Калінінградський торгово-економічний коледж - філія Російської академії народного господарства та державної служби за президента Російської Федерації. Калінінградський торгово-економічний коледж - філія російської академії народного господарства

Історія Калінінградського торгово-економічного коледжу – сторінка історії регіону, що пишеться з 1946 року. За час зі стін коледжу вийшло понад 25 тисяч фахівців.

З 2004 року коледж став експериментальним майданчиком Московського інституту проблем розвитку середньої професійної освіти на тему «Розповсюдження європейського досвіду зі створення та організації Центрів навчання дорослих та Центрів відкритої освіти в регіоні». Десять років він є членом Російської асоціації маркетингу, має статус коледжу соціальної спрямованості. Останній присвоєний коледжу адміністрацією області за постійну підтримку соціально не захищених студентів, викладачів, пенсіонерів, військовослужбовців та членів їхніх сімей, працюючих викладачів та співробітників.

Підготовка студентів у Калінінградському торговельно-економічному коледжі ведеться на п'яти факультетах: технології та сервісу, маркетингу-менеджменту, правознавства, економіки та бухгалтерського обліку, нетрадиційних форм навчання. Освітнє поле коледжу включає шістнадцять спеціальностей. У тому числі технологія приготування їжі, комерція у харчуванні, комерція у торгівлі, менеджмент, маркетинг, бухгалтер-юрист, банківська справа, організація обслуговування у готельному комплексі, фінанси, туризм та багато іншого.

У коледжі діє Центр профорієнтаційної роботи та підготовки абітурієнтів. На факультеті нетрадиційних форм навчання можна не лише підвищити кваліфікацію, а й здобути нову спеціальність без відриву від виробництва. Центр відкритої освіти, що діє, орієнтований на надання допомоги у професійній підготовці більш ніж за двадцятьма спеціальностями. Тут можна підвищити кваліфікацію, пройти перепідготовку. Методи найрізноманітніші: ділові ігри, тренінги, семінари, вправи, відкриті засідання, конференції, проектна робота. Все це дозволяє слухачам максимально засвоювати пропонований матеріал.

Співпраця з Калінінградським державним університетом, Калінінградським державним технічним університетом, Балтійською державною академією дозволяє коледжу готувати фахівців, знання яких стають капіталом та головним ресурсом економічного розвитку регіону. За роки цієї взаємодії вищу освіту на спеціальному факультеті зі скороченим терміном навчання здобули понад двісті випускників. Усі вони затребувані господарським комплексом регіону, багато хто увійшли до еліти підприємницького корпусу області.

Калінінградський торговельно-економічний коледж налагодив зв'язок та активно взаємодіє з Данією, Швецією, Німеччиною, Польщею, Фінляндією. Колектив бере участь у міжнародних освітніх проектах. Їхня тематика різноманітна, вона включає такі важливі теми, як «Допомога Калінінградській владі у розвитку малого та середнього бізнесу», «Допомога офіцерам та безробітним членам їхніх сімей в отриманні цивільних спеціальностей для подальшого працевлаштування», «Підготовка викладачів з андрагогіки та розробки діяльності в Калінінграді» тощо.

У 1999 році в рамках міжнародного проекту завдяки зусиллям Лідії Іванівни Мотолянець – заступника директора з навчальної роботи – створено імітаційну фірму – модель підприємства, що відображає діяльність реальної організації торгівлі, ефективну спеціалізовану форму підвищення кваліфікації персоналу всіх рівнів, що працює у сфері малого бізнесу.

Місія колективу – гарантувати освіту, яка відповідатиме потребам суспільства, та сприятиме становленню цілісної особистості – виконується повною мірою. Калінінградський торговельно-економічний коледж – це професіоналізм, відповідальність, престиж.

КТЕК
ПЦК економіки та обліку

15 екз, 2006 р.

Вступ. 4

Поняття похідної. 5

Приватні похідні 11

Точки перегину. 16

Вправи на вирішення. 17

Контрольна робота. 20

Відповіді до вправ. 21

Література 23

Вступ

f(x x, то називають граничним продуктом; якщо g(x) g(x) g′(x)називають граничними витратами.

Наприклад, Нехай відома функція u=u(t) uза час роботи t. ∆t=t 1 - t 0:

z порівн. =

z порівн. при ∆t→ 0: .

Витрати виробництва K xтому можна записати K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)-K(x).

Межа називається

Поняття похідної

Похідна функція в точці x 0називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу за умови, що збільшення аргументу прагне нуля.

Позначення похідної функції:

Т.о. за визначенням:

Алгоритм знаходження похідної:

Нехай функція y=f(x)безперервна на відрізку , x

1. Знаходимо збільшення аргументу:

x- Нове значення аргументу

x 0- початкове значення

2. Знаходимо збільшення функції:

f(x)- Нове значення функції

f(x 0)-початкове значення функції

3. Знаходимо відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

4. Знаходимо межу знайденого відношення при

Знайти похідну функції виходячи з визначення похідної.

Рішення:

Дамо хприріст Δх,тоді нове значення функції дорівнюватиме:

Знайдемо збільшення функції як різницю між новим і початковим значеннями функції:

Знаходимо відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

.

Знайдемо межу цього відношення за умови, що :

Отже, за визначенням похідної: .

Знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Функція y=f(x)називається диференційованоїна інтервалі (a;b), якщо вона має похідну у кожній точці інтервалу.

ТеоремаЯкщо функція диференційована у цій точці х 0, то вона і безперервна у цій точці.

Зворотне твердження не так, т.к. існують функції, безперервні в деякій точці, але не є диференційованими в цій точці. Наприклад, функція у точці х 0 =0 .

Знайти похідні функції

1) .

2) .

Виконаємо тотожні перетворення функції:

Похідні вищих порядків

Похідний другого порядкуназивається похідна від першої похідної. Позначається

Похідний n-порядкуназивається похідна від похідної (n-1)-го порядку.

Наприклад,

Приватні похідні

Приватна похіднаФункції кількох змінних по одній із цих змінних називається похідна, взята за цією змінною за умови, що всі інші змінні залишаються постійними.

Наприкладдля функції приватні похідні першого порядку дорівнюватимуть:

Максимум та мінімум функції

Значення аргументу, у якому функція має найбільше значення, називають точкою максимуму.

Значення аргументу, у якому функція має найменше значення, називають точкою мінімуму.

Точка максимуму функції є граничною точкою переходу від зростання до спадання, точка мінімуму функції є граничною точкою переходу від спадання до зростання.

Функція y=f(x)має (локальний) максимуму точці, якщо для всіх x

Функція y=f(x)має (локальний) мінімуму точці, якщо для всіх х, досить близьких до виконується нерівність

Максимальне та мінімальне значення функції мають загальну назву екстремумів, А точки, в яких вони досягаються, називаються точками екстремуму.

Теорема (Необхідна умова існування екстремуму) Нехай функція визначена на інтервалі та має найбільше (найменше) значення у точці . Тоді, якщо у точці існує похідна цієї функції, вона дорівнює нулю, тобто. .

Доведення:

Нехай у точці x 0 функція має найбільше значення, тоді кожному виконується нерівність: .

Для будь-якої точки

Якщо x > x 0 то , тобто .

Якщо x< x 0 , то , т.е.

Т.к. Існує , те , що можливо лише у разі рівності нулю, отже, .

Наслідок:

Якщо в точці функція, що диференціюється, приймає найбільше (найменше) значення, то в точці дотична до графіка цієї функції паралельна осі Оx.

Точки, в яких перша похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними –це можливі точки екстремуму.

Зауважимо, що оскільки рівність нулю першої похідної є лише необхідною умовою екстремуму, потрібно додатково дослідити питання про наявність екстремуму в кожній точці можливого екстремуму.

Теорема(достатня умова існування екстремуму)

Нехай функція y = f(x) безперервна і диференційована в деякій околиці точки х 0.Якщо під час переходу через точку x 0зліва направо перша похідна змінює знак із плюсу на мінус (з мінуса на плюс), то в точці x 0функція y = f(x) має максимум (мінімум). Якщо перша похідна не змінює знаку, то ця функція не має екстремуму в точці x0.

Алгоритм дослідження функції на екстремум:

1.Знайти першу похідну функції.

2.Першую похідну прирівняти до нуля.

3. Вирішити рівняння. Знайдене коріння рівняння є критичні точки.

4.Знайдені критичні точки відкласти на числовій осі. Отримаємо низку інтервалів.

5.Визначити знак першої похідної в кожному з інтервалів та вказати екстремуми функції.

6.Для побудови графіка:

Ø визначити значення функції в точках екстремуму

Ø знайти точки перетину з осями координат

Ø знайти додаткові точки

Консервна банка має форму круглого циліндра радіусу. rта висоти h. Вважаючи, що для виготовлення банки використовується чітко фіксована кількість жерсті, визначити, при якому співвідношенні між rі hбанку матиме найбільший обсяг.

Кількість використовуваної жерсті дорівнює площі повної поверхні банки, тобто. . (1)

З цієї рівності знаходимо:

Тоді обсяг може бути обчислений за такою формулою: . Завдання буде зведено до пошуку максимуму функції V(r). Знайдемо першу похідну цієї функції: . Прирівняємо першу похідну нулю:

. Знаходимо: . (2)

Ця точка є точкою максимуму, т.к. перша похідна позитивна і негативна при .

Встановимо тепер, при якому співвідношенні між радіусом та висотою банку матиме найбільший обсяг. Для цього поділимо рівність (1) r 2і скористаємося співвідношенням (2) для S. Отримаємо: . Таким чином, найбільший обсяг матиме банк, у якого висота дорівнює діаметру.

Іноді дослідження знака першої похідної ліворуч і праворуч від точки можливого екстремуму досить важко, тоді можна використовувати друга достатня умова екстремуму:

ТеоремаНехай функція y = f(x) має в точці x 0можливого екстремуму кінцеву другу похідну. Тоді функція y = f(x)має в точці x 0максимум, якщо , і мінімум, якщо .

Зауваження Ця теорема не вирішує питання про екстремум функції в точці, якщо друга похідна функції в цій точці дорівнює нулю або не існує.

Точки перегину

Точки кривої, у яких опуклість відокремлюється від увігнутості, називаються точками перегину.

Теорема (Необхідна умова точки перегину): Нехай графік функції має перегин у точці та функція має у точці x 0 безперервну другу похідну, тоді

Теорема (достатня умова точки перегину): Нехай функція має другу похідну в околиці точки x 0 , яка має різні знаки зліва і праворуч x 0. тоді графік функції має перегин у точці.

Алгоритм відшукання точок перегину:

1. Знайти другу похідну функцію.

2. Прирівняти другу похідну нулю і розв'язати рівняння: . Отримане коріння відкласти на числовий прямий. Отримаємо низку інтервалів.

3. Знайти знак другої похідної у кожному з інтервалів. Якщо знаки другої похідної у двох суміжних інтервалах різні, то маємо точку перегину при даному значенні кореня, якщо знаки однакові, точок перегину немає.

4. Знайти ординати точок перегину.

Дослідити на вигнутість і увігнутість криву. Знайти точки перегину.

1) знайдемо другу похідну:

2) Вирішимо нерівність 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Вирішимо нерівність 2x>0 x>0 при x крива увігнута

4) Знайдемо точки перегину, навіщо прирівняємо другу похідну нулю: 2x=0 x=0. Т.к. у точці х=0 друга похідна має різні знаки ліворуч і праворуч, то х=0 – абсцис точки перегину. Знайдемо ординату точки перегину:

(0; 0) точка перегину.

Вправи для вирішення

№ 1 Знайти похідні даних функцій, обчислити значення похідних за даного значення аргументу:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

№2 Знайти похідні складних функцій:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№3 Розв'язати задачі:

1. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до параболи у точці х=3.

2. До параболи у = 3х2 -х у точці х = 1 проведені дотична і нормаль. Скласти їх рівняння.

3. Знайти координати точки, в якій дотична до параболи у = х 2 +3х-10 утворює кут 1350 з віссю ОХ.

4. Скласти рівняння дотичної до графіку функції у=4х-х 2 у точці перетину з віссю ОХ.

5. При яких значеннях дотична до графіка функції у = х 3 -х паралельна прямий у = х.

6. Крапка рухається прямолінійно за законом S = 2t 3 -3t 2 +4. знайти прискорення та швидкість точки в кінці 3-ї секунди. У який момент часу прискорення дорівнюватиме нулю?

7. Коли швидкість точки, що рухається згідно із законом S=t 2 -4t+5, дорівнює нулю?

№4 Дослідити функції за допомогою похідної:

1. Дослідити на монотонність функцію у = х 2

2. Знайти інтервали зростання та зменшення функції .

3. Знайти інтервали зростання та зменшення функції .

4. Дослідити на максимум та мінімум функцію .

5. Дослідити на екстремум функцію .

6. Дослідити на екстремум функцію у = х 3

7. Дослідити на екстремум функцію .

8. Розбийте число 24 на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

9. З аркуша паперу необхідно вирізати прямокутник площею 100 см 2 так, щоб периметр цього прямокутника був найменшим. Якими повинні бути сторони прямокутника?

10. Дослідити на екстремум функцію у = 2х3-9х2 +12х-15 і побудувати її графік.

11. Дослідити на увігнутість і опуклість криву.

12. Знайти інтервали опуклості та увігнутості кривої .

13. Знайти точки перегину функций: а) ; б).

14. Дослідити функцію та побудувати її графік.

15. Дослідити функцію та побудувати її графік.

16. Дослідити функцію та побудувати її графік.

17. Знайти найбільше та найменше значення функції у=х 2 -4х+3 на відрізку

Контрольні питання та приклади

1. Дайте визначення похідної.

2. Що називають збільшенням аргументу? збільшенням функції?

3. Який геометричний зміст похідної?

4. Що називається диференціюванням?

5. Перелічіть основні властивості похідної.

6. Яка функція називається складною? зворотній?

7. Дайте поняття похідної другого порядку.

8. Чи сформулюйте правило диференціювання складної функції?

9. Тіло рухається прямолінійно згідно із законом S=S(t). Що можна сказати про рух, якщо:

5. Функція зростає на певному інтервалі. Чи слід звідси, що її похідна позитивна цьому інтервалі?

6. Що називається екстремумами функції?

7. Чи обов'язково найбільше значення функції на певному інтервалі збігається зі значенням функції у точці максимуму?

8. Функція визначена на . Чи може точка х = бути точкою екстремуму цієї функції?

10. Похідна функції у точці х 0 дорівнює нулю. Чи слід звідси, що х 0 – точка екстремуму цієї функції?

Контрольна робота

1. Знайти похідні даних функцій:

а)	е)
б)	ж)
с)	з)
д)	і)

2. Напишіть рівняння, що стосуються параболи y=x 2 -2x-15: а) у точці з абсцисою x=0; б) у точці перетину параболи з віссю абсцис.

3. Визначте проміжки зростання та зменшення функції

4. Дослідіть функцію та побудуйте її графік

5. Знайдіть у момент часу t=0 швидкість та прискорення точки, що рухається за законом s =2e 3 t

Відповіді до вправ

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (Результат отриманий застосуванням формули похідної частки). Можна вирішити цей приклад по-іншому:

5.

8. Твір буде найбільшим, якщо кожен доданок буде рівним12.

9. Периметр прямокутника буде найменшим, якщо сторони прямокутника будуть 10 см, тобто. треба вирізати квадрат.

17. На відрізку функція приймає найбільше значення, що дорівнює 3 при х = 0і найменше значення, що дорівнює –1 при х = 2.

Література

1.	Власов В.Г. Конспект лекцій з вищої математики, Москва, Айріс, 96
2.	Тарасов Н.П. Курс вищої математики для технікумів, М., 87
3.	І.І.Валуце, Г.Д. Ділігул Математика для технікумів, М., Наука, 90г
4.	І.П.Мацкевич, Г.П.Свирид Вища математика, Мінськ, Вищ. Школа, 93г.
5.	В.С.Щипачов Основи вищої математики, М.Вищ.школа89г
6.	В.С.Щипачов Вища математика, М.Вищ.школа 85г
7.	В.П.Мінорський Збірник завдань з вищої математики, М. Наука 67г
8.	О.Н.Афанасьєва Збірник задач з математики для технікумів, М.Наука 87г
9.	В.Т.Лісічкін, І.Л.Соловійчик Математика, М.Вищ.школа 91г
10.	М.В.Богомолов Практичні заняття з математики, М.Вищ.школа 90г
11.	Х.Е.Кринський Математика для економістів, M.Статистика 70г
12.	Л.Г.Корсакова Вища математика для менеджерів, Калінінград, КДУ, 97г.

КАЛІНІНГРАДСЬКИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ

з вивчення теми

"похідна функції"

для студентів спеціальності 080110 «Економіка та бухгалтерський облік», 080106 «Фінанси»,
080108 «Банківська справа», 230103 «Автоматизовані системи обробки інформації та управління»

Склала Федорова Є.А.

КАЛІНІНГРАД

Рецензенти: Горська Наталія Володимирівна, викладач, Калінінградський торгово-економічний коледж

У цьому посібнику розглянуто базові поняття диференціального обчислення: поняття похідної, властивості похідних, застосування в аналітичній геометрії та механіці, наведено основні формули диференціювання, наведено приклади, що ілюструють теоретичний матеріал. Посібник доповнено вправами для самостійної роботи, відповідями до них, наведено питання та зразки завдань для проміжного контролю знань. Призначено для студентів, які вивчають дисципліну «Математика» у середніх спеціальних навчальних закладах, які навчаються за очною, заочною, вечірньою формою навчання, екстерном або мають вільне відвідування занять.

КТЕК
ПЦК економіки та обліку

15 екз, 2006 р.

Вступ. 4

Вимоги до знань та вмінь.

Поняття похідної. 5

Геометричний зміст похідної. 7

Механічний сенс похідної. 7

Основні правила диференціювання. 8

Формули диференціювання основних функцій. 9

Похідна зворотної функції. 9

Диференціювання складних функцій. 10

Похідні найвищих порядків. 11

Приватні похідні 11

Дослідження функцій з допомогою похідних. 11

Зростання та зменшення функції. 11

Максимум та мінімум функції. 13

Випуклість та увігнутість кривої. 15

Точки перегину. 16

Загальна схема дослідження функцій та побудови графіків. 17

Вправи на вирішення. 17

Контрольні питання та приклади. 20

Контрольна робота. 20

Відповіді до вправ. 21

Література 23

Вступ

Математичний аналіз дає низку фундаментальних понять, якими оперує економіст, - це функція, межа, похідна, інтеграл, диференціальне рівняння. p align="justify"> В економічних дослідженнях для позначення похідних часто користуються специфічною термінологією. Наприклад, якщо f(x) є виробнича функція, що виражає залежність випуску будь-якої продукції від витрат фактора x, то називають граничним продуктом; якщо g(x)Існує функція витрат, тобто. функція g(x)виражає залежність загальних витрат від обсягу продукції x, то g′(x)називають граничними витратами.

Граничний аналіз економіки- Сукупність прийомів дослідження змін витрат витрат або результатів при зміні обсягів виробництва, споживання і т.п. з урахуванням аналізу їх граничних значень.

Наприклад, знаходження продуктивність праці.Нехай відома функція u=u(t), що виражає кількість виробленої продукції uза час роботи t.Обчислимо кількість виробленої продукції за час ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Середня продуктивність праціназивається ставлення кількості виробленої продукції до витраченого часу, тобто. z порівн. =

Продуктивністю праці робітникау момент t 0 називається межа, якого прагне z порівн. при ∆t→ 0: .Обчислення продуктивності праці, таким чином, зводиться до обчислення похідної:

Витрати виробництва Kоднорідної продукції є функція кількості продукції xтому можна записати K=K(x). Припустимо, що кількість продукції збільшується на ∆x. Кількості продукції x+∆x відповідають витрати виробництва K(x+∆x).Отже, збільшенню кількості продукції ∆xвідповідає збільшення витрат виробництва продукції ∆K=K(x+∆x)-K(x).

Середнє збільшення витрат виробництва є ∆K/∆x. Це збільшення витрат виробництва на одиницю збільшення кількості продукції.

Межа називається граничними витратами виробництва.