Calculul matricei inverse de ordinul doi. Algebra matriceală - inversa matricei

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucţiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm pentru găsirea matricei inverse asemănător celui precedent cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, iar apoi se determină matricea aliată C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricele originale și cele rezultate. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
2. Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
3. Scriem adunări algebrice ale elementelor rând pe coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedem, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, pe matricea originală, cât și la sfârșit, asupra adunărilor algebrice rezultate.

Caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

Algebră matriceală - Matrice inversă

Matrice inversă

Matrice inversă este o matrice care, înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.
Să notăm matricea inversă a matricei O prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E– matricea identitară.
Matrice pătrată numit nu deosebite (nedegenerate) dacă determinantul său nu este zero. Altfel se numeste special (degenera) sau singular.

Teorema este valabilă: Fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Să luăm în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a ordinea:

unde Δ = det O ≠ 0.

Adunarea algebrică a unui element matrici n-a ordine O se numește determinantul unei matrici luate cu un anumit semn ( n–1)a ordinea obținută prin ștergere i-a linia și j coloana a matricei O:

Să creăm așa-numitul ataşat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei O.
Rețineți că adunările algebrice ale elementelor rând matricei O sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Prin împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ – valoarea determinantului matricei O, obținem matricea inversă ca rezultat:

Să notăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată O matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăŞi stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată singulară (singulară) nu are o matrice inversă.

Proprietățile de bază ale unei matrici inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricei inverse a factorilor, luată în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă a matricei transpuse dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei date.

Matricea inversă pentru o matrice dată este o astfel de matrice, înmulțind cea originală cu care dă matricea de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inversă este ca determinantul matricei originale să fie nu este egal cu zero (ceea ce la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește singular și o astfel de matrice nu are inversă. ÎN matematică superioară matricele inverse au importantși sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse construit metoda matricei rezolvarea sistemelor de ecuații. Site-ul nostru de servicii permite calculează matrice inversă online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Prima implică un număr mare de transformări elementare în interiorul matricei, a doua presupune calcularea adunărilor determinante și algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți folosi celălalt serviciu al nostru - Calculul determinantului unei matrice online

.

Găsiți matricea inversă pentru site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid și gratuit. Pe site se fac calcule folosind serviciul nostru iar rezultatul este dat cu o soluție detaliată de găsire matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar un răspuns corect și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici a fost diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Sarcina de a găsi matrice inversăîntâlnită în multe ramuri ale matematicii, fiind una dintre cele mai multe concepte de bază algebră şi instrumente matematice în probleme aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort semnificativ, mult timp, calcule și mare grijă pentru a evita greșelile de scriere sau erorile minore în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse onlineîți va ușura sarcina mult și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvarea problemelor matematice. Chiar dacă tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea originală pe site-ul nostru. Calculați matricea inversă online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu face niciodată greșeli și nu găsește matrice inversă dimensiune dată în mod online imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.

Aflarea matricei inverse.

În acest articol vom înțelege conceptul de matrice inversă, proprietățile sale și metodele de găsire. Să ne oprim în detaliu pe rezolvarea exemplelor în care este necesar să construim o matrice inversă pentru una dată.

Navigare în pagină.

Matrice inversă - definiție.

Găsirea matricei inverse folosind o matrice din complemente algebrice.

Proprietățile unei matrice inverse.

Găsirea matricei inverse folosind metoda Gauss-Jordan.

Aflarea elementelor matricei inverse prin rezolvarea sistemelor corespunzătoare de ecuații algebrice liniare.

Matrice inversă - definiție.

Conceptul de matrice inversă este introdus doar pentru matricele pătrate al căror determinant este diferit de zero, adică pentru matricele pătrate nesingulare.

Definiţie.

Matricenumit inversul unei matrice, al cărui determinant este diferit de zero dacă egalitățile sunt adevărate , Unde E– matricea de ordine unitară n pe n.

Găsirea matricei inverse folosind o matrice din complemente algebrice.

Cum să găsiți matricea inversă pentru una dată?

În primul rând, avem nevoie de concepte matrice transpusă, minorul de matrice și complementul algebric al unui element de matrice.

Definiţie.

Minorkth comanda matrici O comanda m pe n este determinantul matricei de ordine k pe k, care se obține din elementele matricei O situat în selectat k linii şi k coloane. ( k nu depășește cel mai mic număr m sau n).

Minor (n-1)-a ordine, care este compus din elementele tuturor rândurilor, cu excepția i-a, și toate coloanele, cu excepția jth, matrice pătrată O comanda n pe n să-l notăm ca .

Cu alte cuvinte, minorul se obține dintr-o matrice pătrată O comanda n pe n prin tăierea elementelor i-a linii şi jth coloană.

De exemplu, să scriem, minor al 2-lea ordine, care se obține din matrice selectarea elementelor din al doilea, al treilea rând și din prima, a treia coloană . Vom arăta și minorul, care se obține din matrice prin tăierea a doua linie și a treia coloană . Să ilustrăm construcția acestor minori: și .

Definiţie.

Complement algebric elementul unei matrice pătrate se numește minor (n-1)-a ordine, care se obține din matrice O, eliminând elemente ale acestuia i-a linii şi jth coloană înmulțită cu .

Complementul algebric al unui element se notează ca . Astfel, .

De exemplu, pentru matrice complementul algebric al unui element este .

În al doilea rând, vom avea nevoie de două proprietăți ale determinantului, despre care am discutat în secțiune calcularea determinantului unei matrice:

Pe baza acestor proprietăți ale determinantului, definiția operații de înmulțire a unei matrice cu un număr iar conceptul de matrice inversă este adevărat: , unde este o matrice transpusă ale cărei elemente sunt complemente algebrice.

Matrice este într-adevăr inversul matricei O, deoarece egalitățile sunt satisfăcute . Să o arătăm

Să compunem algoritm pentru găsirea matricei inverse folosind egalitatea .

Să ne uităm la algoritmul pentru găsirea matricei inverse folosind un exemplu.

Exemplu.

Dată o matrice . Aflați matricea inversă.

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei O, descompunându-l în elementele coloanei a treia:

Determinantul este diferit de zero, deci matricea O reversibil.

Să găsim o matrice de adunări algebrice:

De aceea

Să transpunem matricea din adunări algebrice:

Acum găsim matricea inversă ca :

Să verificăm rezultatul:

Egalități sunt satisfăcute, prin urmare, matricea inversă este găsită corect.

Proprietățile unei matrice inverse.

Conceptul de matrice inversă, egalitate , definițiile operațiilor pe matrice și proprietățile determinantului unei matrici fac posibilă justificarea următoarelor proprietățile matricei inverse:

Aflarea elementelor matricei inverse prin rezolvarea sistemelor corespunzătoare de ecuații algebrice liniare.

Să luăm în considerare o altă modalitate de a găsi matricea inversă pentru o matrice pătrată O comanda n pe n.

Această metodă se bazează pe soluție n sisteme de ecuaţii algebrice liniare neomogene cu n necunoscut. Variabilele necunoscute din aceste sisteme de ecuații sunt elementele matricei inverse.

Ideea este foarte simplă. Să notăm matricea inversă ca X, adică . Deoarece prin definiția matricei inverse, atunci

Echivalând elementele corespunzătoare prin coloane, obținem n sisteme ecuații liniare

Le rezolvăm în orice fel și formăm o matrice inversă din valorile găsite.

Să ne uităm la această metodă cu un exemplu.

Exemplu.

Dată o matrice . Aflați matricea inversă.

Soluţie.

Să acceptăm . Egalitatea ne oferă trei sisteme de ecuații algebrice liniare neomogene:

Nu vom descrie soluția pentru aceste sisteme dacă este necesar, consultați secțiunea rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare.

Din primul sistem de ecuații avem, din al doilea - , din al treilea - . Prin urmare, matricea inversă necesară are forma . Vă recomandăm să îl verificați pentru a vă asigura că rezultatul este corect.

Să rezumam.

Am analizat conceptul de matrice inversă, proprietățile sale și trei metode pentru a o găsi.

Exemplu de soluții folosind metoda matricei inverse

Sarcina 1. Rezolvați SLAE folosind metoda matricei inverse. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Începutul formei

Sfârșitul formularului

Soluţie. Să scriem matricea sub forma: Vector B: B T = (1,2,3,4) Determinant principal Minor pentru (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor pentru (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor pentru (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor pentru (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Determinant al ∆ minor = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Matrice transpusă Adunări algebrice ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matrice inversă Vectorul de rezultate X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

vezi si soluții de SLAE utilizând metoda matricei inverse online. Pentru a face acest lucru, introduceți datele și primiți o soluție cu comentarii detaliate.

Sarcina 2. Scrieți sistemul de ecuații sub formă de matrice și rezolvați-l folosind matricea inversă. Verificați soluția rezultată. Soluţie:xml:xls

Exemplul 2. Scrieți sistemul de ecuații sub formă de matrice și rezolvați folosind matricea inversă. Soluţie:xml:xls

Exemplu. Este dat un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute. Necesar: 1) găsiți soluția folosind Formule Cramer; 2) scrieți sistemul sub formă de matrice și rezolvați-l folosind calculul matriceal. Recomandări metodice. După rezolvarea prin metoda lui Cramer, găsiți butonul „Rezolvare prin metoda matricei inverse pentru datele sursă”. Veți primi soluția potrivită. Astfel, nu va trebui să completați din nou datele. Soluţie. Să notăm cu A matricea coeficienților pentru necunoscute; X - matrice-coloană de necunoscute; B - matrice-coloana de membri liberi:

Vector B: B T =(4,-3,-3) Ținând cont de aceste notații, acest sistem de ecuații ia următoarea formă de matrice: A*X = B. Dacă matricea A este nesingulară (determinantul ei este diferit de zero , atunci are o matrice inversă A -1 Înmulțind ambele părți ale ecuației cu A -1, obținem: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. Notarea matricială a soluției unui sistem de ecuații liniare. Pentru a găsi o soluție la sistemul de ecuații, este necesar să se calculeze matricea inversă A -1. Sistemul va avea o soluție dacă determinantul matricei A este diferit de zero. Să găsim determinantul principal. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Deci, determinantul 14 ≠ 0, deci avem continua solutia. Pentru a face acest lucru, găsim matricea inversă prin adunări algebrice. Să avem o matrice nesingulară A:

Calculăm complemente algebrice.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Examinare. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Răspuns: -1,1,2.

Similar cu inversul în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Cum să găsiți inversul unei matrice - bezbotvy

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Matrice inversă #1

✪ 28-01-2015. Matrice inversă 3x3

✪ 27-01-2015. Matricea inversă 2x2

Subtitrări

Proprietățile unei matrice inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \\det ) denotă determinantul.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Şi B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă o matrice transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există soluții deloc.

Metode de găsire a matricei inverse

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi matricea inversă puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: the O si singura E. Să prezentăm matricea O la matricea de identitate folosind metoda Gauss-Jordan, aplicând transformări de-a lungul rândurilor (puteți aplica și transformări de-a lungul coloanelor, dar nu amestecate). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când reducerea primei matrice la forma unitară este finalizată, a doua matrice va fi egală cu A−1.

Când se folosește metoda Gaussiană, prima matrice va fi înmulțită în stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau matrice diagonală cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda), adică va fi cea dorită. complexitatea algoritmului - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea complementului algebric

Matricea inversă a matricei A (\displaystyle A), poate fi reprezentat sub forma

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjunctă;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²)·O det.

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuație matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matricea inversă X (\displaystyle X) poate fi considerată o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Să notăm i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i) a-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și diferite părți din dreapta. După efectuarea descompunerii LUP (timp O(n³)), rezolvarea fiecăreia dintre ecuațiile n durează timp O(n²), deci această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci descompunerea LUP poate fi calculată pentru aceasta PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lasă PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi din proprietățile matricei inverse putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțiți această egalitate cu U și L, puteți obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Şi D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea reprezintă, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) din care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună, ele reprezintă un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Selectarea unei aproximări inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele iterative de inversare a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Cu toate acestea, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci ei cred U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Puteți, desigur, să simplificați situația și să profitați de faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, atunci când se specifică matricea inițială în acest fel, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar se va dovedi a fi ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar un ordin ridicat al ratei de convergență nu va fi dezvăluit imediat.

Exemple

Matrice 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] .

(\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).) Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca.