. Takšen avtomat, ko je enkrat v stanju 0, iz njega ne bo več izstopil, to pomeni, da bo deloval kot funkcionalni element. Analiza podobnih situacij kaže, da je za pridobitev avtomata, ki ga ni mogoče zvesti na avtomat brez pomnilnika, zahtevati, da se v vsakem stolpcu tabele 3 pojavita tako nič kot ena. Take mize so le štiri.

Tabela 4 Tabela 5

Tabela 6 Tabela 7

Imamo samo dva najpreprostejša avtomata, saj 7 dobimo iz 4, 6 pa iz 5 z inverzijo notranjih stanj.

Avtomat, ki ga podaja tabela 4, se imenuje zakasnitev ali -prožilec:

to pomeni, da ta avtomat zakasni signal za en cikel.

Avtomat, določen s tabelo 5, se imenuje prožilec s števnim vhodom ali -prožilec. Stanje avtomata se spremeni v nasprotno, če je vnos 1, in ostane nespremenjen, če je vhod 0:

Naj bo -sprožilec v začetnem trenutku v stanju 0. Če je na neki točki -sprožilec v stanju 0, potem to pomeni, da je na vhodu avtomata prejeto sodo število 1s. Če je v stanju 1, je liho. Tako -sprožilec šteje število enot na vhodu, a ker ima le dve stanji, šteje do dve.

Pri fizični izvedbi sprožilcev se uporabljata dva izhoda: direktni in inverzni (slika 5). Če ju zamenjamo, dobimo iz -triggerja avtomat, ki ga določa tabela 7, iz -triggerja pa avtomat, ki ga določa tabela 6.

1. Problem popolnosti osnove avtomata

Niz strukturnih avtomatov se imenuje popoln (ali osnova avtomatov), ​​če je iz njih mogoče sestaviti kateri koli dani strukturni avtomat.

Prizadevanja matematikov, da bi dobili analog Postovega izreka za avtomate, so bila neuspešna. Leta 1964 je M.I. Na kratko dokazal neobstoj algoritma za ugotavljanje popolnosti sistema. V tem primeru so zanimive različice izreka o popolnosti z dodatnimi predpostavkami o sistemu. Razmislimo o najbolj priljubljenih med njimi.

Izrek. Sistem avtomatov, ki vsebuje celoten niz FE in -sprožilec (ali -sprožilec), je dokončan.

Dokaz. Razmislite o poljubnem avtomatu, podanem z relacijami (2), in opišite njegovo shemo navedenih avtomatov, imenovano kanonična struktura (slika 6).

Shema je sestavljena iz dveh delov.

Leva polovica se imenuje spominski del. Sestavljen je iz sprožilcev, katerih niz stanj tvori stanje avtomata: če v trenutku

potem to pomeni, da je avtomat v stanju.

Desna polovica se imenuje kombinacijski del in predstavlja SFE. Vhodi tega vezja so:

1. binarni besedni vhodni signal avtomata;
2. binarna beseda trenutno notranje stanje avtomata.

1. binarni besedni izhodni signal avtomata, ki se izvaja po formulah (3);
2. binarna beseda, ki vstopa na vhode prožilnikov v pomnilniški del in krmili pomnilnik avtomata.

Pokažimo, da so krmilni signali pomnilnika logične funkcije istih spremenljivk kot izhod avtomata, kar pomeni, da jih je mogoče implementirati s celotnim sistemom FE.

V vsakem trenutku morajo krmilni signali pomnilnika prenesti avtomat iz stanja v stanje. Če želite to narediti, morate spremeniti stanje vsakega sprožilca

-triggerji ali -triggerji, uporabljeni v kanonični shemi, imajo naslednjo lastnost: za kateri koli par stanj obstaja vhodni signal, ki prenaša avtomat iz stanja v stanje. Označimo ta signal z. Za -prožilec, saj je stanje, v katerem je -prožilec nastavljeno, enako vhodnemu signalu. Za -sprožilec: ko je treba na vhod uporabiti 0, da se stanje ne spremeni; na 1, tako da se sprožilec "obrne".

Torej, ali v vektorski obliki

Izrazimo iz zakona delovanja avtomata (2). Potem

Izrek je dokazan.

1. Kanonična metoda za avtomatsko sintezo

Oglejmo si to metodo na konkretnem primeru.

Primer. Na tekočem traku je nameščen avtomatski stroj, po katerem se premikajo deli dveh vrst, katerih naloga je razvrstiti dele tako, da po prehodu mimo stroja tvorijo skupine. Stroj potisne neustrezen del s tekočega traku. Potrebno je zgraditi vezje takšnega avtomata z uporabo -prožilca in elementov "IN", "ALI", "NE".

Avtomatska sinteza je razdeljena na naslednje stopnje.

1. Konstrukcija abstraktnega avtomata.

Vnosna abeceda. Izhodna abeceda je , kjer je C kolizija dela, P njegov preskok. Notranja stanja avtomata odražajo njegov spomin na to, kateri del skupine je že oblikoval: . Ko se skupina oblikuje, se avtomat ciklično premika skozi ta stanja, ne da bi spremenil stanje, ko pride neustrezen del. Diagram prehod-izhod je prikazan na sl. 7.

2. Kodiranje abeced.

Ena od možnih možnosti kodiranja je prikazana v naslednjih tabelah.

Input Output Status

3. Konstrukcija kanonične strukture avtomata.

Kanonična struktura avtomata, ki se razvija, je prikazana na sl. osem.

Poiščimo odvisnosti izhodov SFE od spremenljivk, najprej v tabelarični obliki (tabela 8), po kateri bomo nadalje gradili formule

Tabela 8

Te funkcije se imenujejo delno definirane, ker niso definirane pri. Za predstavitev teh funkcij s formulami jih razširimo tako, da dobimo enostavnejšo obliko formul.

4. Predstavitev avtomatskih izhodnih funkcij in krmilnih funkcij pomnilnika s formulami.

Z metodami minimiziranja logičnih funkcij zgradimo ekonomično predstavitev funkcij, če je mogoče, s formulami v osnovi:

5. Izvedba SFE in končna shema avtomata (slika 9).

DEFINICIJA IN METODE OZNAČEVANJA KONČNEGA AVTOMATA. PROBLEM SINTEZE. ELEMENTARNI AVTOMATIZI