Тригонометричні функції як вирішувати приклади. Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади

Дизайн та інтер'єр 01.02.2024

Дизайн та інтер'єр

Більш складні тригонометричні рівняння

Рівняння

sin х = а,
cos х = а,
tg х = а,
ctg х = а

є найпростішими тригонометричними рівняннями. У цьому параграфі на конкретних прикладах ми розглянемо складніші тригонометричні рівняння. Їхнє рішення, як правило, зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

приклад 1 . Вирішити рівняння

sin 2 х= cos х sin 2 x.

Переносячи всі члени цього рівняння в ліву частину та розкладаючи отриманий вираз на множники, отримуємо:

sin 2 х(1 - cos х) = 0.

Твір двох виразів тоді й тільки тоді дорівнює нулю, коли хоча б один із співмножників дорівнює нулю, а інший набуває будь-якого числового значення, аби він був визначений.

Якщо sin 2 х = 0 , то 2 х= n π ; х = π / 2 n.

Якщо ж 1 - cos х = 0 , то cos х = 1; х = 2kπ .

Отже, ми отримали дві групи коренів: х = π / 2 n; х = 2kπ . Друга група коренів, очевидно, міститься в першій, оскільки при n = 4k вираз х = π / 2 nзвертається до
х = 2kπ .

Тому відповідь можна записати однією формулою: х = π / 2 n, де n-будь-яке ціле число.

Зауважимо, що це рівняння не можна було вирішувати шляхом скорочення на sin 2 x. Справді, після скорочення ми отримали б 1 – cos х = 0, звідки х= 2k π . Таким чином, ми втратили б деякі коріння, наприклад π / 2 , π , 3π / 2 .

П р і м е р 2.Вирішити рівняння

Дроб дорівнює нулю лише в тому випадку, коли його чисельник дорівнює нулю.
Тому sin 2 х = 0 , звідки 2 х= n π ; х = π / 2 n.

З цих значень х потрібно викинути як сторонні ті значення, за яких sinх звертається в нуль (дроби з нульовими знаменниками немає сенсу: розподіл на нуль не визначено). Такими значеннями є числа, кратні π . У формулі
х = π / 2 nвони виходять за парних n. Отже, корінням даного рівняння будуть числа

х = π / 2 (2k + 1),

де k – будь-яке ціле число.

приклад 3 . Вирішити рівняння

2 sin 2 х+ 7 cos x - 5 = 0.

Висловимо sin 2 х через cosx : sin 2 х = 1 - cos 2x . Тоді це рівняння можна переписати у вигляді

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , або

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Позначаючи cosx через у, ми приходимо до квадратного рівняння

2у 2 - 7у + 3 = 0,

корінням якого є числа 1/2 і 3. Значить, або cos x= 1 / 2 або cos х= 3. Однак останнє неможливе, оскільки косинус будь-якого кута за абсолютною величиною не перевищує 1.

Залишається визнати, що cos x = 1 / 2 , звідки

x = ± 60 ° + 360 ° n.

приклад 4 . Вирішити рівняння

2 sin х+ 3cos x = 6.

Оскільки sin xта cos xпо абсолютній величині не перевищують 1, то вираз
2 sin х+ 3cos x не може набувати значень, більших, ніж 5 . Тому це рівняння немає коренів.

приклад 5 . Вирішити рівняння

sin х+ cos x = 1

Піднявши обидві частини даного рівняння квадрат, ми отримаємо:

sin 2 х+ 2 sin x cos x+ cos 2 x = 1,

але sin 2 х + cos 2 x = 1 . Тому 2 sin x cos x = 0 . Якщо sin x = 0 , то х = nπ ; якщо ж
cos x , то х = π / 2 + kπ . Ці дві групи рішень можна записати однією формулою:

х = π / 2 n

Оскільки обидві частини даного рівняння ми зводили в квадрат, то не виключена можливість, що серед отриманих нами коренів є сторонні. Ось чому в цьому прикладі, на відміну від попередніх, необхідно зробити перевірку. Усі значення

х = π / 2 nможна розбити на 4 групи

	1) х = 2kπ .	(n = 4k)
	2) х *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) х = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) х *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

При х = 2kπ sin x+ cos x= 0 + 1 = 1. Отже, х = 2kπ- Коріння цього рівняння.

При х = π / 2 + 2kπ. sin x+ cos x= 1 + 0 = 1 Значить, х = π / 2 + 2kπ- також коріння цього рівняння.

При х = π + 2kπ sin x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Тому значення х = π + 2kπне є корінням даного рівняння. Аналогічно показується, що х = 3π / 2 + 2kπ. не є корінням.

Таким чином, дане рівняння має наступне коріння: х = 2kπі х = π / 2 + 2mπ., де kі m- будь-які цілі числа.

При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.

Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.

На вигляд рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n Є Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 1.Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вимагає знання основних формул тригонометрії - суму квадратів синуса та косинуса, вираз тангенсу через синус та косинус та інші. Для тих, хто їх забув або не знає, рекомендуємо прочитати статтю " ".
Отже, основні тригонометричні формули ми знаємо, настав час використовувати їх на практиці. Розв'язання тригонометричних рівняньпри правильному підході – досить цікаве заняття, як, наприклад, зібрати кубик Рубіка.

З самого назви видно, що тригонометричне рівняння – це рівняння, у якому невідоме перебуває під знаком тригонометричної функції.
Існують так звані найпростіші тригонометричні рівняння. Ось як вони виглядають: sinx = a, cos x = a, tg x = a. Розглянемо, як вирішити такі тригонометричні рівнянняДля наочності будемо використовувати вже знайоме тригонометричне коло.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Будь-яке тригонометричне рівняння вирішується у два етапи: наводимо рівняння до найпростішого виду і далі вирішуємо його, як найпростіше тригонометричне рівняння.
Існує 7 основних методів, за допомогою яких вирішуються тригонометричні рівняння.

Метод заміни змінної та підстановки

Розв'язати рівняння 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0

Використовуючи формули наведення отримаємо:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Замінимо cos(x + /6) на y для спрощення та отримуємо звичайне квадратне рівняння:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Коріння якого y 1 = 1, y 2 = 1/2

Тепер йдемо у зворотному порядку

Підставляємо знайдені значення y та отримуємо два варіанти відповіді:

Розв'язання тригонометричних рівнянь через розкладання на множники

Як розв'язати рівняння sin x + cos x = 1?

Перенесемо все вліво, щоб праворуч залишився 0:

sin x + cos x - 1 = 0

Скористайтеся вищерозглянутими тотожностями для спрощення рівняння:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Робимо розкладання на множники:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Отримуємо два рівняння

Приведення до однорідного рівняння

Рівняння є однорідним щодо синуса і косинуса, якщо його члени щодо синуса і косинуса однієї й тієї ж ступеня однієї й тієї ж кута. Для вирішення однорідного рівняння, надходять так:

а) переносять усі його члени до лівої частини;

б) виносять усі загальні множники за дужки;

в) прирівнюють усі множники та дужки до 0;

г) у дужках отримано однорідне рівняння меншою мірою, його у свою чергу ділять на синус або косинус у старшому ступені;

д) вирішують отримане рівняння щодо tg.

Розв'язати рівняння 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Скористаємося формулою sin 2 x + cos 2 x = 1 і позбудемося відкритої двійки праворуч:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Ділимо на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Замінюємо tg x на y та отримуємо квадратне рівняння:

y 2 + 4y +3 = 0, коріння якого y 1 =1, y 2 = 3

Звідси знаходимо два рішення вихідного рівняння:

x 2 = arctg 3 + k

Розв'язання рівнянь, через перехід до половинного кута

Розв'язати рівняння 3sin x – 5cos x = 7

Переходимо до x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Переносимо все вліво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Ділимо на cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

Введення допоміжного кута

Для розгляду візьмемо рівняння виду: a sin x + b cos x = c,

де a, b, c – деякі довільні коефіцієнти, а x – невідоме.

Обидві частини рівняння розділимо на:

Тепер коефіцієнти рівняння відповідно до тригонометричних формул мають властивості sin і cos, а саме: їх модуль не більше 1 і сума квадратів = 1. Позначимо їх відповідно як cos і sin , де - це і є так званий допоміжний кут. Тоді рівняння набуде вигляду:

cos * sin x + sin * cos x = С

або sin(x + ) = C

Рішенням цього найпростішого тригонометричного рівняння буде

х = (-1) k * arcsin С - + k, де

Слід зазначити, що позначення cos і sin взаємозамінні.

Розв'язати рівняння sin 3x – cos 3x = 1

У цьому рівнянні коефіцієнти:

а = , b = -1, тому ділимо обидві частини на = 2

Найпростіші тригонометричні рівняння вирішуються, як правило, за формулами. Нагадаю, що найпростішими називаються такі тригонометричні рівняння:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - кут, який потрібно знайти,
а – будь-яке число.

А ось і формули, за допомогою яких можна одразу записати рішення цих найпростіших рівнянь.

Для синусу:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенсу:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенсу:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Власне, це і є теоретична частина розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь. До того ж, вся!) Зовсім нічого. Проте, кількість помилок на цю тему просто зашкалює. Особливо при незначному відхиленні прикладу від шаблону. Чому?

Та тому, що маса народу записує ці літери, не розуміючи їхнього сенсу зовсім!З побоюванням записує, як би чого не вийшло... З цим треба розібратися. Тригонометрія для людей, або люди для тригонометрії, зрештою!?)

Розберемося?

Один кут у нас буде рівний arccos a, другий: -arccos a.

І так виходитиме завжди.За будь-якого а.

Якщо не вірите, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться малюнку на планшеті. Я змінив число а на якесь негативне. Все одно, один кут у нас вийшов arccos a, другий: -arccos a.

Отже, відповідь можна завжди записати у вигляді двох серій коріння:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Об'єднуємо ці дві серії в одну:

х = ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

І всі справи. Отримали загальну формулу для вирішення найпростішого тригонометричного рівняння з косинусом.

Якщо ви розумієте, що це не якась наднаукова мудрість, а просто скорочений запис двох серій відповідей,вам і завдання "С" будуть по плечу. З нерівностями, з відбором коренів із заданого інтервалу... Там відповідь із плюсом/мінусом не котить. А якщо поставитися до відповіді ділово, та розбити його на дві окремі відповіді, все і вирішується.) Власне, для цього й розуміємося. Що, як і звідки.

У найпростішому тригонометричному рівнянні

sinx = а

теж виходить дві серії коренів. Завжди. І ці дві серії також можна записати одним рядком. Тільки цей рядок хитрішим буде:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Але суть залишається незмінною. Математики просто сконструювали формулу, щоб замість двох записів серій коріння зробити одну. І все!

Перевіримо математиків? А то мало...)

У попередньому уроці докладно розібрано рішення (без будь-яких формул) тригонометричного рівняння із синусом:

У відповіді вийшло дві серії коренів:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Якщо ми вирішуватимемо це ж рівняння за формулою, отримаємо відповідь:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Взагалі, це недороблена відповідь.) Учень повинен знати, що arcsin 0,5 = π /6.Повноцінна відповідь буде:

х = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Тут виникає цікаве питання. Відповідь через х 1; х 2 (це правильна відповідь!) і через самотню х (і це правильна відповідь!) - одне й те саме, чи ні? Зараз дізнаємось.)

Підставляємо у відповідь з х 1 значення n =0; 1; 2; і т.д., вважаємо, отримуємо серію коренів:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 і так далі.

При такій же підстановці у відповідь х 2 , отримуємо:

х 2 = 5?/6; 17π/6; 29π/6 і так далі.

А тепер підставляємо значення n (0; 1; 2; 3; 4...) у загальну формулу для самотнього х . Тобто зводимо мінус один у нульовий ступінь, потім у першу, другу, і т.д. Ну і, зрозуміло, у другий доданок підставляємо 0; 1; 2 3; 4 і т.д. І рахуємо. Отримуємо серію:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 і так далі.

Ось все і видно.) Загальна формула видає нам такі самі результати,що й дві відповіді окремо. Тільки все одразу, по порядку. Не обдурили математики.)

Формули для вирішення тригонометричних рівнянь із тангенсом та котангенсом теж можна перевірити. Але не будемо.) Вони й так простенькі.

Я розписав всю цю підстановку та перевірку спеціально. Тут важливо зрозуміти одну просту річ: формули для розв'язання елементарних тригонометричних рівнянь є, лише короткий запис відповідей.Для цієї стислості довелося вставити плюс/мінус у рішення для косинуса та (-1) n у рішення для синуса.

Ці вставки ніяк не заважають завданням, де потрібно просто записати відповідь елементарного рівняння. Але якщо треба вирішувати нерівність, чи далі треба щось робити з відповіддю: відбирати коріння на інтервалі, перевіряти на ОДЗ тощо, ці вставочки можуть запросто вибити людину з колії.

І що робити? Так або розписати відповідь через дві серії, або вирішувати рівняння/нерівність по тригонометричному колу. Тоді зникають ці вставочки і життя стає легшим.

Можна підбити підсумки.

Для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь є готові формули відповідей. Чотири штуки. Вони хороші для миттєвого запису рішення рівняння. Наприклад, треба розв'язати рівняння:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Просто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Однією лівою: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Якщо ви, блищачи знаннями, миттєво пишете відповідь:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блищате ви вже, це... того... з калюжі.) Правильна відповідь: рішень немає. Не розумієте чому? Прочитайте, що таке арккосинус. Крім того, якщо в правій частині вихідного рівняння стоять табличні значення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 і т.п. - відповідь через арки буде недоробленою. Арки потрібно обов'язково перевести у радіани.

А якщо вам трапилася нерівність, типу

то відповідь у вигляді:

х πn, n ∈ Z

є рідкісна ахінея, так ...) Тут треба по тригонометричному колі вирішувати. Чим ми займемося у відповідній темі.

Для тих, хто героїчно дочитав до цих рядків. Я просто не можу не оцінити ваших титанічних зусиль. Вам бонус.)

Бонус:

При записі формул у тривожній бойовій обстановці, навіть загартовані навчанням ботаны часто плутаються, де πn, а де 2π n. Ось вам простий приймач. У всіхформулах варто πn. Крім єдиної формули з арккосинусом. Там стоїть 2πn. Двапіен. Ключове слово - два.У цій самій єдиній формулі стоять двазнак на початку. Плюс і мінус. І там і там - два.

Так що якщо ви написали двазнака перед арккосинусом, легше згадати, що в кінці буде двапіен. А ще навпаки. Пропустить людина знак ± , дістанеться кінця, напише правильно двапіен, та й схаменеться. Попереду двазнаку! Повернеться людина до початку, та помилку і виправить! Ось так.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n Є Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Тригонометричні функції як вирішувати приклади. Тригонометричні рівняння - формули, рішення, приклади

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Метод заміни змінної та підстановки

Розв'язання тригонометричних рівнянь через розкладання на множники

Приведення до однорідного рівняння

Розв'язання рівнянь, через перехід до половинного кута

Введення допоміжного кута

Якщо Вам подобається цей сайт...

Рекомендуємо почитати

Пошук по сайту