Fyzika - vibrace a vlnění. Kmity a vlny, zákony a vzorce Vzorce ve fyzice mechanické kmity vln

Když se podíváme na pšeničné pole za větrného počasí, uvidíme, že se „obává“, že se po něm něco hýbe. Není jasné co, protože stonky zůstávají na svém místě. Prostě se ohýbají, narovnávají, zase ohýbají atd. Vezmeme-li šňůru, zafixujeme její jeden konec a druhý uvedeme do kmitavého pohybu, uvidíme, že podél šňůry „běží“ vlna. Pokud hodíme kámen do vody, pak budou kruhy obcházet místo, kam kámen spadl. Tyto kruhy jsou také vlny.

Zdrojem vlnění jsou vibrace. Stonky rostlin se pohupují, deformují se větrem, částice vody se houpou a konec šňůry se kmitá. A vibrace, které vznikají na jednom místě, se přenášejí na další částice. To, čemu říkáme vlna, je šíření vibrací z bodu do bodu, od částice k částici.

Modelem pro vznik vlny v šňůře může být řetězec kuliček s hmotou, mezi kterými působí elastická síla. Představme si, že mezi kuličkami jsou malé pružinky.

Nechte míč 1 vytáhnout a uvolnit. Pružina spojující ji s koulí 2 se natáhne a vznikne pružná síla, která působí nejen na kouli 1, ale i na kouli 2. Následně začne kmitat koule 2. To povede k deformaci další pružiny, takže začne kmitat a koule 3 atd.
Protože všechny koule mají stejnou hmotnost a pružnou sílu, budou všechny koule kmitat - každá kolem své rovnovážné polohy - se stejnými periodami a stejnými amplitudami. Všechny kuličky jsou však inertní (protože mají hmotnost), takže kuličky nebudou kmitat současně, protože změnu jejich rychlosti trvá určitou dobu. Proto 2. bod začne kmitat později než 1., 3. později než 2., 4. později než 3. atd.

Pozorujeme-li jakýkoli bod na šňůře, uvidíme, že každý bod kmitá se stejnou periodou T. Přestože všechny body na šňůře kmitá se stejnou frekvencí, tyto oscilace jsou vůči sobě v čase „posunuté“. Právě díky tomuto posunu v čase vzniká vlna. Například oscilace bodu 2 zaostávají za oscilacemi bodu 1 za čtvrtletí . A kmity bodu 3 zaostávají za kmity bodu 2 o celé jedno období T. Z toho plyne důležitý závěr: body 2 a 3 se pohybují stejným způsobem.

Vzdálenost mezi nejbližšími body vlny, které se pohybují stejným způsobem, se nazývá vlnová délka a je určeno λ .

Tak, mechanické vlny - Jedná se o mechanické vibrace, které se šíří prostorem v čase.

Rychlost vlny

V čase rovném jedné periodě T je každý bod média dokončen jeden oscilace, a proto se vrátil do stejné polohy. V důsledku toho se vlna posunula v prostoru těsně vedle jeden vlnová délka. Pokud tedy označíme rychlost šíření vln υ , zjistíme, že rychlost vlny

λ = υ T

Protože T = 1/ ν , pak získáme, že rychlost vlny, vlnová délka a vlnová frekvence spolu souvisí vztahem

υ = λ ν

Co nesou vlny?

Ve výše uvedených příkladech je zřejmé, že látka se nepohybuje ve směru šíření vln, těch. vlny nepřenášejí hmotu .
nicméně vlny přenášejí energii: vlna je koneckonců kmitání, které se šíří prostorem a jakékoli kmitání má energii.

Oscilace- jedná se o fyzikální procesy, které se přesně nebo přibližně opakují v pravidelných intervalech. Pokud se v čase šíří oscilační proces v prostoru, pak mluvíme o šíření vln.

Vibrační pohyby se často vyskytují v přírodě a technice: stromy v lese, struny hudebních nástrojů, písty motoru, hlasivky, srdce atd. vibrují. V životě se vyskytují oscilační pohyby – zemětřesení, příliv a odliv, stlačování a rozpínání našeho Vesmíru.

K kmitům dochází v systémech vždy, pokud tyto systémy mají stabilní rovnovážné polohy. Při vychýlení z rovnovážné polohy vzniká „vratná“ síla, která se snaží systém vrátit do rovnovážné polohy. Vzhledem k tomu, že tělesa jsou ze své podstaty inertní, „přestřelí“ rovnovážnou polohu a poté dojde k odchylce v opačném směru. A pak se proces začne periodicky opakovat.

V závislosti na fyzické povaze existují mechanické a elektromagnetické vibrace. Nicméně oscilace a vlny, bez ohledu na jejich povahu, jsou kvantitativně popsány stejnými rovnicemi.

Mechanické vibrace – jsou to pohyby těles, při kterých ve stejných časových intervalech nabývají souřadnice pohybujícího se tělesa, jeho rychlost a zrychlení původních hodnot.

Hlavní typy vibrací

1. Dostupné
2. Nucený
3. Vlastní oscilace

Volné vibrace

Volné vibrace - jedná se o kmitání, ke kterému dochází v systému vlivem vnitřních sil poté, co byl systém vyjmut z rovnovážné polohy. To znamená, že k takovým oscilacím dochází pouze v důsledku energetické rezervy předávané systému.

Podmínky pro vznik volných vibrací:
1. Systém je blízko stabilní rovnovážné polohy (aby došlo k „obnovení“ síly);
2. Tření v systému musí být poměrně nízké (jinak oscilace rychle odezní nebo se nevyskytnou vůbec).

Nucené vibrace

Nucené vibrace – jedná se o vibrace, které vznikají vlivem vnějších periodicky se měnících sil.

Rozdíl od volných vibrací:
1. Frekvence vynucených kmitů je vždy rovna frekvenci periodické hnací síly.
2. Amplituda vynucených kmitů se v průběhu času nezmenšuje, i když v systému dochází ke tření. Protože ztráta mechanické energie je doplňována působením vnějších sil.

Vlastní oscilace

Vlastní oscilace– jedná se o netlumené kmity, které mohou existovat v systému bez vlivu vnějších periodických sil na něj. Takové oscilace existují díky dodávce energie z konstantního zdroje (který systém má) a jsou regulovány samotným systémem.

Mezi samooscilační systémy patří: hodiny s kyvadlem, elektrický zvonek s přerušovačem, naše srdce a plíce atd.

Vlastnosti vlastních oscilací:
1. Frekvence vlastních kmitů se rovná frekvenci volných kmitů oscilačního systému a nezávisí na zdroji energie (rozdíl od vynucených oscilací).
2. Amplituda vlastních oscilací nezávisí na energii dodávané systému, ale je určena systémem samotným. (rozdíl od volných oscilací).

Harmonické vibrace

Oscilace, ve kterých posunutí závisí na čase podle kosinusového nebo sinusového zákona, se nazývají harmonické.

Rovnice harmonického kmitání

x = X max cosωt

Veličiny charakterizující oscilační pohyby

Amplituda

Oscilační amplituda – maximální hodnota veličiny, která prožívá oscilace podle harmonického zákona.

Fyzikální význam X max je maximální hodnota vychýlení tělesa z rovnovážné polohy při harmonických vibracích.

Období a frekvence

Harmonické období T– to je doba jednoho úplného kmitu, tedy časový úsek, ve kterém se pohyb zcela opakuje.

Jednotka období [ T] = 1 s

Frekvence kmitání ν je počet úplných kmitů N provedených tělesem za jednotku času t.

Jednotka frekvence [ ν ] = 1 Hz = 1/s

Cyklická frekvence

Frekvence cyklického kmitání ω je počet úplných oscilací dokončených za 2 π sekundy

Cyklická jednotka frekvence [ ω ] = 1 rad/s

Harmonický graf

Příklad

KMITY A VLNY. Oscilace jsou procesy, při kterých se pohyby nebo stavy systému pravidelně v čase opakují. Oscilační proces nejzřetelněji demonstruje kyvné kyvadlo, ale oscilace jsou charakteristické téměř pro všechny přírodní jevy. Oscilační procesy jsou charakterizovány následujícími fyzikálními veličinami.

Doba oscilace T– doba, po které stav systému nabude stejných hodnot: u(t + T) = u(t).

Frekvence kmitání n nebo F– počet kmitů za sekundu, převrácená hodnota periody: n = 1/T. Měří se v hertzech (Hz) a má jednotky –1. Kyvadlo kmitající jednou za sekundu kmitá frekvencí 1 Hz. Ve výpočtech se často používá kruhová nebo cyklická frekvence w = 2 pn.

Oscilační fáze j– hodnota ukazující, jak velká část oscilace prošla od začátku procesu. Měří se v úhlových jednotkách – stupních nebo radiánech.

Oscilační amplituda A– maximální hodnota, kterou oscilační systém nabývá, „rozpětí“ oscilace.

Periodické kmity mohou mít velmi různé tvary, ale nejzajímavější jsou tzv. harmonické neboli sinusové kmity. Matematicky jsou zapsány ve tvaru

u(t) = A hřích j = A hřích( w t + j 0),

Kde A- amplituda, j- fáze, j 0 je jeho počáteční hodnota, w- kruhová frekvence, t– argument funkce, aktuální čas. V případě přísně harmonického, netlumeného kmitání vel A, w A j 0 nezávisí na t.

Jakékoli periodické kmitání nejsložitějšího tvaru může být reprezentováno jako součet konečného počtu harmonických kmitů a neperiodické kmitání (například puls) může být reprezentováno jako jejich nekonečný počet (Fourierova věta).

Systém, který je vyveden z rovnováhy a ponechán svému osudu, vykonává volné nebo přirozené kmity, jejichž frekvence je dána fyzikálními parametry systému. Přirozené vibrace lze také znázornit jako součet harmonických, tzv. normálních vibrací, neboli modů.

K buzení kmitů může dojít třemi způsoby. Pokud je systém vystaven periodické síle, která se mění s frekvencí F(kyvadlo se kývá s periodickými rázy), systém bude kmitat s touto – vynucenou – frekvencí. Když je frekvence hnací síly F rovná nebo násobku vlastní frekvence systému n, dochází k rezonanci — prudkému nárůstu amplitudy oscilací.

Pokud se periodicky mění parametry systému (například délka závěsu kyvadla), dochází k parametrickému buzení kmitů. Je nejúčinnější, když se frekvence změny parametru systému rovná dvojnásobku jeho vlastní frekvence: F par = 2 n osobní

Pokud oscilační pohyby nastanou spontánně (systém se „samovzruší“), hovoří o výskytu vlastních oscilací, které mají komplexní povahu.

Během oscilačních procesů se potenciální energie systému periodicky přeměňuje na kinetickou energii. Například vychýlením kyvadla do strany a tedy jeho zvednutím do výšky h, je mu dána potenciální energie mgh. Zcela se přeměňuje na kinetickou energii pohybu mv 2/2, když zátěž projde rovnovážnou polohou a její rychlost je maximální. Pokud dojde ke ztrátě energie, oscilace se utlumí.

Ve fyzice jsou mechanické a elektromagnetické oscilace uvažovány odděleně - sdružené oscilace elektrického a magnetického pole (světlo, rentgenové záření, rádio). Šíří se prostorem ve formě vln.

Vlna je porucha (změna stavu prostředí), která se šíří prostorem a nese energii, aniž by přenášela hmotu. Nejběžnější jsou elastické vlny, vlny na povrchu kapaliny a elektromagnetické vlny. Elastické vlny mohou být vybuzeny pouze v prostředí (plyn, kapalina, pevná látka), zatímco elektromagnetické vlny se šíří i ve vakuu.

Pokud narušení vlny směřuje kolmo ke směru jejího šíření, nazývá se vlna příčná, je-li rovnoběžná, nazývá se podélná. Příčné vlny zahrnují vlny pohybující se po hladině vody a po provázku, stejně jako elektromagnetické vlny – vektory síly elektrického a magnetického pole jsou kolmé na vektor rychlosti vlny. Typickým příkladem podélného vlnění je zvuk.

Rovnici popisující vlnu lze odvodit z výrazu pro harmonické vibrace. Nechť nastává periodický pohyb v určitém bodě média podle zákona A = A 0 hřích w t. Tento pohyb se bude přenášet z vrstvy na vrstvu - skrz médium bude probíhat elastická vlna. Bod v dálce X z bodu vybuzení, začne dělat oscilační pohyby, na chvíli se opozdí t potřebné k tomu, aby vlna urazila vzdálenost X: t = X/C, Kde C- rychlost vlny. Proto bude zákon jeho pohybu

A x = A 0 hřích w(t – X/C),

nebo od té doby w= 2p/ T, Kde T- perioda oscilace,

A x = A 0 sin 2p ( t/T – X/cT).

Toto je rovnice sinusové vlny nebo monochromatické vlny, která se šíří rychlostí S ve směru X. Všechny vlnové body v daném okamžiku t mají různé offsety. Ale řada bodů oddělených vzdáleností cT jeden od druhého, v kterémkoli časovém okamžiku jsou posunuty stejně (protože argumenty sinů v rovnici se liší o 2p, a proto jsou jejich hodnoty stejné). Tato vzdálenost je vlnová délka l = Svatý. Je rovna dráze, kterou vlna urazí za jednu periodu kmitu.

Fáze kmitů dvou vlnových bodů umístěných ve vzdálenosti D X jeden od druhého, liší se D j = 2p D X/l a proto do 2 p ve vzdálenosti, která je násobkem vlnové délky. Povrch ve všech bodech, kde má vlna stejné fáze, se nazývá vlnoplocha. K šíření vlny dochází kolmo k ní, lze ji tedy považovat za pohyb čela vlny v prostředí. Body čela vlny jsou formálně považovány za fiktivní zdroje sekundárních sférických vln, které po sečtení dávají vlnu původního tvaru (Huygens-Fresnelův princip).

Rychlost posunu prvků prostředí se mění podle stejného zákona jako posun samotný, ale s fázovým posunem o p/2: Rychlost dosáhne maxima, když offset klesne na nulu. To znamená, že rychlostní vlna je posunuta vzhledem k vlně posunů (deformací média) v čase o T/4, a ve vesmíru tím l/4. Rychlostní vlna nese kinetickou energii a deformační vlna nese potenciální energii. Energie se neustále přenáší ve směru šíření vln + X s rychlostí S.

Rychlost zadaná výše S odpovídá šíření pouze nekonečné sinusové (monochromatické) vlny. Určuje rychlost pohybu jeho fáze j a nazývá se fázová rychlost S F. Ale v praxi jsou mnohem běžnější jak vlny složitějších tvarů, tak vlny omezené v čase (vlaky), tak i společné šíření velkého souboru vln o různých frekvencích (například bílé světlo). Stejně jako komplexní oscilace mohou být vlny a neharmonické vlny reprezentovány jako součet (superpozice) sinusových vln různých frekvencí. Když jsou fázové rychlosti všech těchto vln stejné, pak se celá jejich skupina (vlnový paket) pohybuje stejnou rychlostí. Pokud fázová rychlost vlny závisí na její frekvenci w, je pozorována disperze - vlny různých frekvencí se šíří různými rychlostmi. Normální nebo záporná disperze je tím větší, čím vyšší je vlnová frekvence. Například díky disperzi se paprsek bílého světla v hranolu rozloží na spektrum a v kapkách vody - na duhu. Vlnový paket, který může být reprezentován jako soubor harmonických vln ležících v rozsahu w 0±D w, rozmazané v důsledku rozptylu. Jeho tvar - obálka amplitud součástí vlaku - je zkreslený, ale pohybuje se v prostoru rychlostí proti g, nazývaná skupinová rychlost. Jestliže se během šíření vlnového paketu maxima vln, které jej tvoří, pohybují rychleji než obálka, je fázová rychlost signálu vyšší než skupinová rychlost: S f > proti GR. Zároveň se v ocasní části paketu díky přidání vln objevují nová maxima, která se pohybují vpřed a mizí v jeho hlavové části. Příkladem normální disperze jsou média, která jsou pro světlo průhledná – sklo a kapalina.

V řadě případů je také pozorována anomální (pozitivní) disperze média, ve které skupinová rychlost převyšuje fázovou rychlost: proti gr > S f a je možná situace, kdy tyto rychlosti směřují opačnými směry. Vlnová maxima se objeví v čele paketu, posunou se dozadu a zmizí v jeho ocasu. Anomální rozptyl je pozorován např. při pohybu velmi malých (tzv. kapilárních) vln na vodě ( proti gr = 2S F).

Všechny metody pro měření času a rychlosti šíření vln, založené na zpoždění signálů, udávají grupovou rychlost. To je přesně to, co je zohledněno při laserové, hydro- a radarové lokalizaci, atmosférických sondách, v systémech rádiového ovládání atd.

Když se vlny šíří v médiu, jsou absorbovány - nevratný přenos energie vln do jiných typů (zejména do tepla). Absorpční mechanismus vln různé povahy je odlišný, ale absorpce v každém případě vede k oslabení amplitudy vlny podle exponenciálního zákona: A 1 /A 0 = E a , kde A– tzv. logaritmický dekrement tlumení. Pro zvukové vlny zpravidla A ~ w 2: Vysoké zvuky jsou absorbovány mnohem více než nízké zvuky. Absorpce světla - pokles jeho intenzity já- nastává podle Bouguerova zákona já = já 0 exp(– k l l), kde exp( X) = e x, k l – index absorpce vibrací s vlnovou délkou l, l– dráha, kterou urazí vlna v médiu.

Rozptyl zvuku překážkami a nehomogenitami v prostředí vede k šíření zvukového paprsku a v důsledku toho k útlumu zvuku při jeho šíření. Pro heterogenitu velikost L< l/2 rozptyl vln chybí. K rozptylu světla dochází podle složitých zákonů a závisí nejen na velikosti překážek, ale také na jejich fyzikálních vlastnostech. V přirozených podmínkách je rozptyl na atomech a molekulách nejvýraznější, vyskytuje se v poměru k w 4 nebo co je totéž, l-4 (Rayleighův zákon). Právě Rayleighův rozptyl je zodpovědný za modrou barvu oblohy a červenou barvu Slunce při západu slunce. Když se velikost částic stane srovnatelnou s vlnovou délkou světla ( r ~ l), rozptyl přestává záviset na vlnové délce; světlo se rozptyluje více dopředu než dozadu. Rozptyl na velké částice ( r >> l) dochází s přihlédnutím k zákonům optiky – odrazu a lomu světla.

Při sčítání vln, jejichž fázový rozdíl je konstantní ( cm. KOHERENCE) vzniká stabilní obrazec intenzity celkových kmitů - interference. Odraz vlny od stěny je ekvivalentní sčítání dvou vln pohybujících se k sobě s fázovým rozdílem p. Jejich superpozice vytváří stojatou vlnu, ve které se po každé polovině periody T/2 jsou pevné body (uzly) a mezi nimi jsou body, které kmitají s maximální amplitudou A(antinody).

Vlna dopadající na překážku nebo procházející dírou obchází jejich okraje a vstupuje do oblasti stínu, čímž vytváří obraz v podobě systému pruhů. Tento jev se nazývá difrakce; je patrné, když velikost překážky (průměr otvoru) D srovnatelné s vlnovou délkou: D~ l.

V příčné vlně lze pozorovat polarizační jev, kdy porucha (posunutí v elastické vlně, vektory síly elektrického a magnetického pole v elektromagnetické vlně) leží ve stejné rovině (lineární polarizace) nebo rotuje (kruhová polarizace), při změně intenzity (eliptická polarizace).

Když se zdroj vlny pohybuje směrem k pozorovateli (nebo, co je totéž, pozorovatel ke zdroji), je pozorován nárůst frekvence F, při odstranění - pokles (Dopplerův efekt). Tento jev lze pozorovat v blízkosti železniční trati, když kolem projíždí lokomotiva se sirénou. V okamžiku, kdy se přiblíží k pozorovateli, je patrné snížení tónu pípání. Matematicky je efekt zapsán jako F = F 0 /(1 ± proti/C), kde F- pozorovaná frekvence, F 0 – frekvence vyzařované vlny, proti- relativní rychlost zdroje, C- rychlost vlny. Znak „+“ odpovídá přiblížení zdroje, znaménko „–“ jeho odstranění.

Navzdory zásadně odlišné povaze vln mají zákony upravující jejich šíření mnoho společného. Elastické vlny v kapalinách nebo plynech a elektromagnetické vlny v homogenním prostoru vyzařované malým zdrojem jsou tedy popsány stejnou rovnicí a vlny na vodě, jako světlo a rádiové vlny, prožívají interferenci a difrakci.

Sergej Trankovsij

Škola č. 283 Moskva

ABSTRAKTNÍ:

VE FYZICE

"Vibrace a vlny"

Dokončeno:

Student 9 "b" škola č. 283

Grach Jevgenij.

Učitel fyziky:

Sharysheva

Světlana

Vladimirovna

Úvod. 3

1. Oscilace. 4

Periodický pohyb 4

Volná houpačka 4

· Kyvadlo. Kinematika jeho kmitů 4

· Harmonické kmitání. Frekvence 5

· Dynamika harmonických kmitů 6

· Přeměna energie během volných vibrací 6

· Období 7

8 fázový posun

· Nucené vibrace 8

Rezonance 8

2. Vlny. 9

· Příčné vlny v šňůře 9

Podélné vlny ve vzduchovém sloupci 10

Zvukové vibrace 11

· Hudební tón. Hlasitost a výška 11

Akustická rezonance 12

· Vlny na povrchu kapaliny 13

Rychlost šíření vlny 14

Odraz vln 15

Přenos energie vlnami 16

3. Přihláška 17

Akustický reproduktor a mikrofon 17

· Echo siréna 17

· Ultrazvuková diagnostika 18

4. Příklady úloh z fyziky 18

5. Závěr 21

6. Seznam literatury 22

Úvod

Oscilace jsou procesy, které se liší v různé míře opakovatelnosti. Tuto vlastnost opakovatelnosti má například kývání hodinového kyvadla, vibrace struny nebo nožičky ladičky, napětí mezi deskami kondenzátoru v obvodu rádiového přijímače atd.

V závislosti na fyzikální povaze opakujícího se procesu se rozlišují vibrace: mechanické, elektromagnetické, elektromechanické atd. Tento abstrakt pojednává o mechanických vibracích.

Toto odvětví fyziky je klíčem k otázce „Proč se mosty hroutí? (viz strana 8)

Oscilační procesy přitom leží v samotném základu různých technologických odvětví.

Například veškerá rádiová technologie, a zejména akustický reproduktor, je založena na oscilačních procesech (viz strana 17)

O abstraktu

První část eseje („Vibrace“ str. 4-9) podrobně popisuje, co jsou mechanické vibrace, jaké existují druhy mechanických vibrací, veličiny charakterizující vibrace a také co je to rezonance.

Druhá část eseje („Vlny“ s. 9-16) pojednává o tom, co jsou vlny, jak vznikají, co jsou vlny, co je to zvuk, jeho vlastnosti, jakou rychlostí se vlny pohybují, jak se odrážejí a jaká energie se přenáší vlnami .

Třetí část eseje („Aplikace“ s. 17-18) pojednává o tom, proč to všechno potřebujeme vědět a o tom, kde se v technice a v každodenním životě používají mechanické vibrace a vlny.

Čtvrtá část abstraktu (str. 18-20) poskytuje několik příkladů fyzikálních problémů na toto téma.

Abstrakt končí rychlým shrnutím všeho, co bylo řečeno („Závěr“ str. 21) a seznamem literatury (str. 22)

Oscilace.

Periodický pohyb.

Mezi všemi různými mechanickými pohyby, které se kolem nás vyskytují, se často setkáváme s opakovanými pohyby. Jakákoli rovnoměrná rotace je opakující se pohyb: s každou otáčkou prochází každý bod rovnoměrně rotujícího tělesa stejnými polohami jako během předchozí otáčky, ve stejném pořadí a stejnou rychlostí.

Ve skutečnosti není opakování vždy a za všech podmínek úplně stejné. V některých případech každý nový cyklus velmi přesně opakuje ten předchozí, jindy může být rozdíl mezi po sobě jdoucími cykly patrný. Odchylky od naprosto přesného opakování jsou velmi často tak malé, že je lze zanedbat a pohyb lze považovat za opakující se celkem přesně, tzn. považovat to za periodické.

Periodický pohyb je opakující se pohyb, ve kterém každý cyklus přesně reprodukuje každý druhý cyklus.

Doba trvání jednoho cyklu se nazývá perioda. Je zřejmé, že doba rovnoměrného otáčení se rovná trvání jedné otáčky.

Volné vibrace.

V přírodě a zejména v technice hrají oscilační systémy nesmírně důležitou roli, tzn. ta těla a zařízení, která jsou sama schopna provádět periodické pohyby. „Sami od sebe“ – to znamená nebýt k tomu nuceni působením periodických vnějších sil. Takové oscilace se proto nazývají volné oscilace, na rozdíl od vynucených oscilací, ke kterým dochází pod vlivem periodicky se měnících vnějších sil.

Všechny oscilační systémy mají řadu společných vlastností:

1. Každý oscilační systém má stav stabilní rovnováhy.

2. Pokud je oscilační systém odstraněn ze stavu stabilní rovnováhy, objeví se síla, která vrátí systém do stabilní polohy.

3. Po návratu do stabilního stavu se kmitající těleso nemůže okamžitě zastavit.

Kyvadlo; kinematika jeho kmitání.

Kyvadlo je jakékoli těleso zavěšené tak, že jeho těžiště je pod bodem zavěšení. Kladivo visící na hřebíku, váhy, závaží na laně – to vše jsou oscilační systémy, podobné kyvadlu nástěnných hodin.

Každý systém schopný volných oscilací má stabilní rovnovážnou polohu. U kyvadla je to poloha, ve které je těžiště svisle pod bodem zavěšení. Vyjmeme-li kyvadlo z této polohy nebo na něj zatlačíme, pak začne kmitat, přičemž se z rovnovážné polohy vychýlí nejprve jedním směrem, pak druhým směrem. Největší odchylka od rovnovážné polohy, do které se kyvadlo dostane, se nazývá amplituda kmitů. Amplituda je určena počáteční výchylkou nebo tlakem, kterým bylo kyvadlo uvedeno do pohybu. Tato vlastnost - závislost amplitudy na podmínkách na začátku pohybu - je charakteristická nejen pro volné kmitání kyvadla, ale i pro volné kmitání mnoha oscilačních soustav obecně.

Na kyvadlo připevníme vlásek a pod tento vlas posuneme desku z kouřového skla. Pohybujete-li destičkou konstantní rychlostí ve směru kolmém na rovinu vibrací, vlasy nakreslí na destičku vlnovku. V tomto experimentu máme jednoduchý osciloskop – tak se nazývají přístroje pro záznam vibrací. Vlnovka tedy představuje oscilogram kmitů kyvadla.

Amplituda kmitů je na tomto oscilogramu znázorněna segmentem AB, perioda je znázorněna segmentem CD, rovna vzdálenosti, o kterou se deska posune za periodu kyvadla.

Vzhledem k tomu, že pohybujeme začištěnou deskou rovnoměrně, je jakýkoli její pohyb úměrný době, během které k němu došlo. Můžeme tedy říci, že podél osy Xčas je opožděn v určitém měřítku. Na druhou stranu ve směru kolmém k X vlas značí na destičce vzdálenost konce kyvadla od jeho rovnovážné polohy, tzn. vzdálenost, kterou urazí konec kyvadla z této polohy.

Jak víme, sklon čáry na takovém grafu představuje rychlost pohybu. Kyvadlo prochází rovnovážnou polohou maximální rychlostí. V souladu s tím je sklon vlnovky největší v těch bodech, kde protíná osu X. Naopak v okamžicích největších odchylek je rychlost kyvadla nulová. V souladu s tím vlnovka v těch bodech, kde je nejdále od osy X, má rovnoběžnou tečnu X, tj. sklon je nulový

Harmonické kmitání. Frekvence.

Kmitání, které promítání tohoto bodu na libovolnou přímku způsobí, když se bod rovnoměrně pohybuje po kružnici, se nazývá harmonické (neboli jednoduché) kmitání.

Harmonické kmitání je speciální, soukromý typ periodického kmitání. Tento speciální typ oscilace je velmi důležitý, protože je extrémně běžný v široké škále oscilačních systémů. Kmitání zátěže na pružině, ladičce, kyvadle nebo upnuté kovové desce je svým tvarem přesně harmonické. Je třeba poznamenat, že při velkých amplitudách mají kmity těchto systémů poněkud složitější tvar, ale čím menší je amplituda kmitů, tím jsou blíže harmonickým.

Oscilace– změny jakékoli fyzikální veličiny, ve které tato veličina nabývá stejných hodnot. Parametry oscilace:

• 1) Amplituda – hodnota největší odchylky od rovnovážného stavu;
• 2) Perioda je doba jednoho úplného kmitu, převrácená je frekvence;
• 3) Zákon změny kolísavé veličiny v čase;
• 4) Fáze – charakterizuje stav kmitů v čase t.

F x = -r k – vratná síla

Harmonické vibrace- oscilace, při kterých se mění veličina způsobující odchylku soustavy od stabilního stavu podle zákona sinusového nebo kosinusového. Harmonické kmity jsou zvláštním případem periodických kmitů. Oscilace lze znázornit graficky, analyticky (například x(t) = Asin (?t + ?), kde? je počáteční fáze kmitání) a vektorově (délka vektoru je úměrná amplitudě , se vektor otáčí v rovině kreslení úhlovou rychlostí? kolem osy, kolmo k rovině kreslení procházející počátkem vektoru, úhel odchylky vektoru od osy X je počáteční fáze?). Rovnice harmonických vibrací:

Sčítání harmonických vibrací, vyskytující se podél stejné přímky se stejnými nebo podobnými frekvencemi. Uvažujme dvě harmonická oscilace vyskytující se se stejnou frekvencí: x1(t) = A1sin(?t + ?1); x2(t) = A2sin(At + A2).

Vektor představující součet těchto oscilací rotuje s úhlovou rychlostí?. Amplituda celkových kmitů je vektorovým součtem dvou amplitud. Jeho druhá mocnina se rovná Ap2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(A2 - ?1).

Počáteční fáze je definována takto:

Tito. tečna? se rovná poměru průmětů amplitudy celkového kmitu na souřadnicové osy.

Jestliže se frekvence kmitání liší o 2?: ?1 = ?0 + ?; ?2 = ?0 - ?, kde?<< ?. Положим также?1 = ?2 = 0 и А1 = А2:

Xi(t)+X2(t) = A(Sin(Wo +?)t+Sin((Wo +?)t) Xi(t)+X2(t) = 2ACos?tSinW?.

Veličina 2Аcos?t je amplituda výsledného kmitání. Časem se to pomalu mění.

Beats. Výsledek součtu takových oscilací se nazývá beat. V případě A1? A2, pak se amplituda tepu mění od A1 + A2 do A1 – A2.

V obou případech (se stejnými a různými amplitudami) není celkové kmitání harmonické, protože jeho amplituda není konstantní, ale mění se pomalu v čase.

Sčítání kolmých vibrací. Uvažujme dva kmity, jejichž směry jsou na sebe kolmé (frekvence kmitů jsou stejné, počáteční fáze prvního kmitu je nulová):

y= bsin(?t +?).

Z rovnice první vibrace máme: . Druhá rovnice může být přeskupena následovně

sin?t?cos? +cos?t?sin? = y/b

Uveďme druhou mocninu na obě strany rovnice a použijme základní goniometrickou identitu. Dostáváme (viz níže): . Výsledná rovnice je rovnicí elipsy, jejíž osy jsou mírně pootočeny vůči souřadnicovým osám. Na? = 0 nebo? = ? elipsa má tvar přímky y = ?bx/a; na? = ?/2 osy elipsy se shodují se souřadnicovými osami.

Lissajousovy postavy . V případě? 1? ?2, tvar křivky, kterou popisuje vektor poloměru celkových kmitů, je mnohem složitější, závisí na poměru ?1/?2. Pokud je tento poměr roven celému číslu (?2 je násobek?1), sečtením oscilací vznikají čísla nazývaná Lissajousova čísla.

Harmonický oscilátor - kmitající systém, jehož potenciální energie je úměrná druhé mocnině odchylky od rovnovážné polohy.

Kyvadlo , tuhé těleso, které vlivem působících sil kmitá kolem pevného bodu nebo osy. Ve fyzice se magnetismem obvykle rozumí magnetismus, který osciluje pod vlivem gravitace; Jeho osa by navíc neměla procházet těžištěm těla. Nejjednodušší závaží tvoří malé masivní břemeno C zavěšené na závitu (nebo lehké tyči) délky l. Pokud považujeme závit za neroztažitelný a zanedbáme velikost zatížení v porovnání s délkou závitu a hmotnost závitu v porovnání s hmotností zátěže, pak zatížení na závitu lze považovat za hmotný bod umístěný v konstantní vzdálenosti l od závěsného bodu O (obr. 1, a). Tento druh M. se nazývá matematický. Pokud, jak tomu obvykle bývá, nelze kmitající těleso považovat za hmotný bod, pak se nazývá hmota fyzický.

Matematické kyvadlo . Pokud se magnet vychýlený z rovnovážné polohy C0 uvolní bez počáteční rychlosti nebo udělí bodu C rychlost směřující kolmo k OC a ležící v rovině počáteční výchylky, pak bude magnet kmitat v jedné vertikální rovině po kružnici. oblouk (plochý nebo kruhový matematický .). V tomto případě je poloha magnetu určena jednou souřadnicí, například úhlem j, o který je magnet vychýlen z rovnovážné polohy. V obecném případě nejsou magnetické vibrace harmonické; jejich perioda T závisí na amplitudě. Pokud jsou výchylky magnetu malé, provádí oscilace blízké harmonickým s periodou:

kde g je zrychlení volného pádu; v tomto případě perioda T nezávisí na amplitudě, to znamená, že oscilace jsou izochronní.

Pokud má vychýlený magnet počáteční rychlost, která neleží v rovině počáteční výchylky, pak bod C bude popisovat na kouli o poloměru l křivky obsažené mezi 2 rovnoběžkami z = z1 a z = z2, a), kde hodnoty z1 a z2 závisí na počátečních podmínkách (kulové kyvadlo). V konkrétním případě, kdy z1 = z2, b) bude bod C opisovat kružnici ve vodorovné rovině (kónické kyvadlo). Mezi nekruhovými kyvadly je zvláště zajímavé kyvadlo cykloidní, jehož kmity jsou izochronní při jakékoli amplitudě.

Fyzikální kyvadlo . Fyzikální materiál se obvykle nazývá pevné těleso, které vlivem gravitace kmitá kolem vodorovné osy závěsu (obr. 1, b). Pohyb takového magnetu je dost podobný pohybu kruhového matematického magnetu.Při malých úhlech vychýlení j magnet také vykonává kmity blízké harmonickým, s periodou:

kde I je moment setrvačnosti M. vzhledem k ose zavěšení, l je vzdálenost od osy zavěšení O k těžišti C, M je hmotnost materiálu.V důsledku toho se perioda oscilace fyzického materiálu shoduje s periodou oscilace matematického materiálu. který má délku l0 = I/Ml. Tato délka se nazývá zmenšená délka dané fyzické M.

Pružinové kyvadlo- jedná se o zátěž o hmotnosti m, připevněnou k absolutně pružné pružině a vykonávající harmonické kmity působením pružné síly Fupr = - k x, kde k je koeficient pružnosti, v případě pružiny se nazývá. tuhost. Úroveň pohybu kyvadla:, popř.

Z výše uvedených výrazů vyplývá, že pružinové kyvadlo vykonává harmonické kmity podle zákona x = A cos (w0 t +?j), s cyklickou frekvencí

a tečka

Vzorec platí pro elastické vibrace v mezích, ve kterých je splněn Hookeův zákon (Fupr = - k x), tedy když je hmotnost pružiny malá ve srovnání s hmotností tělesa.

Potenciální energie pružinového kyvadla je rovna

U = k x2/2 = mw02 x2/2.

Nucené vibrace. Rezonance. Vynucené kmity vznikají vlivem vnější periodické síly. Frekvence vynucených kmitů je nastavena externím zdrojem a nezávisí na parametrech samotného systému. Pohybovou rovnici zatížení pružiny lze získat formálním zavedením určité vnější síly F(t) = F0sin?t: . Po transformacích podobných odvození rovnice tlumených kmitů získáme:

Kde f0 = F0/m. Řešením této diferenciální rovnice je funkce x(t) = Asin(?t + ?).

dodatek? se objeví v důsledku setrvačnosti systému. Napišme f0sin (?t - ?) = f(t) = f0 sin (?t + ?), tzn. síla působí s určitým předstihem. Pak můžeme napsat:

x(t) = hřích ?t.

Najdeme A. K tomu spočítáme první a druhou derivaci poslední rovnice a dosadíme je do diferenciální rovnice nucených kmitů. Po zmenšení podobných dostaneme:

Nyní si osvěžíme paměť o vektorovém záznamu oscilací. co vidíme? Vektor f0 je součtem vektorů 20A a A(a02 - a2) a tyto vektory jsou (z nějakého důvodu) kolmé. Zapišme si Pythagorovu větu:

4?2?2A2 + A2(?02 -?2)2 = f02:

Odtud vyjadřujeme A:

Amplituda A je tedy funkcí frekvence vnějšího vlivu. Co když však má oscilační systém slabé tlumení?<< ?, то при близких значениях? и?0 происходит резкое возрастание амплитуды колебаний. Это явление получило название резонанса.