Проецирование прямой на три плоскости проекции. Обратимость чертежа

Теорема о частном проецировании прямого угла

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна и не параллельна плоскости проекций и хотя бы одна сторона его параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее без искажения.

Пусть угол АВС – прямой (рис. 65) и сторона ВС || Н , следовательно, проекция bc || BC . Сторону АВ продолжим до пересечения с плоскостью Н и через точку К проводим прямую KN || bc . Следовательно, KN || BC .

Отсюда следует, что угол BKN – прямой. Согласно теореме о трех перпендикулярах, угол bKN – прямой, следовательно, угол Kbc = 90°.

Рис. 65. Пространственная модель проецирования прямого угла

Примечание. Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные теоремы (доказательства не приводятся).

1. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций.

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

На основании этих теорем можно установить, что углы, изображенные на рис. 66, в пространстве – прямые.

б

а

Рис. 66. Проецирование прямого угла на эпюре Монжа:

а – одна из сторон угла – горизонталь; б – одна из сторон угла – фронталь

Рассмотрим угол В (рис. 66а ).

В пространстве угол В прямой, т. к. на эпюре видно, что прямая АВ является горизонталью (h′ || X ) и ∠a = 90° (согласно первой обратной теореме).

Рассмотрим угол В (рис. 66б ).

В пространстве угол В прямой, т. к. одна его сторона является фронталью (АВ || V ; ab || X ) и фронтальная проекция ∠b ′ = 90°.

Из этой теоремы следует простой вывод – к прямой можно провести перпендикуляр там, где прямая проецируется в натуральную величину.

При решении позиционных и метрических задач начертательной геометрии, опираясь на эти теоремы, можно строить две взаимно перпендикулярные прямые, что, в конечном итоге, позволяет определять расстояния, строить взаимно перпендикулярные плоскости.

Рассмотрим несколько задач по теме данного материала.

Задача 1. Через точку А провести прямую, перпендикулярную прямой М (рис. 67).

Анализируя графическое условие задачи, отмечаем, что m || X , а это значит, что прямая М является фронталью (М || V ).

Следовательно, построение искомой прямой надо начинать с фронтальной проекции, проводя ее перпендикулярно проекции m ׳, т. к. на фронтальной плоскости проекций прямая М проецируется без искажения и на фронтальную плоскость проекций V прямой угол между данной и вновь построенной прямыми будет проецироваться без искажения.

1. Строим фронтальную проекцию искомого отрезка a′b′ ⊥ m ′.

2. Определяем положение точки b ׳ на проекции m ׳ и по проекционной связи определяем горизонтальную проекцию b на проекции m.

3. Строим горизонтальную проекцию искомого отрезка ab .

Рис. 67. Построение перпендикуляра к прямой М Рис. 68. Построение высоты в ∆АВС

Задача 2. Через вершину С провести высоту треугольника АВС (рис. 68).

Решение. Анализируем эпюр и отмечаем, что сторона треугольника АВ || H , при этом ее горизонтальная проекция отображается в натуральную величину.

Следовательно, построение высоты надо начинать с горизонтальной проекции.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Из точки с проводим отрезок перпендикулярно стороне ab .

2. Точка d –основание высоты, cd – горизонтальная проекция высоты.

3. Проецируем точку d на фронтальную проекцию стороны a′b′ и получаем фронтальную проекцию точки d′ и строим фронтальную проекцию высоты c′d′.

Задача 3. Определить расстояние от точки К до прямой N (рис. 69).

Решение. Следует отметить, что при решении задач на определение расстояний, необходимо строить не только проекции расстояния, но определять его натуральную величину.

Кратчайшим расстоянием от точки до прямой является величина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Анализируя эпюр, отмечаем, что прямая N является фронталью и отображается на фронтальной проекции без искажения.

Следовательно, построение проекции перпендикуляра необходимо начинать с его фронтальной проекции.

Порядок выполнения графической части задачи:

1. Из точки k ′ опускаем перпендикуляр на проекцию прямой n′ , получаем точку e′. Фронтальная проекция перпендикуляра – k ′e ′.

2. Проецируем полученную точку на горизонтальную проекцию прямой n, получаем точку e и горизонтальную проекцию перпендикуляра ke.

3. Судя по проекциям, прямая КЕ общего положения. Методом прямоугольного треугольника определяем ее натуральную величину |KE| .

Расстояние от точки К до прямой N равно длине отрезка – К о е′.

KE , N = K o e′ = 30 мм.

3.5. Особые линии плоскости

Прямые, занимающим особое положение в плоскости:

1. Линии уровня плоскости.

2. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций.

Линии уровня плоскости

Линии уровня плоскости – прямые, лежащие в заданной плоскости и параллельные плоскостям проекций: горизонтали, фронтали, профильные прямые.

Горизонталь плоскости – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная плоскости проекций Н. Следует запомнить, что все горизонтали одной и той же плоскости параллельны между собой.

Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, горизонтальный след плоскости является нулевой горизонталью плоскости. Чтобы построить горизонталь в плоскости Р ,заданной следами, надо на фронтальной проекции Р V отметить точку d" – фронтальную проекцию следа горизонтали (рис. 67а) . Через нее проводим фронтальную проекцию горизонтали параллельно оси х . На оси х находим горизонтальную проекцию d . Прямая, проведенная из точки d параллельно следу Р Н плоскости, представляет горизонтальную проекцию горизонтали.

На рис. 70б проекции горизонтали проведены через проекции точки D и точки 1 прямой ЕС плоскости, заданной треугольником СDE. Построение горизонтали всегда начинают с фронтальной проекции d"1" , которая параллельна оси Х . По свойству принадлежности находят горизонтальную проекцию точки 1 и проводят горизонтальную проекцию горизонтали.

а

б

Рис. 70. Горизонталь плоскости:

а – в плоскости Р , заданной следами; б – в плоскости, заданной ∆СDE

Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости проекций V (рис. 71).

Построение фронтали и профильных прямых выполняется аналогично построению горизонтали, опираясь на известные свойства проекций линий уровня и свойство принадлежности, и начинают его с той проекции, которая параллельна соответствующей проекционной оси.Все фронтали одной и той же плоскости параллельны между собой. То же самое можно сказать и о профильных прямых уровня плоскости.

Профильная прямая уровня плоскости – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (рис. 72).

б

а

Рис. 71. Фронталь плоскости:

а – в плоскости Р , заданной следами; б – в плоскости, заданной ∆СDE

Рис. 72. Профильная прямая уровня ВЕ плоскости ∆АВС

Положение прямой линии в пространстве вполне определяется двумя ее любыми точками. В общем случае проекцией прямой является прямая, в частном случае - точка, если прямая перпендикулярна плоскости проекций. Для построения проекций прямой достаточно иметь либо проекции двух ее точек, либо проекцию одной точки прямой и направление прямой в пространстве.

По своему расположению в пространстве относительно плоскостей проекций прямые линии разделяют на прямые общего положения, уровня и проецирующие .

2.2.1. Прямые общего положения. Это прямые, не параллельные и не перпендикулярные к плоскостям проекций. Проекции А 1 В 1 , А 2 В 2 и А 3 В 3 отрезка АВ прямой АВ общего положения (рис. 2.18, а ) наклонены под острыми углами к осям x 12 , y 13 и z 23 . Длины проекций отрезков этой прямой всегда меньше самого отрезка. Трехкартинный комплексный чертеж отрезка прямой общего положения, построенный по двум точкам А и В , показан на рис.2.18, б .

2.2.2. Прямые уровня. Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций - П 1 , П 2 или П 3 . Следовательно, имеем три вида прямых уровня:

1) горизонтальная уровня a (горизонталь ), параллельная П 1 (прямая a с отрезком AB на ней на рис. 2.19, а , б );

2) фронтальная уровня (фронталь ), параллельная П 2 (прямая b c отрезком CD на ней на рис. 2.20, а );

3) профильная уровня , параллельная П 3 (прямая с с отрезком ЕF на ней на рис. 2.20, б ). На рис. 2.20 наглядные изображения прямых b и c относительно плоскостей проекций не показаны.

Одноименные проекции отрезков прямых уровня проецируются в натуральную величину, а разноименные параллельны осям, отделяющим их от одноименных. При этом для горизонтали одноименная проекция - горизонтальная, а разноименные - фронтальная и профильная и т. п.

Углы наклона прямых уровня a , b и c к плоскостям проекций П 1 , П 2 и П 3 принято обозначать соответственно α , β и γ (на рис. 2.19 углы α , β и γ не показаны).

2.2.3. Проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций и параллельные двум другим. Следовательно, имеем три вида проецирующих прямых:

1) горизонтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П 1 (прямая а с отрезком AB на ней на рис. 2.21, а );

2) фронтально-проецирующая прямая, перпендикулярная П 2 (прямая b с отрезком CD на ней на рис. 2.21, б );

3) профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П 3 (прямая c с отрезком EF на ней на рис. 2.21, в ).

На рис. 2.21 в скобки заключены проекции невидимых точек. Вопрос определения видимости точек на проекциях подробнее будет рассмотрен ниже в п. «Скрещивающиеся прямые».

У проецирующих прямых одноименные проекции представляют собой точки, что вытекает из существа проецирующей прямой, вдоль которой ведется проецирование.

Каждая разноименная проекция проецирующей прямой перпендикулярна оси, отделяющей ее от одноименной проекции, а разноимённая проекция отрезка, расположенного на прямой уровня, является натуральной величиной этого отрезка.

2.2.4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения. Натуральную величину прямой частного положения можно сразу определить на комплексном чертеже этой прямой.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения можно применить рассмотренный ранее (см. п. 2.1.2) способ замены плоскостей проекций . На рис.2.22 показано определение натуральной величины (Н.В .) отрезка AB прямой общего положения и определение углов наклона его к Π 1 (угол α ) и к Π 2 (угол β ) этим способом.

Дополнительная плоскость Π 4 проведена параллельноAB (х 14 ||A 1 B 1 ). Прямая AB преобразована в положение фронтали, следовательно A 4 B 4 – натуральная величина AB.

Проведя дополнительную плоскостьΠ 5 ||AB (х 25 ||A 2 B 2 ), также можно определить натуральную величинуAB . A 5 B 5 – натуральная величинаAB . Прямая AB в системе Π 2 -Π 5 стала горизонталью.

На рис.2.23 показано определение натуральной величины ABметодом треугольника. Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – алгебраическая разность расстояний его концов от плоскости Π 1 (ΔZ ).

2.2.5. Взаимное положение прямых. Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые. Из свойств параллельных проекций следует, что если прямые в пространстве параллельны, то все три пары их одноименных проекций параллельны. Очевидно и обратное положение: если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые в пространстве параллельны.

Для определения параллельности прямых в общем случае достаточно параллельности двух пар одноименных проекций. В случае, если определяется параллельность линий уровня, то одной из двух пар параллельных проекций должна быть проекция на одноименную плоскость.

На рис. 2.24 показаны проекции параллельных прямых a и b общего положения, где a 1 ║ b 1 и a 2 ║ b 2 . На рис. 2.25 показаны две горизонтали c и d . У горизонталей фронтальные и профильные проекции всегда параллельны осям, отделяющих их от одноименных горизонтальных проекций, т. е. c 2 ║ d 2 ║ x 12 и c 3 ║ d 3 ║ y 3 . Но горизонтальные их проекции не параллельны, т. е. c 1 ╫ d 1 . Следовательно, прямые c и d не параллельны.

Пересекающиеся прямые. Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку. Из свойств параллельных проекций известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на проекциях прямой. Если точка лежит и на той и на другой прямой, т. е. в точке пересечения прямых, то ее проекция должна лежать сразу на двух одноименных проекциях прямых, а следовательно, в точке пересечения проекций прямых.

Так, если отрезки AB и CD двух прямых пересекаются в точке K , то проекции отрезков A 1 B 1 и C 1 D 1 пересекаются в точке K 1 , являющейся проекцией точки K (рис. 2.26, а ). Поэтому, если одноименные проекции прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекционной связи, то прямые в пространстве пересекаются (рис. 2.26, б ).

Для определения того, пересекаются прямые или нет, достаточно, чтобы это условие выполнялось для двух каких-либо проекций. Исключение составляет случай, когда одна из пересекающихся прямых является профильной уровня. В этом случае для проверки пересечения прямых необходимо построение профильной проекции.

Пусть через точку A необходимо провести горизонталь b , пересекающую прямую a (рис. 2.27, а ). Для этого через точку A 2 проводим b 2 ║ x 12 (этап 1) до пересечения с a 2 в точке K 2 (рис.2.27, б ). Далее с помощью линии проекционной связи на a 1 находим точку K 1 (этап 2) и, соединяя точки A 1 и K 1 (этап 3), получаем b 1 .

Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые a и b не лежат в одной плоскости и, следовательно, не параллельны и не имеют общих точек (рис.2.28, а ). Поэтому, если прямые скрещивающиеся, то хотя бы одна пара их одноименных проекций не параллельна, и точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рис. 2.28, б ).

Каждая такая точка пересечения является проекцией двух точек, принадлежащих прямым; эти две точки лежат на одном проецирующем луче и называются конкурирующими .

Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому для построения проекций прямой линии достаточно построить проекции двух точек, принадлежащих ей, и соединить их между собой.

В зависимости от положения относительно плоскостей проекций различают прямые линии общего и частных положений.

Прямые линии частного положения параллельны одной или двум плоскостям проекций.

Прямые линии уровня - прямые, параллельные одной плоскости проекций и наклоненные к двум другим. Различают три вида таких прямых.

щ, называют горизонтальной прямой и обозначают буквой к (рис. 3.1). Ее отрезок проецируется на плоскость щ без искажения. Угол между ее горизонтальной проекцией к " и осью ОХ равен углу наклона ф 2 горизонтальной прямой к плоскости п 2 , а угол между ее проекцией к " и осью ОУ - углу наклона ф 3 к плоскости тс 3 . Все точки одной и той же горизонтальной прямой линии имеют одинаковую координату ъ

Прямую линию, параллельную плоскости п 2 , называют фронтальной прямой и обозначают буквой / (рис. 3.2). Ее отрезок без искажения проецируется на плоскость 7Г 2 - На эту же плоскость проецируются в истинную величину углы наклона фронтальной прямой К ПЛОСКОСТИ Л (угол ф[) и плоскости л 3 (угол ф 3). Все точки одной и той же фронтальной прямой линии имеют одинаковую координату у.

Прямую линию, параллельную плоскости л 3 , называют профильной прямой р (рис. 3.3). Ее отрезок без искажения проецируется на плоскость л 3 . На эту же

плоскость проецируются в истинную величину углы наклона профильной прямой К ПЛОСКОСТИ 7Гі (угол (рі) и плоскости л 2 (угол (р 2). Все точки профильной прямой линии имеют одинаковую координату х.

Проецирующие прямые линии - прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций и параллельные двум другим.

Прямую линию, перпендикулярную плоскости л ь называют горизонтально проецирующей (рис. 3.4). Она проецируется на плоскость л і в виде точки, а ее фронтальная и профильная проекции параллельны оси 01. Отрезок горизонтально проецирующей прямой проецируется без искажения на плоскости л 2 и Лз. Поэтому горизонтально проецирующая прямая является одновременно фронтальной / и профильной р прямой линией.

Прямую, перпендикулярную плоскости л 2 , называют фронтально проецирующей (рис. 3.5). Она проецируется на плоскость л 2 в виде точки, а ее горизонтальная и профильная проекции параллельны оси О У. Отрезок фронтально проецирующей прямой линии проецируется без искажения на плоскости Лі и л 3 . Фронтально проецирующая прямая также является горизонтальной к и профильной р прямой.

Прямую, перпендикулярную плоскости л 3 , называют профильно проецирующей (рис. 3.6). Ее профильная проекция - точка, а горизонтальная и фронталь-

на я параллельны оси ОХ. Отрезок такой прямой проецируется в истинную величину на плоскости Л] и 712, поэтому она является и горизонтальной И, и фронтальной / прямой.

Прямую линию, не параллельную ни одной из основных плоскостей проекций, называют прямой общего положения (рис. 3.7). На плоскости П , П 2 и 7Г 3 ее отрезок проецируется с искажением, так как она наклонена к ним и углы наклона на чертеже также искажены. Таким образом, по чертежу прямой линии общего положения нельзя измерять длину ее отрезка или утлы наклона к плоскостям проекций. Для определения этих величин требуются дополнительные построения.

Проекции прямой.

Обратимость чертежа

Обратимость чертежа . Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А 1 (см. рис. 1.4.) не определяет положение самой точки в пространстве, так как неизвестно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций П 1 . В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображения дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа.

ГЛАВА 2

Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей (рис 2.1, 2.2.).

Прямая в пространстве безгранична. Ограниченная часть прямой называется отрезком.

Проецирование прямой сводится к построению проекций двух произвольных ее точек, так как две точки полностью определяют положение прямой в пространстве. Опустив из точки А и В (рис. 2.2.) перпендикуляры до пересечения с плоскостью П 1 , определяют их ух горизонтальные проекции А 1 и В 1 . Отрезок А 1 В 1 – горизонтальная проекция прямой АВ. Аналогичный результат получают, проведя перпендикуляры к П 1 из произвольных точек прямой АВ. Совокупность этих перпендикуляров (проецирующих лучей) образует горизонтально проецирующую плоскость a, которая пересекается с плоскостью П 1 по прямой А 1 В 1 – горизонтальной проекции прямой АВ. Исходя из тех же соображений, получают фронтальную проекцию А 2 В 2 прямой АВ (рис 2.2).

Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве. Действительно, отрезок А 1 В 1 (рис. 2.1.) может быть проекцией произвольного отрезка, лежащего в проецирующей плоскости a. Положение прямой в пространстве однозначно определяется совокупностью двух ее проекций. Восставляя из точки горизонтальной А 1 В 1 и фронтальной П 1 и П 2 , получают две проецирующие плоскости a и b, пересекающиеся по единственной прямой АВ.

На комплексном чертеже (рис 2.3) изображен отрезок АВ прямой общего положения, где А 1 В 1 – горизонтальная, А 2 В 2 – фронтальная и А 3 В 3 – профильная проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка прямой по двум данным можно использовать те же способы, что и для построения третьей проекции точки: проекционный (рис 2.4.), координатный (рис 2.5.) и с использованием постоянной прямой чертежа (рис. 2.6.).

2.2. Положение прямой относительно плоскости проекций.

На рис 1.5. изображен параллелепипед со срезанной вершиной и произвольная треугольная пирамида. Ребра параллелепипеда и пирамиды занимают различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Чтобы строить и читать чертежи, нужно уметь анализировать положения прямой. По своему положению в пространстве прямые распределяются на прямые частного и прямые общего положения.

Прямые частного положения могут быть проецирующими и прямыми уровня.

Проецирующими называются прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, т.е. параллельные двум другим плоскостей П 1 , называется горизонтально проецирующей прямой; ее горизонтальная проекция А 1 В 1 – точка, а фронтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси О z . Прямая CD (рис. 2.7.) перпендикулярная к плоскости проекций П 2 , называется фронтально проецирующей прямой; ее фронтальная проекция С 2 D 2 – точка, а горизонтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси Оу. Прямая MN (рис. 2.8.) перпендикулярная к плоскости проекций П 3 , называется профильно проецирующей прямой; ее профильная проекция М 3 N 3 – точка, а горизонтальная и фронтальная проекции – прямые, параллельные оси Ох.

Следовательно, на одной из плоскостей проекций проецирующая прямая изображается в виде точки, а на двух других – в виде отрезков занимающих горизонтальное или вертикальное положение, величины которых горизонтальное или вертикальное положение, величина которых равна натуральной величине самого отрезка прямой.

Прямыми уровня называются прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Прямая АВ (рис. 2.9.), параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 , называется горизонтальной прямой, или, сокращенно, горизонталью. Ее фронтальная проекция А 2 В 2 параллельна оси проекций Ох, а горизонтальная А 1 В 1 равна натуральной величине отрезка прямой (А 1 В 1 = АВ). Угол b между горизонтальной проекцией А 1 В 1 и осью Ох равен натуральной величине угла наклона прямой АВ к плоскости проекций П 2 .

Прямая CD (рис. 2.10.) параллельная фронтальной плоскости проекций П 2 , называется фронтальной прямой, или, сокращенно, фронталью. Ее горизонтальная проекция C 1 D 1 параллельна оси Ох, а фронтальная С 2 D 2 равна натуральной величине отрезка прямой (C 2 D 2 = CD). Угол a между фронтальной проекцией С 2 D 2 и осью Ох равен действительной величине угла наклона прямой к плоскости проекций П 1 .

Прямая MN (рис. 2.11.) параллельная профильной плоскости проекций П 3 , называется профильной прямой. Ее фронтальная M 2 N 2 и горизонтальная M 1 N 1 проекции перпендикулярны к оси Ох, а профильная проекция равна натуральной величине отрезка (M 3 N 3 = MN). Углы a и b между профильной проекцией и осями Оу 3 и Оz равны действительной величине углов наклона прямой к плоскости проекций П 1 и П 2 .

Следовательно, прямые уровня на одну из плоскостей проекций проецируются в натуральную величину, а на две другие – в вид отрезков уменьшенной величины, занимающих на чертеже вертикальное или горизонтальное положение. По чертежу можно определить величину углов наклона этих прямых к плоскостям проекций.

Если прямая лежит в плоскости проекций, то одна ее проекция (одноименная) совпадает с самой прямой, а две другие – с осями проекций. Например, прямая АВ (рис.2.12) лежит в плоскости П 1 . Ее горизонтальная проекция А 1 В 1 сливается с прямой АВ, а фронтальная А 2 В 2 – с осью Ох. Подобную прямую называют нулевой горизонталью, так как высота ее точек (координата z) равна нулю.

Прямой общего положения называют прямую, наклонную ко всем плоскостям проекций. Ее проекции образуют с осями Ох, Оу и Оz острые или тупые углы, т.е. ни одна из ее проекций не параллельна и не перпендикулярна к осям. Величина проекций прямой общего положения всегда меньше натуральной величины самого отрезка. Непосредственно по чертежу без дополнительных построений нельзя определить действительную величину прямой и угла наклона ее к плоскостям проекций.

Если точка лежит на прямой, то проекции точки находятся на одноименных проекциях прямой и на общей линии связи.

На рис. 2.13. точка С лежит на прямой АВ, так как ее проекции С 1 и С 2 находятся соответственно на горизонтальной А 1 В 1 и на фронтальной А 2 В 2 проекциях прямой. Точки М и N не принадлежат прямой, так как одна из проекций каждой точки не находится на одноименной с ней проекции прямой.

Проекции точки делят проекции прямой в таком же отношении, в каком сама точка делит отрезок прямой, т.е. Пользуясь этим правилом, разделить данный отрезок прямой в нужном соотношении. Например, на рис. 2.14. прямая EF разделена точкой К в отношении 3:5. Деление выполнено способом, известным из геометрического черчения.

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Определение 1

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Определение 2

Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции - это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное .

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем - плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .

В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .

Определение 3

– это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

Получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

Определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

Найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Пример 1

Определите координаты проекции точки М 1 (- 2 , 4 , 4) на плоскость 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким образом, a → = (2 , - 3 , 1) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) и имеющей направляющий вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и плоскости 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · (y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: (0 , 1 , 5) .

Ответ: (0 , 1 , 5) .

Пример 2

В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А (0 , 0 , 2) ; В (2 , - 1 , 0) ; С (4 , 1 , 1) и М 1 (-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С. Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1 , - 2 , 2) , т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты (- 2 , 0 , 3) .

Ответ: (- 2 , 0 , 3) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = (1 , 0 , 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость будет являться точка с координатами - D A , y 1 , z 1 .

Пример 2

Необходимо определить координаты проекции точки М 1 (- 6 , 0 , 1 2) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y - 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (- 6 , 0 , 0) .

Уравнение плоскости 2 y - 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 (- 6 , 0 , 1 2) на плоскость y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Ответ: (- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter